资源简介

第7讲·整式及其性质·培优讲义
（知识梳理+典例+压轴+练习）·2026-2027人教版七年级数学上册
参考答案与试题解析
思维导图
课程目标
· 理解单项式的概念，能准确说出单项式的系数与次数
· 理解多项式的概念，会确定多项式的项、项数与次数
· 掌握整式的概念与分类，会判断同类项
· 掌握用代数式表示数量关系，会求代数式的值
· 能通过观察与归纳探索数字、图形的规律并用代数式表示
知识梳理
☆ 1.单项式的概念与系数次数
单项式：由数或字母的积组成的代数式叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式
系数：单项式中的数字因数称为单项式的系数（含符号）；次数：所有字母的指数和称为单项式的次数
π是数不是字母，含有π的单项式其π部分计入系数；分母中含字母的式子不是单项式
判断单项式：不含加减运算、分母中不含字母；注意带省略乘号的式子如2xy是单项式
概念辨析例题：单项式-x2y3的系数是____，次数是____。
答案：系数是-，次数是5
解析：数字因数-是系数（含负号）；字母x、y的指数分别为2、3，次数为2+3=5，注意次数是字母指数和而非项数。
☆ 2.多项式的概念与次数
多项式：几个单项式的和叫多项式，其中每个单项式叫多项式的项，不含字母的项叫常数项
多项式的次数：多项式中次数最高项的次数，不是所有项的次数之和
多项式的项数：多项式包含的单项式的个数，需注意带符号
单项式与多项式统称整式：分母不含字母、且只含加减乘除（除数不含字母）运算的代数式
概念辨析例题：多项式2x3-x2y+3y-1是几次几项式？常数项是什么？
答案：三次四项式；常数项是-1
解析：各项次数分别为3、3（x2y中2+1=3）、1、0，最高次数为3；共有四个项2x3、-x2y、3y、-1，故为三次四项式，常数项为-1。
☆ 3.整式的分类与同类项
整式分为单项式与多项式两大类，判断一个代数式是否为整式看分母是否含字母
同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫同类项；常数项都是同类项
几个常数项也是同类项；同类项只与字母及指数有关，与系数大小、字母顺序无关
π是常数系数，含π的项与同字母、同字母指数的项是同类项（如πx 与3x 是同类项）
概念辨析例题：下列各组中，是同类项的是（　　）A．2a2b与2ab2　B．3x与3y　C．-5与　D．x2y与x2z
答案：C
解析：同类项要求所含字母相同且相同字母的指数分别相同。A中a、b指数互换不同；B字母不同；D字母不同；C中两个都是常数项，是同类项。
☆ 4.代数式表示与规律探索
用代数式表示：把文字语言转化为符号语言，注意运算顺序与括号的合理使用
求代数式的值：先代入再计算，注意负数、分数代入时要加括号
数字规律：观察相邻项的差、倍、幂等变化，用含n的式子表示第n项
图形规律：从图形排列中数出个数与序号n的关系，通常与单项式、多项式知识结合
概念辨析例题：按一定规律排列的单项式：a，a2，a3，a4，…，第n个单项式是什么？
答案：第n个单项式是an
解析：观察序号与指数的对应关系：第1个是a1，第2个是a2，…，即序号n对应指数n，故第n个单项式为an。
知识总结表
核心概念 定义/公式 注意事项
单项式 数或字母的积，单独数或字母也是 分母不含字母，π是数不是字母
单项式的系数 数字因数（含符号） -x2y的系数是-
单项式的次数 所有字母的指数和 如x2y3次数为5
多项式 几个单项式的和 项要带符号，含常数项
多项式的次数 次数最高项的次数 不是各项次数之和
同类项 字母相同且相同字母指数相同 与系数、字母顺序无关，常数项都同类
核心考点
【考点1】单项式的概念与性质（第1-10题）
· 判断单项式：看是否只含乘除（除数不含字母），分母含字母的不是单项式
· 系数是数字因数且含符号，次数是字母指数和；π按数字处理
· 「下列说法正确的是」类题逐个判断：系数、次数、是否单项式逐一核对
· 含参单项式：利用系数或次数条件列方程，解后回代检验
1．（23-24七年级上·云南昭通·期末）下列说法正确的是（ ）
A．的次数是2 B．单项式b的系数是1，次数是0
C．的系数是 D．是单项式
【答案】C
【知识点】单项式的系数、次数
【分析】本题主要考查单项式，确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
【详解】解：A. 的次数是3，故此选项不符合题意；
B. 单项式b的系数是1，次数是1，故此选项不符合题意；
C. 的系数是，故此选项符合题意；
D. 不是单项式，故此选项不符合题意。
故选：C
2．（24-25七年级上·河南郑州·期中）单项式的系数是（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【知识点】单项式的系数、次数
【分析】根据单项式的系数定义解答即可．
本题考查了单项式的基本概念，熟练掌握单项式的系数定义是解题的关键．
【详解】解：根据题意，单项式的系数是．
故选B．
3．（25-26七年级上·辽宁大连·期中）单项式的次数是（ ）
A． B．3 C．5 D．6
【答案】D
【知识点】单项式的系数、次数
【分析】此题考查单项式有关概念，根据单项式次数的定义来求解，解题的关键是灵活掌握单项式的次数的定义，单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．
【详解】解：单项式的次数是．
故选：D．
4．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．的系数是 B．的次数是3
C．的常数项是2 D．与是同类项
【答案】B
【知识点】单项式的系数、次数、多项式的项、项数或次数、同类项的判断
【分析】本题考查了单项式的系数和次数，多项式的项，同类项的定义，掌握这些知识是解题的关键．
单项式中数字因数叫做这个单项式的系数，所有字母的指数之和叫做单项式的次数；多项式中不含字母的项叫做常数项，所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式叫做同类项，据此逐一分析判定即可．
【详解】解：A. 的系数是，错误，该选项不符合题意；
B. 的次数是，正确，该选项符合题意；
C. 的常数项是，错误，该选项不符合题意；
D. 与不是同类项，错误，该选项不符合题意；
故选：B．
5．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）关于整式的概念，下列说法正确的是（ ）
A．的系数是 B．的次数是5
C．2是单项式 D．是五次三项式
【答案】C
【知识点】单项式的判断、单项式的系数、次数、多项式的项、项数或次数
【分析】本题系数考查多项式，单项式的有关概念，关键是掌握：单项式，单项式的系数，次数的定义，多项式的次数，项数的定义．
数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式，单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，单项式的个数就是多项式的项数，由此即可判断．
【详解】解：A．单项式的系数是，故A不符合题意；
B．的次数是，故B不符合题意；
C． 是单项式，正确，故符合题意；
D．是三次三项式，故D不符合题意．
故选：C．
6．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）下列说法：多项式是二次三项式；单项式的系数是；5是单项式； 是多项式．其中正确的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】单项式的判断、单项式的系数、次数、多项式的判断、多项式的项、项数或次数
【分析】本题考查单项式与多项式的相关概念，只需根据相关定义逐一判断每个说法即可．
【详解】解：多项式是三次三项式，原说法错误；
单项式的系数是，说法正确；
5是单项式，说法正确；
是多项式，说法正确．
综上，正确的是②③④，故选C．
7．（24-25七年级上·全国·课后作业）有下列式子：①；②；③；④；⑤1；⑥；⑦；⑧．其中属于单项式的有__________．（填序号）
【答案】①②④⑤
【知识点】单项式的判断
【分析】本题题主要考查了单项式 ，解题关键是明确单项式的概念；根据数与字母的乘积的形式表示的代数式叫作单项式，逐个进行判断即可．
【详解】①，是单项式；
②，是单项式；
③，不是单项式；
④，是单项式；
⑤1，是单项式；
⑥，不是单项式；
⑦，分母含有未知数不是整式，故不是单项式；
⑧，分母含有未知数不是整式，故不是单项式．
故答案为：①②④⑤．
8．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）若单项式的系数是，次数是，则的值为_____．
【答案】6
【知识点】单项式的系数、次数
【分析】本题考查单项式的系数和次数的定义．
系数是单项式中的数字因数，次数是所有字母的指数之和．
【详解】解：单项式的系数是，即；
次数是的指数与的指数之和，即；
因此，．
故答案为：6．
9．（23-24七年级上·北京东城·期中）写出一个只含有字母，的单项式，使它的系数是负数，次数是5，这个单项式可以是：______．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】单项式的系数、次数
【分析】本题主要考查单项式的系数与次数，熟练掌握单项式的系数与次数是解题的关键；所以此题可根据单项式的系数是指字面前面的数，次数指的是所有字母指数之和，由此问题可求解．
【详解】解：由题意可得这个单项式可以为；
故答案为（答案不唯一）．
10．（23-24七年级上·云南德宏·期末）写出系数为，含有字母，的三次单项式________．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】写出满足某些特征的单项式
【分析】本题考查单项式的定义，由数或字母的乘积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式，单项式中数字因数叫做单项式的系数（当系数为1或时，1可以省略不写）．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．
【详解】解：系数为，含有字母，的三次单项式：
故答案为：（答案不唯一）
【考点2】多项式的概念与性质（第11-15题）
· 确定项数先找加减号分隔，注意带符号读出每一项
· 次数取最高次项的次数，写几次几项式时两项信息都要完整
· 多项式系数问题：由某项系数或次数列方程求参数
· 整式概念辨析：分母含字母不是整式，根号内字母也不是整式
11．（23-24六年级上·山东淄博·期末）下列说法中：（1）表示负数；（2）多项式的次数是4；（3）单项式的系数为；（4）若，则．正确的个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【知识点】正负数的定义、绝对值的几何意义、单项式的系数、次数、多项式的项、项数或次数
【分析】本题考查了负数的定义、绝对值的意义、多项式与单项式的知识，掌握多项式与单项式相关知识是解题的关键；
根据小于0的数是负数，可判断（1）；根据多项式的次数是多项式中最高次项的次数，据此判断（2）；根据单项式的系数是单项式中的数字因数，据此判断（3）；根据负数的绝对值是他的相反数，0的相反数是0，即可判断（4）．
【详解】解：（1）小于0的数是负数，故（1）说法错误；
（2）多项式的次数是4，故（2）说法正确；
（3）单项式的系数为，故（3）说法错误；
（4）若，则，故（4）说法错误．
故选：B．
12．（25-26七年级上·全国·期末）如果整式是三次三项式，那么n等于_____．
【答案】5
【知识点】多项式的项、项数或次数
【分析】本题主要考查了多项式的次数和项数的定义，掌握三次三项式是指次数最高项的次数为3且共有三项的整式是解题的关键．
根据多项式的次数和项数的定义求解即可．
【详解】解：∵整式是三次三项式，
∴最高次项的次数为3，即，解得．
故答案为：5．
13．（23-24七年级下·湖南衡阳·开学考试）已知有理数和有理数满足多项式，是关于的二次三项式，则______．
【答案】
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、多项式的项、项数或次数、多项式系数、指数中字母求值
【分析】本题主要考查了多项式的定义，熟练掌握若干个单项式的和组成的式叫做多项式，多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数．不含字母的项叫做常数项是解题的关键．根据多项式的定义解决此题．
【详解】解： 是关于的二次三项式，
的系数为0，即，
，
当时，，
若，则，不符合题意，
，即，或，即
或或，
当时，，不符合题意，
当时，，符合题意，
当时，，不符合题意，
综上，，
∴．
故答案为：．
14．（24-25六年级下·上海·开学考试）指出下列一次式的一次项、常数项和一次项的系数：
、、、、
【答案】
的一次项为，常数项为，一次项的系数为；
的一次项为，常数项为，一次项的系数为；
的一次项为，常数项为，一次项的系数为；
的一次项为，常数项为，一次项的系数为；
的一次项为，常数项为，一次项的系数为．
【知识点】单项式的系数、次数、多项式的项、项数或次数
【分析】本题主要考查整式的知识，掌握单项式的系数，次数，多项式的项的定义是解题的关键，根据一次项，常数项，一次项系数的定义“只含有一个字母，且字母的指数是1，叫作一次项；不含字母的项叫作常数项，一次项中的数字因数叫作项的数字系数，简称系数”即可求解．
【详解】略
15．（23-24七年级上·广东广州·期中）已知关于x的多项式．
(1)若m是最大的负整数，的相反数是它本身，求这个多项式；
(2)若该多项式不含三次项和常数项，求的值．
【答案】(1)
(2)16
【知识点】相反数的定义、已知字母的值 ，求代数式的值、多项式的项、项数或次数、整式加减的应用
【分析】（1）根据m是最大的负整数，的相反数是它本身，求出，，然后代入得出多项式即可；
（2）根据该多项式不含三次项和常数项，求出m、n的值，然后代入求值即可．
【详解】（1）解：∵m是最大的负整数，的相反数是它本身，
∴，，
解得：，
∴这个多项式为：
．
（2）解：
，
∵该多项式不含三次项和常数项，
∴，，
解得：，，
∴
．
【点睛】本题主要考查了代数式求值，有理数分类，多项式的相关定义，相反数的定义，解题的关键是熟练掌握相关的定义，求出对应的m、n的值．
【考点3】整式的判断·代数式表示与求值（第16-19题）
· 整式与分式的判断关键看分母是否含字母
· 用代数式表示：抓关键词（和、差、倍、商），注意运算顺序
· 已知字母值求代数式：直接代入，负数分数加括号
· 由条件式变形求值：整体代入思想是常见技巧
16．（2025·重庆·模拟预测）已知整式，其中， ，为正整数，且．下列说法：①当时，则满足条件的所有整式有且仅有10个；②记所有整式的和为S，若为整数，则满足条件的所有整数x之和为；③当时，则满足条件的所有整式有且仅有7个．其中正确的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】数字类规律探索、整式加减的应用
【分析】本题综合考查了整式的定义，多项式与单项式的定义，合并同类项，解题的关键是掌握整式的定义．
根据每个说法所给的条件，利用规律逐项讨论并判断即可解答．
【详解】解：①：时， 为正整数且，取值序列有
共10个，
∴该选项正确；
②：有三种情况:，和，，
为整数时，
整除5，，和为，
∴该选项正确；
③: n整除24，由题意和可知：
当时，，不满足；
当时，，不存在满足的正整数；
故的取值只能为：，
时对应序列:;
时对应序列:;
时对应序列:和;
时对应序列:;
时对应序列:（11个1）;
时对应序列:全1，共7个序列，
∴ 该选项正确；
正确的选项有①、②、③；
故选：D．
17．（2024·安徽·一模）用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地面：
(1)观察图形，填写下表：
图形 ① ② ③ …
黑色瓷砖的块数 4 7 ______ …
黑白两种瓷砖的总块数 9 15 ______ …
(2)依上推测，第n个图形中黑色瓷砖的块数为______，黑白两种瓷砖的总块数为______（用含n的代数式表示）；
(3)白色瓷砖与黑色瓷砖的总块数可能是2024块吗？若能，求出是第几个图形；若不能，请说明理由．
【答案】(1)10，21
(2)
(3)不能，
理由如下：
假设白色瓷砖与黑色瓷砖的总块数是2024块，
则可得：，
即，
∴，不是整数
因为2024不能被6整除，所以假设不成立．
【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值、图形类规律探索
【分析】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．
（1）第一个图形有黑色瓷砖4块，黑白两种瓷砖的总块数为9；第二个图形有黑色瓷砖7块，黑白两种瓷砖的总块数为15；第三个图形有黑色瓷砖10块，黑白两种瓷砖的总块数为21；由此填表即可；
（2）由（1）可知每一个图形的黑色瓷砖块数比前一个图形多3，总块数多6，由此求得答案即可；
（3）利用（2）的规律根据“白色瓷砖与黑色瓷砖的总块数是2024块”这个假设成立，联立方程，求得整数解就能，否则不能．
【详解】（1）解：填表如下：
图形 ① ② ③ …
黑色瓷砖的块数 4 7 10 …
黑白两种瓷砖的总块数 9 15 21 …
故答案为：10，21；
（2）解：第一个图形：黑色瓷砖的块数为，黑白两种瓷砖的总块数为；
第二个图形：黑色瓷砖的块数为，黑白两种瓷砖的总块数为；
第三个图形：黑色瓷砖的块数为，黑白两种瓷砖的总块数为；
……
第n个图形中黑色瓷砖的块数为；黑白两种瓷砖的总块数为，
故答案为：
（3）略
18．（25-26七年级上·山东枣庄·期末）在北师大七年级上册第三章《问题解决策略：归纳》中，我们学习了采用归纳的策略来探究具体问题的解决方法．即从几种特殊情形出发，通过归纳验证，进而找到一般规律的过程．下面我们用相应的方法来解决下面的问题．
【问题探究】
将一根足够长的绳子按如图①所示的方法折成三段，当用剪刀如图②中那样沿虚线把绳子剪刀时，绳子变为段；当用剪刀如图③那样沿虚线把绳子剪刀时，绳子变为段；依次类推．
（1）如图④，用剪刀沿虚线将绳子剪刀时，绳子变为______．
按照相应的方法，用剪刀将绳子剪刀时，绳子变为______．
按照相应的方法，用剪刀将绳子剪刀时，绳子变为______．
（2）如果把绳子折成如图⑤所示的四段，按照上面的方法去剪，得到绳子的段数恰好是段．求共剪了几刀？
【归纳总结】
（3）请根据上面的操作继续探究，归纳出将一根绳子折成段，用剪刀剪刀，绳子变为多少段？
【答案】（1），，；（2）当剪刀时，绳子变为段；（3）将绳子折成段，剪刀，绳子变为段
【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索、其他问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了图形的变化规律，用代数式表示规律，一元一次方程的应用．
（1）将一根绳子折成段，剪刀，绳子变为段；剪刀，绳子变为段；……依此类推，找出规律，即可求解；
（2）结合（1）中的规律，得出绳子折成四段，剪刀，绳子变为段，列出方程，即可求解；
（3）用表格表示出规律，即可求解．
【详解】解：（1）剪刀，绳子变为段，；
剪刀，绳子变为段，；
剪刀，绳子变为段；
剪刀，绳子变为段；
剪刀，绳子变为段；
……
剪刀，绳子变为段．
故答案为：，，．
（2）结合（1）中的规律，得出绳子折成四段，剪刀，绳子变为段，
设剪刀时，绳子变为段，根据题意可得：
，
解得：，
故当剪刀时，绳子变为段．
（3）由上面的探究可得：
剪刀 剪刀 剪刀 … 剪刀
绳子折成段 …
绳子折成段 …
绳子折成段 …
… … … … … …
绳子折成段 …
归纳得到结论：将绳子折成段，剪刀，绳子变为段．
19．（25-26八年级上·江西赣州·期末）数学活动：巧分图形探奥秘．
明确概念：多边形的三角剖分是指用连接不相邻顶点的线段将多边形分割成若干个三角形，且这些线段在多边形内部不相交．
探究规律1：（1）根据三角剖分概念完成以下表格：
多边形 （边数为n） 三角形 四边形 五边形 六边形 七边形 n边形
剖分出三角形的个数
（2）对一个多边形进行三角剖分，则恰好将多边形剖分为个三角形．它是 边形；
探究规律2：多边形的三角剖分方法数
瑞士数学家欧拉研究三角剖分问题时得到递推公式：时， 其中规定：， 表示边形的不同三角剖分方法数；
（3）利用上述三角剖分公式，请计算四边形和五边形的三角剖分方法数 ，．
【答案】（1）（2） （3），
【知识点】用代数式表示数、图形的规律、图形类规律探索、对角线分成的三角形个数问题
【分析】本题考查了数字变化的规律及数学常识，准确的计算是解题的关键；
（1）根据图形规律完成表格；
（2）根据规律求得多边形边数；
（3）根据所给公式计算得出结论．
【详解】解：（1）由图可知：六边形：；七边形：；边形：；
故答案为：；
（2）∵，
∴，
故答案为：；
（3）∵时， 其中规定：，
∴，
∴，
∵，
∴.
【考点4】单项式规律与数字规律探索（第20-33题）
· 单项式规律：分别观察系数（含符号）与字母指数的变化规律
· 数字规律：先看相邻差（等差）、比值（等比）或幂，再归纳通项
· 周期规律：找循环节长度，用序号对周期取余定位
· 写出第n个式子后，代入n=1、2检验与已知前几项是否吻合
20．（24-25七年级上·山东济宁·阶段检测）如表，从左到右在每个小格子中都填入一个正数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2024个格子的数为（ ）
3 2
A．3 B．2 C．0 D．
【答案】D
【知识点】数字类规律探索
【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，根据题意可得格子中的数3，，2循环出现，再由循环规律求解即可．
【详解】解：∵任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，
∴，，
∴，，
∴数据从左到右依次为：3、、b、3、、b、…，
∴第9个数与第3个数相同，
∵第9个数是2，
∴，
∴格子中的数每3个数为一个循环，按3，，2依次出现，
∵，
∴第2024个格子的数为，
故选：D．
21．（24-25八年级下·广西贺州·期末）已知；；；，则的值为（ ）．
A．1012 B．1013 C．1015 D．1016
【答案】B
【知识点】求一个数的算术平方根、数字类规律探索
【分析】本题考查了数字类规律探索，算术平方根，根据已知等式发现一般规律是解题关键．观察已知等式发现，连续奇数的和的平方根等于奇数的个数，则，解求解．
【详解】解：观察已知等式发现，连续奇数的和的平方根等于奇数的个数，
1个奇数的和：；
2个奇数的和：；
3个奇数的和：；
4个奇数的和：
……
归纳可得：，
若，解得：，
则，
故选：B．
22．（2026·云南·模拟预测）按一定规律排列的单项式：，，，，…，则第个单项式是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】用代数式表示数、图形的规律、单项式规律题
【详解】解：观察题干的数列，可总结出规律如下：
第个单项式，其系数为，字母的次数为，字母的次数为，
∴第个单项式为．
23．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）已知整数，，，，满足下列条件：，，，以此类推，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】数字类规律探索
【分析】本题考查数字的变化规律问题，根据前几个数字比较后发现：从第二个数字开始，如果顺序数为偶数，最后的数值，进而可求解，解题关键是通过题中要求列出前几项数字寻找规律．
【详解】解：由题意得：
，
，
，
，
，
，
……
由此可得规律：
从第二个数字开始，如果顺序数为偶数，最后的数值是其顺序数的一半的相反数，即，
，
故选B．
24．（23-24六年级上·山东泰安·期末）观察下列关于 的单项式，探究其规律 按照上述规律，第2024个单项式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】单项式规律题
【分析】本题主要考查了探究单项式规律问题，能找出第个单项式为是解题的关键．
通过分析单项式系数与次数，总结出规律：第个单项式为，把代入即可求解．
【详解】解：第1个单项式：，
第2个单项式：，
第3个单项式：，
第4个单项式：，
第5个单项式：，
第6个单项式：，
，
第个单项式：；
第2024个单项式为：，
故选：B．
25．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取，则如图，
若，则第2023次“F运算”的结果是_____．
【答案】152
【知识点】数字类规律探索
【分析】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，找到规律是解题的关键．根据题意，可以写出前几次的运算结果，从而可以发现数字的变化特点，然后即可写出第2021次“F运算”的结果．
【详解】解：本题提供的“F运算”，需要对正整数n分情况（奇数、偶数）循环计算，由于为奇数应先进行F①运算，
即（偶数），
需再进行F②运算，
即（奇数），
再进行F①运算，得到（偶数），
再进行F②运算，即（奇数），
再进行F①运算，得到（偶数），
再进行F②运算，即，
再进行F①运算，得到（偶数），…，
即第1次运算结果为152，…，
第4次运算结果为31，第5次运算结果为98，…，
可以发现第6次运算结果为49，第7次运算结果为152，
则6次一循环，
，
则第2023次“F运算”的结果是152．
故答案为：152．
26．（25-26七年级上·山东滨州·阶段检测）某大学校园餐厅把密码做成了数学规律题，如图所示，小王在餐厅就餐时，思索了一会，顺利地连接到了餐厅的网络，那么他输入的密码是___________．
【答案】201516
【知识点】数字类规律探索
【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据题意发现等式两边数字之间的关系是解题的关键．
根据所给图形，发现等式两边数字之间的关系即可解决问题．
【详解】解：由题知，
∵，
∴密码的最左边两位数字为：．
∵，
∴密码的中间两位数字为：．
∵，
∴密码的最右边的两位数字为：，
∴密码为：201516．
故答案为：201516．
27．（25-26七年级上·福建莆田·阶段检测）有一列单项式按如下规律排列：，，，，，则第10项可以表示成______．
【答案】
【知识点】单项式规律题
【分析】本题考查了单项式规律探究．观察单项式的系数和指数的规律，系数绝对值与项数相同，符号正负交替，指数与项数相同．
【详解】解：设第项的系数为，指数为，则第项为．
则第10项可以表示成
故答案为：．
28．（24-25七年级上·全国·期末）观察下列关于的单项式，探究其规律，，，，，，，……按照上述规律，第2024个单项式是______．
【答案】
【知识点】单项式规律题
【分析】本题考查了规律型—数字的变化类、单项式．根据前几个单项式，找出关于x的单项式的规律，据此即可求解．
【详解】解：观察关于x的单项式可知：
，，，，，，，
发现规律：第n个单项式为：，
所以第2024个单项式是：．
故答案为：．
29．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）如图所示的运算程序中，若开始输入x的值为100，我们发现第一次输出的结果为50，第二次输出的结果为25，第三次输出的结果为28，…，则第2024次输出的结果为___________．
【答案】1
【知识点】数字类规律探索
【分析】本题考查程序流程图与代数式求值，数字类规律探究，求出前几个数字，得到从第五次开始，运算结果以为一个循环节，进行循环，进而求出第2024次输出的结果即可．
【详解】解：第1次输出结果为：50，
第2次输出结果为：25，
第3次输出结果为：，
第4次输出结果为：，
第5次输出结果为：，
第6次输出结果为：，
第7次输出结果为：，
第8次输出结果为：，
第9次输出结果为：，
第10次输出结果为：，
第11次输出结果为：，
第12次输出结果为：，
第13次输出结果为：，
第14次输出结果为：，
，
∴从第9次开始，运算结果以为一个循环节，进行循环，
∵，
∴第2024次输出的结果为1；
故答案为：1．
30．（25-26九年级下·四川成都·阶段检测）2026年1月的日历如图所示，已知某镇的集市每5天举办一次，从2026年1月3日开始第一次集市，第二次集市时间为2026年1月8日…以此类推，则2026年的最后一次集市是星期______．
【答案】二
【知识点】数字类规律探索
【分析】根据题意可求出除2026年1月3日的这次集市外，还要举办72次集市，那么可求出最后一次举办集市与第一次举办集市的间隔时间，再根据一周有七天列式求解即可．
【详解】解：∵2026年是平年，
∴2026年全年一共365天，
∵，
∴除2026年1月3日的这次集市外，还要举办72次集市，
∵，且2026年1月3日是星期六，
∴2026年的最后一次集市是星期二．
31．（25-26七年级上·安徽·期中）下列三行数按一定的规律排列，请你仔细观察并完成探究．
第一行：1，，4，，16，，… ；
第二行：，4，，16，，64，… ；
第三行：3，，9，，33，，… ；
（1）第一行第10个数为______；
（2）每一行第9和第10个数的总和是____
【答案】
【知识点】有理数的乘方运算、有理数四则混合运算、数字类规律探索
【分析】本题主要考查了数字类规律的探索，有理数的乘方和加减运算，解题的关键是找出数字的规律．
（1）找出数字的规律为，然后运用有理数的乘方法则求出第10个数即可；
（2）找出每一行数字的规律，分别求出第9和第10个数的和，最后求出总和即可．
【详解】解：（1）根据给出数列的规律可得，第一行第个数为，
∴当时，，
即第一行第10个数为，
故答案为：；
（2）第一行第9个数为，第10个数，和为；
根据给出数列的规律可得，第二行第个数为，
∴第二行第9个数为，第10个数，和为；
根据给出数列的规律可得，第三行第个数为，
∴第三行第9个数为，第10个数，和为；
∴每一行第9个数和第10个数的总和为，
故答案为：．
32．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）符号“”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
（1），，，，…
（2），，，，…
利用以上规律计算：____．
【答案】
【知识点】数字类规律探索
【分析】本题主要考查了数字类规律探究，有理数混合运算．根据（1）得，根据（2）可得，结合公式计算即可．
【详解】解：∵，
，
，
，…
∴，
∵，
，
，
，…
∴，
∴
，
故答案为：．
33．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）观察下列式子中的运算规律：
①；
②；
③；
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第4个等式 ；
(2)设表示自然数，请把第个等式表示出来，并利用所学知识说明这个等式的正确性．
【答案】(1)
(2)
猜想：第个等式为，
证明：等式左边：．
∴等式左右两边相等，
∴第个等式为．
【知识点】数字类规律探索、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查的是整式的混合运算、数字的规律探究；
（1）由所给三个等式可得，被减数是从3开始连续奇数的平方，减数是被减数的底数的2倍减1，计算的结果是从1开始连续自然数的平方的4倍，由此规律得出答案即可．
（2）根据（1）发现的规律用字母表示变化规律，根据完全平方公式计算，即可证明．
【详解】（1）解：由题意得：第4个等式为，
故答案为：；
（2）略
【考点5】数字规律综合与新定义（第34-38题）
· 新定义运算：严格按定义规则代换，注意运算顺序与括号
· 表格、程序图规律：找准初始值与每次变化量
· 综合规律题先分组（奇偶项、分段），再分别归纳
· 验证答案：代入特殊值检验归纳式的正确性
34．（24-25八年级上·湖北咸宁·期末）在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，揭示了（为非负整数）展开式的系数规律，后人也称为“杨辉三角”．如图，此三角形中第3行的3个系数1，2，1，恰好对应着展开式中各项的系数，类似规律如下：；；……，则展开式中，所有项的系数和是______．
【答案】512
【知识点】数字类规律探索、多项式乘法中的规律性问题
【分析】本题主要考查了数字类规律题，根据题意可知各项系数之和为，然后把代入计算即可．
【详解】解：各行系数和：当时：所有项系数之和为：，
当时，所有项系数之和为：，
当时，所有项系数之和为：，
当时，所有项系数之和为：，
…
可知，当时，各项系数之和为：，
故答案为：512．
35．（24-25九年级上·重庆开州·阶段检测）对于一个四位正整数，若它的各位上数字均不为零且互不相等，千位数字与个位数字之和为9，十位数字比百位数字大2，则称这个四位正整数A是“玖贰数”则符合条件的A的最大数为______，，，若能被7整除，则所有满足条件的四位正整数A的和为______．
【答案】
【知识点】数字类规律探索、整式加减的应用、不等式的性质
【分析】此题考查了数字类规律题，整式加减的应用、不等式的应用等知识，根据题意求出当时，A的最大数为，根据题意求出当，则或，当，则或，进一步求出所有满足条件的四位正整数A，即可求出所有满足条件的四位正整数A的和．
【详解】解：∵四位正整数是“玖贰数”．
∴，
∴，
∵
∴，，，
∴，，，
可得到A为，
当时，A的最大数为；
∵，
∵，，
∴，，
∴，，
∵能被7整除，
∴当，则或，
当，则或，
当时，，不符合题意；
当时，
∴
当时，或1，
∴此时或
∴此时四位正整数A为3576或1578；
当时，，和b重复，应舍去，或（舍去），
综上所述，所有满足条件的四位正整数A为或，
∴所有满足条件的四位正整数A的和为．
故答案为：，．
36．（25-26七年级下·四川成都·阶段检测）为了书写简便，18世纪数学家欧拉引进了求和符号“”（其中，且i和n表示正整数），例如：，，若，则______，______．
【答案】 6
【知识点】数字类规律探索、整式的加减运算、运用平方差公式进行运算
【分析】根据式子
利用平方差公式展开求和，对比等式两边同类项系数，即可求出n、m的值．
【详解】解：∵
∴
∴，
∴等式左边应有个项，因此求和项数为项：
∴．
∴常数项合并，．
37．（23-24七年级上·辽宁盘锦·阶段检测）计算题
(1)
(2)
(3)．
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】有理数乘法运算律、含乘方的有理数混合运算、数字类规律探索、整式的加减运算
【分析】本题考查有理数的混合运算以及整式的加减运算，解答本题的关键是正确运用各种运算法则．
（1）先计算乘方，在计算乘除，最后计算加减即可；
（2）根据乘法分配律可以解答本题；
（3）先去括号，再合并同类项即可；
（4）先对所求的式子的每一项进行拆项，从而可求解．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
38．（2024·北京海淀·一模）某校为培养学生的阅读习惯，发起“阅读悦听”活动，现有两种打卡奖励方式：
方式一：每天打卡可领取听书时长；
方式二：第一天打卡可领取听书时长，之后每天打卡领取的听书时长是前一天的2倍．
(1)根据上述两种打卡奖励方式补全表二：
表一每天领取听书时长
天数 1 2 3 4 ··· n
方式一 60 60 60 60 ··· 60
方式二 5 ···
表二累计领取听书时长
天数 1 2 3 4 ··· n
方式一 60 120 180 240 ···
方式二 ···
(2)根据表二，以天数n为横坐标，以该天累计领取的听书时长为纵坐标，绘制了相应的点，并用虚线表达了变化趋势．其中表示方式二变化趋势的虚线是________（填a或b），从第_______天完成打卡时开始，选择方式二累计领取的听书时长超过方式一；
(3)现有一本时长不超过的有声读物，小云希望通过打卡领取该有声读物．若选择方式二比选择方式一所需的打卡天数多两天，则这本有声读物的时长t（单位：）的取值范围是______．
【答案】(1)，
(2)，7
(3)
【知识点】数字类规律探索、从函数的图象获取信息
【分析】（1）根据表二中两种方式每天累计领取听书时长的数字规律，即得答案；
（2）根据表二中的数据变化情况及图中两线的交点情况，即得答案；
（3）由已知可得选择方式一只需打卡1天，选择方式二需打卡3天，由此即得答案．
【详解】（1）表二中，对于方式一，第1天累计领取听书时长为，
第2天累计领取听书时长为，
第3天累计领取听书时长为，
依次规律，第n天累计领取听书时长为；
对于方式二，第1天累计领取听书时长为，
第2天累计领取听书时长为，
第3天累计领取听书时长为，
依次规律，第n天累计领取听书时长为；
故答案为：，．
（2）由表二的数据可知，表示方式二变化趋势的虚线是a，第7天开始，曲线a上点的纵坐标大于射线b上对应点的纵坐标，
即选择方式二累计领取的听书时长超过方式一；
故答案为：，7．
（3）该有声读物的听书时长不超过，
选择方式一只需打卡1天，
选择方式二需打卡3天，
t的取值范围是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了数字规律的探求，函数的表示方法,从函数图象获取信息及求函数值的取值范围等知识，正确理解题意是解题的关键．
【考点6】图形类规律探索（第39-52题）
· 图形规律：数出前几个图形对应个数，列表找序号与个数的关系
· 常见模型：一次函数型（n的系数）、二次函数型（n2）
· 图形拆分：把复杂图形拆成基本单元再计数
· 用代数式表示第n个图形的个数，必要时代入检验
39．（23-24七年级上·浙江温州·阶段检测）如图所示，直线上有一点，从该点出发沿着顺时针方向延伸形成回形通道． 其通道的宽和的长均为单位1，回形线与直线分别交于点，，，，若从点到点的回形线为第1圈（即，总长为7），从点到点的回形线为第2圈，以此类推，点到达经过的路程为（　　）

A．114 B．115 C．116 D．117
【答案】B
【知识点】有理数减法的实际应用、图形类规律探索
【分析】此题考查了图形的变化类，根据周长公式求出各圈的长，归纳总结得出规律是解题的关键；
根据题意结合图形，可从简到繁，先从第1圈开始，逐圈分析，推出通用公式，再代入计算．
【详解】观察图形发现：
第1圈的长是；
第2圈的长是；
第3圈的长是；
则第n圈的长是．
从点到点的回形线为第1圈
从点到达，到达了第5圈，
当，原式，
当，原式，
从点到达经过的路程为：，
故选：B．
40．（24-25九年级下·重庆大足·期末）下列按照一定规律排列一组图形，其中图形①中共有2个小圆，图形②中共有6个小圆，图形③中共有12个小圆，图形④中共有20个小圆，．．．．．．按此规律，图形⑥中小圆的个数是（ ）
A．40 B．42 C．44 D．46
【答案】B
【知识点】图形类规律探索
【分析】本题考查了规律型中的图形的变化类，出前4个图形中小圆的个数，根据数据的变化找出变化规律，依此规律即可得出结论．
【详解】解：图形①中小圆的个数为，
图形②中小圆的个数为，
图形③中小圆的个数为，
图形④中小圆的个数为，
∴图形⑤中小圆的个数为，
∴图形⑥中小圆的个数是．
故选：B．
41．（23-24八年级下·辽宁盘锦·阶段检测）如图，的周长为a，以它的各边的中点为顶点作，再以各边的中点为顶点作，再以各边的中点为顶点作如此下去，…，则的周长为（ ）

A．a B．a C．a D．a
【答案】A
【知识点】图形类规律探索、与三角形中位线有关的求解问题
【分析】本题考查三角形中位线定理，三角形周长的计算，正确的找出变化规律是解题的关键，利用三角形中位线定理得到的周长 的周长 的周长，的周长，依次规律类推，即可解题．
【详解】解：以的各边的中点为顶点作，
的周长 的周长 的周长，
以各边的中点为顶点作，
的周长 的周长 的周长，
依次类推，
的周长．
故选：A．
42．（24-25七年级上·重庆江津·期末）下列图形是由相同的围棋子按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有5枚围棋子，第②个图形中一共有11枚围棋子，第③个图形中一共有17枚围棋子，……，按此规律排列，则第⑧个图形中围棋子的枚数为（ ）
A．50 B．49 C．48 D．47
【答案】D
【知识点】图形类规律探索
【分析】本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现围棋子的枚数依次增加6是解题的关键．
根据所给图形，依次求出图形中围棋子的枚数，发现围棋子的枚数依次增加6的 规律，即可解决问题．
【详解】解：由所给图形可知，
第①个图形中围棋子的枚数为：(枚)；
第②个图形中围棋子的枚数为：(枚)；
第③个图形中围棋子的枚数为：(枚)；
……
所以第n个图形中围棋子的枚数为枚．
当时，
(枚)，
即第⑧个图形中围棋子的枚数为47枚．
故选：D．
43．（24-25八年级下·河北保定·阶段检测）如图，在第1个中，，，在边上任取一点，延长到，使，得到第2个；在边上取一点，延长到点，使，得到第3个； 按此做法继续下去，则第2025个三角形中，以为顶点的内角度数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】图形类规律探索、三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、等边对等角
【分析】由等边对等角及三角形的内角和定理可得，由等边对等角及三角形外角的性质可得，，进而可得，同理可得，，，于是可得一般规律：第个三角形中，以为顶点的内角度数是，由此即可得出答案．
【详解】解：在中，，，
，
，是的外角，
，，
，
同理可得：
，
，
，
第个三角形中，以为顶点的内角度数是，
第2025个三角形中，以为顶点的内角度数是，
故选：．
【点睛】本题主要考查了图形类规律探索，等边对等角，三角形的内角和定理，三角形外角的性质等知识点，从所给图形中发现并总结出一般规律是解题的关键．
44．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为__________．
【答案】
【知识点】图形类规律探索、（x+p）（x+q）型多项式乘法
【分析】本题考查了图形的变化，观察所给图案，列式表达出每个图案需要黑色棋子的个数，找出规律，第n个图案需要的个数为：，代入即可．
【详解】解：由图知第一个图案需要黑色棋子的个数为（个）；
第二个图案需要的个数为（个）；
第三个图案需要的个数为（个）；
第四个图案需要的个数为（个）；
…
第n个图案需要的个数为：
（个），
当时，，
故答案为：．
45．（24-25七年级上·山西·期中）如图，将正方体骰子（相对面上的点数分别为和、和、和）放置于水平桌面上，如图，将骰子向右翻滚，然后在桌面上按逆时针方向旋转，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图所示的状态，连续完成次变换后，骰子朝右一面的点数是 _____．
【答案】
【知识点】图形类规律探索、正方体相对两面上的字
【分析】本题考查了规律型：图形的变化，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．从实物出发，结合具体的问题，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．
本题先要找出次变换是一个循环，然后再求被整除后余，从而确定是变换次后，骰子朝右一面的点数．
【详解】解：根据题意可知，完成次变换后，骰子朝右一面的点数是；完成次变换后，骰子朝右一面的点数是；完成次变换后，骰子朝右一面的点数是，
∴连续次变换是一个循环．
∵，
∴连续完成次变换，即次循环后，又完成了两次转换，
∴骰子朝右一面的点数是．
故答案为：．
46．（24-25九年级上·河北唐山·期中）阅读下列材料，并完成相应学习任务：
古希腊著名的毕达哥拉斯学派发现，一定数目的点或圆在等距离排列下可以形成一个等边三角形，他们把这样的数称之为三角形数．如用1，3，6，10，15，21，…数目的石子就可以排成如图1所示的等边三角形，因而这样的数就是三角形数．所有的三角形数都具有如图2所示的规律．
学习任务：请用一元二次方程的有关知识，解决下列问题：
(1)根据此规律可知第个三角形数是____________；（用含的代数式表示）
(2)请判断是第几个三角形数？写出解答过程；
(3)若相邻两个三角形数的和是，则这两个三角形数分别是多少？请直接写出结果．
【答案】(1)；
(2)
78是第12个三角形数，
根据题意得：，
整理得，
解得，．
因为是正整数，
所以舍去，
是第12个三角形数．
(3)55和66．
【知识点】图形类规律探索、与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，图形规律，根据图形找出规律是解答关键．
（1）根据图形找出规律求解；
（2）根据（1）的规律来求解；
（3）设较小的三角形数是，则较大三角形数是，根据题意列出方程求解．
【详解】（1）解：因为第一个图三角形的个数为：，
第二个图三角形的个数为：，
第三个图三角形的个数为：，
，
第一个图三角形的个数为：．
故答案为：．
（2）略
（3）解：设较小的三角形数是，
则较大三角形数是，
由题意得：，
解得，（舍去），
当时，，
，
所以这两个三角形数是和．
47．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）下列图形都是由同样大小的⊙按一定规律所组成的，其中第1个图形中一共有4个⊙，第2个图形中一共有7个⊙，第3个图形中一共有10个⊙， ，按此规律排列．
(1)第5个图形中一共有_______个⊙；
(2)第100个图形中一共有_______个⊙；
(3)想一想：第n个图形中一共有多少个⊙？（用含n的代数式表示）
【答案】(1)16
(2)301
(3)
【知识点】图形类规律探索
【分析】本题主要考查了图形的变化类，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的从而得出数字规律．
（1）观察图形可知后面一个图形比前面一个图形多3个⊙，据此规律求解即可．
（2）根根据（1）的规律求解即可；
（3）根根据（1）的规律求解即可．
【详解】（1）解：第1个图形中一共有个⊙，
第2个图形中一共有个⊙，
第3个图形中一共有个⊙，
第4个图形中一共有个⊙，
以此类推，第n个图形中一共有个⊙，
∴第5个图形中一共有个⊙，
故答案为：；
（2）解：由（2）可得第100个图形中一共有个⊙，
故答案为：；
（3）解：由（1）得第n个图形中一共有个⊙．
48．（23-24六年级上·山东青岛·阶段检测）先找规律，再填数
(1)，1，，，（ ），（ ）
(2)■■■■○○○☆☆◆■■■■○○○☆☆◆……第101个是（ ）．
【答案】(1)，
(2)■
【知识点】图形类规律探索、 分数与分数的乘法
【分析】本题考查分数的排列规律，分数的乘法运算，图形的排列规律；
（1）根据后一个数是前一个数的，即可求解；
（2）根据图形排列规律，10个为1组，即可求解．
【详解】（1）解：，
，
（2），
答：第101个是第11组的第1个图形■
49．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）如图是一位同学用围棋棋子按照某种规律摆出的“大”字，第1个“大”字中有7颗围棋子，第2个“大”字中有11颗围棋子，第3个“大”字中有15颗围棋子，……，按照这样的规律摆下去．
(1)第5个“大”字中有________颗围棋子；
(2)用含n的代数式表示出第n个“大”字中围棋子的数量，并求出第100个“大”字中有多少颗围棋子？
(3)若第n个“大”字中有2027颗围棋子，求n的值．
【答案】(1)
(2)颗，颗
(3)
【知识点】图形类规律探索
【分析】本题考查图形数字类规律，熟练找准规律是解题的关键．
（1）根据题意得到，后一个图形比前一个图形多颗围棋子，据此计算即可；
（2）由（1）可得规律，第n个“大”字中有颗围棋子，令进行计算求解即可；
（3）令，求解计算即可．
【详解】（1）解：由图形可知，
第1个“大”字中有颗围棋子，
第2个“大”字中有颗围棋子，
第3个“大”字中有颗围棋子，
则第5个“大”字中围棋子的数量为：颗，
故答案为：；
（2）解：由（1）可知，
第n个“大”字中围棋子的数量为：颗，
第100个“大”字中围棋子的数量为：（颗），
答：第n个“大”字中围棋子的数量为颗，第100个“大”字中有颗围棋子；
（3）解：令，
解得，
答；n的值为．
50．（2024·安徽宿州·一模）【观察思考】
如图，第1个图案中正三角形的个数为2，正方形的个数为1，周长为6cm；第2个图案中正三角形的个数为6，正方形的个数为2，周长为8cm；第3个图案中正三角形的个数为10，正方形的个数为3，周长为10cm；第4个图案中正三角形的个数为14，正方形的个数为4，周长为12cm；…
【规律发现】
（1）第5个图案中正三角形的个数为________；
（2）第个图案中正三角形的个数为________；
【规律应用】
（3）照此规律，当一个图案的周长为2024cm时，这个图案中有多少个正三角形？有多少个正方形？
【答案】（1）18；（2）；（3）；
【知识点】图形类规律探索
【分析】本题考查了规律型：图形的变化类以及列代数式，根据各图案所需三角形个数的变化，找出变化规律是解题的关键．
由图可知，每个图案比前面一个图案多一个正方形，多4个正三角形，周长比前一个图案多．可推出第为正整数）个图案需要个正方形．需要个正三角形．第个图形的周长为．
（1）分别把，代入即得答案；
（2）直接由上面的分析得答案；
（3）由题意得，，解方程可得答案．
【详解】（1）由图可知第1个图案中有2个正三角形；第2个图案中有6个正三角形；第3个图案中有10个正三角形；……；
∴第5个图案中正三角形的个数为18，
故答案为：18；
（2）根据题意，第个图案中有个正三角形．
∴第个图案中正三角形的个数为，
故答案为：．
（3）由图可知，每个图案周长比前一个图案多．可推出第为正整数）个图案周长为．第为正整数）个图案有个正方形．有个正三角形．
∴，
解得，，
∴，
答：这个图案中有个正三角形，有个正方形．
51．（23-24七年级上·河南周口·期中）根据给出的数轴，解答下面的问题：
(1)请你根据图中A，B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数；
A：______；B：______；
(2)观察数轴，与点A的距离为4的点表示的数是：______；
(3)若将数轴折叠，使得A点与－2表示的点重合，则B点与数______表示的点重合；
(4)若数轴上M，N两点之间的距离为2022（M在N的左侧），且M，N两点经过（3）中折叠后互相重合，则M，N两点表示的数分别是：M______，N______．《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是：一根一尺长的木棍，如果每天截取它的一半，永远也取不完，如图：
由图易得：______．
【答案】(1)1，
(2)5或
(3)1.5
(4)，，
【知识点】数轴上两点之间的距离、图形类规律探索、几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，图形类规律探究，一元一次方程的应用，数形结合是解答本题的关键．
（1）根据点在数轴位置写出即可；
（2）有两种情况，在点A的左侧或在点A的右侧；
（3）先找出折合点的对应的数，然后再利用数轴上两点间距离计算即可；
（4）根据图形找规律找规律，然后进行计算．
【详解】（1）点A表示的数是：1，点，B表示的数是：．
故答案为：1，；
（2）∵，
∴点A的距离为4的点表示的数是：5或．
故答案为：5或；
（3）∵点A点与表示的点重合，
∴，
∴折合点表示的数是：，
设与点B重合的点表示的数为x，由题意得，
，
∴，
∴点B点与数1.5表示的点重合．
故答案为：1.5；
（4）∵，
，
，
又∵M在N的左侧
∴M，N两点表示的数分别是，；
．
故答案为：，，．
52．（2024·安徽合肥·一模）用同样规格的黑白两种颜色的正方形，按如图所示的方式组成图案：
(1)根据规律可知，第⑥个图案中有黑色正方形________个，白色正方形________个；
(2)第n个图案中有黑色正方形________个，白色正方形________个．（用含n的代数式表示）
(3)在某个图案中，白色正方形的个数能刚好比黑色正方形的个数多2024吗？若能，求出是第几个图案；若不能，请说明理由．
【答案】(1)19；46
(2)；
(3)
不能，理由：
∵，
解得，
∵n不是整数，
∴不存在某个图案中，白色正方形的个数能比黑色正方形的个数多2024．
【知识点】图形类规律探索、其他问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查图形规律探究，一元一次方程的应用，根据所给图形总结出规律是解答本题的关键．
（1）依次求出图形中黑色正方形和白色正方形的个数，发现规律即可解决问题．
（2）根据（1）中发现的规律即可解决问题．
（3）根据（2）中的结论列方程即可解决问题．
【详解】（1）解：由所给图形可知，
第①个图案中黑色正方形的个数为：，白色正方形的个数为：；
第②个图案中黑色正方形的个数为：，白色正方形的个数为：；
第③个图案中黑色正方形的个数为：，白色正方形的个数为：；
，
所以第个图案中黑色正方形的个数为个，白色正方形的个数为个，
当时，
个，
个，
即第⑥个图案中黑色正方形的个数为个，白色正方形的个数为个．
故答案为：，．
（2）由（1）知，
第个图案中黑色正方形的个数为个，白色正方形的个数为个．
故答案为：，．
（3）略
课后巩固
复习建议
· 区分单项式、多项式、整式，牢记分母含字母的式子不是整式
· 单项式的系数含符号，次数是所有字母的指数和，π按数处理
· 多项式的次数是最高次项的次数，不是各项次数之和，项要带符号
· 求代数式的值先化简再代入，负数、分数代入要加括号
· 规律题先列表观察，用含n的代数式表示，代入前几项检验
【作业1】．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）单项式的系数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】单项式的系数、次数
【分析】本题考查了单项式的系数．单项式的数字因数即为单项式的系数，据此即可作答．
【详解】解：单项式的系数是，
故选：C．
【作业2】．（2026九年级下·重庆·专题练习）用黑白两种三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个黑色三角形，第②个图案中有7个黑色三角形，第③个图案中有10个黑色三角形，第④个图案中有13个黑色三角形，依此规律排下去，则第⑧个图案中黑色三角形的个数为（ ）
A．22 B．25 C．28 D．31
【答案】B
【知识点】图形类规律探索
【分析】找出规律，进而作答即可．
【详解】解：由图可知，第①个图案中有个黑色三角形，
第②个图案中有个黑色三角形，
第③个图案中有个黑色三角形，
第④个图案中有个黑色三角形，
……
可知第个图案中有个黑色三角形，
则第⑧个图案中黑色三角形的个数为．
【作业3】．（25-26七年级上·云南昭通·期中）观察下列数据：，，，，，则第11个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】数字类规律探索
【分析】本题主要考查了数字规律探索，观察数列规律，奇数项为正，偶数项为负，分母为序数的平方，因此第n项为 ，代入计算即可．
【详解】解：∵，，，，，
∴，
∴当时，，
故第11个数为，
故选：A．
【作业4】．（25-26八年级上·全国·单元复习）下列代数式中，，整式有____个，分式有______个．
【答案】 3 3
【知识点】整式的判断、分式的判断
【分析】本题考查整式与分式的定义，掌握知识点是解题的关键．
根据整式与分式的定义，逐个分析判断，即可解答．
【详解】解： ∵分母不含有字母，是整式， 中分母含有字母，是分式，
∴整式有3个，分式有3个．
故答案为：3，3．
【作业5】．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）灯塔是一座顶端有灯的塔．当船只要靠岸的时候，灯塔在夜间可以帮助船找到他们的航道．每个灯塔以固定规律的方式发出光亮．图1反映了某个灯塔一段时间内亮和暗的规律．在开始重复之前的一个完整规律循环所用的时间，称之为周期．当你找出一个规律的周期，便很容易延伸上图来找出下一个、或者数分钟、甚至数小时后灯塔的亮、暗情形．
(1)这个灯塔亮、暗的周期是（ ）．
A．2秒 B．3秒 C．5秒 D．8秒.
(2)在这一分钟内，这个灯塔有（ ）秒是亮的．
A．4 B．12 C．20 D．24.
(3)在图2中画出一个灯塔的规律，使得这个灯塔每一分钟发出亮光30秒，亮光规律的周期为6秒钟．
【答案】(1)C．
(2)D．
(3)
答案不唯一，只需满足周期为6秒，每个周期内有3秒亮光即可．
【知识点】图形类规律探索
【分析】本题考查了规律的应用，根据枚举法确定规律和周期，后计算即可．
(1)根据题意，得亮一秒，后暗1秒，再亮1秒，接着暗2秒，依次循环，故变换周期为(秒)，解答即可．
(2)根据题意，一个周期亮2秒，1分钟有12个周期，得到亮时间为(秒)，解答即可．
（3）答案不唯一，只需满足周期为6秒，每个周期内有3秒亮光即可．
【详解】（1）根据题意，得亮一秒，后暗1秒，再亮1秒，接着暗2秒，依次循环，故变换周期为(秒)，
故选：C．
（2）根据题意，一个周期亮2秒，1分钟有12个周期，得到亮时间为(秒)，
故选：D．
（3）略
【作业6】．（22-23七年级上·全国·期中）单项式次数为_____．
【答案】3
【知识点】单项式的系数、次数
【详解】在单项式中，字母的指数为，字母的指数为，则次数为．
【作业7】．（23-24七年级上·河南商丘·期中）写出一个只含有字母，最高次项系数为，且一次项系数为，常数项为的二次三项式：____
【答案】（答案不唯一）
【知识点】单项式的系数、次数、写出满足某些特征的单项式
【分析】本题主要考查单项式的相关概念．根据单项式的系数（数字因数），次数（所有字母的指数和）的概念即可求解．
【详解】解：根据题意得，，
故答案为：（答案不唯一）．
【作业8】．（23-24七年级上·甘肃平凉·期中）多项式的次数是____________．
【答案】3
【知识点】多项式的项、项数或次数
【分析】本题考查多项式的次数，根据多项式中最高项的次数为多项式的次数，进行作答即可．
【详解】解：多项式的次数为的次数，是3；
故答案为：3．
【作业9】．（23-24七年级上·内蒙古赤峰·期中）写出一个关于的二次三项式．其中二次项系数与常数项均为，一次项系数为2，则此二次三项式为______．
【答案】
【知识点】多项式的项、项数或次数
【分析】本题主要考查了多项式的项和次数的知识，二次项系数为，则二次项为，一次项系数为2，则一次项为，再由常数项为即可得到答案．
【详解】解：由题意得，满足题意的二次三项式为，
故答案为：．
【作业10】．（25-26七年级上·天津和平·期中）在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，我们称点是点的“相关点”．已知数轴上的相关点为，点的相关点为，点的相关点为，…，这样依次得到点，，，，…，，…．若点在数轴上表示的数是，则点在数轴上表示的数是_______；从中选取任意三个相邻的数，其和为______．
【答案】 3 /
【知识点】用数轴上的点表示有理数、数字类规律探索
【分析】本题考查了数字类规律探索，有理数的混合运算，通过计算点、、、的值，发现序列呈现周期性变化，周期为3，根据周期规律，点的值对应周期中的第三个点，任意三个相邻点的和即为一个周期内三个值的和，即可得解，正确得出规律是解此题的关键．
【详解】解：∵点在数轴上表示的数是，
∴，，，…，
∴由此可得，每次一个循环，
∵，
∴在数轴上表示的数是，
任意三个相邻点的和均为，
故答案为：，．
【作业11】．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）已知：； …请你仔细观察上述式子特点，写出_________ 3．
【答案】20
【知识点】数字类规律探索
【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的式子，找到式子中个数之间存在的规律是解题的关键．
通过观察发现：每个式子的结果等于左边式子加数的个数的立方，即可求解．
【详解】解：∵； … ，
∴每个式子的结果等于左边式子加数的个数的立方，
∵式子共有个数相加，
∴，
故答案为：20．
【作业12】．（25-26七年级上·重庆·期中）a是不为2的有理数，我们把称为a的“哈利数”．如：4的“哈利数”是，的“哈利数”是，已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，…，依此类推，则_______．
【答案】
【知识点】有理数四则混合运算、数字类规律探索
【分析】本题主要考查有理数的运算及数字规律，解题的关键是得到数字的一般规律；通过计算序列的前几项，发现该序列具有周期性，周期为4，再根据2028除以4的余数确定的值．
【详解】解：由题意，，
，
，
，
，
由此可得序列是周期序列，周期为4；
因为，余数为0，所以；
故答案为．
【作业13】．（23-24七年级上·江苏南通·期中）按一定规律排列的一列数称为数列．对于一个数列中依次排列的任意相邻的三个数x，y，z，若，则称这个数列为梦想数列．已知数列是梦想数列，且，那么式子的值为_______．
【答案】
【知识点】数字类规律探索、整式加减的应用
【分析】本题考查数字变化的规律，根据题中给的“梦想数列”的定义，结合整体思想即可解决问题．
【详解】解：由题知，
因为数列是梦想数列，
所以，
，
得，
即
又因为，
所以，
即．
故答案为：．
【作业14】．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图，这是一个三角形点阵图，从上到下有多行，其中第1行有个点，前2行有个点，前3行有个点，前4行有个点，···．
依照此规律，解答下列问题：
(1)前6行的点数和是 ；
(2)前n行的点数和是 ；
(3)在点阵中，前n行的点数和能是55吗？如果能，求出n的值；如果不能，说明理由．
【答案】(1)21
(2)
(3)前n行的点数和能是55．
【知识点】图形类规律探索、因式分解法解一元二次方程
【分析】本题考查了与实数相关的规律题，一元二次方程，用代数式表示数．
（1）根据前4行的点数和计算规律，即可推出前6行的点数和；
（2）根据（1）的规律即可求解；
（3）根据（2）得出的规律列出方程即可求解．
【详解】（1）解：第1行有个点，
前2行有个点，
前3行有个点，
前4行有个点，
···．
前6行的点数和是个点，
故答案为：21；
（2）解：根据（1）得前n行的点数和是；
故答案为：；
（3）解：由题意得，
整理得，即，
解得（舍去），，
答：前n行的点数和能是55．
【作业15】．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）化学中把仅有碳和氢两种元素组成的有机化合物称为碳氢化合物，又叫烃，如图，这是部分碳氢化合物的结构式，第个结构式中有个（碳）和个（氢），分子式是；第个结构式中有个和个，分子式是；第个结构式中有个和个，分子式是．按照此规律，回答下列问题：
(1)第个结构式的分子式是______；
(2)第个结构式的分子式是______；
(3)试通过计算说明分子式的化合物是否属于上述的碳氢化合物？
【答案】(1)
(2)
(3)
分子式的化合物不属于上述的碳氢化合物，
证明：当时，
，
因为，
所以分子式的化合物不属于上述的碳氢化合物．
【知识点】用代数式表示数、图形的规律、已知字母的值 ，求代数式的值、图形类规律探索
【分析】本题考查的知识点是图形变化的规律及列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值，解题关键是能根据题意得出第个结构的分子式是．
（1）根据所给分子式，发现规律即可解决问题；
（2）结合（1）中发现的规律即可解决问题；
（3）结合上面发现的规律进行验证即可．
【详解】（1）解：由所给分子式可知，
第个结构的分子式是，
第个结构的分子式是，
第个结构的分子式是，
…，
所以第个结构的分子式是，
当时，
第个结构的分子式是，
故答案为：；
（2）解：由知，
第个结构的分子式是，
故答案为：；
（3）略
【作业16】．（23-24七年级上·广东茂名·期中）观察下列等式，请回答下列问题：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
(1)按以上规律列出第5个等式：______；
(2)求的值；
(3)已知：，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】数字类规律探索
【分析】（1）观察各个等式可得，等式的分子是1，分母的一个乘数与序号相同，另一个乘数比序号多1，按照此规律求解即可；
（2）根据（1）观察的规律进行计算即可；
（3）根据已知条件可以判断每个等式的右边都可以写成两个分子为1，分母为两个乘数的差的，然后提出，进行计算即可．
【详解】（1）解：由题意得，，
故答案为：；
（2）解：，
，
，
，
；
（3）解：，，， ，
∴
．
【点睛】本题考查数字规律型，由题意找出规律，进行简便计算是解题的关键．
【作业17】．（25-26八年级上·山东日照·期中）观察下列各式：
……
请根据你发现的规律完成下列各题．
(1)填空：①；
②（其中为正整数）；
(2)根据规律计算：；
(3)计算：．
【答案】(1)①；②；
(2)；
(3)．
【知识点】数字类规律探索、运用平方差公式进行运算
【分析】本题主要考查了多项式乘法的规律探究，熟练掌握根据已知式子总结规律并应用规律解题是解题的关键．
（1）通过观察已知式子的规律，直接写出对应的结果；
（2）利用总结的规律，代入计算；
（3）根据规律构造乘法形式，再进行计算．
【详解】（1）解：①∵，
，
，
，
∴，
故答案为：，
②∵，
，
，
，
，
……
∴，
故答案为：；
（2）解：
；
（3）解：
．
【作业18】．（23-24七年级上·广东阳江·阶段检测）已知多项式是六次四项式，单项式与该多项式的次数相同，求的值．
【答案】
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、单项式的系数、次数、多项式的项、项数或次数
【分析】本题考查了已知字母的值求代数式的值，多项式的项数和次数，单项式的次数，先根据多项式是六次四项式，进行列式计算得，再结合单项式与该多项式的次数相同，列式计算得，然后把，代入进行计算，即可作答．
【详解】解：∵多项式是六次四项式，
∴，
解得，
∵单项式与该多项式的次数相同
∴，
即，
解得，
∴．
1第7讲·整式及其性质·培优讲义
（知识梳理+典例+压轴+练习）·2026-2027人教版七年级数学上册
思维导图
课程目标
· 理解单项式的概念，能准确说出单项式的系数与次数
· 理解多项式的概念，会确定多项式的项、项数与次数
· 掌握整式的概念与分类，会判断同类项
· 掌握用代数式表示数量关系，会求代数式的值
· 能通过观察与归纳探索数字、图形的规律并用代数式表示
知识梳理
☆ 1.单项式的概念与系数次数
单项式：由数或字母的积组成的代数式叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式
系数：单项式中的数字因数称为单项式的系数（含符号）；次数：所有字母的指数和称为单项式的次数
π是数不是字母，含有π的单项式其π部分计入系数；分母中含字母的式子不是单项式
判断单项式：不含加减运算、分母中不含字母；注意带省略乘号的式子如2xy是单项式
概念辨析例题：单项式-x2y3的系数是____，次数是____。
答案：系数是-，次数是5
解析：数字因数-是系数（含负号）；字母x、y的指数分别为2、3，次数为2+3=5，注意次数是字母指数和而非项数。
☆ 2.多项式的概念与次数
多项式：几个单项式的和叫多项式，其中每个单项式叫多项式的项，不含字母的项叫常数项
多项式的次数：多项式中次数最高项的次数，不是所有项的次数之和
多项式的项数：多项式包含的单项式的个数，需注意带符号
单项式与多项式统称整式：分母不含字母、且只含加减乘除（除数不含字母）运算的代数式
概念辨析例题：多项式2x3-x2y+3y-1是几次几项式？常数项是什么？
答案：三次四项式；常数项是-1
解析：各项次数分别为3、3（x2y中2+1=3）、1、0，最高次数为3；共有四个项2x3、-x2y、3y、-1，故为三次四项式，常数项为-1。
☆ 3.整式的分类与同类项
整式分为单项式与多项式两大类，判断一个代数式是否为整式看分母是否含字母
同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫同类项；常数项都是同类项
几个常数项也是同类项；同类项只与字母及指数有关，与系数大小、字母顺序无关
π是常数系数，含π的项与同字母、同字母指数的项是同类项（如πx 与3x 是同类项）
概念辨析例题：下列各组中，是同类项的是（　　）A．2a2b与2ab2　B．3x与3y　C．-5与　D．x2y与x2z
答案：C
解析：同类项要求所含字母相同且相同字母的指数分别相同。A中a、b指数互换不同；B字母不同；D字母不同；C中两个都是常数项，是同类项。
☆ 4.代数式表示与规律探索
用代数式表示：把文字语言转化为符号语言，注意运算顺序与括号的合理使用
求代数式的值：先代入再计算，注意负数、分数代入时要加括号
数字规律：观察相邻项的差、倍、幂等变化，用含n的式子表示第n项
图形规律：从图形排列中数出个数与序号n的关系，通常与单项式、多项式知识结合
概念辨析例题：按一定规律排列的单项式：a，a2，a3，a4，…，第n个单项式是什么？
答案：第n个单项式是an
解析：观察序号与指数的对应关系：第1个是a1，第2个是a2，…，即序号n对应指数n，故第n个单项式为an。
知识总结表
核心概念 定义/公式 注意事项
单项式 数或字母的积，单独数或字母也是 分母不含字母，π是数不是字母
单项式的系数 数字因数（含符号） -x2y的系数是-
单项式的次数 所有字母的指数和 如x2y3次数为5
多项式 几个单项式的和 项要带符号，含常数项
多项式的次数 次数最高项的次数 不是各项次数之和
同类项 字母相同且相同字母指数相同 与系数、字母顺序无关，常数项都同类
核心考点
【考点1】单项式的概念与性质（第1-10题）
· 判断单项式：看是否只含乘除（除数不含字母），分母含字母的不是单项式
· 系数是数字因数且含符号，次数是字母指数和；π按数字处理
· 「下列说法正确的是」类题逐个判断：系数、次数、是否单项式逐一核对
· 含参单项式：利用系数或次数条件列方程，解后回代检验
1．（23-24七年级上·云南昭通·期末）下列说法正确的是（ ）
A．的次数是2 B．单项式b的系数是1，次数是0
C．的系数是 D．是单项式
2．（24-25七年级上·河南郑州·期中）单项式的系数是（ ）
A． B． C． D．3
3．（25-26七年级上·辽宁大连·期中）单项式的次数是（ ）
A． B．3 C．5 D．6
4．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）下列说法中，正确的是（ ）
A．的系数是 B．的次数是3
C．的常数项是2 D．与是同类项
5．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）关于整式的概念，下列说法正确的是（ ）
A．的系数是 B．的次数是5
C．2是单项式 D．是五次三项式
6．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）下列说法：多项式是二次三项式；单项式的系数是；5是单项式； 是多项式．其中正确的有（ ）
A． B． C． D．
7．（24-25七年级上·全国·课后作业）有下列式子：①；②；③；④；⑤1；⑥；⑦；⑧．其中属于单项式的有__________．（填序号）
8．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）若单项式的系数是，次数是，则的值为_____．
9．（23-24七年级上·北京东城·期中）写出一个只含有字母，的单项式，使它的系数是负数，次数是5，这个单项式可以是：______．
10．（23-24七年级上·云南德宏·期末）写出系数为，含有字母，的三次单项式________．
【考点2】多项式的概念与性质（第11-15题）
· 确定项数先找加减号分隔，注意带符号读出每一项
· 次数取最高次项的次数，写几次几项式时两项信息都要完整
· 多项式系数问题：由某项系数或次数列方程求参数
· 整式概念辨析：分母含字母不是整式，根号内字母也不是整式
11．（23-24六年级上·山东淄博·期末）下列说法中：（1）表示负数；（2）多项式的次数是4；（3）单项式的系数为；（4）若，则．正确的个数是（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
12．（25-26七年级上·全国·期末）如果整式是三次三项式，那么n等于_____．
13．（23-24七年级下·湖南衡阳·开学考试）已知有理数和有理数满足多项式，是关于的二次三项式，则______．
14．（24-25六年级下·上海·开学考试）指出下列一次式的一次项、常数项和一次项的系数：
、、、、
15．（23-24七年级上·广东广州·期中）已知关于x的多项式．
(1)若m是最大的负整数，的相反数是它本身，求这个多项式；
(2)若该多项式不含三次项和常数项，求的值．
【考点3】整式的判断·代数式表示与求值（第16-19题）
· 整式与分式的判断关键看分母是否含字母
· 用代数式表示：抓关键词（和、差、倍、商），注意运算顺序
· 已知字母值求代数式：直接代入，负数分数加括号
· 由条件式变形求值：整体代入思想是常见技巧
16．（2025·重庆·模拟预测）已知整式，其中， ，为正整数，且．下列说法：①当时，则满足条件的所有整式有且仅有10个；②记所有整式的和为S，若为整数，则满足条件的所有整数x之和为；③当时，则满足条件的所有整式有且仅有7个．其中正确的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
17．（2024·安徽·一模）用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖，按下图的方式铺地面：
(1)观察图形，填写下表：
图形 ① ② ③ …
黑色瓷砖的块数 4 7 ______ …
黑白两种瓷砖的总块数 9 15 ______ …
(2)依上推测，第n个图形中黑色瓷砖的块数为______，黑白两种瓷砖的总块数为______（用含n的代数式表示）；
(3)白色瓷砖与黑色瓷砖的总块数可能是2024块吗？若能，求出是第几个图形；若不能，请说明理由．
18．（25-26七年级上·山东枣庄·期末）在北师大七年级上册第三章《问题解决策略：归纳》中，我们学习了采用归纳的策略来探究具体问题的解决方法．即从几种特殊情形出发，通过归纳验证，进而找到一般规律的过程．下面我们用相应的方法来解决下面的问题．
【问题探究】
将一根足够长的绳子按如图①所示的方法折成三段，当用剪刀如图②中那样沿虚线把绳子剪刀时，绳子变为段；当用剪刀如图③那样沿虚线把绳子剪刀时，绳子变为段；依次类推．
（1）如图④，用剪刀沿虚线将绳子剪刀时，绳子变为______．
按照相应的方法，用剪刀将绳子剪刀时，绳子变为______．
按照相应的方法，用剪刀将绳子剪刀时，绳子变为______．
（2）如果把绳子折成如图⑤所示的四段，按照上面的方法去剪，得到绳子的段数恰好是段．求共剪了几刀？
【归纳总结】
（3）请根据上面的操作继续探究，归纳出将一根绳子折成段，用剪刀剪刀，绳子变为多少段？
19．（25-26八年级上·江西赣州·期末）数学活动：巧分图形探奥秘．
明确概念：多边形的三角剖分是指用连接不相邻顶点的线段将多边形分割成若干个三角形，且这些线段在多边形内部不相交．
探究规律1：（1）根据三角剖分概念完成以下表格：
多边形 （边数为n） 三角形 四边形 五边形 六边形 七边形 n边形
剖分出三角形的个数
（2）对一个多边形进行三角剖分，则恰好将多边形剖分为个三角形．它是 边形；
探究规律2：多边形的三角剖分方法数
瑞士数学家欧拉研究三角剖分问题时得到递推公式：时， 其中规定：， 表示边形的不同三角剖分方法数；
（3）利用上述三角剖分公式，请计算四边形和五边形的三角剖分方法数 ，．
【考点4】单项式规律与数字规律探索（第20-33题）
· 单项式规律：分别观察系数（含符号）与字母指数的变化规律
· 数字规律：先看相邻差（等差）、比值（等比）或幂，再归纳通项
· 周期规律：找循环节长度，用序号对周期取余定位
· 写出第n个式子后，代入n=1、2检验与已知前几项是否吻合
20．（24-25七年级上·山东济宁·阶段检测）如表，从左到右在每个小格子中都填入一个正数，使得其中任意三个相邻格子中所填整数之和都相等，则第2024个格子的数为（ ）
3 2
A．3 B．2 C．0 D．
21．（24-25八年级下·广西贺州·期末）已知；；；，则的值为（ ）．
A．1012 B．1013 C．1015 D．1016
22．（2026·云南·模拟预测）按一定规律排列的单项式：，，，，…，则第个单项式是（ ）．
A． B．
C． D．
23．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·阶段检测）已知整数，，，，满足下列条件：，，，以此类推，则的值为（ ）
A． B． C． D．
24．（23-24六年级上·山东泰安·期末）观察下列关于 的单项式，探究其规律 按照上述规律，第2024个单项式是（ ）
A． B． C． D．
25．（23-24七年级上·江苏苏州·期中）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算可以重复进行，例如，取，则如图，
若，则第2023次“F运算”的结果是_____．
26．（25-26七年级上·山东滨州·阶段检测）某大学校园餐厅把密码做成了数学规律题，如图所示，小王在餐厅就餐时，思索了一会，顺利地连接到了餐厅的网络，那么他输入的密码是___________．
27．（25-26七年级上·福建莆田·阶段检测）有一列单项式按如下规律排列：，，，，，则第10项可以表示成______．
28．（24-25七年级上·全国·期末）观察下列关于的单项式，探究其规律，，，，，，，……按照上述规律，第2024个单项式是______．
29．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）如图所示的运算程序中，若开始输入x的值为100，我们发现第一次输出的结果为50，第二次输出的结果为25，第三次输出的结果为28，…，则第2024次输出的结果为___________．
30．（25-26九年级下·四川成都·阶段检测）2026年1月的日历如图所示，已知某镇的集市每5天举办一次，从2026年1月3日开始第一次集市，第二次集市时间为2026年1月8日…以此类推，则2026年的最后一次集市是星期______．
31．（25-26七年级上·安徽·期中）下列三行数按一定的规律排列，请你仔细观察并完成探究．
第一行：1，，4，，16，，… ；
第二行：，4，，16，，64，… ；
第三行：3，，9，，33，，… ；
（1）第一行第10个数为______；
（2）每一行第9和第10个数的总和是____
32．（25-26七年级上·江苏宿迁·阶段检测）符号“”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：
（1），，，，…
（2），，，，…
利用以上规律计算：____．
33．（24-25七年级下·安徽亳州·期中）观察下列式子中的运算规律：
①；
②；
③；
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第4个等式 ；
(2)设表示自然数，请把第个等式表示出来，并利用所学知识说明这个等式的正确性．
【考点5】数字规律综合与新定义（第34-38题）
· 新定义运算：严格按定义规则代换，注意运算顺序与括号
· 表格、程序图规律：找准初始值与每次变化量
· 综合规律题先分组（奇偶项、分段），再分别归纳
· 验证答案：代入特殊值检验归纳式的正确性
34．（24-25八年级上·湖北咸宁·期末）在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，揭示了（为非负整数）展开式的系数规律，后人也称为“杨辉三角”．如图，此三角形中第3行的3个系数1，2，1，恰好对应着展开式中各项的系数，类似规律如下：；；……，则展开式中，所有项的系数和是______．
35．（24-25九年级上·重庆开州·阶段检测）对于一个四位正整数，若它的各位上数字均不为零且互不相等，千位数字与个位数字之和为9，十位数字比百位数字大2，则称这个四位正整数A是“玖贰数”则符合条件的A的最大数为______，，，若能被7整除，则所有满足条件的四位正整数A的和为______．
36．（25-26七年级下·四川成都·阶段检测）为了书写简便，18世纪数学家欧拉引进了求和符号“”（其中，且i和n表示正整数），例如：，，若，则______，______．
37．（23-24七年级上·辽宁盘锦·阶段检测）计算题
(1)
(2)
(3)．
(4)
38．（2024·北京海淀·一模）某校为培养学生的阅读习惯，发起“阅读悦听”活动，现有两种打卡奖励方式：
方式一：每天打卡可领取听书时长；
方式二：第一天打卡可领取听书时长，之后每天打卡领取的听书时长是前一天的2倍．
(1)根据上述两种打卡奖励方式补全表二：
表一每天领取听书时长
天数 1 2 3 4 ··· n
方式一 60 60 60 60 ··· 60
方式二 5 ···
表二累计领取听书时长
天数 1 2 3 4 ··· n
方式一 60 120 180 240 ···
方式二 ···
(2)根据表二，以天数n为横坐标，以该天累计领取的听书时长为纵坐标，绘制了相应的点，并用虚线表达了变化趋势．其中表示方式二变化趋势的虚线是________（填a或b），从第_______天完成打卡时开始，选择方式二累计领取的听书时长超过方式一；
(3)现有一本时长不超过的有声读物，小云希望通过打卡领取该有声读物．若选择方式二比选择方式一所需的打卡天数多两天，则这本有声读物的时长t（单位：）的取值范围是______．
【考点6】图形类规律探索（第39-52题）
· 图形规律：数出前几个图形对应个数，列表找序号与个数的关系
· 常见模型：一次函数型（n的系数）、二次函数型（n2）
· 图形拆分：把复杂图形拆成基本单元再计数
· 用代数式表示第n个图形的个数，必要时代入检验
39．（23-24七年级上·浙江温州·阶段检测）如图所示，直线上有一点，从该点出发沿着顺时针方向延伸形成回形通道． 其通道的宽和的长均为单位1，回形线与直线分别交于点，，，，若从点到点的回形线为第1圈（即，总长为7），从点到点的回形线为第2圈，以此类推，点到达经过的路程为（　　）

A．114 B．115 C．116 D．117
40．（24-25九年级下·重庆大足·期末）下列按照一定规律排列一组图形，其中图形①中共有2个小圆，图形②中共有6个小圆，图形③中共有12个小圆，图形④中共有20个小圆，．．．．．．按此规律，图形⑥中小圆的个数是（ ）
A．40 B．42 C．44 D．46
41．（23-24八年级下·辽宁盘锦·阶段检测）如图，的周长为a，以它的各边的中点为顶点作，再以各边的中点为顶点作，再以各边的中点为顶点作如此下去，…，则的周长为（ ）

A．a B．a C．a D．a
42．（24-25七年级上·重庆江津·期末）下列图形是由相同的围棋子按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有5枚围棋子，第②个图形中一共有11枚围棋子，第③个图形中一共有17枚围棋子，……，按此规律排列，则第⑧个图形中围棋子的枚数为（ ）
A．50 B．49 C．48 D．47
43．（24-25八年级下·河北保定·阶段检测）如图，在第1个中，，，在边上任取一点，延长到，使，得到第2个；在边上取一点，延长到点，使，得到第3个； 按此做法继续下去，则第2025个三角形中，以为顶点的内角度数是（ ）
A． B．
C． D．
44．（24-25九年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为__________．
45．（24-25七年级上·山西·期中）如图，将正方体骰子（相对面上的点数分别为和、和、和）放置于水平桌面上，如图，将骰子向右翻滚，然后在桌面上按逆时针方向旋转，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图所示的状态，连续完成次变换后，骰子朝右一面的点数是 _____．
46．（24-25九年级上·河北唐山·期中）阅读下列材料，并完成相应学习任务：
古希腊著名的毕达哥拉斯学派发现，一定数目的点或圆在等距离排列下可以形成一个等边三角形，他们把这样的数称之为三角形数．如用1，3，6，10，15，21，…数目的石子就可以排成如图1所示的等边三角形，因而这样的数就是三角形数．所有的三角形数都具有如图2所示的规律．
学习任务：请用一元二次方程的有关知识，解决下列问题：
(1)根据此规律可知第个三角形数是____________；（用含的代数式表示）
(2)请判断是第几个三角形数？写出解答过程；
(3)若相邻两个三角形数的和是，则这两个三角形数分别是多少？请直接写出结果．
47．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）下列图形都是由同样大小的⊙按一定规律所组成的，其中第1个图形中一共有4个⊙，第2个图形中一共有7个⊙，第3个图形中一共有10个⊙， ，按此规律排列．
(1)第5个图形中一共有_______个⊙；
(2)第100个图形中一共有_______个⊙；
(3)想一想：第n个图形中一共有多少个⊙？（用含n的代数式表示）
48．（23-24六年级上·山东青岛·阶段检测）先找规律，再填数
(1)，1，，，（ ），（ ）
(2)■■■■○○○☆☆◆■■■■○○○☆☆◆……第101个是（ ）．
49．（25-26七年级上·安徽合肥·期中）如图是一位同学用围棋棋子按照某种规律摆出的“大”字，第1个“大”字中有7颗围棋子，第2个“大”字中有11颗围棋子，第3个“大”字中有15颗围棋子，……，按照这样的规律摆下去．
(1)第5个“大”字中有________颗围棋子；
(2)用含n的代数式表示出第n个“大”字中围棋子的数量，并求出第100个“大”字中有多少颗围棋子？
(3)若第n个“大”字中有2027颗围棋子，求n的值．
50．（2024·安徽宿州·一模）【观察思考】
如图，第1个图案中正三角形的个数为2，正方形的个数为1，周长为6cm；第2个图案中正三角形的个数为6，正方形的个数为2，周长为8cm；第3个图案中正三角形的个数为10，正方形的个数为3，周长为10cm；第4个图案中正三角形的个数为14，正方形的个数为4，周长为12cm；…
【规律发现】
（1）第5个图案中正三角形的个数为________；
（2）第个图案中正三角形的个数为________；
【规律应用】
（3）照此规律，当一个图案的周长为2024cm时，这个图案中有多少个正三角形？有多少个正方形？
51．（23-24七年级上·河南周口·期中）根据给出的数轴，解答下面的问题：
(1)请你根据图中A，B两点的位置，分别写出它们所表示的有理数；
A：______；B：______；
(2)观察数轴，与点A的距离为4的点表示的数是：______；
(3)若将数轴折叠，使得A点与－2表示的点重合，则B点与数______表示的点重合；
(4)若数轴上M，N两点之间的距离为2022（M在N的左侧），且M，N两点经过（3）中折叠后互相重合，则M，N两点表示的数分别是：M______，N______．《庄子·天下篇》中写道：“一尺之棰，日取其半，万世不竭．”意思是：一根一尺长的木棍，如果每天截取它的一半，永远也取不完，如图：
由图易得：______．
52．（2024·安徽合肥·一模）用同样规格的黑白两种颜色的正方形，按如图所示的方式组成图案：
(1)根据规律可知，第⑥个图案中有黑色正方形________个，白色正方形________个；
(2)第n个图案中有黑色正方形________个，白色正方形________个．（用含n的代数式表示）
(3)在某个图案中，白色正方形的个数能刚好比黑色正方形的个数多2024吗？若能，求出是第几个图案；若不能，请说明理由．
课后巩固
复习建议
· 区分单项式、多项式、整式，牢记分母含字母的式子不是整式
· 单项式的系数含符号，次数是所有字母的指数和，π按数处理
· 多项式的次数是最高次项的次数，不是各项次数之和，项要带符号
· 求代数式的值先化简再代入，负数、分数代入要加括号
· 规律题先列表观察，用含n的代数式表示，代入前几项检验
【作业1】．（23-24七年级上·江苏泰州·期末）单项式的系数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【作业2】．（2026九年级下·重庆·专题练习）用黑白两种三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有4个黑色三角形，第②个图案中有7个黑色三角形，第③个图案中有10个黑色三角形，第④个图案中有13个黑色三角形，依此规律排下去，则第⑧个图案中黑色三角形的个数为（ ）
A．22 B．25 C．28 D．31
【作业3】．（25-26七年级上·云南昭通·期中）观察下列数据：，，，，，则第11个数是（ ）
A． B． C． D．
【作业4】．（25-26八年级上·全国·单元复习）下列代数式中，，整式有____个，分式有______个．
【作业5】．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）灯塔是一座顶端有灯的塔．当船只要靠岸的时候，灯塔在夜间可以帮助船找到他们的航道．每个灯塔以固定规律的方式发出光亮．图1反映了某个灯塔一段时间内亮和暗的规律．在开始重复之前的一个完整规律循环所用的时间，称之为周期．当你找出一个规律的周期，便很容易延伸上图来找出下一个、或者数分钟、甚至数小时后灯塔的亮、暗情形．
(1)这个灯塔亮、暗的周期是（ ）．
A．2秒 B．3秒 C．5秒 D．8秒.
(2)在这一分钟内，这个灯塔有（ ）秒是亮的．
A．4 B．12 C．20 D．24.
(3)在图2中画出一个灯塔的规律，使得这个灯塔每一分钟发出亮光30秒，亮光规律的周期为6秒钟．
【作业6】．（22-23七年级上·全国·期中）单项式次数为_____．
【作业7】．（23-24七年级上·河南商丘·期中）写出一个只含有字母，最高次项系数为，且一次项系数为，常数项为的二次三项式：____
【作业8】．（23-24七年级上·甘肃平凉·期中）多项式的次数是____________．
【作业9】．（23-24七年级上·内蒙古赤峰·期中）写出一个关于的二次三项式．其中二次项系数与常数项均为，一次项系数为2，则此二次三项式为______．
【作业10】．（25-26七年级上·天津和平·期中）在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，我们称点是点的“相关点”．已知数轴上的相关点为，点的相关点为，点的相关点为，…，这样依次得到点，，，，…，，…．若点在数轴上表示的数是，则点在数轴上表示的数是_______；从中选取任意三个相邻的数，其和为______．
【作业11】．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）已知：； …请你仔细观察上述式子特点，写出_________ 3．
【作业12】．（25-26七年级上·重庆·期中）a是不为2的有理数，我们把称为a的“哈利数”．如：4的“哈利数”是，的“哈利数”是，已知，是的“哈利数”，是的“哈利数”，是的“哈利数”，…，依此类推，则_______．
【作业13】．（23-24七年级上·江苏南通·期中）按一定规律排列的一列数称为数列．对于一个数列中依次排列的任意相邻的三个数x，y，z，若，则称这个数列为梦想数列．已知数列是梦想数列，且，那么式子的值为_______．
【作业14】．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段检测）如图，这是一个三角形点阵图，从上到下有多行，其中第1行有个点，前2行有个点，前3行有个点，前4行有个点，···．
依照此规律，解答下列问题：
(1)前6行的点数和是 ；
(2)前n行的点数和是 ；
(3)在点阵中，前n行的点数和能是55吗？如果能，求出n的值；如果不能，说明理由．
【作业15】．（25-26七年级上·江苏无锡·期中）化学中把仅有碳和氢两种元素组成的有机化合物称为碳氢化合物，又叫烃，如图，这是部分碳氢化合物的结构式，第个结构式中有个（碳）和个（氢），分子式是；第个结构式中有个和个，分子式是；第个结构式中有个和个，分子式是．按照此规律，回答下列问题：
(1)第个结构式的分子式是______；
(2)第个结构式的分子式是______；
(3)试通过计算说明分子式的化合物是否属于上述的碳氢化合物？
【作业16】．（23-24七年级上·广东茂名·期中）观察下列等式，请回答下列问题：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
(1)按以上规律列出第5个等式：______；
(2)求的值；
(3)已知：，求的值．
【作业17】．（25-26八年级上·山东日照·期中）观察下列各式：
……
请根据你发现的规律完成下列各题．
(1)填空：①；
②（其中为正整数）；
(2)根据规律计算：；
(3)计算：．
【作业18】．（23-24七年级上·广东阳江·阶段检测）已知多项式是六次四项式，单项式与该多项式的次数相同，求的值．
1

展开更多......

收起↑