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第10讲·一元一次方程应用·培优讲义
（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年人教版七年级数学上册
思维导图
课程目标
· 掌握列一元一次方程解应用题的一般步骤：审题、设元、列方程、解方程、检验、作答
· 能解决和差倍分与数字问题，正确设未知数并建立等量关系
· 能解决行程问题（相遇、追及）与工程问题，掌握基本量之间的关系
· 能解决销售盈亏、比赛积分、配套问题，理解售价、进价、利润率等概念
· 能解决几何、方案选择、古代问题等综合应用，会分类讨论与检验答案合理性
知识梳理
☆ 1.一元一次方程应用的一般步骤
审题：弄清题意，找出题中的已知量、未知量与等量关系，这是列方程的关键
设元：用字母（通常设x）表示未知量，可设直接未知数也可设间接未知数，一般问什么设什么
列方程：根据等量关系列出方程，注意单位统一、数量关系准确
解方程并检验作答：求出解后检验是否符合实际意义，最后规范作答
概念辨析例题：某新能源车企今年5月交付新车35060辆，且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆．设该车企去年5月交付新车x辆，根据题意，可列方程为（　　）
答案：1.2x+1100=35060
解析：题中的等量关系为「今年交付量=去年交付量的1.2倍+1100」，去年交付x辆，则1.2x+1100=35060，由该等量关系即可列方程。
☆ 2.和差倍分与数字问题
和差倍分问题：抓住「倍」「多」「少」「和」「差」等关键词，用代数式表示各量再列方程
数字问题：一个两位数=十位数字×10+个位数字，三位数=百位数字×100+十位数字×10+个位数字
数字问题常设数位上的数字为x，再按「原数与新数」的关系列方程
比例分配问题：设每份为x，各部分分别用x的倍数表示，总和等于总量
概念辨析例题：一个两位数，个位数字比十位数字大3，且这个两位数等于其十位数字与个位数字之和的4倍，求这个两位数。
答案：这个两位数为36
解析：设十位数字为x，则个位数字为x+3，这个两位数为10x+(x+3)。由题意：10x+(x+3)=4[x+(x+3)]，解得x=3，故两位数为36。
☆ 3.行程问题与工程问题
行程问题三量：路程=速度×时间（s=vt）；相遇问题：两车路程之和=总路程；追及问题：路程差=追及路程
相遇、追及问题可画线段图分析，明确运动方向（相向、同向）与出发点
工程问题：工作总量=工作效率×工作时间；常把工作总量看作1，则工作效率=
合作问题：合作效率=各效率之和；先单独后合作问题分段列方程
概念辨析例题：一项工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需18天完成，两人合作需要多少天完成？
答案：合作需要天完成
解析：把工作总量看作1，甲效率为，乙效率为，合作效率为+=，所需时间为1÷=（天）。
☆ 4.销售盈亏·比赛积分·配套与方案问题
销售盈亏：售价=标价×折扣率；利润=售价-进价；利润率=×100%，盈亏看利润正负
比赛积分：胜场得分+平/负场得分=总积分，先设胜场数x，用总场数表示其他场数
配套问题：按配套比例列方程，如螺钉与螺母1:2配套，则螺母数=2×螺钉数
方案选择问题：分别计算各方案费用，比较大小后作判断；分段计费按不同区间分别计算
概念辨析例题：某商店将进价为120元的商品按标价八折销售，仍可获利20%，求该商品的标价。
答案：标价为180元
解析：设标价为x元，八折售价为0.8x元。利润=售价-进价=0.8x-120，利润率==20%，即0.8x-120=24，解得x=180（元）。
知识总结表
核心概念 定义/公式 注意事项
解应用题六步 审题→设元→列方程→解方程→检验→作答 检验解是否符合实际意义
和差倍分 「比a的b倍多c」即ab+c，和=a+b 找准谁比谁、多多少
行程问题 路程=速度×时间；相遇：s1+s2=S 画线段图分析，单位统一
工程问题 工作总量=效率×时间；总量视为1 效率=
销售盈亏 利润=售价-进价；利润率= 折扣价=标价×折扣率
配套与积分 配套按比例列式；胜场+负场=总场数 注意积分规则的场数关系
核心考点
【考点1】和差倍分与数字问题（第1-12题）
· 抓关键词：倍数、和、差、多、少，先设未知数再逐句翻译成代数式
· 数字问题：用数位表示数（十位a、个位b→10a+b），按「原数-新数」或相等关系列方程
· 检验结果是否为整数、是否符合题意（如数字问题的数位应为0-9的整数）
1．（2024·广东广州·中考真题）某新能源车企今年5月交付新车35060辆，且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆．设该车企去年5月交付新车辆，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．（25-26七年级上·全国·课后作业）某校女生人数占全体学生人数的，比男生多120人．设该校共有名学生，根据题意，可得方程（ ）
A． B．
C． D．
3．（20-21七年级上·辽宁·期末）一个两位数，十位上的数比个位上的数的3倍大1，个位上的数与十位上的数的和等于9，这个两位数是（ ）
A．54 B．72 C．45 D．63
4．（23-24七年级上·辽宁营口·期末）今年小明妈妈和小明的年龄之和是36岁，再过5年，妈妈的年龄是小明年龄的4倍还大1岁，则小明的年龄为几岁．若设今年小明的年龄为x岁，则可列出方程（ ）
A． B．
C． D．
5．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）有两个数，第一个数比第二个数的倍多，第二个数比第一个数的倍少，问这两个数是多少？设第二个数为，根据题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
6．（25-26七年级上·全国·课后作业）合唱团有男生人，比女生人数的3倍多2人，合唱团的女生有多少人？设合唱团的女生有人，则下面方程中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．（24-25七年级上·河北衡水·期末）如图，老师在探究“幻方”的数学课上稍加创新改成了“幻圆”游戏，让学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字，2，，4，，6，，8这8个数分别填入圆圈内，使横、竖以及内外两圆上的数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分数字填入圆圈中，则请爱思考的你计算出的值为（ ）
A．或 B．或1 C．或 D．1或
二、填空题
8．（23-24七年级上·辽宁营口·期中）甲厂库存钢材100吨，每月用去15吨，乙厂库存钢材82吨，每月用去9吨，经边个月后，两厂剩下的钢材相等，则等于______ ．
9．（24-25七年级上·全国·随堂练习）已知一个数与它的的差为6，若设这个数为x，可列方程为______________．
10．（23-24六年级下·黑龙江绥化·期中）若三个连续的偶数的和是24，则它们的积是_________．
11．（25-26七年级上·全国·课后作业）甲、乙两队参加植树劳动，甲队人数是乙队人数的2倍．若从甲队抽调16人到乙队，则甲队剩下的人数比乙队人数的一半少3．求甲、乙两队原来的人数．
12．（25-26七年级上·全国·课后作业）某钢厂预计今年的钢产量为230万吨，比去年减少．那么去年的钢产量是多少万吨？（结果保留两位小数）
【考点2】销售盈亏问题（第13-22题）
· 分清进价、标价、售价、折扣：售价=标价×折扣率，利润=售价-进价
· 利润率=×100%，获利20%即利润=20%×进价
· 亏本/盈利判断看利润正负，设进价为x或标价为x再列方程
13．（24-25七年级上·山东济南·期末）一家商店将某种书包按进价提高后标价，又以九折优惠卖出，结果每个书包仍获利元．设每个书包的进价是元，则所列方程为( )
A． B．
C． D．
14．（25-26七年级上·湖北宜昌·阶段检测）根据下面栗栗和小齐的对话，判断小齐买平板电脑的预算是（ ）
栗栗：小齐，你之前提到的平板电脑买了没？ 小齐：还没，它的售价比我的预算多1000元呢！ 栗栗：这台平板电脑现在正在打6折呢！ 小齐：是嘛，太好了，这样比我的预算还要少500元！
A．2750元 B．3000元 C．4000元 D．4500元
15．（24-25七年级上·江苏连云港·开学考试）某笔记本电脑去年提价，今年想要恢复原价，则应打（　　）折
A．七 B．七五 C．八 D．八五
16．（24-25六年级下·山东东营·期中）2025年东营市援疆团队在和黄河会展中心举行“大仓东移，新疆产品展销”活动，活动从1月18日一直持续至2月17日．某种商品每件的进价为元，标价为元，为了扩大营销，某展柜准备打折销售，若使利润率为，则应打__________折．
17．（25-26七年级上·全国·课后作业）某种商品的进价为90元，若以九折降价出售，仍获利20%，则商品的标价为_________元
18．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）某商场销售一款服装，每件的进价为90元，若以标价的八折销售，仍可获利30元，则这款服装每件的标价为 _____________ 元．
19．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）某超市在“十一”期间推出如下优惠方案：（）一次性购物不超过元不享受优惠；（）一次性购物超过元，但不超过元一律八折；（）一次性购物超过元一律七折．李明两次购物分别付款元，元．如果李明一次性购买与上两次相同的物品应付款______．
20．（25-26七年级下·吉林长春·期末）商场为吸引顾客，计划将某种衬衫打折，如果按定价的七折出售将赔20元，而按定价的九折出售将赚10元．设这种衬衫的定价是x元，根据题意列方程为__________．
21．（2025·陕西西安·模拟预测）汉服是汉民族的传统服饰，是中国“衣冠上国”、“礼仪之邦”、“锦绣中华”的体现，深受小朋友们喜爱．某汉服店老板购进了一批儿童汉服，若每件儿童汉服按标价的九折出售，则每件可赚10元；若按标价的六折出售，则每件亏损20元．求每件儿童汉服的进价．
22．（23-24七年级上·广东广州·开学考试）（商品问题）成本为0.25元的练习本1200本按的利润定价出售，结果只卖掉，剩下的练习本打折出售，这样所获得的全部利润是预定利润的．问剩下的练习本出售时是按定价打了几折？
【考点3】行程问题与动点问题（第23-28题）
· 相遇：两人路程之和=总路程；追及：路程之差=初始距离
· 动点问题：用含t的式子表示各点位置，按「相距/重合/中点」关系列方程
· 数轴动点注意点的运动方向与距离公式|a-b|，检验t是否在合理范围
23．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）操场一周是400米，小明每秒跑6米，小华骑自行车每秒行驶16米，两人绕跑道同时同地同向而行，他们用了___________秒第一次相遇．
24．（23-24七年级下·全国·课后作业）小明骑自行车的速度是12千米/时，一天，小明从家出发骑自行车去学校，恰好准时到达，如果他全程乘坐速度为30千米/时的公共汽车，那么会提前15分钟到达学校，则小明家离学校___________千米，他骑自行车上学需要___________分钟．
25．（24-25七年级上·山东德州·阶段检测）在高邮高铁站上车的小明发现：坐在匀速行驶动车上经过一座大桥时，他从刚上桥到离桥（即从车头上桥到车尾离桥）共需要150秒；而从动车车尾上桥开始到车头离桥结束，整列动车完全在桥上的时间是148秒，已知该列动车长为120米，则动车经过的这座大桥的长度为多少米．设这座大桥的长度为x米，可列方程为______．
26．（22-23七年级上·浙江温州·阶段检测）如图所示，数轴上点表示的数是，点表示的数是，原点为．机器人甲从点出发，速度为每秒个单位，同时机器人乙从点出发，速度为每秒个单位，两机器人同时出发．
(1)机器人甲向右运动，同时机器人乙向左运动，假设它们在点处相遇，求点所表示的数．
(2)如果机器人甲从点处出发向右运动，机器人乙同时从点处出发向右运动，问几秒时机器人乙与原点的距离是机器人甲与原点的距离的倍？
27．（23-24七年级上·福建福州·期中）如图，数轴上点、对应的数分别为、、，且、、使得与互为同类项．动点从点出发沿数轴以每秒5个单位的速度向右运动，当点运动到点之后立即以原速沿数轴向左运动，动点从点出发的同时动点从点出发沿数轴以每秒1个单位的速度向右运动．设运动的时间为秒，

(1)填空：______，______，点在数轴上所表示的数为______（用含的代数式表示）．
(2)在整个运动过程中，与何时相遇？
(3)若动点从点出发的同时动点也从点出发沿数轴向左运动，运动速度为每秒5个单位长度，是否存在非负数使得在一段时间内为定值，如果不存在，说明理由；如果存在，求出非负数．
28．（24-25七年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）如图，数轴上有三点、，点表示的数是1，点在点的左侧且，点表示的数是13．
(1)点表示的数是_______，线段的长度是______；
(2)若动点从点出发，沿数轴向右以每秒3个单位长度匀速运动，同时动点从点出发，沿数轴向左以每秒2个单位长度匀速运动，当动点与动点相遇时，动点立即以每秒7个单位长度的速度继续沿数轴向左匀速运动，在、的运动过程中，当、两点间的距离为8个单位长度时，求此时动点在数轴上所对应的数；
(3)若动点从点出发，沿数轴向右以每秒2个单位长度匀速运动，同时，动点从点出发，沿数轴向左以每秒5个单位长度匀速运动，点运动2秒钟后，动点从点出发，沿数轴向左以每秒1个单位长度匀速运动，当动点与动点相遇时，动点立即调头继续以原来的速度沿数轴向右匀速运动；当动点到达点时，动点立即调头继续以原来的速度沿数轴向左匀速运动；当动点到达点时，、、三点同时停止运动，在整个运动过程中，点的运动时间设为（秒），当时，请直接写出所有满足条件的的值，并写出其中一个的解答过程．
【考点4】工程问题（第29-32题）
· 工作总量看作1，效率=，合作效率=各效率之和
· 按时间分段：先单独后合作，或交替工作，分别列工作量再求和=1
· 注意完成时间与工作效率互为倒数，设效率或设时间灵活处理
29．（0404.3用一元一次方程解决问题（4）同步练习卷）一项工作甲单独做需，乙单独做需，若甲、乙两人合做，需________才能做完．
30．（2025·陕西咸阳·模拟预测）某条地下管线由甲工程队单独铺设需要20天，由乙工程队单独铺设需要30天，现计划由乙工程队先从一端铺设5天，然后增加甲工程队从另一端和乙工程队同时铺设．则完成这条地下管线的铺设任务时，甲、乙两个工程队合作铺设的天数为______．
31．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）某小区计划推进老旧小区改造，若甲工程队单独完成需天，乙工程队单独完成需天，现由两队合作，中途乙队被调走，余下的任务由甲队单独做了天后完成．在这个过程中，甲、乙两队合作了________天．
32．（25-26七年级上·全国·课后作业）甲、乙两队共同承建某工程，甲单独建需8个月完工，乙单独建需5个月完工．现由两队合建，由于开展了劳动竞赛，甲队的工作效率提高了，乙队的工作效率提高了，则两队合建________个月完工．
【考点5】比赛积分与配套问题（第33-40题）
· 比赛积分：设胜x场，用总场数表示负（平）场数，胜分+负分=总积分
· 配套问题：先找配套比例，再按比例列方程（如1:2则其一=另一的2倍）
· 表格/积分表问题逐行分析场数与得分，建立方程组或一元方程
33．（25-26七年级上·全国·课后作业）学校需要定制一批3条腿的桌子．已知某工厂有24名工人，每人每天可以生产20块桌面或300条桌腿．为使每天生产的桌面和桌腿刚好配套，则生产桌面的工人应安排（ ）
A．18名 B．21名 C．20名 D．16名
34．（25-26七年级上·重庆·期末）某大型造船厂计划为一个航母战斗群建造配套舰艇．已知一个标准的战斗群需要配备1艘航母和4艘驱逐舰．该厂有12个船坞，每个船坞每年可以建造1艘航母或2艘驱逐舰．为了能使航母和驱逐舰刚好配套，每年应该安排______个船坞用于建造航母．
35．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知一个水分子模型教具需要一个氧原子模型和两个氢原子模型组装配套，某工厂现有20名工人，每人每小时平均生产60个氧原子模型或80个氢原子模型．若使每小时生产出的氧原子模型和氢原子模型组装配套，则生产氧原子模型的工人有________名．
36．（25-26七年级上·山西大同·期末）学校组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了2名参赛同学的得分情况：
参赛者 答对题数 答错题数 得分
A 20 0 100
B 19 1 94
同学C得88分，他答对了______道题．
37．（24-25七年级上·北京海淀·开学考试）学校组织老师进行智力竞赛，共道题，答对一题得分，不答不给分，答错扣分，已知所有老师的总分为多分，且男老师总分为女老师总分的倍多分，答对总题数为答错总数的倍少题．又知每人恰好有道或道题未答．则男老师的总分_________________分．
三、解答题
38．（25-26七年级上·全国·课后作业）某足球协会举办了一次足球比赛，其中得分规则及奖励方案如下表：
规则 胜一场 平一场 负一场
积分/分 3 1 0
人均奖金/元 1500 700 0
当队比赛完12场时，共积20分，并且没有负场．
(1)队胜、平各几场？
(2)每赛1场，队每名队员均获得出场费500元，那么比赛完12场后，队的每名队员所得奖金与出场费共多少元？
39．（24-25九年级下·甘肃陇南·开学考试）投壶是中国古代的一种弓箭投掷游戏，珍珍玩了两局，每局投10次，弓箭投入壶内、壶耳，落在地上会得到不同的分数，计分规则如下：
投中位置 投入壶内 投入壶耳 落在地上
一次计分 3分 1分 -2分
在第一局中，珍珍投入壶内3次，壶耳5次，其余均落在地上．
(1)求珍珍第一局的得分；
(2)第二局，珍珍投入壶内3次，壶耳次，其余均落在地上．珍珍的本局得分是否可能比第一局提高5分？请判断并说明理由．
40．（25-26七年级上·河南许昌·阶段检测）实际应用题
(1)许昌市“共享单车”的收费标准是：每30分钟1元（不足30分钟按30分钟计算）．小明骑了1小时40分钟，需要付费多少元？
(2)某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？
(3)许昌到郑州的公路长约，一辆客车从许昌出发，速度为，同时一辆货车从郑州出发，速度为，两车相向而行，多少小时后相遇？
【考点6】几何·方案·古代及其他综合（第41-52题）
· 几何问题：周长、面积公式建立等量关系，注意单位换算
· 方案选择：分别算清各方案费用再比较；分段计费按区间讨论
· 古代问题：理解题意翻译为现代数学语言，鸡兔同笼类设头数或脚数
· 日历/规律问题：相邻日期相差7或1，设中间数为x表示其他数
41．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）某中学修建综合楼后，剩有一块长比宽多、周长为的长方形空地．为了美化环境，学校决定将它种植成草皮，每平方米草皮的种植成本最低是a元，那么种植草皮至少需用（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
42．（24-25七年级下·重庆万州·阶段检测）如图，一块长、宽的长方形纸板，一块长、宽的长方形纸板，与一块正方形以及另两块长方形纸板，恰好拼成一个大正方形，则大正方形的面积是（ ）
A． B． C． D．
43．（24-25九年级下·全国·二轮复习）某班到文具店采购作业本，经询问得知作业本的定价为每本元，通过协商，文具店提供了两种购买方式，并要求只能从中选择一种．方式一：每本优惠售价为元；方式二：购买数量不多于本时按定价销售，超过本，则超过部分按定价的八折销售．设该班购买作业本的数量为（）．当方案一和方案二所需的费用一样多时，购买作业本的数量为（ ）
A． B． C． D．
44．（25-26七年级上·山东济南·期末）某地天然气收费方案如下：
阶梯 年用气量 价格 补充说明
第一阶梯 （含）的部分 1.5元 当家庭人口超过3人时，每增加1人，第一、二阶梯年用气量上限将分别增加110、150，同时，第二、三阶梯年用气量下限随之调整，每一阶梯的价格保持不变．
第二阶梯 （含）的部分 3元/
第三阶梯 以上的部分 5元/
甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为4人．某年甲、乙两户年用气量之和为，甲户年用气量大于乙户年用气量．已知甲、乙两户一共缴纳燃气费用1800元．设甲户的用气量为，则所列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
45．（24-25七年级上·全国·课后作业）用一根长为的铁丝围成一个长方形，已知长比宽的1.5倍少，设长方形的宽为，则的值为___________．
46．（25-26七年级上·湖北随州·期末）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．现将，，，，，，0，1，2分别填入如图所示的幻方中，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和均相等，则这个和为_________，表中“☆”处的值为_________．
47．（23-24七年级上·广东珠海·期末）综合与实践
如图1，用一根质地均匀的的木杆和一些等重量的小物体做下列实验，并记录每一次支点到木杆左右两边挂重物的距离：
①在木杆中间处栓绳作为支点，将木杆吊起来并使左右平衡；
②在木杆两端各悬挂一重物，看左右是否保持平衡；
③在木杆左端小物体下加挂一重物，然后把这两个重物一起向右移动，直至左右平衡；
④在木杆左边继续加挂重物，并重复以上操作和记录如下：
木杆左边挂 重物个数 支点到木杆左边挂 重物的距离 木杆右端挂 重物个数 支点到木杆右端挂 重物的距离
1 1
2 1
3 1
…… …… 1
…… 1
(1)根据以上的实验记录数据规律，在右端重物个数不变的情况下，若木杆左边悬挂6个重物时，左边重物到支点距离为______；
(2)如图2，在木杆右端挂一重物，支点左边挂个重物，并使左右平衡．设木杆长为，支点到木杆左边挂重物处的距离为，把，作为已知数，列出关于的一元一次方程______．
48．（0324.1等式与方程（2）同步练习卷）根据所设未知数列方程：
(1)如图，三角形的周长为．
(2)小山今年岁，爷爷岁，几年后小山的年龄是爷爷年龄的？
(3)如图，将一根长的绳子对折后剪去，剩余部分展开后长．
49．（24-25七年级上·河北唐山·期末）按要求作答：
(1)画图，以为端点，引条射线，，，使得；
(2)在（1）中，若，比的倍少，求的度数．
50．（23-24七年级上·辽宁大连·期末）观察下列三行数，回答下面的问题：
，4，，16，，…；①
0，6，，18，，…；②
，2，，8，…；③
(1)第①行的第4个数是________；第①行的第个数是________；
(2)设第①行第个数为，写出第②行的第个数是________（用含的式子表示）；
(3)若第③行连续三个数的和恰为，求这三个数．
51．（2026·贵州安顺·二模）刘师傅购买了一辆某型号的新能源汽车，其电池满电量为千瓦时．目前有两种充电方案可供选择：
方案一：私家安装充电桩，费用为元，每千瓦时电费为元．
方案二：使用公共充电桩，无安装费用，每千瓦时电费（含服务费）为元．
已知新能源汽车充电时存在能量损耗，电池实际每增加千瓦时的电量，需充入千瓦时的电．假设电池的耗电量与行驶里程成正比，且电池从满电千瓦时行驶至千瓦时时，对应的行驶里程为千米．
请解答以下问题：
(1)电池每次从千瓦时充至满电千瓦时，分别计算使用方案一和方案二，单次充电所需支付的电费．
(2)请问该汽车的累计行驶里程为多少千米时，两种充电方案的总费用恰好一样多？
52．（23-24七年级上·河南郑州·期末）【动手实践】
在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．
请利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究．
【实验操作】
(1)若边和边重合摆成图①的形状，则__________；
(2)保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，请问：当为多少度时，．请说明理由；
【拓展延伸】
(3)试探索：保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，使得与中其中一个角是另一个角的两倍，请直接写出所有满足题意的的度数．
课后巩固
复习建议
· 解应用题六步：审题、设元、列方程、解方程、检验、作答，检验必须看是否符合实际
· 找准等量关系是核心：把题目中每一句话翻译成代数式，多一步思考「这个条件怎么用」
· 行程、工程牢记基本量关系：路程=速度×时间、工作总量=效率×时间，画图辅助分析
· 销售盈亏分清进价、标价、售价、折扣、利润率五个量，逐一代入公式
· 综合题先分类：按问题类型（和差倍分、行程、工程、盈亏、配套、方案）选择对应的等量模型
【作业1】．（24-25六年级下·山东威海·期中）将正整数1至6000按一定规律排列如表：同时平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（ ）
1 2 3 4 5 6 7 8
9 11 13 14 15 16
17 18 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31 32
…
A．116 B．117 C．129 D．138
【作业2】．（2025·山西朔州·模拟预测）某学校组织了“学宪法，用宪法”知识竞赛，在必答题环节，共设10道选择题，各题分值相同．下表记录了3名参赛者该环节的得分情况：
参赛者 答对题数 答错题数 得分
甲 4 6 10
乙 10 0 100
丙 5 5 25
已知参赛者丁得了70分，则他答对的题数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【作业3】．（24-25七年级下·广西南宁·开学考试）长沙铜官窑，始于初唐，盛于中晚唐，衰于五代，前后经历了200多年，距今已有1000多年的历史，是中国唐代三大出口瓷窑之一，也是世界釉下多彩陶瓷发源地．铜官某瓷器工厂烧制茶具，每套茶具由1个茶壶和6只茶杯组成．用1千克瓷泥可做3个茶壶或9只茶杯，现要用6千克瓷泥制作茶具，设用千克瓷泥做茶壶时，恰好使制作的茶壶和茶杯配套．根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【作业4】．（23-24七年级上·山东滨州·期末）一件上衣，若售价定为100元，则可盈利；若售价定为120元，则可盈利（ ）
A． B． C． D．
【作业5】．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）甲，乙两车匀速地从A地行驶到B地，已知甲车原计划行驶速度为，实际提速到，实际行驶时间比原计划缩短了．设乙车行驶速度为，行驶的时间为，则（ ）
A． B．两地的距离为
C．乙车行驶的最短时间为 D．乙车行驶的时间可能为4h
【作业6】．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）约1500年前，《孙子算经》中记载了一个有趣的问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡、兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下数，有94只脚，求笼中各有几只鸡和兔？经计算可得（ ）
A．鸡20只，兔15只 B．鸡12只，兔23只
C．鸡15只，兔20只 D．鸡23只，兔12只
【作业7】．（25-26七年级上·天津西青·阶段检测）某商品进价为元，按进价提高后标价，打折销售后仍可获利，则此商品打的折数是______．
【作业8】．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）某校初中一年级举行数学竞赛，参加的人数是未参加人数的3倍，如果该年级学生减少6人，未参加的学生增加6人，那么参加与未参加竞赛的人数之比是．求未参加竞赛的人数．设未参加的学生有x人，根据题意列出方程为_______．
【作业9】．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知四个连续偶数的和为220，则这四个偶数中最小的数是________．
【作业10】．（22-23七年级上·辽宁鞍山·期末）整理一批图书，由一个人做要完成，现计划由一部分人先做，然后增加2人与他们一起做，完成这项工作，假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？如果设安排x人先做， 列方程是____________________________
【作业11】．（23-24七年级上·甘肃白银·期末）周末，乐乐一家和姑姑一家（共6人）相约一起去观看电影《长津湖》．乐乐用手机查到他家附近两家影城的票价和优惠活动如下：
影城 票价（元） 优惠活动
时光影城 48 学生票半价
遇见影城 50 网络购票，总价打八折
乐乐打算用网络给所有人购票，发现两家影城购票的总费用相同，则两家共有学生________人．
【作业12】．（23-24七年级上·辽宁盘锦·期末）12月4日为全国法制宣传日，某校组织全体学生参加法制知识竞赛，共设20道选择题（各题分值相同），每题必答，下表记录了其中3名参赛者的得分情况，若参赛者得76分，则他答对了________题．
参赛者 答对题目 答错题目 得分
18 2 88
20 0 100
12 8 52
【作业13】．（23-24七年级上·广东珠海·期中）如图所示，将圆的周长分为个单位长度，在圆的等分点处标上数字，，，，先让圆周上数字所对应的点与数轴上的数所对应的点重合，再让圆沿着数轴按逆时针方向滚动，那么数轴上的数将与圆周上的数字________重合．
【作业14】．（061第4章自我检测卷同步练习卷）周末，小明和爸爸在的环形绿道上骑车锻炼，他们在同一地点沿着同一方向同时出发，骑行结束后两人有如图所示的对话．
(1)请根据他们的对话内容，求出小明的骑行速度；
(2)爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，再经过多少分钟，小明和爸爸在跑道上相距？
【作业15】．（25-26七年级上·全国·课后作业）两组同学参加某项公益活动．已知第一组同学单独做需要完成，第二组同学单独做需要完成．若第一组同学先做，再由两组同学一起完成剩下的部分，则还需多少分钟才能完成？
【作业16】．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）为提升学生身体素质，落实教育部门有关“中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时”的文件精神，肥东某中学利用课后服务时间，开展班级篮球赛，共16个班级参加．比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分，某班在15场比赛中获得总积分为37分，求该班胜、负场数分别是多少场？
【作业17】．（21-22七年级上·广东广州·开学考试）黄老师带学生们去野炊，1人一个饭碗，2人合用一个菜碗，4人合用一个汤碗，一共用了28个碗，参加野炊的有多少名学生？
【作业18】．（24-25七年级上·陕西西安·阶段检测）《九章算术》是中国古代重要的数学专著，全书收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题，其中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，若每3人乘一辆车，则有2辆空车；若每2人坐一辆车，则有9人需要步行，问人与车各多少？请你解决这个问题．
2
1第10讲·一元一次方程应用·培优讲义
（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年人教版七年级数学上册
参考答案与试题解析
思维导图
课程目标
· 掌握列一元一次方程解应用题的一般步骤：审题、设元、列方程、解方程、检验、作答
· 能解决和差倍分与数字问题，正确设未知数并建立等量关系
· 能解决行程问题（相遇、追及）与工程问题，掌握基本量之间的关系
· 能解决销售盈亏、比赛积分、配套问题，理解售价、进价、利润率等概念
· 能解决几何、方案选择、古代问题等综合应用，会分类讨论与检验答案合理性
知识梳理
☆ 1.一元一次方程应用的一般步骤
审题：弄清题意，找出题中的已知量、未知量与等量关系，这是列方程的关键
设元：用字母（通常设x）表示未知量，可设直接未知数也可设间接未知数，一般问什么设什么
列方程：根据等量关系列出方程，注意单位统一、数量关系准确
解方程并检验作答：求出解后检验是否符合实际意义，最后规范作答
概念辨析例题：某新能源车企今年5月交付新车35060辆，且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆．设该车企去年5月交付新车x辆，根据题意，可列方程为（　　）
答案：1.2x+1100=35060
解析：题中的等量关系为「今年交付量=去年交付量的1.2倍+1100」，去年交付x辆，则1.2x+1100=35060，由该等量关系即可列方程。
☆ 2.和差倍分与数字问题
和差倍分问题：抓住「倍」「多」「少」「和」「差」等关键词，用代数式表示各量再列方程
数字问题：一个两位数=十位数字×10+个位数字，三位数=百位数字×100+十位数字×10+个位数字
数字问题常设数位上的数字为x，再按「原数与新数」的关系列方程
比例分配问题：设每份为x，各部分分别用x的倍数表示，总和等于总量
概念辨析例题：一个两位数，个位数字比十位数字大3，且这个两位数等于其十位数字与个位数字之和的4倍，求这个两位数。
答案：这个两位数为36
解析：设十位数字为x，则个位数字为x+3，这个两位数为10x+(x+3)。由题意：10x+(x+3)=4[x+(x+3)]，解得x=3，故两位数为36。
☆ 3.行程问题与工程问题
行程问题三量：路程=速度×时间（s=vt）；相遇问题：两车路程之和=总路程；追及问题：路程差=追及路程
相遇、追及问题可画线段图分析，明确运动方向（相向、同向）与出发点
工程问题：工作总量=工作效率×工作时间；常把工作总量看作1，则工作效率=
合作问题：合作效率=各效率之和；先单独后合作问题分段列方程
概念辨析例题：一项工程，甲单独做需12天完成，乙单独做需18天完成，两人合作需要多少天完成？
答案：合作需要天完成
解析：把工作总量看作1，甲效率为，乙效率为，合作效率为+=，所需时间为1÷=（天）。
☆ 4.销售盈亏·比赛积分·配套与方案问题
销售盈亏：售价=标价×折扣率；利润=售价-进价；利润率=×100%，盈亏看利润正负
比赛积分：胜场得分+平/负场得分=总积分，先设胜场数x，用总场数表示其他场数
配套问题：按配套比例列方程，如螺钉与螺母1:2配套，则螺母数=2×螺钉数
方案选择问题：分别计算各方案费用，比较大小后作判断；分段计费按不同区间分别计算
概念辨析例题：某商店将进价为120元的商品按标价八折销售，仍可获利20%，求该商品的标价。
答案：标价为180元
解析：设标价为x元，八折售价为0.8x元。利润=售价-进价=0.8x-120，利润率==20%，即0.8x-120=24，解得x=180（元）。
知识总结表
核心概念 定义/公式 注意事项
解应用题六步 审题→设元→列方程→解方程→检验→作答 检验解是否符合实际意义
和差倍分 「比a的b倍多c」即ab+c，和=a+b 找准谁比谁、多多少
行程问题 路程=速度×时间；相遇：s1+s2=S 画线段图分析，单位统一
工程问题 工作总量=效率×时间；总量视为1 效率=
销售盈亏 利润=售价-进价；利润率= 折扣价=标价×折扣率
配套与积分 配套按比例列式；胜场+负场=总场数 注意积分规则的场数关系
核心考点
【考点1】和差倍分与数字问题（第1-12题）
· 抓关键词：倍数、和、差、多、少，先设未知数再逐句翻译成代数式
· 数字问题：用数位表示数（十位a、个位b→10a+b），按「原数-新数」或相等关系列方程
· 检验结果是否为整数、是否符合题意（如数字问题的数位应为0-9的整数）
1．（2024·广东广州·中考真题）某新能源车企今年5月交付新车35060辆，且今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆．设该车企去年5月交付新车辆，根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找出题目中的数量关系是解题关键．设该车企去年5月交付新车辆，根据“今年5月交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆”列出方程即可．
【详解】解：设该车企去年5月交付新车辆，
根据题意得：，
故选：A．
2．（25-26七年级上·全国·课后作业）某校女生人数占全体学生人数的，比男生多120人．设该校共有名学生，根据题意，可得方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用)
【分析】根据女生人数男生人数 的等量关系，结合女生人数、男生人数与总人数的关系，分析每个选项是否符合该等量关系．
【详解】解：A、，表示女生人数等于，不符合“女生比男生多120人”的题意；
B、，表示男生人数等于，不符合“女生比男生多120人”的题意；
C、，表示女生人数减去男生人数等于，符合“女生比男生多120人”的题意；
D、，表示男生人数减去女生人数等于，与“女生比男生多120人”矛盾，不符合题意．
故选： C．
【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用（根据数量关系列方程），解题关键是找准“女生人数与男生人数的差为120”这一等量关系，正确表示出女生和男生的人数．
3．（20-21七年级上·辽宁·期末）一个两位数，十位上的数比个位上的数的3倍大1，个位上的数与十位上的数的和等于9，这个两位数是（ ）
A．54 B．72 C．45 D．63
【答案】B
【知识点】数字问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查一元一次方程的应用，设个位上的数为，则十位上的数为，根据个位上的数与十位上的数的和等于9，建立方程求解，即可解题．
【详解】解：设个位上的数为，则十位上的数为，
个位上的数与十位上的数的和等于9，
，
解得，
个位上的数为，十位上的数为，
则这个两位数是72；
故选：B．
4．（23-24七年级上·辽宁营口·期末）今年小明妈妈和小明的年龄之和是36岁，再过5年，妈妈的年龄是小明年龄的4倍还大1岁，则小明的年龄为几岁．若设今年小明的年龄为x岁，则可列出方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分别确定5年后妈妈的年龄和小明的年龄，即可求解．
【详解】解：再过5年，妈妈的年龄是：；
小明的年龄是：；
∵再过5年，妈妈的年龄是小明年龄的4倍还大1岁，
∴可列方程
故选：A
5．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）有两个数，第一个数比第二个数的倍多，第二个数比第一个数的倍少，问这两个数是多少？设第二个数为，根据题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】数字问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设第二个数为，则第一个数为，根据题意列出方程即可，根据题意找到等量关系是解题的关键．
【详解】解：设第二个数为，则第一个数为，
根据题意可列方程：，
故选：．
6．（25-26七年级上·全国·课后作业）合唱团有男生人，比女生人数的3倍多2人，合唱团的女生有多少人？设合唱团的女生有人，则下面方程中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用)
【分析】根据题意，男生人数人等于女生人数的3倍加2人．设女生人数为x，则女生人数的3倍为，加上2人即为男生人数，由此建立方程．
【详解】设女生有x人，
根据题意，男生人数比女生人数的3倍多2人，
即：，
解方程得：，
，
，
因此，正确的方程为选项D，
其他选项均不符合题意的等量关系，
故选：D．
7．（24-25七年级上·河北衡水·期末）如图，老师在探究“幻方”的数学课上稍加创新改成了“幻圆”游戏，让学生们感悟到我国传统数学文化的魅力．一个小组尝试将数字，2，，4，，6，，8这8个数分别填入圆圈内，使横、竖以及内外两圆上的数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分数字填入圆圈中，则请爱思考的你计算出的值为（ ）
A．或 B．或1 C．或 D．1或
【答案】A
【知识点】数字问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，理解题意是解题关键．这八个数的和是4，所以需满足两个圈的和是2，横、竖的和也是2．再列等式可得结论．
【详解】解：设小圈上的数为c，大圈上的数为d，如图．
因为横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，且这八个数分别为，2，，4，，6，，8，
又因为，
所以横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都为，
所以，，，
所以，，．
所以当时，，此时；
当时，，此时．
综上可知的值为或．
故选A．
二、填空题
8．（23-24七年级上·辽宁营口·期中）甲厂库存钢材100吨，每月用去15吨，乙厂库存钢材82吨，每月用去9吨，经边个月后，两厂剩下的钢材相等，则等于______ ．
【答案】3
【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，根据题意得到甲厂库存为吨，乙厂库存为吨，再由两厂库存相等建立方程求解是解题的关键．
【详解】解：由题意得，，
解得，
故答案为：3．
9．（24-25七年级上·全国·随堂练习）已知一个数与它的的差为6，若设这个数为x，可列方程为______________．
【答案】
【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用)
【分析】根据题目所设未知数，结合“一个数与它的的差为”这一条件，通过对数量关系的分析来列方程．本题主要考查了根据实际问题列一元一次方程，熟练掌握找出题目中的等量关系是解题的关键．
【详解】解：设这个数为
这个数的为
一个数与它的的差为
可列方程为
故答案为：．
10．（23-24六年级下·黑龙江绥化·期中）若三个连续的偶数的和是24，则它们的积是_________．
【答案】
【知识点】多个有理数的乘法运算、数字问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用、有理数的乘法，设中间的偶数为，则相邻的两个偶数分别为，，由题意得出，解方程即可得出三个偶数，再由有理数的乘法计算即可得出答案．
【详解】解：设中间的偶数为，则相邻的两个偶数分别为，，
由题意得：，
解得：，
，，
它们的积是，
故答案为：．
11．（25-26七年级上·全国·课后作业）甲、乙两队参加植树劳动，甲队人数是乙队人数的2倍．若从甲队抽调16人到乙队，则甲队剩下的人数比乙队人数的一半少3．求甲、乙两队原来的人数．
【答案】甲队原来有28人，乙队原来有14人
【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用)
【分析】此题考查了列一元一次方程解应用题，解题的关键是审题，找到题目中的数量关系．
设乙队原来人数为人，则甲队原来人数为人；根据从甲队抽调16人到乙队后，甲队剩下人数比乙队人数的一半少3，列出方程并求解．
【详解】解：设乙队原来有x人，则甲队原来有人．
根据题意得：，
解得：，
所以乙队原来有14人，甲队原来有人．
答：甲队原来有28人，乙队原来有14人．
12．（25-26七年级上·全国·课后作业）某钢厂预计今年的钢产量为230万吨，比去年减少．那么去年的钢产量是多少万吨？（结果保留两位小数）
【答案】
【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用)
【分析】此题考查了列一元一次方程解应用题，解题的关键是审题，找到题目中的数量关系．根据题意，今年钢产量比去年减少，即今年产量是去年的，设去年产量为万吨，列出方程求解即可．
【详解】解：设去年的钢产量为万吨，则今年产量为．
根据题意可得，
解得：，
答：去年的钢产量是万吨．
【考点2】销售盈亏问题（第13-22题）
· 分清进价、标价、售价、折扣：售价=标价×折扣率，利润=售价-进价
· 利润率=×100%，获利20%即利润=20%×进价
· 亏本/盈利判断看利润正负，设进价为x或标价为x再列方程
13．（24-25七年级上·山东济南·期末）一家商店将某种书包按进价提高后标价，又以九折优惠卖出，结果每个书包仍获利元．设每个书包的进价是元，则所列方程为( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．根据利润售价进价，可以写出相应的方程，本题得以解决．
【详解】解：由题意可得，，
故选：B．
14．（25-26七年级上·湖北宜昌·阶段检测）根据下面栗栗和小齐的对话，判断小齐买平板电脑的预算是（ ）
栗栗：小齐，你之前提到的平板电脑买了没？ 小齐：还没，它的售价比我的预算多1000元呢！ 栗栗：这台平板电脑现在正在打6折呢！ 小齐：是嘛，太好了，这样比我的预算还要少500元！
A．2750元 B．3000元 C．4000元 D．4500元
【答案】A
【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查一元一次方程的应用，设小齐买平板电脑的预算是x元，则电脑售价为元，根据对话建立方程求解．
【详解】解：设小齐买平板电脑的预算是x元，则电脑售价为元，
根据题意得，
∴
∴小齐买平板电脑的预算是2750元．
故选：A．
15．（24-25七年级上·江苏连云港·开学考试）某笔记本电脑去年提价，今年想要恢复原价，则应打（　　）折
A．七 B．七五 C．八 D．八五
【答案】C
【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)
【分析】设原价为x元，提价后价格为，设打了m折，根据题意得，解答即可．
本题考查了一元一次方程的应用打折问题，熟练掌握打折问题是解题的关键．
【详解】解：设原价为x元，提价后价格为，
设打了折，根据题意得，
解得即打八折．
故选：C．
16．（24-25六年级下·山东东营·期中）2025年东营市援疆团队在和黄河会展中心举行“大仓东移，新疆产品展销”活动，活动从1月18日一直持续至2月17日．某种商品每件的进价为元，标价为元，为了扩大营销，某展柜准备打折销售，若使利润率为，则应打__________折．
【答案】八
【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意，找到等量关系，列出一元一次方程是解题的关键．设商店应打折，根某种商品每件的进价为元，标价为元，利润率为，根据题意列方程进行求解即可．
【详解】解：设商店应打折，
由题意可得，
解得
商店应打八折，
故答案为：八．
17．（25-26七年级上·全国·课后作业）某种商品的进价为90元，若以九折降价出售，仍获利20%，则商品的标价为_________元
【答案】120
【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解决问题的关键是搞清楚销售问题中各个量之间的关系．
利润＝售价进价＝进价利润率，据此列方程求解．
【详解】解：设该商品的标价为元．根据题意得
解得 ．
故答案为：120．
18．（25-26七年级上·河北石家庄·期末）某商场销售一款服装，每件的进价为90元，若以标价的八折销售，仍可获利30元，则这款服装每件的标价为 _____________ 元．
【答案】150
【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)
【分析】设这款服装每件的标价为x元，根据题意列一元一次方程解答即可．
【详解】解：设这款服装每件的标价为x元，
，
解得，
答：这款服装每件的标价为150元．
19．（25-26七年级上·河南驻马店·期末）某超市在“十一”期间推出如下优惠方案：（）一次性购物不超过元不享受优惠；（）一次性购物超过元，但不超过元一律八折；（）一次性购物超过元一律七折．李明两次购物分别付款元，元．如果李明一次性购买与上两次相同的物品应付款______．
【答案】元或元
【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，分情况进行两种优惠方案的分类讨论，结合第一次购物的原价计算总金额后，按对应优惠方案计算付款额，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：首先分析第一次购物付款元：
若享受八折优惠，
设原价为元，则有，付款金额为，
则，
因为实际付款为元，不在此范围内，所以不能是八折优惠；
若享受七折优惠，设原价为元，则，
付款金额为元，与元不符，
因此，第一次购物没有享受优惠，原价即为元；
然后分析第二次购物付款元，分两种情况：
情况：若购物金额超过元但不超过元，享受八折优惠，
设原价为元，根据题意得，
解得，
因为元在元到元之间，
所以符合条件；
情况：若购物金额超过元，享受七折优惠，
设原价为元，根据题意得，
解得元，
因为元超过元，符合条件；
接下来计算一次性购买的应付款：
当两次购物原价总和为（元）时，
因为元超过元，享受七折优惠，
所以应付款（元）；
当两次购物原价总和为（元）时，
因为元超过元，享受七折优惠，
所以应付款（元）；
综上可得：李明一次性购买与上两次相同的物品应付款元或元，
故答案为：元或元．
20．（25-26七年级下·吉林长春·期末）商场为吸引顾客，计划将某种衬衫打折，如果按定价的七折出售将赔20元，而按定价的九折出售将赚10元．设这种衬衫的定价是x元，根据题意列方程为__________．
【答案】
【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)
【分析】本题利用衬衫成本不变的等量关系列方程，先分别用含定价的代数式表示两种销售情况下的成本，再根据成本相等建立方程即可．
【详解】解：由题意得，这种衬衫定价为元，
按定价七折出售售价为元，此时赔20元，因此成本价可表示为元，
按定价九折出售售价为元，此时赚10元，因此成本价可表示为元，
因为衬衫的成本价固定不变，因此可得方程．
21．（2025·陕西西安·模拟预测）汉服是汉民族的传统服饰，是中国“衣冠上国”、“礼仪之邦”、“锦绣中华”的体现，深受小朋友们喜爱．某汉服店老板购进了一批儿童汉服，若每件儿童汉服按标价的九折出售，则每件可赚10元；若按标价的六折出售，则每件亏损20元．求每件儿童汉服的进价．
【答案】每件儿童汉服的进价为80元．
【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用．
设每件儿童汉服的标价为元，根据题意列方程求出，进而即可求出进价．
【详解】解：设每件儿童汉服的标价为元，
根据题意得，
解得，
（元），
每件儿童汉服的进价为80元．
22．（23-24七年级上·广东广州·开学考试）（商品问题）成本为0.25元的练习本1200本按的利润定价出售，结果只卖掉，剩下的练习本打折出售，这样所获得的全部利润是预定利润的．问剩下的练习本出售时是按定价打了几折？
【答案】剩下的练习本出售时是按定价打了8折
【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)
【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，设剩下的练习本出售时是按定价打了折，根据“出售练习本数量为本的利润出售数量为本的利润总利润”列出方程并解答．
【详解】解：设剩下的练习本出售时是按定价打了折，
预定每一本价格为：（元）．
预定每一本利润为：（元）．
预定总利润为：（元）．
根据题意，得．
解得．
答：剩下的练习本出售时是按定价打了8折．
【考点3】行程问题与动点问题（第23-28题）
· 相遇：两人路程之和=总路程；追及：路程之差=初始距离
· 动点问题：用含t的式子表示各点位置，按「相距/重合/中点」关系列方程
· 数轴动点注意点的运动方向与距离公式|a-b|，检验t是否在合理范围
23．（25-26七年级上·宁夏银川·期末）操场一周是400米，小明每秒跑6米，小华骑自行车每秒行驶16米，两人绕跑道同时同地同向而行，他们用了___________秒第一次相遇．
【答案】
40
【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，
先设第一次相遇的时间为t秒，根据路程差等于400列出方程，求出解即可．
【详解】解：设第一次相遇的时间为t秒，根据题意，得
，
解得．
故答案为：40．
24．（23-24七年级下·全国·课后作业）小明骑自行车的速度是12千米/时，一天，小明从家出发骑自行车去学校，恰好准时到达，如果他全程乘坐速度为30千米/时的公共汽车，那么会提前15分钟到达学校，则小明家离学校___________千米，他骑自行车上学需要___________分钟．
【答案】 5 25
【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是找出等量关系列方程．设小明家离学校有x千米，根据题意列出方程即可求解；再用路程除以小明骑自行车的速度即得小明骑自行车上学需要的时间．
【详解】解：设小明家离学校x千米．依题意，
得，
解得．
所以（分钟）．
故小明家离学校5千米，他骑自行车上学需要25分钟．
故答案为5，25．
25．（24-25七年级上·山东德州·阶段检测）在高邮高铁站上车的小明发现：坐在匀速行驶动车上经过一座大桥时，他从刚上桥到离桥（即从车头上桥到车尾离桥）共需要150秒；而从动车车尾上桥开始到车头离桥结束，整列动车完全在桥上的时间是148秒，已知该列动车长为120米，则动车经过的这座大桥的长度为多少米．设这座大桥的长度为x米，可列方程为______．
【答案】
【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用．根据速度，表示出动车速度，再根据动车速度不变列出方程求解即可．
【详解】解：设这座大桥的长度为x米，根据题意得：
，
故答案为：．
26．（22-23七年级上·浙江温州·阶段检测）如图所示，数轴上点表示的数是，点表示的数是，原点为．机器人甲从点出发，速度为每秒个单位，同时机器人乙从点出发，速度为每秒个单位，两机器人同时出发．
(1)机器人甲向右运动，同时机器人乙向左运动，假设它们在点处相遇，求点所表示的数．
(2)如果机器人甲从点处出发向右运动，机器人乙同时从点处出发向右运动，问几秒时机器人乙与原点的距离是机器人甲与原点的距离的倍？
【答案】(1)机器人乙处在位置表示的数为；
(2)秒或时．
【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、行程问题(一元一次方程的应用)
【分析】（1）设秒时，两机器人相遇，根据甲行的路程乙行的路程 、之间距离，列出方程进行解答；
（2）设秒时机器人乙与原点的距离是机器人甲与原点距离的倍，分两种情况：①当甲位于原点左侧时，②当甲位于原点右侧时，分别列出方程解答便可．
【详解】（1）设用时秒，两机器人相遇，由题意得，
，
解得，
∴点在数轴上对应的数为：．
（2）设秒时，机器人乙与原点的距离是机器人甲与原点距离的倍，
则秒后，机器人乙表示的数为：；
当甲位于原点左侧时，可得：
，
解得；
当甲位于原点右侧时，可得，
，
解得．
∴秒或时，机器人乙与原点的距离是机器人甲与原点距离的倍．
【点睛】本题主要考查了列一元一次方程解应用题，涉及数轴上两点距离公式，相遇问题，追及问题，抓住等量关系是解题的关键所在，第（2）小题是一个难点，突破方法是分情况解答．
27．（23-24七年级上·福建福州·期中）如图，数轴上点、对应的数分别为、、，且、、使得与互为同类项．动点从点出发沿数轴以每秒5个单位的速度向右运动，当点运动到点之后立即以原速沿数轴向左运动，动点从点出发的同时动点从点出发沿数轴以每秒1个单位的速度向右运动．设运动的时间为秒，

(1)填空：______，______，点在数轴上所表示的数为______（用含的代数式表示）．
(2)在整个运动过程中，与何时相遇？
(3)若动点从点出发的同时动点也从点出发沿数轴向左运动，运动速度为每秒5个单位长度，是否存在非负数使得在一段时间内为定值，如果不存在，说明理由；如果存在，求出非负数．
【答案】(1)；7；；
(2)秒或秒
(3)或0
【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、已知同类项求指数中字母或代数式的值、几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】（1）根据同类项的定义，可得，即可求解；
（2）分两种情况讨论：当点P从点A向点C运动时，当点P从点C向点A运动时，利用数形结合，即可求解；
（3）根据数轴上两点间的距离，可得当时，；当时，，然后分两种情况讨论：当时，当时，求出的长，结合一元一次方程，即可求解．
【详解】（1）解：∵与互为同类项，
∴，
∴，
点在数轴上所表示的数为；
故答案为：；7；；
（2）解：根据题意得：，，
当点P从点A向点C运动时，此时，，
∵与相遇，
∴，解得：；
当点P从点C向点A运动时，此时，，
∵与相遇，
∴，解得：；
综上所述，与运动秒或秒时相遇；
（3）解：存在，
根据题意得：，
∴当时，；当时，，
当时，，
若，，
∴，
∵非负数使得在一段时间内为定值，
∴，解得：（舍去）；
若，，
∴，
∵非负数使得在一段时间内为定值，
∴，解得：（舍去）；
若，，，
∴，
∵非负数使得在一段时间内为定值，
∴，解得：；
当时，；
∴，
∵非负数使得在一段时间内为定值，
∴，解得：；
综上所述，存在非负数使得在一段时间内为定值，此时n的值为或0．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，数轴和同类项，涉及数形结合思想和分类讨论思想，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程并解答，难度较大．
28．（24-25七年级上·重庆沙坪坝·阶段检测）如图，数轴上有三点、，点表示的数是1，点在点的左侧且，点表示的数是13．
(1)点表示的数是_______，线段的长度是______；
(2)若动点从点出发，沿数轴向右以每秒3个单位长度匀速运动，同时动点从点出发，沿数轴向左以每秒2个单位长度匀速运动，当动点与动点相遇时，动点立即以每秒7个单位长度的速度继续沿数轴向左匀速运动，在、的运动过程中，当、两点间的距离为8个单位长度时，求此时动点在数轴上所对应的数；
(3)若动点从点出发，沿数轴向右以每秒2个单位长度匀速运动，同时，动点从点出发，沿数轴向左以每秒5个单位长度匀速运动，点运动2秒钟后，动点从点出发，沿数轴向左以每秒1个单位长度匀速运动，当动点与动点相遇时，动点立即调头继续以原来的速度沿数轴向右匀速运动；当动点到达点时，动点立即调头继续以原来的速度沿数轴向左匀速运动；当动点到达点时，、、三点同时停止运动，在整个运动过程中，点的运动时间设为（秒），当时，请直接写出所有满足条件的的值，并写出其中一个的解答过程．
【答案】(1)，
(2)此时动点在数轴上所对应的数为或
(3)
由题知，动点与动点相遇时，
有，即，
解得秒，
动点追上动点时，
有，即，
解得秒，
，
①当时，
有，，
，
解得秒，
②当时，
有，，
，
解得秒，
当动点与动点相遇时，动点立即调头继续以原来的速度沿数轴向右匀速运动；
秒时，，即点为数，
点为数，
当调头后与动点相遇时，（秒），即秒，
当动点到达点时，动点立即调头继续以原来的速度沿数轴向左匀速运动，此时秒；
当动点到达点时，、、三点同时停止运动，此时秒，
③当时，
有，
，
，
解得（不符合题意，舍去），
④当时，
有，
，
，
解得（不符合题意，舍去），
当动点立即调头并追上动点时，有追及时间为（秒），
⑤当时，
有，，
，
，
解得，
综上所述，所有满足条件的的值为或或．
【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离求解，即可得到点表示的数，再根据数轴特点即可得到线段的长度；
（2）根据、两点间的距离为8个单位长度，记运动时间为，分以下两种情况：①、两点相遇之前，、两点间的距离为8个单位长度，②、两点相遇之后，、两点间的距离为8个单位长度，根据路程，速度，时间的关系建立等式求出时间，进而根据数轴特点得到动点在数轴上所对应的数，即可解题；
（3）根据，以及动点的运动过程，分以下情况①当时，②当时，③当时，④当时，⑤当时，结合相遇问题和追击问题，分别表示出、、，再建立等式求解，即可解题．
【详解】（1）解：点表示的数是1，点在点的左侧且，
点表示的数是，
点表示的数是13，
线段的长度是，
故答案为：，．
（2）解：、两点间的距离为8个单位长度，分以下两种情况：
记运动时间为时，、两点间的距离为8个单位长度，
①、两点相遇之前，、两点间的距离为8个单位长度，
由题知，，，，
，
，
解得秒，
此时动点在数轴上所对应的数为；
②、两点相遇之后，、两点间的距离为8个单位长度，
当、两点相遇时，有（秒），
当动点与动点相遇时，动点立即以每秒7个单位长度的速度继续沿数轴向左匀速运动，
，
解得秒，
此时动点在数轴上所对应的数为；
综上所述，此时动点在数轴上所对应的数为或；
（3）略
【点睛】本题考查了两点之间的距离，数轴上的动点问题，数轴上表示有理数，一元一次方程的应用，根据题意进行分类讨论是解题的关键．
【考点4】工程问题（第29-32题）
· 工作总量看作1，效率=，合作效率=各效率之和
· 按时间分段：先单独后合作，或交替工作，分别列工作量再求和=1
· 注意完成时间与工作效率互为倒数，设效率或设时间灵活处理
29．（0404.3用一元一次方程解决问题（4）同步练习卷）一项工作甲单独做需，乙单独做需，若甲、乙两人合做，需________才能做完．
【答案】7.5
【知识点】工程问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设甲、乙合作小时完成，根据等量关系列出方程并解方程即可求解，理清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键．
【详解】解：设甲、乙合作需x小时完成，
由题意得：，
解得：，
两人合作，要做7.5小时才能完成．
故答案为：7.5．
30．（2025·陕西咸阳·模拟预测）某条地下管线由甲工程队单独铺设需要20天，由乙工程队单独铺设需要30天，现计划由乙工程队先从一端铺设5天，然后增加甲工程队从另一端和乙工程队同时铺设．则完成这条地下管线的铺设任务时，甲、乙两个工程队合作铺设的天数为______．
【答案】10
【知识点】工程问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设甲、乙两个工程队合作铺设的天数为天，利用甲工程队完成的工程量乙工程队完成工程量工程总量，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
【详解】解：设甲、乙两个工程队合作铺设的天数为天，
根据题意得：，
解得：，
甲、乙两个工程队合作铺设的天数为10天．
故答案为：10．
31．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）某小区计划推进老旧小区改造，若甲工程队单独完成需天，乙工程队单独完成需天，现由两队合作，中途乙队被调走，余下的任务由甲队单独做了天后完成．在这个过程中，甲、乙两队合作了________天．
【答案】3
【知识点】工程问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题为工程问题，将总工作量设为单位，根据各部分工作量之和等于总工作量，列一元一次方程求解即可．
【详解】解：设甲、乙两队合作了天．根据题意，甲一共工作天，乙一共工作天，总工作量为，列方程得：
去分母，得
去括号，得
移项合并同类项，得
系数化为，得
答：在这个过程中，甲、乙两队合作了天．
32．（25-26七年级上·全国·课后作业）甲、乙两队共同承建某工程，甲单独建需8个月完工，乙单独建需5个月完工．现由两队合建，由于开展了劳动竞赛，甲队的工作效率提高了，乙队的工作效率提高了，则两队合建________个月完工．
【答案】2
【知识点】工程问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
设两队合建个月完成，甲队原来的工作效率为，将工作效率提高以后为，乙队原来的工作效率为，将工作效率提高以后为，根据工作效率×工作时间=工作总量列出方程，解方程即可．
【详解】解：设两队合建个月完成，
由题意得，，
解得：．
答：两队合建个月可以完成．
故答案为：．
【考点5】比赛积分与配套问题（第33-40题）
· 比赛积分：设胜x场，用总场数表示负（平）场数，胜分+负分=总积分
· 配套问题：先找配套比例，再按比例列方程（如1:2则其一=另一的2倍）
· 表格/积分表问题逐行分析场数与得分，建立方程组或一元方程
33．（25-26七年级上·全国·课后作业）学校需要定制一批3条腿的桌子．已知某工厂有24名工人，每人每天可以生产20块桌面或300条桌腿．为使每天生产的桌面和桌腿刚好配套，则生产桌面的工人应安排（ ）
A．18名 B．21名 C．20名 D．16名
【答案】C
【知识点】配套问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查一元一次方程的应用，找准等量关系列出方程是解题的关键．
设需要安排名工人生产桌面，则安排名工人生产桌腿，再根据1个桌面配3条桌腿列出方程即可．
【详解】解：设需要安排名工人生产桌面，则安排名工人生产桌腿，根据题意得：
解得：
答：需要安排名工人生产桌面．
故选：．
34．（25-26七年级上·重庆·期末）某大型造船厂计划为一个航母战斗群建造配套舰艇．已知一个标准的战斗群需要配备1艘航母和4艘驱逐舰．该厂有12个船坞，每个船坞每年可以建造1艘航母或2艘驱逐舰．为了能使航母和驱逐舰刚好配套，每年应该安排______个船坞用于建造航母．
【答案】4
【知识点】配套问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意；设每年安排x个船坞建造航母，则建造驱逐舰的船坞数为个，根据配套关系列方程求解即可．
【详解】解：设每年安排x个船坞建造航母，则安排个船坞建造驱逐舰；由题意可得方程：
；
解得：；
故答案为4．
35．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知一个水分子模型教具需要一个氧原子模型和两个氢原子模型组装配套，某工厂现有20名工人，每人每小时平均生产60个氧原子模型或80个氢原子模型．若使每小时生产出的氧原子模型和氢原子模型组装配套，则生产氧原子模型的工人有________名．
【答案】
【知识点】配套问题(一元一次方程的应用)
【分析】根据配套要求确定氢原子模型与氧原子模型的数量关系，设未知数列出一元一次方程求解即可．
【详解】解：设生产氧原子模型的工人有名，则生产氢原子模型的工人有名．
根据组装配套要求，氢原子模型总数为氧原子模型总数的倍，
列方程得，
解得．
36．（25-26七年级上·山西大同·期末）学校组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了2名参赛同学的得分情况：
参赛者 答对题数 答错题数 得分
A 20 0 100
B 19 1 94
同学C得88分，他答对了______道题．
【答案】18
【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据A和B的得分情况，计算每答对一题得分和答错一题扣分，再设C答对x道题，列方程求解，即可作答．
【详解】解：∵参赛者A答对20题得100分，
∴每答对一题得分（分）；
∵参赛者B答对19题应得95分，实际得94分，
∴答错一题扣（分），
设参赛者C答对了x道题，则答错了道题，
∴，
解得，
故答案为：18
37．（24-25七年级上·北京海淀·开学考试）学校组织老师进行智力竞赛，共道题，答对一题得分，不答不给分，答错扣分，已知所有老师的总分为多分，且男老师总分为女老师总分的倍多分，答对总题数为答错总数的倍少题．又知每人恰好有道或道题未答．则男老师的总分_________________分．
【答案】
【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用)
【分析】答错总题数为，女老师总分为，则全校老师总得分为，则有，即，又因答错总题数为，则答对，总得分为，也有，即，又，即，因为为整数，所以为200到233之间能被13整除的整数，符合条件的有206，219，232，对应的x分别是48，51，54，最后分类讨论，从而问题得解．
【详解】解：设答错总题数为，女老师总分为，
则全校老师总得分为，
则有，即，
又因答错总题数为，则答对，
总得分为，
也有，即，
又，即，
因为为整数，所以为200到233之间能被13整除的数，
符合条件的有206，219，232，
对应的分别是48，51，54，
①当时，答对题数为：（道），
一共做了（道），
如果10人参赛，题目一共有（道），
没做的有（道），
不满足每人恰好有道或道题未答；
②当时，答对题数为：（道），
一共做了（道），
如果11人参赛，题目一共有（道），
没做的有（道），
不满足每人恰好有道或道题未答；
③当时，答对题数为：（道），
一共做了（道），
如果11人参赛，题目一共有（道），
没做的有（道），
满足每人恰好有道或道题未答；
所以，，
所以男老师总得分（分）；
答：男老师总得分分．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解答此题的关键是设出适当的未知数，找出未知数的取值范围，进而求解．
三、解答题
38．（25-26七年级上·全国·课后作业）某足球协会举办了一次足球比赛，其中得分规则及奖励方案如下表：
规则 胜一场 平一场 负一场
积分/分 3 1 0
人均奖金/元 1500 700 0
当队比赛完12场时，共积20分，并且没有负场．
(1)队胜、平各几场？
(2)每赛1场，队每名队员均获得出场费500元，那么比赛完12场后，队的每名队员所得奖金与出场费共多少元？
【答案】(1)队胜4场，平8场．
(2)队的每名队员所得奖金与出场费共17600元．
【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、比赛积分(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，本题中根据总场数和总积分不变，设队胜x场，解决问题的关键是列出方程求解．
（1）设A队胜x场，则平了场，根据总积分为20分列出方程即可求解；
（2）根据（1）中求得胜场数和平场数计算每名队员的奖金和出场费的总和即可解题．
【详解】（1）解：设队胜场，则平场．
根据题意，得，
解得，
则．
故队胜4场，平8场．
（2）解：（元）．
故队的每名队员所得奖金与出场费共17600元．
39．（24-25九年级下·甘肃陇南·开学考试）投壶是中国古代的一种弓箭投掷游戏，珍珍玩了两局，每局投10次，弓箭投入壶内、壶耳，落在地上会得到不同的分数，计分规则如下：
投中位置 投入壶内 投入壶耳 落在地上
一次计分 3分 1分 -2分
在第一局中，珍珍投入壶内3次，壶耳5次，其余均落在地上．
(1)求珍珍第一局的得分；
(2)第二局，珍珍投入壶内3次，壶耳次，其余均落在地上．珍珍的本局得分是否可能比第一局提高5分？请判断并说明理由．
【答案】(1)10分；
(2)
不可能，
理由：由题意，得 ，
解得，
为正整数，
不符合题意，
即珍珍的本局得分不可能比第一局提高．
【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、比赛积分(一元一次方程的应用)
【分析】此题考查了有理数的混合运算和一元一次方程的实际应用，解题的关键是熟练掌握正确列出算式和方程．
（1）根据计分规则用数量乘以分数求和即可得到答案；
（2）根据规则分数列方程求解即可得到答案．
【详解】（1）解：珍珍第一局的得分：（分）；
（2）略
40．（25-26七年级上·河南许昌·阶段检测）实际应用题
(1)许昌市“共享单车”的收费标准是：每30分钟1元（不足30分钟按30分钟计算）．小明骑了1小时40分钟，需要付费多少元？
(2)某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？
(3)许昌到郑州的公路长约，一辆客车从许昌出发，速度为，同时一辆货车从郑州出发，速度为，两车相向而行，多少小时后相遇？
【答案】(1)4元
(2)生产螺钉：10名，生产螺母：12名
(3)小时
【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、配套问题(一元一次方程的应用)、行程问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了整数计算的实际应用，和一元一次方程的实际应用．正确理解题意，并列出正确的算式或者方程是解题的关键．
（1）根据小明骑了1小时40分钟，不足30分钟按30分钟计算，即可求解；
（2）设生产螺钉的工人有名，则生产螺母的工人有名，由一个螺钉配两个螺母可知螺母的个数是螺钉个数的2倍，从而得出等量关系，然后列出方程求解即可；
（3）设两车相向而行，多少小时后相遇，由题意得等量关系：路程和等于速度和相遇时间，然后列出方程求解即可．
【详解】（1）解：1小时40分钟，
，
，
小明需要付费（元）；
（2）解：设生产螺钉的工人有名，则生产螺母的工人有名，
由题意得，，
解得，
生产螺钉的工人有10名，生产螺母的工人有名；
（3）解：设小时后相遇，
由题意得，，
解得，
两车相向而行，小时后相遇．
【考点6】几何·方案·古代及其他综合（第41-52题）
· 几何问题：周长、面积公式建立等量关系，注意单位换算
· 方案选择：分别算清各方案费用再比较；分段计费按区间讨论
· 古代问题：理解题意翻译为现代数学语言，鸡兔同笼类设头数或脚数
· 日历/规律问题：相邻日期相差7或1，设中间数为x表示其他数
41．（22-23七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）某中学修建综合楼后，剩有一块长比宽多、周长为的长方形空地．为了美化环境，学校决定将它种植成草皮，每平方米草皮的种植成本最低是a元，那么种植草皮至少需用（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
【答案】C
【知识点】列代数式、几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】此题关键是利用周长公式 先求出长与宽，再算出面积，才能算出种植草皮需要的钱.
【详解】设长方形宽的长度为，则 ，
解得：，
∴长为，
则草皮成本价(元)。
故选：C.
42．（24-25七年级下·重庆万州·阶段检测）如图，一块长、宽的长方形纸板，一块长、宽的长方形纸板，与一块正方形以及另两块长方形纸板，恰好拼成一个大正方形，则大正方形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
设小正方形的边长为，依据小正方形的边长的表达式，可得方程，进而得出大正方形的边长及面积．
【详解】解：设小正方形的边长为，
依题意得，
解得，
，
∴大正方形的边长为厘米，
∴大正方形的面积是（平方厘米），
答：大正方形的面积是平方厘米．
故选：D
43．（24-25九年级下·全国·二轮复习）某班到文具店采购作业本，经询问得知作业本的定价为每本元，通过协商，文具店提供了两种购买方式，并要求只能从中选择一种．方式一：每本优惠售价为元；方式二：购买数量不多于本时按定价销售，超过本，则超过部分按定价的八折销售．设该班购买作业本的数量为（）．当方案一和方案二所需的费用一样多时，购买作业本的数量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】方案选择(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，利用总价单价数量，结合方案一和方案二所需的费用一样多，可列出关于的一元一次方程，解之即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键．
【详解】解：根据题意得，，
解得，
∴当方案一和方案二所需的费用一样多时，购买作业本的数量为本，
故选：．
44．（25-26七年级上·山东济南·期末）某地天然气收费方案如下：
阶梯 年用气量 价格 补充说明
第一阶梯 （含）的部分 1.5元 当家庭人口超过3人时，每增加1人，第一、二阶梯年用气量上限将分别增加110、150，同时，第二、三阶梯年用气量下限随之调整，每一阶梯的价格保持不变．
第二阶梯 （含）的部分 3元/
第三阶梯 以上的部分 5元/
甲户家庭人口为3人，乙户家庭人口为4人．某年甲、乙两户年用气量之和为，甲户年用气量大于乙户年用气量．已知甲、乙两户一共缴纳燃气费用1800元．设甲户的用气量为，则所列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查一元一次方程应用，核心是先判断甲、乙两户用气量所在的收费阶梯，再根据总费用列出对应方程．
【详解】解：∵甲户家庭人口为3人，年用气量为，且甲户年用气量大于乙户，两户用气量和为，
∴，即，
∴，，
∴甲户用气量超过第一阶梯上限，其费用为，
∵乙户家庭人口为4人，每增加1人第一阶梯上限增加，
∴乙户第一阶梯上限为
又∵乙户年用气量为，
∴乙户用气量全部在第一阶梯，费用为
∵两户总费用为1800元
∴可列方程：，
故选：C
45．（24-25七年级上·全国·课后作业）用一根长为的铁丝围成一个长方形，已知长比宽的1.5倍少，设长方形的宽为，则的值为___________．
【答案】18
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查一元一次方程的应用，因为长方形的宽为，长比宽的1.5倍少，所以该长方形的长为，则该长方形的周长可表示为，于是列方程得，列方程求出a的值即可．
【详解】解：根据题意得：，
解得，
故答案为：18．
46．（25-26七年级上·湖北随州·期末）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．现将，，，，，，0，1，2分别填入如图所示的幻方中，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和均相等，则这个和为_________，表中“☆”处的值为_________．
【答案】 1
【知识点】古代问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用．
先求出三个数字之和为，再根据每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等求出☆即可．
【详解】解：，，
且数字共3行，3列，
每行、每列、每条对角线上的三个数之和为，不妨设空格处数字为，
，解得，
，解得，
，解得，
，解得，
，解得．
故答案为：；．
47．（23-24七年级上·广东珠海·期末）综合与实践
如图1，用一根质地均匀的的木杆和一些等重量的小物体做下列实验，并记录每一次支点到木杆左右两边挂重物的距离：
①在木杆中间处栓绳作为支点，将木杆吊起来并使左右平衡；
②在木杆两端各悬挂一重物，看左右是否保持平衡；
③在木杆左端小物体下加挂一重物，然后把这两个重物一起向右移动，直至左右平衡；
④在木杆左边继续加挂重物，并重复以上操作和记录如下：
木杆左边挂 重物个数 支点到木杆左边挂 重物的距离 木杆右端挂 重物个数 支点到木杆右端挂 重物的距离
1 1
2 1
3 1
…… …… 1
…… 1
(1)根据以上的实验记录数据规律，在右端重物个数不变的情况下，若木杆左边悬挂6个重物时，左边重物到支点距离为______；
(2)如图2，在木杆右端挂一重物，支点左边挂个重物，并使左右平衡．设木杆长为，支点到木杆左边挂重物处的距离为，把，作为已知数，列出关于的一元一次方程______．
【答案】(1)
(2)
【知识点】有理数除法的应用、数字类规律探索、其他问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，列方程，解题的关键是理解题意，根据表格中数据找出规律．
（1）观察表中数据，即可得出规律，即可求解；
（2）根据得出的规律列方程求解即可．
【详解】（1）解：由表格可得，左边物体的个数与物体到支点的距离的乘积保持不变，均为15，是木杆总长度的一半，
∴当木杆左边挂6个重物时，支点到木杆左边挂重物处的距离为，
故答案为：；
（2）解：∵左边物体的个数与物体到支点的距离的乘积保持不变，是木杆总长度的一半，
∴可以列方程．
48．（0324.1等式与方程（2）同步练习卷）根据所设未知数列方程：
(1)如图，三角形的周长为．
(2)小山今年岁，爷爷岁，几年后小山的年龄是爷爷年龄的？
(3)如图，将一根长的绳子对折后剪去，剩余部分展开后长．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．
（1）根据三角形的周长公式列方程即可；
（2）设年后小山的年龄是爷爷年龄的，根据题意列方程即可；
（3）绳子对称后长为，对折剪去后剩下，展开后剩，据此解答即可．
【详解】（1）解：由图可知，三角形的三条边长为、、，
三角形的周长为，
；
（2）解：设年后小山的年龄是爷爷年龄的，
小山今年岁，爷爷岁，
；
（3）解：将一根长的绳子对折后长为，对折剪去后剩下，展开后剩，
．
49．（24-25七年级上·河北唐山·期末）按要求作答：
(1)画图，以为端点，引条射线，，，使得；
(2)在（1）中，若，比的倍少，求的度数．
【答案】(1)
如下图所示．
(2)
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、角的比较、几何图形中角度计算问题
【分析】本题考查了角的定义，画射线，角的和差计算，一元一次方程的应用；
（1）利用角的和差定义画出图形即可；
（2）设，则，构建方程求解．
【详解】（1）略
（2）解：设，则，
因为，
所以，解得
所以．
50．（23-24七年级上·辽宁大连·期末）观察下列三行数，回答下面的问题：
，4，，16，，…；①
0，6，，18，，…；②
，2，，8，…；③
(1)第①行的第4个数是________；第①行的第个数是________；
(2)设第①行第个数为，写出第②行的第个数是________（用含的式子表示）；
(3)若第③行连续三个数的和恰为，求这三个数．
【答案】(1)，
(2)
(3)这三个数为，，
【知识点】用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索、数字问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了数字的变化规律，一元一次方程的应用，列代数式，找出数字之间的联系，得出运算规律，利用规律解决问题是解此题的关键．
（1）观察可看出第①行的有理数分别是，，，，…，由此即可得出第①行的第4个数和第个数；
（2）观察数据得出第②行的数为第①行对应的数加上2，由此即可得出答案；
（3）设第③行连续的三个数为，，，由题意得出一元一次方程，解方程即可得出答案．
【详解】（1）解：第①行的有理数分别是，，，，…，
第①行的第4个数是，第①行的第个数是，
故答案为：，；
（2）解：，，，，…，
第②行的数为第①行对应的数加上2，
设第①行第个数为，则第②行的第个数是，
故答案为：；
（3）解：，，，，…，
设第③行连续的三个数为，，，
由题意得：，
解得：，
，，
这三个数为，，．
51．（2026·贵州安顺·二模）刘师傅购买了一辆某型号的新能源汽车，其电池满电量为千瓦时．目前有两种充电方案可供选择：
方案一：私家安装充电桩，费用为元，每千瓦时电费为元．
方案二：使用公共充电桩，无安装费用，每千瓦时电费（含服务费）为元．
已知新能源汽车充电时存在能量损耗，电池实际每增加千瓦时的电量，需充入千瓦时的电．假设电池的耗电量与行驶里程成正比，且电池从满电千瓦时行驶至千瓦时时，对应的行驶里程为千米．
请解答以下问题：
(1)电池每次从千瓦时充至满电千瓦时，分别计算使用方案一和方案二，单次充电所需支付的电费．
(2)请问该汽车的累计行驶里程为多少千米时，两种充电方案的总费用恰好一样多？
【答案】(1)
使用方案一单次电费为元，使用方案二单次电费为元.
(2)
累计行驶里程为千米时，两种充电方案的总费用恰好一样多.
【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、方案选择(一元一次方程的应用)
【分析】（1）根据每千瓦时所需电费计算出所需费用；
（2）设该汽车的累计行驶里程为千米时，根据两种充电方案的总费用相同列方程求解．
【详解】（1）解：使用方案一，单次电费为元，
使用方案二，单次电费为元；
（2）解：设该汽车的累计行驶里程为千米时，两种充电方案的总费用恰好一样多，
根据题意可得：，
解得：，
答：累计行驶里程为千米时，两种充电方案的总费用恰好一样多.
52．（23-24七年级上·河南郑州·期末）【动手实践】
在数学研究中，观察、猜想、实验验证、得出结论，是我们常用的几何探究方式．
请利用一副含有角的直角三角板和含有角的直角三角板尝试完成探究．
【实验操作】
(1)若边和边重合摆成图①的形状，则__________；
(2)保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，请问：当为多少度时，．请说明理由；
【拓展延伸】
(3)试探索：保持三角板不动，将角的顶点与三角板的角的顶点重合，然后摆动三角板，使得与中其中一个角是另一个角的两倍，请直接写出所有满足题意的的度数．
【答案】(1)
(2)或
(3)的度数为或
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、三角板中角度计算问题
【分析】（1）根据解答即可；
（2）利用分类思想解答即可．
（3）利用分类思想，借助一元一次方程解答即可．
【详解】（1）解：根据题意，得，
故答案为：．
（2）解：或．
理由：如答图① ，
∵，
∴.
如答图②，∵，
∴.
（3）解：当边在边右侧时，
如答图③，设，
则有，
解得，
或，
解得，
当边在边左侧时，如答图④，
设，
则有，
解得，
或，
解得.
综上所述，的度数为或.
【点睛】本题考查了三角板的应用，分类思想，一元一次方程的应用，角的和差计算，熟练掌握解方程是解题的关键.
课后巩固
复习建议
· 解应用题六步：审题、设元、列方程、解方程、检验、作答，检验必须看是否符合实际
· 找准等量关系是核心：把题目中每一句话翻译成代数式，多一步思考「这个条件怎么用」
· 行程、工程牢记基本量关系：路程=速度×时间、工作总量=效率×时间，画图辅助分析
· 销售盈亏分清进价、标价、售价、折扣、利润率五个量，逐一代入公式
· 综合题先分类：按问题类型（和差倍分、行程、工程、盈亏、配套、方案）选择对应的等量模型
【作业1】．（24-25六年级下·山东威海·期中）将正整数1至6000按一定规律排列如表：同时平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是（ ）
1 2 3 4 5 6 7 8
9 11 13 14 15 16
17 18 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31 32
…
A．116 B．117 C．129 D．138
【答案】A
【知识点】数字类规律探索、日历问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及规律型中数字的变化类，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设中间数为，则另外两个数分别为，进而可得出三个数之和为，令其分别等于四个选项中数，解之即可得出的值，由为整数、不能为第一列及第八列数，即可确定值，此题得解．
【详解】解：设中间数为，则另外两个数分别为，
∴三个数之和为．
当时，
解得：，
∵，
∴116符合题意，故A符合题意；
当时，
解得：，故B不合题意；
当时，
解得：，故C不合题意；
当时，
解得：，故D不符合题意．
故选：A．
【作业2】．（2025·山西朔州·模拟预测）某学校组织了“学宪法，用宪法”知识竞赛，在必答题环节，共设10道选择题，各题分值相同．下表记录了3名参赛者该环节的得分情况：
参赛者 答对题数 答错题数 得分
甲 4 6 10
乙 10 0 100
丙 5 5 25
已知参赛者丁得了70分，则他答对的题数是（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据乙、丙的答题及得分情况，可求出答对一题得10分，答错一题倒扣5分，设参赛者丁答对x道题，则答错道题，利用得分情况可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：∵
，
∴答对一题得10分，答错一题倒扣5分．
设参赛者丁答对x道题，则答错道题，
根据题意得，
解得，
∴参赛者丁答对8道题．
故选：C．
【作业3】．（24-25七年级下·广西南宁·开学考试）长沙铜官窑，始于初唐，盛于中晚唐，衰于五代，前后经历了200多年，距今已有1000多年的历史，是中国唐代三大出口瓷窑之一，也是世界釉下多彩陶瓷发源地．铜官某瓷器工厂烧制茶具，每套茶具由1个茶壶和6只茶杯组成．用1千克瓷泥可做3个茶壶或9只茶杯，现要用6千克瓷泥制作茶具，设用千克瓷泥做茶壶时，恰好使制作的茶壶和茶杯配套．根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】配套问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用根据题意找准等量关系，正确列出方程式解题的关键．
设用千克瓷泥做茶壶，则可制作个茶壶，个茶杯，列方程即可．
【详解】解：根据题意列方程得，
故选：C ．
【作业4】．（23-24七年级上·山东滨州·期末）一件上衣，若售价定为100元，则可盈利；若售价定为120元，则可盈利（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，设进价为x元，根据售价定为100元，则可盈利列出方程，解方程得出进价，再根据售价定为120元时，求出利润率即可．
【详解】解：设进价为x元，根据题意得：
，
解得，
若售价定为120元，则可盈利．
故选：B．
【作业5】．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）甲，乙两车匀速地从A地行驶到B地，已知甲车原计划行驶速度为，实际提速到，实际行驶时间比原计划缩短了．设乙车行驶速度为，行驶的时间为，则（ ）
A． B．两地的距离为
C．乙车行驶的最短时间为 D．乙车行驶的时间可能为4h
【答案】D
【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查一元一次方程的应用，设两地的距离为千米，列方程求出两地的距离，然后根据路程速度时间逐项判断解答即可．
【详解】解：设两地的距离为千米，
则，
解得，故B选项错误；
乙车行驶速度为，故A选项错误；
当，乙车行驶时间最短为：，故C选项错误，D选项正确；
故选：D．
【作业6】．（23-24七年级下·河北邯郸·期末）约1500年前，《孙子算经》中记载了一个有趣的问题：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡、兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下数，有94只脚，求笼中各有几只鸡和兔？经计算可得（ ）
A．鸡20只，兔15只 B．鸡12只，兔23只
C．鸡15只，兔20只 D．鸡23只，兔12只
【答案】D
【知识点】古代问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程在“鸡兔问题”中的实际应用，解题的关键是未知数的设法：若设兔为x只，则由于鸡兔共35只，则鸡有只．
分别设出鸡、兔的只数，然后根据脚的总数建立方程即可：兔的脚数鸡的脚数．
【详解】解：设笼中有x只兔，则有只鸡．
依据题意得：，
去括号得：
移项合并同类项得：，
∴．
即兔有12只，则鸡有：（只）．
故选：D．
【作业7】．（25-26七年级上·天津西青·阶段检测）某商品进价为元，按进价提高后标价，打折销售后仍可获利，则此商品打的折数是______．
【答案】八
【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意求出标价和售价，设此商品打折销售，根据题意列出方程解答即可求解，理解题意是解题的关键．
【详解】解：由题意得，提高后标价为元，获利的售价为元，
设此商品打折销售，
则，
解得，
∴此商品八折销售，
故答案为：八．
【作业8】．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）某校初中一年级举行数学竞赛，参加的人数是未参加人数的3倍，如果该年级学生减少6人，未参加的学生增加6人，那么参加与未参加竞赛的人数之比是．求未参加竞赛的人数．设未参加的学生有x人，根据题意列出方程为_______．
【答案】
【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．设原来未参加的学生有人，则参赛人数是人，根据该年级学生减少6人，未参加的学生增加6人，那么参加与未参加竞赛的人数之比是，列出方程即可．
【详解】解：设原来未参加的学生有人，则参赛人数是人，根据题意可得：
，
故答案为：．
【作业9】．（25-26七年级上·全国·课后作业）已知四个连续偶数的和为220，则这四个偶数中最小的数是________．
【答案】52
【知识点】数字问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程．
设四个连续偶数中最小的偶数为，则另外三个偶数分别为，，，这四个偶数的和可以表示为 ，合并同类项，得，解出方程即可．
【详解】解：设四个连续偶数中最小的偶数为，则另外三个偶数分别为，，，
由题意得： ，
∴，
解得：，
∴这四个偶数中最小的数为．
故答案为：．
【作业10】．（22-23七年级上·辽宁鞍山·期末）整理一批图书，由一个人做要完成，现计划由一部分人先做，然后增加2人与他们一起做，完成这项工作，假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？如果设安排x人先做， 列方程是____________________________
【答案】
【知识点】工程问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了从实际问题抽象出一元一次方程，设全部工作量是1，由一个人做要30小时完成，即一个人一小时能完成全部工作的，这部分共有x人，根据本题中的等量关系“这部分人4小时的工作量+增加2人后所有人5小时的工作量=全部工作量”即可得方程
【详解】解：由题意，得
．
故答案为：．
【作业11】．（23-24七年级上·甘肃白银·期末）周末，乐乐一家和姑姑一家（共6人）相约一起去观看电影《长津湖》．乐乐用手机查到他家附近两家影城的票价和优惠活动如下：
影城 票价（元） 优惠活动
时光影城 48 学生票半价
遇见影城 50 网络购票，总价打八折
乐乐打算用网络给所有人购票，发现两家影城购票的总费用相同，则两家共有学生________人．
【答案】2
【知识点】方案选择(一元一次方程的应用)
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键．先根据“遇见影城”的优惠方式可计算出总费用；然后设６人中学生x人，则成年人人，根据“时光影城”的优惠方式计算费用列出一元一次方程，求解即可．
【详解】解∶共有6人看电影，根据“遇见影城”的优惠方式总费用为：
(元)，
．购票的总费用是240元；
设6人中学生x人，则成年人人，
根据“时光影城”的优惠方式计算费用得：
，
解得：．
故答案为：2．
【作业12】．（23-24七年级上·辽宁盘锦·期末）12月4日为全国法制宣传日，某校组织全体学生参加法制知识竞赛，共设20道选择题（各题分值相同），每题必答，下表记录了其中3名参赛者的得分情况，若参赛者得76分，则他答对了________题．
参赛者 答对题目 答错题目 得分
18 2 88
20 0 100
12 8 52
【答案】16
【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用)
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法，列出一元一次方程是解题的关键．设答对一题得分，答错一题扣分，参赛者答对了题，根据题意列出方程即可得到答案．
【详解】解：设答对一题得分，答错一题扣分，参赛者答对了题，
由题意得，
解得，
，
解得，
，
解得．
故答案为：．
【作业13】．（23-24七年级上·广东珠海·期中）如图所示，将圆的周长分为个单位长度，在圆的等分点处标上数字，，，，先让圆周上数字所对应的点与数轴上的数所对应的点重合，再让圆沿着数轴按逆时针方向滚动，那么数轴上的数将与圆周上的数字________重合．
【答案】
【知识点】用数轴上的点表示有理数、动点问题（一元一次方程的应用）
【分析】本题考查了数轴，解题的关键是找到数轴上的数与圆周上数字之间的对应关系．根据周长为个单位长度，利用除以，进而可得答案．
【详解】解：根据题意得：，
圆周上数字所对应的点与数轴上的数所对应的点重合，
数轴上的对应圆周上的，
数轴上的数将与圆周上的数字重合，
故答案为：．
【作业14】．（061第4章自我检测卷同步练习卷）周末，小明和爸爸在的环形绿道上骑车锻炼，他们在同一地点沿着同一方向同时出发，骑行结束后两人有如图所示的对话．
(1)请根据他们的对话内容，求出小明的骑行速度；
(2)爸爸第一次追上小明后，在第二次相遇前，再经过多少分钟，小明和爸爸在跑道上相距？
【答案】(1)
(2)或
【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，读懂题意找准等量关系列出一元一次方程是解题关键．
（1）设小明的骑行速度，则爸爸的骑行速度，根据题意列一元一次方程，解方程即可；
（2）设在第二次相遇前，再经过，小明和爸爸在跑道上相距，分两种情况讨论，再根据题意列一元一次方程，解方程即可．
【详解】（1）解：设小明的骑行速度为，则爸爸的骑行速度为
根据题意，得：
解得：
答：小明的骑行速度为．
（2）解：设在第二次相遇前，再经过，小明和爸爸在绿道上相距
①爸爸又比小明多骑了
根据题意，得：
解得：；
②爸爸又比小明多骑了
根据题意，得：
解得：．
答：在第二次相遇前，再经过或，小明和爸爸在跑道上相距．
【作业15】．（25-26七年级上·全国·课后作业）两组同学参加某项公益活动．已知第一组同学单独做需要完成，第二组同学单独做需要完成．若第一组同学先做，再由两组同学一起完成剩下的部分，则还需多少分钟才能完成？
【答案】24分钟
【知识点】工程问题(一元一次方程的应用)
【分析】此题考查了列一元一次方程解应用题，解题的关键是审题，找到题目中的数量关系．
设还需分钟完成，总工作量为1，分别计算第一组和第二组的工作效率，再根据第一组先完成的工作量求出剩余工作量，最后利用合作效率列方程求解即可．
【详解】解：设还需分钟完成，总工作量为1，第一组的工作效率为，第二组的工作效率为，
则，
解得：．
故还需24分钟．
【作业16】．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）为提升学生身体素质，落实教育部门有关“中小学生每天综合体育活动时间不低于2小时”的文件精神，肥东某中学利用课后服务时间，开展班级篮球赛，共16个班级参加．比赛积分规定：每场比赛都要分出胜负，胜一场积3分，负一场积1分，某班在15场比赛中获得总积分为37分，求该班胜、负场数分别是多少场？
【答案】该班胜场数是11场，负场数为4场
【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设该班胜场数是x场，则负场数为场，利用总积分胜场数负场数，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值（即胜场数），再将其代入中，即可求出负场数．
【详解】解：设该班胜场数是x场，则负场数为场，
根据题意得：，
解得：，
∴（场）．
答：该班胜场数是11场，负场数为4场．
【作业17】．（21-22七年级上·广东广州·开学考试）黄老师带学生们去野炊，1人一个饭碗，2人合用一个菜碗，4人合用一个汤碗，一共用了28个碗，参加野炊的有多少名学生？
【答案】参加野炊的有16名学生
【知识点】和差倍分问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设参加野炊的有x名学生，根据1人一个饭碗，2人合用一个菜碗，4人合用一个汤碗，一共用了28个碗，列出一元一次方程，解方程即可．
【详解】解：设参加野炊的有x名学生，
由题意得：，
解得：，
答：参加野炊的有16名学生
【作业18】．（24-25七年级上·陕西西安·阶段检测）《九章算术》是中国古代重要的数学专著，全书收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题，其中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，若每3人乘一辆车，则有2辆空车；若每2人坐一辆车，则有9人需要步行，问人与车各多少？请你解决这个问题．
【答案】共有39人，15辆车
【知识点】古代问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设共有x辆车，根据“若每3人乘一辆车，则有2辆空车；若每2人坐一辆车，则有9人需要步行”，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值，再将其代入中，即可求出人数．
【详解】解：设共有x辆车，
根据题意，得，
解得，
（人）．
答：共有39人，15辆车．
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