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第9讲·一元一次方程及其解法·培优讲义
（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年人教版七年级数学
思维导图
课程目标
· 理解方程与一元一次方程的概念，能判断方程的解
· 掌握等式的两条性质，能利用性质对等式进行变形
· 掌握解一元一次方程的一般步骤：合并同类项、移项、去括号、去分母
· 能根据方程的解或同解条件求参数的值
· 会解含绝对值的方程，能对含参方程进行分类讨论
知识梳理
☆ 1.方程与一元一次方程
方程：含有未知数的等式叫方程；判断一个式子是方程须同时满足「含未知数」和「是等式」
一元一次方程：只含一个未知数、未知数的次数都是1、且等号两边都是整式的方程
方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值；判断一个数是否为解直接代入检验
列方程：把实际问题中的等量关系用含未知数的等式表示，关键找等量关系
概念辨析例题：下列式子中是一元一次方程的是（　　）A．x+y=1　B．x2-2x=0　C．=2　D．x+2
答案：C
解析：一元一次方程要求含一个未知数且次数为1。A含两个未知数；B未知数最高次数2；D不是等式；C中=2含一个未知数x且次数为1，是整式方程，故选C。
☆ 2.等式的性质
性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等，即若a=b，则a±c=b±c
性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，即若a=b，则ac=bc，=（c≠0）
移项的依据是性质1：把某项从等式一边移到另一边要变号
解方程系数化为1的依据是性质2：两边同除以未知数的系数（系数不为0）
概念辨析例题：由等式3x-2=2x+1变形，第一步移项正确的是（　　）A．3x+2x=1+2　B．3x-2x=1-2　C．3x-2x=1+2　D．3x+2x=1-2
答案：C
解析：移项要变号：把-2移到右边变+2，把+2x移到左边变-2x，得3x-2x=1+2，故选C。
☆ 3.解一元一次方程的一般步骤
去分母：方程两边同乘各分母的最小公倍数，注意每一项都要乘，分子是多项式时加括号
去括号：按去括号法则（正不变、负全变），括号前有数字因数用分配律
移项：把含未知数的项移到一边、常数项移到另一边，移项要变号
合并同类项：化成ax=b（a≠0）的形式；系数化为1：两边同除以a得x=
概念辨析例题：解方程：-=1。
答案：x=11
解析：去分母（两边同乘6）：2(2x-1)-3(x+1)=6；去括号：4x-2-3x-3=6；移项合并：x=11。注意去分母时1也要乘6，分子2x-1与x+1是多项式需整体加括号。
☆ 4.绝对值方程与含参方程
绝对值方程|x|=a（a>0）的解为x=a或x=-a；|x|=0的解为x=0；|x|=-a（a>0）无解
含绝对值的方程分段讨论：令绝对值内为0分区间，各区间去绝对值后求解并检验是否在该区间
含参方程：已知解求参数——把解代入方程解出参数；同解问题——分别解出再令解相等
方程解的情况：关于x的方程ax=b，当a≠0时唯一解；当a=0且b=0时无数解；当a=0且b≠0时无解
概念辨析例题：已知x=2是方程3x-2m=4的解，求m的值。
答案：m=1
解析：把x=2代入方程：3×2-2m=4，即6-2m=4，解得2m=2，m=1。已知解求参数的基本方法是代入法。
知识总结表
核心概念 定义/公式 注意事项
方程 含有未知数的等式 必须同时是等式且含未知数
一元一次方程 一个未知数、次数1、两边整式 如=2，注意分母不为0
方程的解 使方程左右两边相等的未知数的值 代入检验即可判断
等式的性质1 a=b a±c=b±c 移项依据，移项要变号
等式的性质2 a=b ac=bc，=(c≠0) 除以的数不能为0
解方程步骤 去分母→去括号→移项→合并→系数化1 去分母每项都乘、分子加括号
核心考点
【考点1】方程的概念与方程的解（第1-12题）
· 判断方程：等式+含未知数缺一不可；判断一元一次方程：一个未知数、次数1、整式
· 判断某个数是否为方程的解：代入方程看左右两边是否相等
· 列方程：找等量关系，设未知数后用等式表示
· 方程解的检验：把解代入原方程计算，两边相等才是解
1．（23-24七年级下·河南周口·阶段检测）下列式子是方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）如果是关于x的方程的解，求的值为（ ）
A．1 B． C．21 D．5
3．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列方程与方程的解相同的是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25七年级下·河北衡水·开学考试）设某数为x，“比某数的大1的数是4”，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
5．（24-25七年级下·甘肃天水·期中）已知下列方程：① ② ③ ④ ⑤ ⑥．其中一元一次方程有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．5个
6．（25-26七年级上·四川广元·开学考试）下面不能用方程“”来表示的是（ ）．
A． B．
C． D．
7．（22-23七年级上·贵州贵阳·期末）有一列方程：
第1个方程是，解为；
第2个方程是，解为；
第3个方程是，解为；
第4个方程是，解为；
……
根据以上规律，若第n个方程的解为，则a的值为（ ）
A．41 B．42 C．43 D．44
8．（23-24六年级下·上海浦东新·期中）若是方程的解，则______．
9．（21-22六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）写出一个一元一次方程， 同时满足下列两个条件： _______________________．
① 某个未知数的系数是－，②方程的解为．
10．（25-26七年级上·全国·课后作业）判断是否为下列方程的解：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
11．（24-25六年级下·山东烟台·期中）已知关于x的方程是一元一次方程．试求：
(1)m的值及方程的解；
(2)在（1）的条件下求出代数式的值．
12．（25-26七年级下·湖南衡阳·阶段检测）已知方程是关于x的一元一次方程，求m的值，并写出其方程．
【考点2】等式的性质（第13-21题）
· 判断变形是否正确：对照性质1（同加减）与性质2（同乘除，除数≠0）
· 移项是性质1的应用，移项必须变号
· 「下列说法正确的是」类题逐条对照性质，注意同除以的式子是否为0
· 利用等式性质变形求值：由已知等式整体变换得目标代数式的值
13．（24-25七年级上·河北廊坊·期末）将方程的两边同除以，将得，其原因是（ ）
A．方程本身是错的
B．方程无解
C．如果，那么方程两边不能同时除以
D．一定条件下
14．（24-25六年级上·上海崇明·期末）在解方程，对该方程进行变形时，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
15．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列运用等式的性质对等式进行的变形中，不一定正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
16．（23-24七年级上·北京延庆·期末）下面的框图是解方程的流程：
在上述五个步骤中，依据是“等式的基本性质2”的步骤有________．（只填序号）
17．（25-26七年级下·全国·课后作业）由得到，可分两步，按步骤完成下列填空：
第一步：根据等式的性质____，等式两边____，得到；
第二步：根据等式的性质____，等式两边____，得到.
18．（23-24七年级上·湖南怀化·期末）下列等式变形：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则．其中一定正确是________（填正确的序号）
19．（24-25七年级上·四川·期中）已知，则代数式的值为____．
20．（26-27七年级上·北京·课后作业）下列等式变形中，正确的有________（填写序号）．
①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则．
21．（25-26七年级上·全国·课后作业）有两种变形：①若，则；②若，则．其中正确的是________（填序号）．
【考点3】解一元一次方程（一）合并同类项与移项（第22-27题）
· 移项变号是解方程第一步，注意常数项与未知项分别集中到两边
· 合并同类项：把ax=b中的a、b算准确
· 系数化为1：两边同除以a（a≠0），结果写x=
· 检验：把解代入原方程，左右两边相等
22．（2024·辽宁·模拟预测）在解方程时，经过移项后的式子为（ ）
A． B． C． D．
23．（22-23七年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图表示的数表，数表每个位置所对应的数是1，2或3，有如下定义：为表中第行第列所对应的数．例如，数表第3行第1列所对应的数是2，所以，．请根据以上定义，若，则的值是（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．3
24．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）按如图所示的程序进行计算，若开始输入的x是正整数，最后输出的结果是239，则满足条件的x的值都有______．
25．（24-25七年级上·全国·课堂例题）解方程：
26．（24-25七年级上·全国·随堂练习）将下列方程中含有未知数的一项移到方程的一边，将不含未知数的常数项移到方程的另一边．
(1)
(2)
27．（24-25六年级上·上海嘉定·阶段检测）解方程：
【考点4】解一元一次方程（二）去括号（第28-34题）
· 去括号用分配律，括号前是负号时每一项都要变号
· 去括号后继续移项、合并、系数化1
· 新定义/运算类方程按定义规则先化简再解
· 去括号易错：漏乘、漏变号，逐项检查
28．（25-26七年级上·四川凉山·期末）小明在解方程去括号时，忘记将括号中的第二项变号，求得方程的解为，那么方程正确的解为（）
A． B． C． D．
29．（23-24七年级下·河南周口·期中）方程的解是__________．
30．（2024·山东聊城·二模）聊城近几年城市发展迅速，交通便利．修路的主要材料之一是沥青，沥青中含稠环芳香烃，其中偶数个苯环可视为同系物．注：最简单的稠环芳香烃是萘，它的分子结构图与结构简式如下：
若图和图的分子中共含有242个原子，则的值______．
31．（24-25六年级上·上海·阶段检测）已知关于的方程有无数多个解，那么__________，___________．
32．（25-26六年级下·全国·课后作业）阅读下列解方程的过程，回答问题：
去括号，得，①
移项，得，②
合并同类项，得，③
系数化为1，得，④
上述过程中，第_________步计算出现错误，其错误原因是_________________，第②步的数学依据是_____________________________________．
33．（24-25七年级上·贵州黔东南·期末）已知是关于的方程的解，那么关于的方程的解是_________．
34．（2025·湖南张家界·二模）某同学计算，其中的“”部分是被墨水污染看不清楚的数字．
(1)如果被污染的数字是，请计算的值．
(2)如果翻看参考答案等于6，请求出被污染的数字是几？
【考点5】解一元一次方程（三）去分母（第35-43题）
· 去分母：两边同乘各分母最小公倍数，每一项都要乘（包括常数项）
· 分子是多项式时整体加括号再去括号，防止符号错误
· 去分母后按去括号→移项→合并→系数化1的顺序求解
· 改错题：指出去分母、去括号等步骤中的错误并改正
35．（25-26七年级下·湖南衡阳·阶段检测）已知方程的解比关于x的方程的解大5，则k的值为（ ）
A． B． C．1 D．3
36．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）若代数式和的值相同，则x的值是（ ）
A．9 B． C． D．
37．（24-25七年级下·四川资阳·阶段检测）若关于x的一元一次方程的解是，则k的值是（ ）
A．27 B．1 C． D．0
38．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）小明在解方程：去分母时，方程右边的1没有乘6，因而得到方程的解为，方程正确解为______．
39．（24-25七年级上·吉林长春·阶段检测）以下是圆圆解方程的过程．
去分母，得．
去括号，得．
移项、合并同类项，得．
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请在上面的解题过程中划出错误的地方，并写出正确的解答过程．
40．（25-26七年级下·全国·课后作业）解下列方程：
(1)；
(2)．
41．（25-26七年级上·全国·课后作业）解下列方程：
(1)．
(2)．
42．（25-26七年级下·重庆万州·期中）在解关于x的方程时，小明在去分母的过程中，忘记将方程右边的“”这一项乘以公分母6，求出方程的解为，
(1)求a的值；
(2)写出正确的求解过程．
43．（2025七年级上·广东深圳·专题练习）解方程：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【考点6】已知方程的解求参数·绝对值方程与综合（第44-52题）
· 已知解求参数：代入法，把解代入方程解出参数
· 同解问题：先解出已知方程的解，代入另一个方程求参数
· 绝对值方程：|x|=a型直接写x=±a；复杂型分段讨论去绝对值
· 含参方程解的情况：对ax=b按a是否为0分类讨论
44．（2022九年级·安徽合肥·专题练习）（1）若，则______，_______
（2）若，，且，则___________
45．（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）若是关于x、y的3次单项式，则___________．
46．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如果关于的方程和方程的解相同，那么的值为____________．
47．（2025七年级上·全国·专题练习）已知方程与关于x的方程的解相同，则a的值为________．
48．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段检测）已知关于x的方程有三个解，则__________.
49．（24-25七年级上·陕西榆林·期末）关于x的方程：的解为，求k的值．
50．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如图，一组有规律的图案中，第一个图案是1个边长为正方形，周长为，第二个图案是2个边长为的正方形拼接而成，周长为，第三个图案是3个边长为的正方形拼接而成，周长为，……
(1)第5个图案的周长为_____；
(2)第个图案的周长为_____；
(3)图案的周长有可能为吗？如果有可能，求出是第几个图案，如果没有可能，请说明理由．
51．（25-26七年级下·河南驻马店·阶段检测）关于x的两个一元一次方程与的解互为相反数，求m的值．
52．（23-24七年级上·湖南长沙·期中）对于有理数，，，，若，则称和关于的“明德值”为．例如，，则2和3关于1的“明德值”为3．
(1)和3关于1的“明德值”为________；
(2)若和2关于1的“明德值”为3，求的值；
(3)若和关于1的“明德值”为1，和关于2的“明德值”为1，和关于3的“明德值”为1，，和关于50的“明德值”为1，求的值．（用含的式子表示）
课后巩固
复习建议
· 判断一元一次方程：一个未知数、次数1、两边是整式
· 解方程依据等式的两条性质，移项必须变号，同除的数不能为0
· 解方程五步：去分母、去括号、移项、合并、系数化1，去分母每项都要乘
· 已知解求参数用代入法；同解问题分别解出后令解相等
· 绝对值方程先判绝对值内符号，分段讨论并检验解是否落在对应区间
【作业1】．（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）是下列哪个一元一次方程的解（ ）
A． B．
C． D．
【作业2】．（24-25七年级下·吉林长春·期中）下列等式变形正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【作业3】．（24-25七年级下·全国·课后作业）方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【作业4】．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）将四个数排列成，并且规定．若的值为6，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【作业5】．（25-26七年级上·全国·课后作业）若关于的方程的解是整数，则整数的取值有（ ）
A．6个 B．5个 C．3个 D．2个
【作业6】．（24-25六年级上·上海·阶段检测）一元一次方程的一次项是______．
【作业7】．（24-25七年级上·全国·课后作业）将方程变形得，这一步的依据是____；
【作业8】．（2025七年级上·全国·专题练习）已知等式，那么______； ______．
【作业9】．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）方程的解为_____．
【作业10】．（22-23七年级下·四川内江·期中）当____时，代数式与代数式的值相等．
【作业11】．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段检测）整式的值随x取值的不同而不同，表格是当x取不同的值时对应的整式值，则关于x的方程的解为______．
x … 0 1 3 …
… 1 3 7 …
【作业12】．（25-26七年级上·全国·期末）在解方程时，小明去分母时出现错误，得到，因而求得方程的解为，方程正确的解应为___________．
【作业13】．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）若关于x的方程是一元一次方程，则______．
【作业14】．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）已知，试比较x与y的大小．
（2）已知，利用等式的基本性质说明．
【作业15】．（25-26七年级上·全国·课后作业）解方程：
(1)．
(2) ．
【作业16】．（06第一节一次方程（组）及其应用）解方程：
(1)；
(2)．
【作业17】．（24-25七年级上·福建莆田·阶段检测）解方程：
【作业18】．（23-24七年级上·湖南株洲·期末）解方程：
1第9讲·一元一次方程及其解法·培优讲义
（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年人教版七年级数学
参考答案与试题解析
思维导图
课程目标
· 理解方程与一元一次方程的概念，能判断方程的解
· 掌握等式的两条性质，能利用性质对等式进行变形
· 掌握解一元一次方程的一般步骤：合并同类项、移项、去括号、去分母
· 能根据方程的解或同解条件求参数的值
· 会解含绝对值的方程，能对含参方程进行分类讨论
知识梳理
☆ 1.方程与一元一次方程
方程：含有未知数的等式叫方程；判断一个式子是方程须同时满足「含未知数」和「是等式」
一元一次方程：只含一个未知数、未知数的次数都是1、且等号两边都是整式的方程
方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值；判断一个数是否为解直接代入检验
列方程：把实际问题中的等量关系用含未知数的等式表示，关键找等量关系
概念辨析例题：下列式子中是一元一次方程的是（　　）A．x+y=1　B．x2-2x=0　C．=2　D．x+2
答案：C
解析：一元一次方程要求含一个未知数且次数为1。A含两个未知数；B未知数最高次数2；D不是等式；C中=2含一个未知数x且次数为1，是整式方程，故选C。
☆ 2.等式的性质
性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等，即若a=b，则a±c=b±c
性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，即若a=b，则ac=bc，=（c≠0）
移项的依据是性质1：把某项从等式一边移到另一边要变号
解方程系数化为1的依据是性质2：两边同除以未知数的系数（系数不为0）
概念辨析例题：由等式3x-2=2x+1变形，第一步移项正确的是（　　）A．3x+2x=1+2　B．3x-2x=1-2　C．3x-2x=1+2　D．3x+2x=1-2
答案：C
解析：移项要变号：把-2移到右边变+2，把+2x移到左边变-2x，得3x-2x=1+2，故选C。
☆ 3.解一元一次方程的一般步骤
去分母：方程两边同乘各分母的最小公倍数，注意每一项都要乘，分子是多项式时加括号
去括号：按去括号法则（正不变、负全变），括号前有数字因数用分配律
移项：把含未知数的项移到一边、常数项移到另一边，移项要变号
合并同类项：化成ax=b（a≠0）的形式；系数化为1：两边同除以a得x=
概念辨析例题：解方程：-=1。
答案：x=11
解析：去分母（两边同乘6）：2(2x-1)-3(x+1)=6；去括号：4x-2-3x-3=6；移项合并：x=11。注意去分母时1也要乘6，分子2x-1与x+1是多项式需整体加括号。
☆ 4.绝对值方程与含参方程
绝对值方程|x|=a（a>0）的解为x=a或x=-a；|x|=0的解为x=0；|x|=-a（a>0）无解
含绝对值的方程分段讨论：令绝对值内为0分区间，各区间去绝对值后求解并检验是否在该区间
含参方程：已知解求参数——把解代入方程解出参数；同解问题——分别解出再令解相等
方程解的情况：关于x的方程ax=b，当a≠0时唯一解；当a=0且b=0时无数解；当a=0且b≠0时无解
概念辨析例题：已知x=2是方程3x-2m=4的解，求m的值。
答案：m=1
解析：把x=2代入方程：3×2-2m=4，即6-2m=4，解得2m=2，m=1。已知解求参数的基本方法是代入法。
知识总结表
核心概念 定义/公式 注意事项
方程 含有未知数的等式 必须同时是等式且含未知数
一元一次方程 一个未知数、次数1、两边整式 如=2，注意分母不为0
方程的解 使方程左右两边相等的未知数的值 代入检验即可判断
等式的性质1 a=b a±c=b±c 移项依据，移项要变号
等式的性质2 a=b ac=bc，=(c≠0) 除以的数不能为0
解方程步骤 去分母→去括号→移项→合并→系数化1 去分母每项都乘、分子加括号
核心考点
【考点1】方程的概念与方程的解（第1-12题）
· 判断方程：等式+含未知数缺一不可；判断一元一次方程：一个未知数、次数1、整式
· 判断某个数是否为方程的解：代入方程看左右两边是否相等
· 列方程：找等量关系，设未知数后用等式表示
· 方程解的检验：把解代入原方程计算，两边相等才是解
1．（23-24七年级下·河南周口·阶段检测）下列式子是方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】判断各式是否是方程
【分析】本题考查方程的定义．根据题意利用方程定义“等式两边含有未知数的等式叫方程”知识点即可得到本题答案．
【详解】解：∵不是等式，
∴A选项不是方程，
∵不是等式，
∴B选项不是方程，
∵是代数式，没有等号，
∴C选项不是方程，
∵符合方程的定义，
∴是方程，
故选：D．
2．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）如果是关于x的方程的解，求的值为（ ）
A．1 B． C．21 D．5
【答案】C
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、判断是否是一元一次方程解
【分析】本题主要考查一元一次方程的解及代数式的值，熟练掌握一元一次方程的解及代数式的值是解题的关键；将代入方程得到和的关系式，然后整体代入求值．
【详解】解：∵是方程的解，
，
，
故选：C．
3．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列方程与方程的解相同的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、判断是否是方程的解
【分析】先根据一元一次方程的解法求得题目中的方程的解，然后将所得解依次代入A、B、C、D的四个方程中，可以使得两边相等的方程即为所求的选项．
【详解】解：
移项合并同类项得：
系数化为得：
把代入选项的方程：左边=，右边=，左边右边，故选项不符合题意；
把代入选项的方程：左边=，右边=，左边右边，故选项不符合题意；
把代入选项的方程：左边=，右边=，左边右边，故选项不符合题意；
把代入选项的方程：左边=，右边=，左边=右边，故选项符合题意．
故选：．
【点睛】本题考查了解一元一次方程与方程及一元一次方程的解，能够根据题目所给的方程求得方程的解并掌握方程的解的定义是解答本题的关键．
4．（24-25七年级下·河北衡水·开学考试）设某数为x，“比某数的大1的数是4”，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列方程
【分析】本题主要考查了列一元一次方程，某数的为，则根据题意可得．
【详解】解：由题意得，，
故选：A．
5．（24-25七年级下·甘肃天水·期中）已知下列方程：① ② ③ ④ ⑤ ⑥．其中一元一次方程有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．5个
【答案】C
【知识点】判断是否是一元一次方程
【分析】本题考查了一元一次方程的定义，熟知含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的整式方程是一元一次方程是解决问题的关键．根据一元一次方程的定义解答即可．
【详解】解：①分母中含有未知数，不是整式方程，故不是一元一次方程；
②符合含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的整式方程，故是一元一次方程；
③符合含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的整式方程，故是一元一次方程；
④未知数的最高次数为2，故不是一元一次方程；
⑤符合含有一个未知数，并且未知数的最高次数为1的整式方程，故是一元一次方程；
⑥符合含有两个未知数，故不是一元一次方程；
所以一元一次方程有：②③⑤
故选：C．
6．（25-26七年级上·四川广元·开学考试）下面不能用方程“”来表示的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列方程
【分析】本题考查列方程解决问题的方法及应用．根据题意，逐项分析进行解答．
【详解】解：A．把60看作单位“1”平均分成4份，其中3份为，由题意得：，可以用方程“”表示；
B．梯形的上底是5厘米，下底是15厘米，上底长是下底长的，空白部分的面积是，则阴影部分的面积为，梯形的面积是，求空白部分的面积，可以用方程“”表示．
C．圆柱的体积为，与它等底等高的圆锥的体积是它的，那么圆锥的体积是，它们的体积和是，由题意得：，可以用方程“”表示；
D．把长方形的面积看作单位“1”，平均分成3份，其中2份为，则空白部分的面积为，由题意得：，不可以用方程“”表示；
故选：D．
7．（22-23七年级上·贵州贵阳·期末）有一列方程：
第1个方程是，解为；
第2个方程是，解为；
第3个方程是，解为；
第4个方程是，解为；
……
根据以上规律，若第n个方程的解为，则a的值为（ ）
A．41 B．42 C．43 D．44
【答案】A
【知识点】数字类规律探索、方程的解
【分析】本题主要考查了数字的变化类，先根据已知条件中的方程，找出规律，求出第个方程和方程的解，列出关于的方程，求出，从而求出即可．解题关键是根据已知条件找出规律．
【详解】解：观察已知条件中的方程可知：第n个方程为：，
方程的解为：，
∵第n个方程的解为，
∴，即：，
∴，，
∴，
∴，
故选：A．
8．（23-24六年级下·上海浦东新·期中）若是方程的解，则______．
【答案】
【知识点】方程的解
【分析】本题考查了方程的解，把代入方程计算即可求解，掌握方程的解的定义是解题的关键．
【详解】解：∵是方程的解，
∴，
∴，
故答案为：．
9．（21-22六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）写出一个一元一次方程， 同时满足下列两个条件： _______________________．
① 某个未知数的系数是－，②方程的解为．
【答案】
【知识点】已知方程的解，求参数、判断是否是一元一次方程解
【分析】本题主要考查了方程的解的定义，利用了待定系数法求方程．设方程是，把代入即可求得的值，从而求解．
【详解】解：设方程是，
把代入，，
解得：，
则方程是：，
故答案是：．
10．（25-26七年级上·全国·课后作业）判断是否为下列方程的解：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)不是
(2)是
(3)不是
(4)是
【知识点】判断是否是方程的解
【分析】本题考查了方程的解的定义，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键．
（1）把代入，计算等式左右两边是否相等即可判断；
（2）把代入，计算等式左右两边是否相等即可判断；
（3）把代入，计算等式左右两边是否相等即可判断；
（4）把代入，计算等式左右两边是否相等即可判断．
【详解】（1）解：将代入，等号左边，右边，
∵左边右边
∴不是的解；
（2）解：将代入，等号左边，等号右边，
∵左边右边
∴是的解；
（3）解：将代入，等号左边，右边，
∵左边右边
∴不是的解；
（4）解：将代入，等号左边，等号右边，
∵左边右边
∴是的解．
11．（24-25六年级下·山东烟台·期中）已知关于x的方程是一元一次方程．试求：
(1)m的值及方程的解；
(2)在（1）的条件下求出代数式的值．
【答案】(1)
(2)49
【知识点】整式的加减中的化简求值、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、判断是否是一元一次方程
【分析】本题考查了一元一次方程的定义和方程的解，解题关键是根据一元一次方程未知数的次数是1列出方程求解；
（1）根据一元一次方程未知数的次数为1，系数不为0列出方程并检验即可；
（2）先化简整式，再代入字母的值求解即可．
【详解】（1）解：关于x的方程是一元一次方程，
所以，解得，此时，
原方程为，解得，．
（2）解：，
，
，
把代入，原式．
12．（25-26七年级下·湖南衡阳·阶段检测）已知方程是关于x的一元一次方程，求m的值，并写出其方程．
【答案】，方程为
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、判断是否是一元一次方程解
【分析】根据一元一次方程的定义“只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程”，得到，且，求解即可得到答案．
【详解】解：根据题意得：，且，
解得：．
其方程为．
【考点2】等式的性质（第13-21题）
· 判断变形是否正确：对照性质1（同加减）与性质2（同乘除，除数≠0）
· 移项是性质1的应用，移项必须变号
· 「下列说法正确的是」类题逐条对照性质，注意同除以的式子是否为0
· 利用等式性质变形求值：由已知等式整体变换得目标代数式的值
13．（24-25七年级上·河北廊坊·期末）将方程的两边同除以，将得，其原因是（ ）
A．方程本身是错的
B．方程无解
C．如果，那么方程两边不能同时除以
D．一定条件下
【答案】C
【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、等式的性质2
【分析】本题主要查了根据等式的性质2，解一元一次方程．根据等式的性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式，所以在两边同除以时要保证，条件没给出，所以不能同除以．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
当两边同除以时，无意义，
∴错误的原因是：如果，那么方程两边不能同时除以，
故选：C．
14．（24-25六年级上·上海崇明·期末）在解方程，对该方程进行变形时，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】等式的性质2
【分析】本题考查分数的基本性质．
把方程左边的分子分母分别扩大10倍，的分子分母分别扩大100倍，方程右边的值不变，即可得到答案．
【详解】解：根据分数的基本性质，得：，
故选B．
15．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列运用等式的性质对等式进行的变形中，不一定正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A
【知识点】等式的性质1、等式的性质2
【分析】本题主要考查了等式的性质：性质、等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质、等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
根据等式的性质解答即可．
【详解】解：A、若，且时，则，故符合题意；
B、若，则，不符合题意；
C、若，则，不符合题意；
D、若，则，不符合题意；
故选：A．
16．（23-24七年级上·北京延庆·期末）下面的框图是解方程的流程：
在上述五个步骤中，依据是“等式的基本性质2”的步骤有________．（只填序号）
【答案】①⑤/⑤①
【知识点】等式的性质
【分析】本题主要考查了等式的基本性质，解题的关键是熟练掌握等式基本性质．
【详解】解：等式的性质2：等式两边同时乘（或除）相等的数或式，两边依然相等；
若，
那么有，
或，
所以依据等式的性质2的步骤是①⑤．
故答案为：①⑤．
17．（25-26七年级下·全国·课后作业）由得到，可分两步，按步骤完成下列填空：
第一步：根据等式的性质____，等式两边____，得到；
第二步：根据等式的性质____，等式两边____，得到.
【答案】 1 加1 2 除以3
【知识点】等式的性质1、等式的性质2
【分析】本题考查等式的性质，解题关键是明确等式的性质的内容，会用等式的性质解方程．
根据等式的性质即可解答．
【详解】解：由得到可分两步，按步骤完成下列填空：
第一步：根据等式的性质1，等式两边同时加1，得到，
第二步：根据等式的性质2，等式两边同时除以3，得到，
故答案为1，加1；3，除以3．
18．（23-24七年级上·湖南怀化·期末）下列等式变形：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则．其中一定正确是________（填正确的序号）
【答案】①④⑤
【知识点】等式的性质
【分析】本题考查的是等式的基本性质，等式两边同时加(减)同一个数(式子)，结果仍相等；等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等；应用等式的性质对等式进行变形时，必须注意“同”字，要对等式进行变形，就要保证等式两边始终相等，也就是说，运用等式的性质时，等式两边必须同时进行变形．根据等式的基本性质逐一判断即可．
【详解】解：∵，
∴，符合等式性质1，故①符合题意；
∵，，
∴，故②不符合题意；
∵，
∴，故③不符合题意；
∵，
∴，符合等式性质2，故④符合题意；
∵，
∴，符合等式性质2，故⑤符合题意；
故答案为：①④⑤
19．（24-25七年级上·四川·期中）已知，则代数式的值为____．
【答案】
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、等式的性质
【分析】本题考查了等式的性质，代数式求值，根据题意得出，则，整体代入即可求解．
【详解】解：根据题意得出，则，
故答案为：．
20．（26-27七年级上·北京·课后作业）下列等式变形中，正确的有________（填写序号）．
①若，则；②若，则；③若，则；④若，则；⑤若，则．
【答案】①②⑤
【知识点】等式的性质1、等式的性质2
【分析】本题主要考查了等式的性质，根据等式的性质，可得答案．
【详解】解：①若，则，正确；
②若，则，正确；
③若，则不成立，故③错误；
④若，则，错误，a也可能等于0；
⑤若，则，故，正确．
故正确的有①②⑤．
故答案为：①②⑤．
21．（25-26七年级上·全国·课后作业）有两种变形：①若，则；②若，则．其中正确的是________（填序号）．
【答案】②
【知识点】等式的性质2
【分析】本题考查了等式的基本性质，解决问题的关键是熟练掌握等式的基本性质.
注意除数不能为0．
【详解】解：①若，则无意义，若，等式左右两边同除以．
②若，等式左右两边同乘以．
故答案为：②．
【考点3】解一元一次方程（一）合并同类项与移项（第22-27题）
· 移项变号是解方程第一步，注意常数项与未知项分别集中到两边
· 合并同类项：把ax=b中的a、b算准确
· 系数化为1：两边同除以a（a≠0），结果写x=
· 检验：把解代入原方程，左右两边相等
22．（2024·辽宁·模拟预测）在解方程时，经过移项后的式子为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
【分析】该题主要考查了一元一次方程的解法，解题的关键是掌握一元一次方程的解法．
根据一元一次方程的解法：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为一的方法解答即可．
【详解】解：，
移项得，
化简得，
故选：A．
23．（22-23七年级上·辽宁葫芦岛·期末）如图表示的数表，数表每个位置所对应的数是1，2或3，有如下定义：为表中第行第列所对应的数．例如，数表第3行第1列所对应的数是2，所以，．请根据以上定义，若，则的值是（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．3
【答案】C
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
【分析】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，根据题意，得出或，即可求解．
【详解】解：由题可得：或，
解得或，
故选C．
24．（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）按如图所示的程序进行计算，若开始输入的x是正整数，最后输出的结果是239，则满足条件的x的值都有______．
【答案】27或80/80或27
【知识点】程序流程图与代数式求值、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，代数式求值，根据题意列出方程求解是解题的关键．根据运算程序列出方程求出x的值，然后把求出的x的值重新输入继续求解，直至x不是正整数为止．
【详解】解：当时，
解得，
当时，
解得，
当时，
解得，
因为开始输入的x是正整数，
所以满足条件的x的值有27和80，
故答案为：27和80．
25．（24-25七年级上·全国·课堂例题）解方程：
【答案】
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，按照移项，合并同类项，系数化为1的系数解方程即可．
【详解】解：
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：．
26．（24-25七年级上·全国·随堂练习）将下列方程中含有未知数的一项移到方程的一边，将不含未知数的常数项移到方程的另一边．
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）根据解一元一次方程移项的运算法则计算即可；
（2）根据解一元一次方程移项的运算法则计算即可．
【详解】（1）解：移项，得
（2）解：移项，得．
27．（24-25六年级上·上海嘉定·阶段检测）解方程：
【答案】
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，先把原方程变形为，再把括号内的式子裂项相消得到，据此计算求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得．
【考点4】解一元一次方程（二）去括号（第28-34题）
· 去括号用分配律，括号前是负号时每一项都要变号
· 去括号后继续移项、合并、系数化1
· 新定义/运算类方程按定义规则先化简再解
· 去括号易错：漏乘、漏变号，逐项检查
28．（25-26七年级上·四川凉山·期末）小明在解方程去括号时，忘记将括号中的第二项变号，求得方程的解为，那么方程正确的解为（）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、已知方程的解，求参数、已知一元一次方程的解，求参数
【分析】题目给出小明在解方程时犯了一个常见的符号错误：去括号时没有改变括号内第二项的符号．我们可以通过他错误的解反推出参数的值，然后将代入原方程，正确解出方程的解．关键在于理解错误操作下的方程形式，并据此建立等式求出．
【详解】解：因此他的错误方程为：
．
代入错误解，
解得：
代入原方程：
即：
解得：
29．（23-24七年级下·河南周口·期中）方程的解是__________．
【答案】
【知识点】解一元一次方程（二）——去括号
【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握一元一次方程解法是解题关键，直接解方程即可解决．
【详解】解：，
，
，
．
30．（2024·山东聊城·二模）聊城近几年城市发展迅速，交通便利．修路的主要材料之一是沥青，沥青中含稠环芳香烃，其中偶数个苯环可视为同系物．注：最简单的稠环芳香烃是萘，它的分子结构图与结构简式如下：
若图和图的分子中共含有242个原子，则的值______．
【答案】19
【知识点】图形类规律探索、解一元一次方程（二）——去括号
【分析】本题考查图形变化的规律，能根据所给结构简式，发现原子的个数的规律即可解决问题．
【详解】解：由所给分子结构图及结构简式可知，
图（1）的分子中含原子的个数为：；
图（2）的分子中含原子的个数为：；
图（3）的分子中含原子的个数为：；
…，
所以图（n）的分子中含原子的个数为个．
由图和图的分子中共含有242个原子，
，
解得，
所以m的值为19．
故答案为：19．
31．（24-25六年级上·上海·阶段检测）已知关于的方程有无数多个解，那么__________，___________．
【答案】
【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、已知一元一次方程的解，求参数
【分析】本题主要考查了含有一个未知数的方程有无数个解的条件，正确理解条件是解题的关键．
首先把方程进行化简，方程有无数个解即方程的一次项系数等于0，据此即可求得，的值．
【详解】解：化简得：，
即：，
根据题意得：，且
解得：，
故答案为：，．
32．（25-26六年级下·全国·课后作业）阅读下列解方程的过程，回答问题：
去括号，得，①
移项，得，②
合并同类项，得，③
系数化为1，得，④
上述过程中，第_________步计算出现错误，其错误原因是_________________，第②步的数学依据是_____________________________________．
【答案】 ① 第二个括号去括号时符号错误 等式两边加上同一个数，所得的等式仍是等式
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号
【分析】本题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知数系数化为1，求出解．利用解一元一次方程的步骤检查即可．
【详解】解：上述过程中，第①步出现错误，其错误原因是第二个括号去括号时符号出错，第②步的数学依据是等式两边加上同一个数，所得的等式仍是等式，
故答案为：①；第二个括号去括号时符号错误；等式两边加上同一个数，所得的等式仍是等式．
33．（24-25七年级上·贵州黔东南·期末）已知是关于的方程的解，那么关于的方程的解是_________．
【答案】
【知识点】方程的解、解一元一次方程（二）——去括号
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，确定的值是解题关键．首先将代入方程中并解得，再把代入方程中，然后按照去括号，移项、合并同类项，系数化为1的步骤求解即可．
【详解】解：把代入方程中，
得，整理可得，
解得，
再把代入方程中，
可得，
去括号，可得 ，
移项、合并同类项，得
系数化为1，得 ．
34．（2025·湖南张家界·二模）某同学计算，其中的“”部分是被墨水污染看不清楚的数字．
(1)如果被污染的数字是，请计算的值．
(2)如果翻看参考答案等于6，请求出被污染的数字是几？
【答案】(1)
(2)3
【知识点】含乘方的有理数混合运算、解一元一次方程（二）——去括号
【分析】此题考查了有理数的混合运算，解一元一次方程，熟练掌握运算法则和顺序是关键．
（1）先计算乘方，再计算乘法，最后计算加减法即可；
（2）设被污染的数字为，利用解方程即可求出答案．
【详解】（1）解： ．
（2）解：设被污染的数字为，
由题意得，
解方程得3．
所以被污染的数字为3．
【考点5】解一元一次方程（三）去分母（第35-43题）
· 去分母：两边同乘各分母最小公倍数，每一项都要乘（包括常数项）
· 分子是多项式时整体加括号再去括号，防止符号错误
· 去分母后按去括号→移项→合并→系数化1的顺序求解
· 改错题：指出去分母、去括号等步骤中的错误并改正
35．（25-26七年级下·湖南衡阳·阶段检测）已知方程的解比关于x的方程的解大5，则k的值为（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】B
【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、已知一元一次方程的解，求参数
【分析】先解出第一个方程的解，再根据两个方程解的关系得到第二个方程的解，代入第二个方程即可求出k的值．
【详解】解：先解方程，
去分母得 ，
展开得 ，
移项合并同类项得 ，
解得 ，
∵方程的解比方程的解大5，
∴方程的解为 ，
把代入得，
移项合并同类项得，
解得．
36．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）若代数式和的值相同，则x的值是（ ）
A．9 B． C． D．
【答案】C
【知识点】解一元一次方程（三）——去分母
【分析】此题考查了解一元一次方程．根据题意得到一元一次方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
去分母得，
去括号得，
移项合并同类项得，
系数化为1得，．
故选：C．
37．（24-25七年级下·四川资阳·阶段检测）若关于x的一元一次方程的解是，则k的值是（ ）
A．27 B．1 C． D．0
【答案】B
【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、已知方程的解，求参数
【分析】本题考查一元一次方程的解及解一元一次方程，关键在于熟练掌握解方程的方法．将代入方程解出k值即可．
【详解】解：将代入方程得：，
∴，
整理得：，
解得：．
故选：B．
38．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）小明在解方程：去分母时，方程右边的1没有乘6，因而得到方程的解为，方程正确解为______．
【答案】
【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、已知一元一次方程的解，求参数
【分析】本题考查根据方程的解的情况求参数，解一元一次方程，将错就错，求出的值，再根据正确的步骤解方程即可．
【详解】解：小明的做法是：，
，
，
，
，
，
小明得到方程的解为，
，
，
∴方程为，
，
，
，
，
，
∴方程的正确解为，
故答案为：．
39．（24-25七年级上·吉林长春·阶段检测）以下是圆圆解方程的过程．
去分母，得．
去括号，得．
移项、合并同类项，得．
圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请在上面的解题过程中划出错误的地方，并写出正确的解答过程．
【答案】
圆圆的解答过程有错误，划出错误的地方如下：
去分母，得．
去括号，得．
移项，合并同类项，得．
正确的解答过程如下：
去分母，得．
去括号，得．
移项、合并同类项，得．
【知识点】解一元一次方程（三）——去分母
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，去分母时，等式右边的1没有乘以系数6，去括号时等式左边的1没有乘以系数3，没有乘以系数，等式右边的1应该是6，再按照去括号，去括号，移项，合并同类项的步骤解方程即可．
【详解】略
40．（25-26七年级下·全国·课后作业）解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（三）——去分母
【分析】（1）根据解方程的基本步骤求解即可；
（2）根据解方程的基本步骤求解即可；
【详解】（1）解：，
系数化为1，得；
（2）解：，
去分母，得，
系数化为1，得；
41．（25-26七年级上·全国·课后作业）解下列方程：
(1)．
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母
【分析】本题需按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤求解．
【详解】解：（1）去分母，得．
去括号，得．
移项，得．
合并同类项，得．
故答案为：．
（2）方程整理，得．
去分母，得．
去括号，得．
移项、合并同类项，得．
系数化为1，得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次方程的解法，解题关键是熟练掌握去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤．
42．（25-26七年级下·重庆万州·期中）在解关于x的方程时，小明在去分母的过程中，忘记将方程右边的“”这一项乘以公分母6，求出方程的解为，
(1)求a的值；
(2)写出正确的求解过程．
【答案】(1)
(2)
【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、已知一元一次方程的解，求参数
【分析】（1）理解题意，先整理得，再去括号，移项，合并同类项，得，然后再把代入计算，即可作答．
（2）由（1）得，故，再去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，小明在去分母的过程中，忘记将方程右边的“”这一项乘以公分母6，得，
∴
∴
∴
∴，
∵方程的解为
∴，
则，
解得．
（2）解：由（1）得，
∴，
去分母得，
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
系数化为1得．
43．（2025七年级上·广东深圳·专题练习）解方程：
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
【知识点】解一元一次方程（三）——去分母
【分析】本题考查解一元一次方程，其一般步骤为：去分母，去括号，移项合并，将x系数化为1，求出解．
（1）依次进行去分母，去括号，移项合并和将x系数化为1，即可求解；
（2）依次进行去分母，去括号，移项合并和将x系数化为1，即可求解；
（3）依次进行去分母，去括号，移项合并和将x系数化为1，即可求解；
（4）依次进行去分母，去括号，移项合并和将x系数化为1，即可求解；
（5）依次进行去分母，去括号，移项合并和将x系数化为1，即可求解；
（6）依次进行去分母，去括号，移项合并和将x系数化为1，即可求解．
【详解】（1）解：，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
；
（3）解：，
，
，
，
；
（4）解：，
，
，
，
，
；
（5）解：，
，
，
，
，
；
（6）解：，
，
，
，
，
．
【考点6】已知方程的解求参数·绝对值方程与综合（第44-52题）
· 已知解求参数：代入法，把解代入方程解出参数
· 同解问题：先解出已知方程的解，代入另一个方程求参数
· 绝对值方程：|x|=a型直接写x=±a；复杂型分段讨论去绝对值
· 含参方程解的情况：对ax=b按a是否为0分类讨论
44．（2022九年级·安徽合肥·专题练习）（1）若，则______，_______
（2）若，，且，则___________
【答案】 或
【知识点】绝对值非负性、绝对值方程、有理数加法运算、有理数的减法运算
【分析】（1）利用绝对值的非负性，即可求解和的值；
（2）先根据绝对值的定义求出、的所有可能取值，再根据的条件筛选出符合要求的取值，最后计算得到的结果．
【详解】解：（1） ，且根据绝对值的非负性，可得，，
，；
（2），，
，．
又，
当时，，，均不符合条件，舍去；
当，时，，符合条件，此时；
当，时，，符合条件，此时 ，
综上， 或．
45．（22-23六年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）若是关于x、y的3次单项式，则___________．
【答案】1
【知识点】绝对值方程、单项式的系数、次数
【分析】本题主要考查了单项式的次数．熟练掌握解单项式的次数的定义是解决问题的关键．单项式的次数的定义：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．
根据单项式的次数的定义，且满足系数不为0，得到，，综合解方程和不等式即得．
【详解】∵是关于x、y的3次单项式，
∴，，
∴，，
∴，
∴，或．
∴．
故答案为：1．
46．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如果关于的方程和方程的解相同，那么的值为____________．
【答案】3
【知识点】方程的解、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（三）——去分母
【分析】本题考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程，先解出的值，再代入，即可解出a的值．
【详解】解：∵关于的方程和方程的解相同，
∴由，得
把代入，
得
整理得
即
则
故答案为：3
47．（2025七年级上·全国·专题练习）已知方程与关于x的方程的解相同，则a的值为________．
【答案】
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（三）——去分母
【分析】本题考查了同解方程，先求出同解方程的解，再求出的值．
先解第一个方程得到的值，再把的值代入第二个方程，解关于的方程；
【详解】解：解方程
移项可得
通分得到
即
系数化为1得
因为两个方程的解相同，把代入
得到
去分母得
移项可得
合并同类项得
系数化为1得
故答案为：．
48．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段检测）已知关于x的方程有三个解，则__________.
【答案】
【知识点】一元一次方程解的综合应用
【分析】本题主要考查了含绝对值符号的一元一次方程．根据题意得：，根据绝对值的定义，结合已知条件列出关于a的一元一次方程，求解之后判断答案即可；
【详解】解；根据题意得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，，，
∵关于x的方程有三个解，则有两个相等，
显然，不成立，
若，得到（舍去）；
若，得到，，（舍去）；
若，得到，，，（符合题意）；
若，得到，，（舍去）；
故答案为：．
49．（24-25七年级上·陕西榆林·期末）关于x的方程：的解为，求k的值．
【答案】
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、已知方程的解，求参数
【分析】把解代入方程，解方程求得a值即可．
本题考查了一元一次方程的解即使得方程左右两边相等的未知数的值，解一元一次方程，熟练掌握方程的解，灵活解方程是解题的关键．
【详解】解：把代入，
得，
移项，得，
系数化为1，得．
50．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如图，一组有规律的图案中，第一个图案是1个边长为正方形，周长为，第二个图案是2个边长为的正方形拼接而成，周长为，第三个图案是3个边长为的正方形拼接而成，周长为，……
(1)第5个图案的周长为_____；
(2)第个图案的周长为_____；
(3)图案的周长有可能为吗？如果有可能，求出是第几个图案，如果没有可能，请说明理由．
【答案】(1)12
(2)
(3)可能为，是第1011个图案
【知识点】图形类规律探索、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
【分析】本题考查了图形类规律探索和一元一次方程的应用，正确找到规律是解题的关键；
（1）根据前几个图形周长的数据可以得到：第n个图案是n个边长为的正方形拼接而成，周长是 ，即可求解；
（2）根据（1）的结论即得答案；
（3）根据得到的规律列出方程求解即可进行判断．
【详解】（1）解：第一个图案是1个边长为正方形，周长为，，
第二个图案是2个边长为的正方形拼接而成，周长为，，
第三个图案是3个边长为的正方形拼接而成，周长为，，
……
所以第n个图案是n个边长为的正方形拼接而成，周长是 ，
所以第5个图案的周长为cm；
故答案为：12；
（2）解：由（1）知：第n个图案是n个边长为的正方形拼接而成，周长是 ，
故答案为：；
（3）解：若，解得，
所以图案的周长可能为，是第1011个图案．
51．（25-26七年级下·河南驻马店·阶段检测）关于x的两个一元一次方程与的解互为相反数，求m的值．
【答案】
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、已知一元一次方程的解，求参数
【分析】本题考查一元一次方程的解与解一元一次方程，先解出第一个方程的解，根据两个方程的解互为相反数得到第二个方程的解，再将解代入第二个方程即可求出的值．
【详解】解：解方程
移项得
解得
∵两个方程的解互为相反数
∴方程的解为
把代入
得
整理得
解得．
52．（23-24七年级上·湖南长沙·期中）对于有理数，，，，若，则称和关于的“明德值”为．例如，，则2和3关于1的“明德值”为3．
(1)和3关于1的“明德值”为________；
(2)若和2关于1的“明德值”为3，求的值；
(3)若和关于1的“明德值”为1，和关于2的“明德值”为1，和关于3的“明德值”为1，，和关于50的“明德值”为1，求的值．（用含的式子表示）
【答案】(1)
(2)或
(3)当时，的值为，当时，的值为
【知识点】带有字母的绝对值化简问题、绝对值方程、有理数加法运算、整式的加减运算
【分析】（1）根据“明德值”的定义，进行求解即可；
（2）根据“明德值”的定义，列出方程，进行求解即可；
（3）分或；；；，，四种情况进行求解即可．
【详解】（1）解：和3关于1的“明德值”为：
．
（2）和2关于1的“明德值”为3，
，
整理得：，
或，
解得：或；
（3），
，都不为负数，
分为4种情况，
①当或时，，，，
此时．
②当时，若，则，此种情形不存在．
若，则，，
此时．
③当时，，，，
，，，，
，即；，即；
同理可得：，，，
，，，，，
④当，时，
，，，，
此时\，，，，，
，，，；
综上所述：当时，的值为，
当时，的值为．
【点睛】本题考查化简绝对值，绝对值方程，整式的加减运算，有理数的加减运算，理解并掌握“明德值”的定义，是解题的关键．
课后巩固
复习建议
· 判断一元一次方程：一个未知数、次数1、两边是整式
· 解方程依据等式的两条性质，移项必须变号，同除的数不能为0
· 解方程五步：去分母、去括号、移项、合并、系数化1，去分母每项都要乘
· 已知解求参数用代入法；同解问题分别解出后令解相等
· 绝对值方程先判绝对值内符号，分段讨论并检验解是否落在对应区间
【作业1】．（25-26七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）是下列哪个一元一次方程的解（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】判断是否是方程的解
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解．将代入每个方程，计算左右两边是否相等即可得解．
【详解】解：、把代入方程，左边，右边，左边右边，故本选项不符合题意；
、把代入方程，左边，右边，左边右边，故本选项不符合题意；
、把代入方程，左边，右边，左边右边，故本选项不符合题意；
、把代入方程，左边，右边，左边右边，故本选项符合题意；
故选：．
【作业2】．（24-25七年级下·吉林长春·期中）下列等式变形正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】C
【知识点】等式的性质1、等式的性质2
【分析】本题考查了等式的基本性质，根据等式的基本性质逐项判断即可．
【详解】解：A．若，则，故原等式变形错误，不符合题意；
B． 若，当时，则，故原等式变形错误，不符合题意；
C． 若，则，故原等式变形正确，符合题意；
D． 若，则，故原等式变形错误，不符合题意；
故选：C．
【作业3】．（24-25七年级下·全国·课后作业）方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，把方程的两边都除以2即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
故选：C
【作业4】．（25-26七年级上·江苏泰州·期末）将四个数排列成，并且规定．若的值为6，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解一元一次方程（二）——去括号
【分析】本题考查解一元一次方程．根据题目规定的新运算规则列出方程，再求解一元一次方程即可得到x的值．
【详解】解：∵，且的值为6
∴，
∴，
∴，
∴，即
解得，
故选：B．
【作业5】．（25-26七年级上·全国·课后作业）若关于的方程的解是整数，则整数的取值有（ ）
A．6个 B．5个 C．3个 D．2个
【答案】A
【知识点】已知一元一次方程的解，求参数
【分析】本题考查了解含参一元一次方程的整数解问题，把字母当成已知数解方程，再根据为整数确定的值，最后统计的个数即可．
【详解】解：可化为：
，
即：.
.
又为整数，
或或.
故选：．
【作业6】．（24-25六年级上·上海·阶段检测）一元一次方程的一次项是______．
【答案】
【知识点】判断是否是一元一次方程
【分析】本题考查了一元一次方程的定义．熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．根据一元一次方程中，一次项为作答即可．
【详解】解：一元一次方程的一次项是．
故答案为：．
【作业7】．（24-25七年级上·全国·课后作业）将方程变形得，这一步的依据是____；
【答案】等式的基本性质
【知识点】等式的性质
【分析】本题考查了等式的性质，一元一次方程中的移项是将含有未知数的移动到等号的左边，不含未知数的项移动到等号右边，根据等式的性质，移项要变号．
【详解】解：将方程变形得，这种变形属于移项，其依据是等式的基本性质，
故答案为：等式的基本性质．
【作业8】．（2025七年级上·全国·专题练习）已知等式，那么______； ______．
【答案】
【知识点】等式的性质1、等式的性质2
【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．
根据等式的性质，等式两边同时加上或乘以同一个数，等式仍然成立解答即可．
【详解】已知，根据等式性质，等式两边同时加上，得，故第一个空白处为；
等式两边同时乘以，得，故第二个空白处为；
故答案为：；．
【作业9】．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）方程的解为_____．
【答案】
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
【分析】本题考查解一元一次方程，按照去括号，移项，合并同类项，系数化1的顺序求解即可．
【详解】解：去括号得，，
移项，合并同类项得，，
系数化1得，，
故答案为：．
【作业10】．（22-23七年级下·四川内江·期中）当____时，代数式与代数式的值相等．
【答案】3
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
【分析】本题考查解一元一次方程．熟练掌握解一元一次方程的方法，代数式求值的方法是解题的关键．根据题意可列方程，再解一元一次方程即可．
【详解】当代数式与代数式的值相等时，，
移项得，，
合并同类项得，，
两边都除以得，．
故答案为：3．
【作业11】．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段检测）整式的值随x取值的不同而不同，表格是当x取不同的值时对应的整式值，则关于x的方程的解为______．
x … 0 1 3 …
… 1 3 7 …
【答案】
【知识点】解一元一次方程（二）——去括号
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据表格可得当时，，那么把所求方程中的看做一个整体可得到，解方程即可得到答案．
【详解】解：由表格可知，当时，，
∵，
∴把所求方程中的看做一个整体可得到，
∴，
∴关于x的方程的解为，
故答案为：．
【作业12】．（25-26七年级上·全国·期末）在解方程时，小明去分母时出现错误，得到，因而求得方程的解为，方程正确的解应为___________．
【答案】
【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母、已知一元一次方程的解，求参数
【分析】本题考查方程的解及解一元一次方程，熟记一元一次方程的解法步骤是解决问题的关键．
先将小明解的错解代入方程，求出参数，再解一元一次方程即可得到答案．
【详解】解：小明解得到，
将代入方程得，
即，
解得，
将代入原方程，
得，
去分母得，
即，
整理得，
移项得，
即，
，
故答案为：．
【作业13】．（24-25六年级上·上海黄浦·期末）若关于x的方程是一元一次方程，则______．
【答案】
【知识点】绝对值方程、判断是否是一元一次方程
【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，绝对值方程等知识点，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键：只含有一个未知数、并且含未知数的项的次数是1次的整式方程叫做一元一次方程．
根据一元一次方程的定义可得关于的绝对值方程，解方程即可求出的值．
【详解】解：关于x的方程是一元一次方程，
，，
解得：，
故答案为：．
【作业14】．（25-26七年级上·全国·课后作业）（1）已知，试比较x与y的大小．
（2）已知，利用等式的基本性质说明．
【答案】（1）；
（2）去括号，得．
等式两边都加上
，得．
等式两边都减去
，得．
等式两边都除以
，得． 即．
【知识点】等式的性质1、等式的性质2
【分析】本题考查了等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键．
直接利用等式的性质和等式的性质解题即可．
【详解】解：（1）等式的两边都减去，得．
等式的两边都减去，得．
等式的两边都减去，得．故．
（2）略
【作业15】．（25-26七年级上·全国·课后作业）解方程：
(1)．
(2) ．
【答案】(1)
(2)
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握是解决本题的关键．
（1）方程移项合并，将x系数化为1，即可求出解；
（2）方程移项合并，将x系数化为1，即可求出解．
【详解】（1）解：移项，得．
合并同类项，得．
（2）解：移项，得．
合并同类项，得．
系数化为1，得．
【作业16】．（06第一节一次方程（组）及其应用）解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1．
（1）先去括号，然后移项合并同类项即可；
（2）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，最后未知数系数化为1．
【详解】（1）解：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：．
（2）解：，
方程两边同乘10，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：．
【作业17】．（24-25七年级上·福建莆田·阶段检测）解方程：
【答案】
【知识点】解一元一次方程（三）——去分母
【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤并灵活运用是解题的关键．去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解．
【详解】解：，
去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：．
【作业18】．（23-24七年级上·湖南株洲·期末）解方程：
【答案】
【知识点】解一元一次方程（三）——去分母
【分析】本题主要考查解一元一次方程，根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的方法即可求解，掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．
【详解】解：
去分母得，
去括号得，
移项得，
合并同类项得，，
系数化为1得，．
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