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第13讲·角·培优讲义
（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年人教版七年级数学上册
参考答案与试题解析
思维导图
课程目标
· 理解角的定义与表示方法，掌握角的度量单位（度、分、秒）及互化、四则运算
· 理解余角、补角的概念，掌握同角（等角）的余角相等、补角相等的性质并能应用
· 理解角平分线的定义，能进行与角平分线有关的简单计算与证明
· 会进行几何图形中的角度计算，能解决三角板、钟面角、方向角等实际角度问题
· 会用一元一次方程解决与角有关的几何问题，体会方程思想在几何中的应用
知识梳理
☆ 1.角的定义、表示与度量
角的定义：由两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角，公共端点是角的顶点，两条射线是角的两条边
角的表示：用三个大写字母（∠AOB）、一个大写字母（∠O）、一个小写希腊字母（∠α）或数字（∠1）表示
度量单位：1°=60′，1′=60″；度、分、秒之间是六十进制，互化与加减运算注意进位、借位
角的分类：锐角（0°<α<90°）、直角（90°）、钝角（90°<α<180°）、平角（180°）、周角（360°）
概念辨析例题：把25°36′化成以度为单位的形式为（　　）
答案：25.6°
解析：36′=36÷60=0.6°，所以25°36′=25°+0.6°=25.6°。注意分与度之间是六十进制，把分除以60化成度。
☆ 2.余角与补角
余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角；补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角
同角（等角）的余角相等；同角（等角）的补角相等——这是两个重要性质
求一个角的余角：90° α；求一个角的补角：180° α；注意区分互余与互补
用方程求角：设未知角为x，按余角或补角的和关系列方程求解
概念辨析例题：若一个角的补角是它的余角的3倍，则这个角的度数是（　　）
答案：45°
解析：设这个角为x°，则补角为180° x，余角为90° x。由题意：180 x=3(90 x)，解得x=45，故这个角为45°。
☆ 3.角平分线
角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线
若OC平分∠AOB，则∠AOC=∠COB=∠AOB，或∠AOB=2∠AOC=2∠COB
角的n等分线：把角分成n个相等部分的射线，每部分为∠AOB
与角平分线有关的计算：设未知角，按平分关系和角之间的和差关系列方程
概念辨析例题：如图，OC是∠AOB的平分线，OD平分∠AOC，若∠AOB=80°，则∠COD的度数是（　　）
答案：20°
解析：OC平分∠AOB，∠AOC=∠AOB=40°；OD平分∠AOC，∠COD=∠AOC=20°。
☆ 4.三角板、钟面角与方向角
三角板：一副三角板的角分别为30°、60°、90°和45°、45°、90°，拼角、叠角问题按和差计算
钟面角：分针每分钟转6°，时针每小时转30°（每分钟转0.5°），某时刻两针夹角按角度差计算
方向角：以观测点为中心，用方向（南、北）+偏角（东、西）描述，如北偏东30°
实际角度问题：先画示意图，标出已知角，按角之间的和差、互余、互补关系求解
概念辨析例题：钟面上8点30分时，时针与分针所成的角是（　　）
答案：75°
解析：8点30分，分针指向6，时针在8和9的正中间（8点过30分，时针走了30×0.5°=15°），从6到8有2大格60°，再加15°，夹角为60°+15°=75°。
知识总结表
核心概念 定义/公式 注意事项
角的度量 1°=60′，1′=60″（六十进制） 互化与运算注意进位、借位
角的分类 锐角、直角90°、钝角、平角180°、周角360° 0°<锐角<90°<钝角<180°
余角与补角 互余和90°；互补和180° 同角（等角）的余角相等、补角相等
角平分线 ∠AOC=∠COB=∠AOB 等分线把角分成相等的部分
钟面角 分针6°/分，时针0.5°/分，30°/时 画钟面图定位时针分针位置
方向角 北偏东α°、南偏西α°等 以南北方向线为基准度量
核心考点
【考点1】角的表示、单位与角度的四则运算（第1-11题）
· 表示角：顶点字母在中间用三个大写字母表示，一个字母表示时以顶点字母表示（顶点处只一个角）
· 度分秒互化：高级单位化低级单位乘60，低级单位化高级单位除以60
· 度分秒加减：相同单位对齐相加减，满60进一、不够借一当60；乘法按度分秒分别相乘再进位
1．（25-26六年级下·山东烟台·期中）如图，下列表示角的方法错误的是（ ）
A．与表示同一个角
B．也可用表示
C．表示的是
D．图中共有三个角，，
【答案】B
【知识点】角的表示方法
【分析】根据角的表示方法即可判断．
【详解】解：A、与的顶点和两边完全一致，是同一个角，说法正确，故选项不符合题意；
B、以O为顶点的角有3个，不可用来表示，说法错误，故选项符合题意；
C、位于射线和之间，表示的是，说法正确，故选项不符合题意；
D、图中共有三个角，分别是，，，说法正确，故选项不符合题意．
2．（25-26七年级上·辽宁铁岭·期末）如图，下列四种说法：①与是同一个角；②也可用来表示；③图中共有三个角：，，；④与是同一个角．其中正确的是________（填序号）．
【答案】①③④
【知识点】角的表示方法
【分析】本题主要考查了角的概念，准确计算是解题的关键．
直接利用角的概念以及角的表示方法，进而分别分析得出即可．
【详解】解：由图可得，与是同一个角；图中共有三个角：，，；与是同一个角；不可用来表示，
∴①③④正确，
故答案为：①③④．
3．（25-26七年级上·江西南昌·期末）如图，在灯塔处观测到轮船位于北偏西的方向，同时轮船在南偏东的方向，则__．
【答案】
【知识点】与方向角有关的计算题、角的单位与角度制
【分析】此题主要考查了方向角，角度制．根据题意找出图中对应角的度数是解题的关键．如图，先计算出的度数，再计算的度数即可．
【详解】解：如图，
由题意得：，
∴，
∴．
故答案为：．
4．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）如果，那么的补角的度数是__________．
【答案】
【知识点】角的单位与角度制、与余角、补角有关的计算
【分析】本题考查了补角，度分秒的换算，如果两个角的和是，那么这两个角互为补角，由此计算即可，熟练掌握互为补角的定义是解题的关键．
【详解】解：，
的补角为，
故答案为：．
5．（25-26七年级·全国·暑假作业）（1）_____________；
（2）_____________；
（3）_____________；
（4）_____________．
【答案】
【知识点】角的单位与角度制、角度的四则运算
【详解】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
6．（23-24七年级上·贵州黔东南·期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】角的单位与角度制、角度的四则运算
【分析】（1）根据角的四则运算法则求解即可．
（2）根据角的四则运算法则求解即可．
本题考查了角的四则运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
7．（23-24七年级下·山东聊城·开学考试）比较与的大小.
【答案】
【知识点】角的单位与角度制、角的度数大小比较
【分析】本题考查角的大小比较，先根据角度的换算得到即可求解．
【详解】解：∵
，
∴．
8．（23-24七年级上·甘肃武威·期末）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)20
(2)
【知识点】含乘方的有理数混合运算、角度的四则运算
【分析】本题考查了含乘方的有理数的混合运算，角度的混合运算，
（1）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可；
（2）先算乘法，再算减法即可；
熟练掌握各个运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：原式
；
（2）原式
．
【考点2】余角与补角（第12-23题）
· 求余角用90° α，求补角用180° α，先判断角的范围
· 同角（等角）的余角相等、补角相等：证明角相等常用此性质
· 倍分关系问题设未知角列方程：补角是余角的k倍，即180° x=k(90° x)
9．（23-24七年级上·山东东营·阶段检测）如图，已知，，垂足是，则图中与相等的角是（ ）
A． B． C． D．和
【答案】B
【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用
【分析】本题考查了同角的余角相等；
根据题意求出，，然后可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
10．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，，则图中与互余的角有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】求一个角的余角
【分析】本题考查了求一个角的余角，根据互为余角的两个角的和为，即可得出答案．
【详解】解：，
，
与互余，
，
与互余，
与互余的角是和，共个，
故选B．
11．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，将一副三角板的直角顶点重合放置于点处（两块三角板看成在同一平面内），下列结论一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角板中角度计算问题、与余角、补角有关的计算、同(等)角的余(补)角相等的应用
【分析】本题考查了角度的计算及直角三角板特性，根据角度的计算及直角三角板特点即可判断得到答案，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：、由题意得，，
∴，
∴，不符合题意；
、根据三角板可知，，不符合题意；
、由题意得，，
∴，
∴，符合题意；
、由题意得，，
∴，
∴，不能说明，不符合题意；
故选：．
12．（23-24七年级下·北京怀柔·期末）如图，直线与交于点O，于点O，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】与余角、补角有关的计算
【分析】本题主要考查了与余角与补角有关的计算，根据补角的定义求出，再由垂线的定义可得出，再根据余角的定义可得出．
【详解】解：∵
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
13．（25-26七年级上·安徽亳州·期末）如果和互余，且，则下列表示的补角的式子中：①；②；③；④．其中不正确的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】D
【知识点】与余角、补角有关的计算
【分析】本题考查余角和补角，根据互余定义，，的补角为，验证各表达式是否等于即可．
【详解】解：∵和互余，
∴，的补角为．
①，直接是补角，正确．
②，正确．
③，正确．
④，故不正确．
∴不正确的是④．
故选：D．
14．（25-26七年级上·河南安阳·期末）一个角的余角，则该角的补角为_____．
【答案】
【知识点】与余角、补角有关的计算
【分析】此题主要考查余角和补角的概念，正确理解概念是解题关键．
直接根据余角和补角的概念即可求解．
【详解】解：由题意得，这个角是，
∴这个角的补角是．
故答案为：．
15．（23-24七年级上·吉林·期末）一个角的补角为，则这个角的度数为_________．
【答案】
【知识点】求一个角的补角
【分析】本题主要考查了补角的定义，根据和为的两个角互为补角计算是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
16．（24-25七年级上·河南新乡·阶段检测）如图，直线交于点O，于点O，，平分，的补角有________个；的余角有________个．
【答案】 3 4
【知识点】求一个角的余角、求一个角的补角
【分析】本题主要考查了余角和补角的定义．熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键．易错点是容易遗漏相等的角的补角与余角．
①根据补角的定义可得是的补角．根据同角的余角相等可得，根据平角的定义可得，进而可得，则可得是的补角，再根据平分，得，所以，故是的补角．综上，的补角有3个；
②由余角的定义可得是的余角．又由，可得是的余角．由可得是的余角．由余角的定义可得是的余角．综上，的余角有4个．
【详解】解：①∵直线、交于点O，
∴，
∴是的补角．
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴是的补角．
又平分，
，
，
，
是的补角．
综上，的补角有3个；
②∵，
∴，
∴是的余角．
∵，
∴是的余角．
∵平分，
∴，
∴是的余角．
∵，
∴，
∴是的余角．
综上，的余角有4个．
故答案为：3，4．
17．（25-26七年级上·吉林松原·期末）已知一个角的余角比这个角大
(1)求这个角的度数；
(2)这个角的补角等于________度．
【答案】(1)
(2)150
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、求一个角的补角、与余角、补角有关的计算
【分析】本题考查了一元一次方程的几何应用，与补角，余角有关的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先设这个角的度数为，再结合一个角的余角比这个角大，进行列式计算，即可作答．
（2）结合补角的概念进行分析，即可作答．
【详解】（1）解：设这个角的度数为，
∵一个角的余角比这个角大
∴
解得，
∴这个角的度数为，
（2）解：由（1）得这个角的度数为，
∴，
∴这个角的补角等于度．
【考点3】角平分线及其计算（第24-35题）
· 角平分线把角分成两个相等角：∠AOC=∠COB=∠AOB
· 多个角平分线连用：逐层平分，先算小角再代入；n等分线每份为∠AOB
· 与线段中点类比：角平分线相当于「角的中点」，计算思路与线段中点一致
18．（24-25七年级下·湖南郴州·期末）如图，射线是的平分线，．已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角平分线的有关计算、角平分线的有关计算
【分析】本题考查与角平分线有关的计算，角平分线求出，垂直得到，角的和差关系求出，再根据平角的定义进行计算即可．
【详解】解：∵射线是的平分线，，，
∴，，
∴，
∴；
故选B．
19．（25-26七年级上·陕西延安·期末）如图，已知，平分，射线在内部，且，作射线，使，则的度数为（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】D
【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算
【分析】本题主要考查角的和差，角平分线与三等分线，掌握分类讨论思想是解题的关键．
由角平分线得到，结合可得，分两种情况：当在下方时，当在上方时，分别画出图形，求出结果即可．
【详解】解：平分，，
，
，
，
当在下方时，如图所示：
∵，
∴；
当在上方时，如图所示：
∵，
∴；
综上，的度数为或．
故选：D．
20．（23-24七年级上·陕西西安·期末）如图，，射线在外，且，若平分，平分，则______．
【答案】
【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，先根据周角的定义得到，进而得到，再有角平分线的定义得到，则．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，平分，
∴，
∴，
故答案为：．
21．（24-25七年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，，平分，则_______．
【答案】
【知识点】角平分线的有关计算
【分析】本题考查了角平分线的定义，根据角平分线的定义即可求解，掌握角平分线的定义是解题的关键．
【详解】解：∵，平分，
∴，
故答案为：．
22．（25-26七年级上·福建厦门·期末）如图，点为直线上的一点，是直角，平分，，射线在的内部，使得，则的度数为_____．
【答案】/144度
【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，由直角的定义得到，则由角平分线的定义得到，，则可求出，根据已知条件可推出，据此求出的度数即可得到答案．
【详解】解：∵是直角，
∴，
∴，
∵平分，
∴，，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
23．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，点O在直线上，平分，且，则_________ ．
【答案】
【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算
【分析】本题考查角的和差运算，角平分线的性质，平角的性质，熟练掌握相关知识是解题关键．
先计算出，再由角平分线的性质求出，进一步求出．
【详解】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
故答案为：．
24．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，点A、O、B在一条直线上，，平分，现将以每秒的速度绕点O顺时针旋转一周，保持不动．当时，的运动时间为__________．
【答案】5秒或41秒
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、角平分线的有关计算
【分析】本题考查与角平分线有关的计算，一元一次方程的应用，设经过秒，，分和，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：∵点A、O、B在一条直线上，，
∴，
∵平分，
∴，
设经过秒，，则：或，
解得或；
故答案为：5秒或41秒．
25．（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，已知与给出部分尺规作图痕迹如图所示（无需补全作图痕迹），尺规作图过程如下：
（1）以为圆心，适当长为半径做弧（弧足够长），交射线，分别为，两点，连接；
（2）以为圆心，长为半径作弧（弧足够长），交于点；
（3）以为圆心，长为半径作弧，交弧于点，作射线；
若，，当为的平分线时，的度数为______．
【答案】或
【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算
【分析】本题考查了作一个角等于已知角，角平分线的定义，角的和差，分射线在的内部和外部两种情况求解即可．
【详解】解：由作图可知，．
如图，当射线在的内部时，
∵，，
∴．
∵为的平分线，
∴；
如图，当射线在的外部时，
∵，，
∴．
∵为的平分线，
∴．
故答案为：或．
26．（23-24七年级上·福建三明·期末）如图，是的平分线，，，则______°．
【答案】
【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算
【分析】本题考查求角度，涉及角平分线定义、角的和差倍分关系等知识，根据题意，数形结合，准确表示出角度的和差倍分是解决问题的关键．
【详解】解： ，
，
，
是的平分线，
，
故答案为：．
27．（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）探究学习，寻求真知
(1)特例感知：如图1，已知线段，线段在线段上运动时（点与点不重合，点与点不重合），点和点分别是的中点．
①若，则______；
②当线段在线段上运动时（点与点不重合，点与点不重合），试判断线段的长度是否发生变化？如果不变，请求出线段的长度？如果变化，请说明理由．
(2)知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在的内部转动，射线和射线分别平分和，请你猜想和之间有怎样的数量关系，并说明理由．
(3)类比探究：如图3，在的内部转动，当时，用含的式子表示和之间的数量关系（直接写出结果）．
【答案】(1)①21；②线段的长度不会发生变化，长度为19
(2)
(3)
【知识点】线段中点的有关计算、角平分线的有关计算、角n等分线的有关计算
【分析】本题主要考查线段中点以及角平分线的定义，线段的和差运算，角的和差运算，熟练掌握线段中点以及角平分线的定义是解决本题的关键．
（1）①根据题意可得，再由线段中点的定义，可得，即可求解；②根据题意可得，再由线段中点的定义，可得，即可求解；
（2）根据角平分线的定义可得，再由，即可求解；
（3）根据，可得，
从而得到，再由，即可求解．
【详解】（1）解：①∵，
∴，
∵，
∴，
∵点和点分别是的中点，
∴，
∴；
故答案为：21
②∵，
∴，
∵点和点分别是的中点，
∴，
∴，
∴线段的长度不会发生变化，长度为19；
（2）解：∵射线和射线分别平分和，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
即；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴．
【考点4】几何图形中的角度计算（第36-47题）
· 图形中角的关系：和差、互余、互补、对顶角（相等）、平角180°
· 多个角在一个图中，用字母表示未知角，按角之间的和差关系列式或列方程
· 注意图形旋转、折叠问题中角的等量关系（折叠前后对应角相等）
28．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）如图，为直线上一点，平分，则，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算
【分析】本题主要考查角平分线的定义及角的和差关系，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键；由题意易得，，然后可得，进而问题可求解．
【详解】解：因为平分，
所以，
因为，
所以，
因为，
所以，
所以；
故选A．
29．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）已知，，则的度数是（ ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【知识点】几何图形中角度计算问题
【分析】本题考查角的计算；需考虑射线相对于的位置，分两种情况讨论.
【详解】解：当在内部时，
∵，
∴；
当在外部时，
∵，
∴；
∴的度数为或.
故选：D.
30．（23-24七年级上·河北沧州·期末）已知，以O为端点作射线，使，则的度数为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【知识点】几何图形中角度计算问题、角度的四则运算
【分析】本题考查角的计算，分两种情况，当射线在外部或内部，分别求出．
【详解】解：当射线在外部，
；
当射线在内部，
，
所以的度数是或．
故选：C．
31．（2025七年级上·重庆·专题练习）如图，C为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，各学习小组经过讨论后得到以下结论，其中正确的说法有（ ）
①与互余 ②
③与互补 ④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算
【分析】本题考查了角平分线的定义，余角和补角的性质，解题的关键是根据角平分线的定义，结合已知条件，分别分析每个结论是否成立即可．
【详解】解：①：∵平分，平分，
∴，，
∵A、C、B在同一条直线上，
∴，
∴，
∴与互余，故①正确；
②：∵，平分，平分，
∴，故②正确；
③：∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴与互补，故③正确；
④：∵，，
∴，
∴，
∴，故④正确，
综上所述，正确的说法有4个，
故选：D．
32．（25-26七年级上·河南周口·阶段检测）已知，，则的度数为___．
【答案】或
【知识点】几何图形中角度计算问题
【分析】本题主要考查了角的和差计算，分两种情况：当射线在内部时和当射线在外部时，根据角的和差关系讨论求解即可．
【详解】解：当射线在内部时，
∵，，
∴；
当射线在外部时，
∵，，
∴；
综上所述，的度数为或，
故答案为：或．
33．（24-25七年级下·山东青岛·期末）新定义：如果的内部有一条射线将分成的两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们称射线为的倍分线，例如，如图，，则为的倍分线应用：若，为的二倍分线，且，则 ______．
【答案】
【知识点】几何图形中角度计算问题
【分析】本题主要考查了角的计算，理解倍分线的定义是解题的关键．
根据为的二倍分线且得出，结合可得求得，进而完成解答．
【详解】解：为的二倍分线，且，
，
，即，
，
，
．
故答案为：．
34．（2023七年级上·安徽芜湖·竞赛）已知，过点作射线平分，且使关于的方程有无数多个解，则__________．
【答案】 或
【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、已知一元一次方程的解，求参数
【分析】本题考查了角平分线的定义，准确识别图形，找到角和角之间的和差关系是解决问题的关键．
方程变形为：，根据题意可得：，，解得：，，分两种情况①在内部，②在外部，根据两角比值列方程即可解决．
【详解】解：由，
，
则，
∵此方程有无数多个解，
∴，，
解得：，，
∴；
分两种情况：
①在内部，
如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∵平分，
∴，
∴；
②在外部，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∵平分，
∴，
∴．
故答案为： 或．
35．（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，已知，，且，求的度数．
【答案】
【知识点】几何图形中角度计算问题
【分析】本题考查了几何图形中角度计算问题，根据，，得，因为，故，即可作答．
【详解】解：∵，，
∴．
∵，
∴，
即，
∴．
36．（22-23六年级下·山东威海·期中）如图，是的平分线，是的平分线．若，你能求出是多少度吗？
【答案】
【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算
【分析】由角平分线的定义得出，，再根据角的和差关系以及等量代换得出，然后把代入计算即可．
【详解】解：∵是的平分线，是的平分线，
∴，，
∵．
∴，
∵，
∴．
【考点5】三角板、钟面角与角的n等分线（第48-57题）
· 三角板拼角：30°、45°、60°、90°两两相加或相减得可拼出的角
· 钟面角：分针6°/分、时针0.5°/分，先定位两针位置再算夹角（取较小角）
· n等分线：n等分角每份，多等分组合按和差计算
37．（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图所示，将三个相同的三角尺（内角分别为）的的角的顶点重合放置，如果，，那么的度数是_____．
【答案】
【知识点】三角板中角度计算问题
【分析】本题主要考查了三角板中角度的计算，先求出的度数，再求出的度数，最后求出的度数即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
38．（23-24七年级下·山东聊城·阶段检测）15点43分时，时钟的分针与时针形成的角度是________．
【答案】
【知识点】钟面角
【分析】本题主要考查了钟面角，先求出分针与数字3的夹角，再减去时针在43分钟内转过的角度即可得到答案．
【详解】解：，
∴15点43分时，时钟的分针与时针形成的角度是，
故答案为：．
39．（24-25七年级上·重庆·开学考试）当时间为5点8分时，钟表面上的时针与分针成______度的角．
【答案】/106度
【知识点】钟面角
【分析】本题考查钟面角，根据时针1小时走和时针1分钟走 ，分针1分钟走，即可求解．
【详解】解：由时针1小时走和时针1分钟走 ，分针1分钟走，可得时针与分针夹角度数为：
，
故答案为：．
40．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期末）数学实践课上，小明将一副三角尺的直角顶点与角顶点重合，并将其绕着重合的顶点旋转．
(1)在旋转过程中，若三角尺的两边，都在三角尺的内部，如图1，，，之间存在着怎样的数量关系，请写出你的猜想，并加以证明；
(2)若三角尺的两边，不是都在三角尺的内部，如图2、如图3，请直接写出，，之间的数量关系；
(3)在（2）的条件下，若，则________．
【答案】(1)
，
证明： 三角尺的两边，都在三角尺的内部，
，
，
；
(2)；
(3)或
【知识点】三角板中角度计算问题
【分析】本题考查了有关三角板中的角度计算；
（1）由角的和差得，即可求解；
（2）如图２，当不在三角尺的内部，在三角尺的内部时，由角的和差得， ，将此代入，即可求解；如图３，当、都不在三角尺的内部时，同理可求．
（3）将代入（2）的结论，即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：如图2，当不在三角尺的内部，在三角尺的内部时，
，，
，
，
，
；
如图3，当、都不在三角尺的内部时，
，
，
，
；
（3）解：当时，
或，
解得或．
41．（25-26七年级下·福建莆田·期中）一副三角板摆放如图，其中边与边在直线上．将绕点顺时针旋转，旋转速度是每秒，同时绕点开始逆时针旋转，旋转速度是每秒当任何一块三角板的边转到直线上时，两块三角板同时停止运动．
(1)求当边与边所在直线重合时的时间；
(2)求当其中一块三角板的边所在的直线平分另一块三角板内角时的时间（画出相应示意图）；
(3)的最小值，并写出相应的时间或时间范围．
【答案】(1)秒
(2)秒或秒或秒或秒或秒，
(3)当时，的最小值为
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、三角板中角度计算问题、角平分线的有关计算
【分析】（1）设边与边重合的时间为，由于边与边重合，即，列方程求解即可；
（2）设运动时间为，根据题意可知，一条边平分另一个三角形的内角需要分类讨论，将两个三角形的位置进行依次重合会有五种情况出现，画出示意图，依次列方程解答即可；
（3）设边与边重合的时间为，列方程求出边与边重合的时间，结合边与边重合的时间，分段进行求值，最后进行比较即可．
【详解】（1）解：设边与边重合的时间为，
由边与边重合可得，
，解得；
（2）解：设当其中一块三角板的边所在直线平分另一块三角板内角时的时间为秒：
①当所在直线平分时，如图1所示：
则，解得；
②当所在直线平分时，如图2所示：
则，解得；
③当所在直线平分时，如图3所示：
则，解得；
④当所在直线平分时，如图4所示：
则，解得；
⑤当所在直线平分时，如图5所示：
则，解得；
综上所述，当其中一块三角板的边所在直线平分另一块三角板内角时的时间为秒或秒或秒或秒或秒；
（3）解：由（1）知边与边重合的时间为秒，
设边与边重合的时间为，则
，得，
①当时，，，
则；
②当时，，，
则；
③当，且未停止转动时，，，
则；
综上所述，当时，的最小值为．
42．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）定义：若，且，则我们称是的差余角．例如：若，则的差余角．如图1，点O在直线上，是上方的一条射线，且．
(1)若是的差余角，求．
(2)将含角的直角三角尺按图2放置，使得直角顶点与O点重合，且平分．
①判断和的数量关系，并说明理由．
②图2中的差余角有哪些？请说明理由．
【答案】(1)
(2)
①，理由如下：
∵，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
②的差余角有，，理由如下：
∵，
∴是的差余角，
由①得，，
∴，
∴是的差余角，
∴综上所述，的差余角有，．
【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、同(等)角的余(补)角相等的应用
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，等角的余角相等，理解差余角的定义是解题的关键．
（1）根据差余角的定义得到，再由平角的定义得到，建立方程即可求解；
（2）①由可得，，根据角平分线的定义得到，进而得出，即可得出结论；②根据差余角的定义即可解答．
【详解】（1）解：∵是的差余角，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：略．
【考点6】方向角与角度综合（第58-70题）
· 方向角表述：北（南）偏东（西）α°，以南北线为基准；方位角也可用0°-360°表示
· 方向角题画示意图：以观测点为中心画十字方向线，标出各方向角
· 综合题：结合角平分线、余补角、方程，把角度关系转化为数量关系求解
43．（25-26七年级上·河南·期末）在下列说法中，正确的有（ ）个
①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释；
②若，则为的中点；
③在飘着墨香的书院里，书法家写毛笔字时，笔尖（可看作一个点）在纸上移动形成笔画．这一现象蕴含的数学道理是点动成线；
④．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】点、线、面、体四者之间的关系、两点确定一条直线、线段中点的有关计算、角的度数大小比较
【分析】本题主要考查了直线的性质，线段中点定义，角的单位制，根据直线的基本事实、线段中点的定义、点动成线的几何原理及度分换算规则进行分析，统计正确说法的个数后确定答案即可．
【详解】解：①两点确定一条直线，两颗钉子对应两个点，可固定木条，故①正确；
②若A、B、P三点不共线，即使，，B也不是的中点，故②错误；
③点动成线，笔尖（点）移动形成笔画（线），故③正确；
④，
，
∵，
∴，故④错误；
综上，正确的说法有2个．
故选：B．
44．（25-26七年级上·山东滨州·期末）如图，某海域有三个小岛、，在小岛处观测到小岛在它北偏东的方向上，观测到小岛在它南偏东的方向上，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】与方向角有关的计算题
【详解】解：
．
45．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）以下说法中①一批水果质量一定，按每箱质量相等分装，则装箱数与每箱的质量成反比例关系；②“把弯曲的河道改直，河道长度变短”的依据是“两点确定一条直线”；③若，，则；④代数式的意义是与3的和的2倍；⑤在木条上只要钉两个钉子，木条就被固定在木板上，这说明“两点之间，线段最短”．完全正确的是（ ）
A．②③⑤ B．①③④ C．②④⑤ D．①②④
【答案】B
【知识点】代数式表示的实际意义、两点确定一条直线、两点之间线段最短、角的度数大小比较
【分析】根据反比例关系的判定，线段性质，角度换算，代数式的意义，直线的性质逐一判断每个说法的正误即可得到答案．
【详解】解：①：∵总质量=装箱数×每箱质量，总质量一定，即装箱数与每箱质量的乘积为定值，
∴装箱数与每箱质量成反比例关系，故①正确.；
②：“把弯曲的河道改直，河道长度变短”的依据是“两点之间，线段最短”，不是“两点确定一条直线”，故②错误；
③：∵，，
∴，故③正确；
④：代数式的意义是与的和的倍，故④正确；
⑤：钉两个钉子固定木条，依据是“两点确定一条直线”，不是“两点之间，线段最短”，故⑤错误；
综上，正确的说法为①③④．
46．（24-25七年级上·江苏泰州·开学考试）一次台风的大致路径如下图：
（1）台风生成后，先是沿着正( )方向移动了( )，然后沿( )( )方向移动了( )，到达了A市．
（2）接着，台风又改变方向，沿( )( )方向移动了( )，到达了B市．
【答案】 西 540 北偏西 60 600 北偏西 30 200
【知识点】方向角的表示
【分析】本题考查了方向角在生活中的实际应用．根据示意图中的方向指示，结合台风从生成地经A市到B市的实际运行方向和距离解答即可．
【详解】解：（1）根据“上北下南，左西右东”的地图方向，可知：台风从生成地开始沿着正西方向移动了，然后沿着北偏西移动了， 到达了A市．
故答案为：西；540；北偏西；；600．
（2）同样由“上北下南，左西右东”，可知：接着，台风又改变方向，沿北偏西方向移动了，到达了B市．
故答案为：北偏西；；200．
47．（23-24六年级上·黑龙江绥化·期中）小明早上从家里出发，向东偏北方向上走了3千米后，到达书店，然后再向正东方向走了2千米到学校．画出明明的上学路线图．（用1厘米表示1千米）
【答案】
如图所示：折线O﹣B﹣A即为所求．
【知识点】方向角的表示
【分析】本题考查了作图的应用和设计，理解方位角和比例尺是意义是解题的关键．
【详解】解：略．
48．（24-25七年级上·山东聊城·期末）如图，已知O是直线上一点，是直角，平分．
(1)写出图中的余角和补角；
(2)若，求的度数；
(3)写出与的关系，并说明理由；
(4)若，求的度数．
【答案】(1)的余角是；的补角是；
(2)
(3)
解：，理由如下：
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵是直角，
∴，
∴，即；
(4)
【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算
【分析】本题主要考查了余角与补角的定义，几何图形中角度的计算，角平分线的定义，熟知相关知识是解题的关键．
（1）由直角的定义可得，则由平角的定义可得，，再由度数之和为90度的两个角互为余角，度数之和为180度的两个角互为补角可得答案；
（2）由平角的定义可得的度数，由角平分线的定义可得，再由角的和差关系可得答案；
（3）同（2）思路求解即可；
（4）根据题意可得，进而得到，解之即可得到答案．
【详解】（1）解：∵是直角，
∴，
∵，
∴，
∴的余角是；
∵，
∴的补角是；
（2）解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵是直角，
∴，
∴；
（3）略
（4）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
49．（24-25七年级上·陕西渭南·期末）【问题背景】
如图，点是直线上的一点，，平分．
【问题初探】
（1）如图1，射线和均位于直线的上侧，若，则______，______；
【牛刀小试】
（2）如图2，射线和分别位于直线的两侧，若，求的度数；
【拓展延伸】
（3）如图3，射线和均位于直线的下侧，且在的左侧，求的度数．
【答案】（1），；（2）；（3）
【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算
【分析】本题考查了角平分线及角的和差计算，
（1）根据已知可得，再利用角平分线的定义求出，进行计算即可解答；
（2）利用平角是 先求出，然后利用角平分线的定义进行计算即可解答；
（3）根据进行计算即可解答．
【详解】解：（1）∵，，
∴ ，
∵平分，
∴，
；
故答案为：，
（2）∵，
∴，
∵，
∴
∵平分，
∴，
∴；
（3）∵射线和位于直线的下侧,
∴
∵是直线，
∴
50．（14-15七年级上·江苏苏州·期末）如图，已知，平分，平分．
(1)若是直角，求的度数；
(2)若，则是多少度？
【答案】(1)
(2)
【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算
【分析】本题考查了角的计算，角平分线的定义；
（1）根据角平分线的定义可得，，再根据进行计算即可得解；
（2）根据（1）的结论得到，然后代入进行计算即可得解．
【详解】（1）解：∵平分，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵是直角，
∴；
（2）解：根据（1）的结论，
∴，
∴，
解得．
51．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点是第四象限内一点，轴于点，且
(1)求点 A，B，C 三点的坐标；
(2)如图2，点是线段上一动点，交于点，的角平分线与的角平分线交于第四象限的一点，求的度数；
(3)如图3，将点向左平移4个单位得到点，连接，与轴交于点．轴上是否存在点，使三角形的面积是三角形面积的3倍？若存在，试求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，；
(2)
(3)存在，或．
【知识点】利用算术平方根的非负性解题、坐标与图形、角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数
【分析】（1）由算术平方根、绝对值和偶次方的非负性可得出结果；
（2）根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出，，进一步得出结论；
（3）先求得三角形的面积，进而得出三角形的面积，进而得出的长，进一步得出结果．
【详解】（1）解：由题意得，∵
∴，，，
，，，
，，；
（2）解：，
，
的角平分线与的角平分线交于第四象限的一点，
，，
，
；
（3）解：存在点满足三角形的面积是三角形面积的3倍，理由如下：
，，
，，
，
三角形的面积是三角形面积的3倍，
，
，
，
，
，，
或．
【点睛】本题考查了算术平方根、绝对值和偶次方的非负性，平行线的性质，平面直角坐标系中的点的坐标与线段长之间的关系等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
52．（23-24七年级上·山东滨州·期末）【数学之美】三角尺中的数学．
如图，C，O，D三点在一条直线上，现有一直角三角板，，平分．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)在图1中，若，试求出的度数；（用含的代数式表示）；
(3)将图1中的直角三角板绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，在直线上方，在直线的下方．探究和之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)，理由：
∵平分，
∴，
∴
∵，
∴
∴
∴，
∴．
【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算
【分析】本题考查的是角平分线的定义，角的和差运算，熟练的利用角的和差关系进行计算是解本题的关键．
（1）先求解，，再利用角的和差关系可得答案；
（2）先求解，，再利用角的和差关系可得答案；
（3）分别表示，，可得，从而可得答案．
【详解】（1）解：∵，
∴．
∵平分，
∴．
∵，
∴．
（2）∵，，
∴，．
∵平分，
∴，
∴．
（3）略
课后巩固
复习建议
· 度量要熟练：度分秒六十进制，互化与四则运算多练进位、借位
· 余角补角：和90°互余、和180°互补，牢记同角（等角）余角相等、补角相等两个性质
· 角平分线：∠AOC=∠COB=∠AOB，类比线段中点，多个平分线连用逐层计算
· 实际角度：钟面角记分针6°/分、时针0.5°/分，方向角先画方向线示意图
· 方程思想：已知角的倍分、和差关系时设未知角列方程，是角度计算的通法
【作业1】．（23-24七年级上·广东湛江·期末）如图所示，下列说法：①就是；②就是；③就是；④就是．其中正确的是（ ）
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
【答案】A
【知识点】角的表示方法
【分析】本题主要考查了角的表示方法，解题的关键是熟练掌握角的不同的表示方法，注意当一个顶点处有几个角时，不能用一个大写字母表示这个角．根据角的表示方法进行判断即可．
【详解】解：①就是，此说法正确；
②就是，原说法错误；
③就是，原说法错误；
④就是，原说法错误；
综上分析可知，正确的只有①．
故选：A．
【作业2】．（24-25七年级下·广东茂名·阶段检测）如果的余角等于，则度数等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】求一个角的余角
【分析】本题考查互余定义，由题意得到，解方程即可得到答案，熟记互余定义列方程求解是解决问题的关键．
【详解】解： 的余角等于，
，解得，
故选：A．
【作业3】．（24-25七年级上·河南平顶山·期末）如图，点O在直线上，且，平分，当时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角平分线的有关计算
【分析】本题考查与角平分线有关的计算，根据角平分线平分角，结合角的和差关系，进行求解即可．
【详解】解：∵，平分，
∴，
∴；
故选B．
【作业4】．（23-24七年级下·河南许昌·阶段检测）如图，已知，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】几何图形中角度计算问题
【分析】此题考查几何图形中角度计算，根据几何图形求出，即可求出的度数，正确理解角度间的关系是解题的关键
【详解】∵，
∴，
∴，
故选：C
【作业5】．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）宸宸同学课余时间利用一副三角板摆成图形如图，平分，则下列结论：①；②若，则；③图中的余角共有三个；④若，则；其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】三角板中角度计算问题、角平分线的有关计算、与余角、补角有关的计算
【分析】本题考查了与三角板中角度计算，与角平分线的有关计算，与余角、补角有关的计算．明确角度之间的数量关系是解题的关键．
由题意知，，由平分，可得，进而可得，可判断①的正误；由，可得，则，可判断②的正误；由题意知，的余角共有2个，为，可判断③的正误；由，可得，进而可求，可判断④的正误．
【详解】解：由题意知，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，即，①正确，故符合要求；
∵，
∴，
∵，
∴，②正确，故符合要求；
由题意知，的余角共有2个，为，③错误，故不符合要求；
∵，
∴，
∴，④正确，故符合要求；
故选：C．
【作业6】．（25-26七年级上·山西晋中·期末）如图所示，以下描述错误的是（ ）
A．点A位于点B的北偏西方向 B．点A位于点C的北偏东方向
C．点C位于点B的北偏西方向 D．点B位于点A的南偏东方向
【答案】C
【知识点】与方向角有关的计算题
【分析】根据正北或正南方向线与目标方向线所成的小于的角叫做方向角，结合图示逐项判断即可．
【详解】解：由图可知，点A位于点B的北偏西方向，点C位于点A的南偏西方向，
∴点B位于点A的南偏东方向，点A位于点C的北偏东方向，
∴，
∵，
∴，
∴点C位于点B的北偏西方向，
∴选项C描述错误．
【作业7】．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）计算：______．
【答案】
【知识点】角的单位与角度制、角度的四则运算
【分析】本题考查角的运算，需掌握度分秒的换算和减法规则，注意借位处理．
【详解】解：，
故答案为：．
【作业8】．（25-26七年级上·全国·期末）已知，则它的余角的度数为__________．
【答案】
【知识点】求一个角的余角
【分析】本题考查的是余角的定义，即如果两个角的和等于，就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角．设的余角是，则，再根据，求出的度数即可．
【详解】解：设的余角是，则，
∵，
∴．
故答案为：．
【作业9】．（22-23七年级上·广东湛江·期末）如图，点O在直线上，射线平分，若，则______．
【答案】/104度
【知识点】角平分线的有关计算
【分析】根据角平分线定义求出，再根据平角的概念计算即可．
【详解】解：∵，射线平分，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，角的和差计算，准确识别各角之间的关系是解题的关键．
【作业10】．（25-26六年级上·上海长宁·期末）如图，为内一条射线，，，在内部，在外部，，那么的度数为___________．
【答案】
【知识点】几何图形中角度计算问题
【分析】本题考查角的和差运算，关键是通过设中间角建立表达式，再消去中间量得到最终结果．
【详解】解：设．
∵，，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴．
因此．
故答案为：．
【作业11】．（24-25七年级上·山东青岛·阶段检测）2024年10月30日4时27分神舟十九号载人飞船在酒泉卫星发射中心发射成功．此时分针与时针夹角的度数是______
【答案】
【知识点】钟面角
【分析】本题主要查了钟面表．根据时针1小时转，分针1分钟转解答，即可求解．
【详解】解：．
故答案为：
【作业12】．（25-26七年级上·福建厦门·期末）如图，射线，分别为正北、正东方向，，则射线的方向是北偏东_____．
【答案】
【知识点】与方向角有关的计算题
【分析】本题主要考查了方位角以及角度的计算．在进行度、分、秒的运算时也应注意借位和进位的方法．
【详解】解：∵，
∴射线的方向是北偏东，
故答案为：．
【作业13】．（2025八年级上·全国·专题练习）射线是的三等分线之一，，则的最大度数为_________．
【答案】/度
【知识点】角n等分线的有关计算
【分析】本题考查了等分线的有关计算．是的三等分线之一，因此可能是的三分之一或三分之二．根据，解出可能为或，最大值为．
【详解】解：设的度数为．由于是的三等分线之一，则有两种情况：
若为靠近的三等分线，则，解得；
若为靠近的三等分线，则，解得．
因此的最大度数为．
故答案为：
【作业14】．（2025七年级上·安徽合肥·专题练习）已知与互为余角，且的比大，求的补角．
【答案】的补角为
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、与余角、补角有关的计算
【分析】本题考查的是余角和补角的概念，若两个角的和为，则这两个角互余；若两个角的和等于，则这两个角互补．
根据余角的概念和题意列出一元一次方程，解方程求出的值，根据补角的概念计算即可．
【详解】解：由题意得，
可得方程，
解得，
，
即的补角为．
【作业15】．（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）已知，以为边画，求的度数．
【答案】或．
【知识点】几何图形中角度计算问题
【分析】本题主要考查几何中角度的计算，掌握角的和差计算，理解的位置是解题的关键．
根据题意，分类讨论：当在内部时；当在外部时；由角的和差计算即可求解．
【详解】解：当在内部时，
；
当在外部时，
．
【作业16】．（24-25七年级上·陕西西安·阶段检测）如图，已知，是的平分线，若，求：
(1)的度数；
(2)的度数．
【答案】(1)
(2)
【知识点】几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算
【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，解题的关键是数形结合．
（1）设，则．根据，得出，求出，根据角平分线定义得出．
（2）根据，，求出结果即可．
【详解】（1）解：因为，
所以设，
则．
又因为，
所以，
即，
所以．
因为是的平分线，
所以．
（2）解：因为，，
所以．
【作业17】．（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段检测）【问题背景】新定义：如果的内部有一条射线将分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线为的n倍分线，例如，如图1，，则为的四倍分线．，则也是的四倍分线．
【问题再现】
（1）若，为的二倍分线，且，求的度数；
【问题推广】
（2）如图2，点A，O，B在同一条直线上，为直线上方的一条射线．若，分别为和的三倍分线（，）．
①若，求的度数；
②若，的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由．
【拓展提升】
（3）如图3，点A，O，B在同一条直线上，为直线上方的一条射线． 已知，且所在射线恰好分别为和的三倍分线（，），求的度数．
【答案】（1）；
（2）①；
②不变．理由如下：
因为，分别为和的三倍分线，，，
所以，，
所以
；
（3）
【知识点】几何图形中角度计算问题、角n等分线的有关计算
【分析】本题考查了新定义，几何图形中角度的计算．
（1）根据题意可得：，，进而得出答案；
（2）①由题意可得：，，根据，得出，，再求解即可；
②不变，根据题意得出，，再代入即可得出答案；
（3）设，则，根据题意得出，，列出方程，求得，，进而得出答案．
【详解】解：（1）因为，为的二倍分线，且，
所以，，
所以．
所以．
（2）①因为，分别为和的三倍分线（，），
所以，，
因为，
所以，
所以，，
所以，，
所以．
②略
（3）设，
因为，
所以，
因为所在射线恰好分别为和的三倍分线，，，
所以，，
因为，
所以，
所以，
所以，，
所以．
【作业18】．（24-25七年级上·吉林长春·期末）计算：，
【答案】
【知识点】角度的四则运算
【分析】此题考查的是度、分、秒的加减法计算．根据两个度数相减，度与度，分与分对应相减，分的结果若满60，则转化为度，注意以60为进制即可得出结果．
【详解】解：
．
2
1第13讲·角·培优讲义
（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年人教版七年级数学上册
思维导图
课程目标
· 理解角的定义与表示方法，掌握角的度量单位（度、分、秒）及互化、四则运算
· 理解余角、补角的概念，掌握同角（等角）的余角相等、补角相等的性质并能应用
· 理解角平分线的定义，能进行与角平分线有关的简单计算与证明
· 会进行几何图形中的角度计算，能解决三角板、钟面角、方向角等实际角度问题
· 会用一元一次方程解决与角有关的几何问题，体会方程思想在几何中的应用
知识梳理
☆ 1.角的定义、表示与度量
角的定义：由两条具有公共端点的射线组成的图形叫做角，公共端点是角的顶点，两条射线是角的两条边
角的表示：用三个大写字母（∠AOB）、一个大写字母（∠O）、一个小写希腊字母（∠α）或数字（∠1）表示
度量单位：1°=60′，1′=60″；度、分、秒之间是六十进制，互化与加减运算注意进位、借位
角的分类：锐角（0°<α<90°）、直角（90°）、钝角（90°<α<180°）、平角（180°）、周角（360°）
概念辨析例题：把25°36′化成以度为单位的形式为（　　）
答案：25.6°
解析：36′=36÷60=0.6°，所以25°36′=25°+0.6°=25.6°。注意分与度之间是六十进制，把分除以60化成度。
☆ 2.余角与补角
余角：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角；补角：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角
同角（等角）的余角相等；同角（等角）的补角相等——这是两个重要性质
求一个角的余角：90° α；求一个角的补角：180° α；注意区分互余与互补
用方程求角：设未知角为x，按余角或补角的和关系列方程求解
概念辨析例题：若一个角的补角是它的余角的3倍，则这个角的度数是（　　）
答案：45°
解析：设这个角为x°，则补角为180° x，余角为90° x。由题意：180 x=3(90 x)，解得x=45，故这个角为45°。
☆ 3.角平分线
角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线
若OC平分∠AOB，则∠AOC=∠COB=∠AOB，或∠AOB=2∠AOC=2∠COB
角的n等分线：把角分成n个相等部分的射线，每部分为∠AOB
与角平分线有关的计算：设未知角，按平分关系和角之间的和差关系列方程
概念辨析例题：如图，OC是∠AOB的平分线，OD平分∠AOC，若∠AOB=80°，则∠COD的度数是（　　）
答案：20°
解析：OC平分∠AOB，∠AOC=∠AOB=40°；OD平分∠AOC，∠COD=∠AOC=20°。
☆ 4.三角板、钟面角与方向角
三角板：一副三角板的角分别为30°、60°、90°和45°、45°、90°，拼角、叠角问题按和差计算
钟面角：分针每分钟转6°，时针每小时转30°（每分钟转0.5°），某时刻两针夹角按角度差计算
方向角：以观测点为中心，用方向（南、北）+偏角（东、西）描述，如北偏东30°
实际角度问题：先画示意图，标出已知角，按角之间的和差、互余、互补关系求解
概念辨析例题：钟面上8点30分时，时针与分针所成的角是（　　）
答案：75°
解析：8点30分，分针指向6，时针在8和9的正中间（8点过30分，时针走了30×0.5°=15°），从6到8有2大格60°，再加15°，夹角为60°+15°=75°。
知识总结表
核心概念 定义/公式 注意事项
角的度量 1°=60′，1′=60″（六十进制） 互化与运算注意进位、借位
角的分类 锐角、直角90°、钝角、平角180°、周角360° 0°<锐角<90°<钝角<180°
余角与补角 互余和90°；互补和180° 同角（等角）的余角相等、补角相等
角平分线 ∠AOC=∠COB=∠AOB 等分线把角分成相等的部分
钟面角 分针6°/分，时针0.5°/分，30°/时 画钟面图定位时针分针位置
方向角 北偏东α°、南偏西α°等 以南北方向线为基准度量
核心考点
【考点1】角的表示、单位与角度的四则运算（第1-11题）
· 表示角：顶点字母在中间用三个大写字母表示，一个字母表示时以顶点字母表示（顶点处只一个角）
· 度分秒互化：高级单位化低级单位乘60，低级单位化高级单位除以60
· 度分秒加减：相同单位对齐相加减，满60进一、不够借一当60；乘法按度分秒分别相乘再进位
1．（25-26六年级下·山东烟台·期中）如图，下列表示角的方法错误的是（ ）
A．与表示同一个角
B．也可用表示
C．表示的是
D．图中共有三个角，，
2．（25-26七年级上·辽宁铁岭·期末）如图，下列四种说法：①与是同一个角；②也可用来表示；③图中共有三个角：，，；④与是同一个角．其中正确的是________（填序号）．
3．（25-26七年级上·江西南昌·期末）如图，在灯塔处观测到轮船位于北偏西的方向，同时轮船在南偏东的方向，则__．
4．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）如果，那么的补角的度数是__________．
5．（25-26七年级·全国·暑假作业）（1）_____________；
（2）_____________；
（3）_____________；
（4）_____________．
6．（23-24七年级上·贵州黔东南·期中）计算：
(1)；
(2)．
7．（23-24七年级下·山东聊城·开学考试）比较与的大小.
8．（23-24七年级上·甘肃武威·期末）计算：
(1)；
(2)．
【考点2】余角与补角（第12-23题）
· 求余角用90° α，求补角用180° α，先判断角的范围
· 同角（等角）的余角相等、补角相等：证明角相等常用此性质
· 倍分关系问题设未知角列方程：补角是余角的k倍，即180° x=k(90° x)
9．（23-24七年级上·山东东营·阶段检测）如图，已知，，垂足是，则图中与相等的角是（ ）
A． B． C． D．和
10．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，，则图中与互余的角有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，将一副三角板的直角顶点重合放置于点处（两块三角板看成在同一平面内），下列结论一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（23-24七年级下·北京怀柔·期末）如图，直线与交于点O，于点O，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
13．（25-26七年级上·安徽亳州·期末）如果和互余，且，则下列表示的补角的式子中：①；②；③；④．其中不正确的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
14．（25-26七年级上·河南安阳·期末）一个角的余角，则该角的补角为_____．
15．（23-24七年级上·吉林·期末）一个角的补角为，则这个角的度数为_________．
16．（24-25七年级上·河南新乡·阶段检测）如图，直线交于点O，于点O，，平分，的补角有________个；的余角有________个．
17．（25-26七年级上·吉林松原·期末）已知一个角的余角比这个角大
(1)求这个角的度数；
(2)这个角的补角等于________度．
【考点3】角平分线及其计算（第24-35题）
· 角平分线把角分成两个相等角：∠AOC=∠COB=∠AOB
· 多个角平分线连用：逐层平分，先算小角再代入；n等分线每份为∠AOB
· 与线段中点类比：角平分线相当于「角的中点」，计算思路与线段中点一致
18．（24-25七年级下·湖南郴州·期末）如图，射线是的平分线，．已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
19．（25-26七年级上·陕西延安·期末）如图，已知，平分，射线在内部，且，作射线，使，则的度数为（ ）
A． B．或 C． D．或
20．（23-24七年级上·陕西西安·期末）如图，，射线在外，且，若平分，平分，则______．
21．（24-25七年级上·甘肃张掖·阶段检测）如图，，平分，则_______．
22．（25-26七年级上·福建厦门·期末）如图，点为直线上的一点，是直角，平分，，射线在的内部，使得，则的度数为_____．
23．（25-26七年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，点O在直线上，平分，且，则_________ ．
24．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，点A、O、B在一条直线上，，平分，现将以每秒的速度绕点O顺时针旋转一周，保持不动．当时，的运动时间为__________．
25．（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段检测）如图，已知与给出部分尺规作图痕迹如图所示（无需补全作图痕迹），尺规作图过程如下：
（1）以为圆心，适当长为半径做弧（弧足够长），交射线，分别为，两点，连接；
（2）以为圆心，长为半径作弧（弧足够长），交于点；
（3）以为圆心，长为半径作弧，交弧于点，作射线；
若，，当为的平分线时，的度数为______．
26．（23-24七年级上·福建三明·期末）如图，是的平分线，，，则______°．
27．（24-25七年级上·贵州六盘水·期末）探究学习，寻求真知
(1)特例感知：如图1，已知线段，线段在线段上运动时（点与点不重合，点与点不重合），点和点分别是的中点．
①若，则______；
②当线段在线段上运动时（点与点不重合，点与点不重合），试判断线段的长度是否发生变化？如果不变，请求出线段的长度？如果变化，请说明理由．
(2)知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在的内部转动，射线和射线分别平分和，请你猜想和之间有怎样的数量关系，并说明理由．
(3)类比探究：如图3，在的内部转动，当时，用含的式子表示和之间的数量关系（直接写出结果）．
【考点4】几何图形中的角度计算（第36-47题）
· 图形中角的关系：和差、互余、互补、对顶角（相等）、平角180°
· 多个角在一个图中，用字母表示未知角，按角之间的和差关系列式或列方程
· 注意图形旋转、折叠问题中角的等量关系（折叠前后对应角相等）
28．（24-25七年级上·安徽亳州·期末）如图，为直线上一点，平分，则，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
29．（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）已知，，则的度数是（ ）
A． B． C．或 D．或
30．（23-24七年级上·河北沧州·期末）已知，以O为端点作射线，使，则的度数为（ ）
A． B．
C．或 D．或
31．（2025七年级上·重庆·专题练习）如图，C为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，各学习小组经过讨论后得到以下结论，其中正确的说法有（ ）
①与互余 ②
③与互补 ④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
32．（25-26七年级上·河南周口·阶段检测）已知，，则的度数为___．
33．（24-25七年级下·山东青岛·期末）新定义：如果的内部有一条射线将分成的两个角，其中一个角是另一个角的倍，那么我们称射线为的倍分线，例如，如图，，则为的倍分线应用：若，为的二倍分线，且，则 ______．
34．（2023七年级上·安徽芜湖·竞赛）已知，过点作射线平分，且使关于的方程有无数多个解，则__________．
35．（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，已知，，且，求的度数．
36．（22-23六年级下·山东威海·期中）如图，是的平分线，是的平分线．若，你能求出是多少度吗？
【考点5】三角板、钟面角与角的n等分线（第48-57题）
· 三角板拼角：30°、45°、60°、90°两两相加或相减得可拼出的角
· 钟面角：分针6°/分、时针0.5°/分，先定位两针位置再算夹角（取较小角）
· n等分线：n等分角每份，多等分组合按和差计算
37．（24-25七年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图所示，将三个相同的三角尺（内角分别为）的的角的顶点重合放置，如果，，那么的度数是_____．
38．（23-24七年级下·山东聊城·阶段检测）15点43分时，时钟的分针与时针形成的角度是________．
39．（24-25七年级上·重庆·开学考试）当时间为5点8分时，钟表面上的时针与分针成______度的角．
40．（25-26七年级上·黑龙江牡丹江·期末）数学实践课上，小明将一副三角尺的直角顶点与角顶点重合，并将其绕着重合的顶点旋转．
(1)在旋转过程中，若三角尺的两边，都在三角尺的内部，如图1，，，之间存在着怎样的数量关系，请写出你的猜想，并加以证明；
(2)若三角尺的两边，不是都在三角尺的内部，如图2、如图3，请直接写出，，之间的数量关系；
(3)在（2）的条件下，若，则________．
41．（25-26七年级下·福建莆田·期中）一副三角板摆放如图，其中边与边在直线上．将绕点顺时针旋转，旋转速度是每秒，同时绕点开始逆时针旋转，旋转速度是每秒当任何一块三角板的边转到直线上时，两块三角板同时停止运动．
(1)求当边与边所在直线重合时的时间；
(2)求当其中一块三角板的边所在的直线平分另一块三角板内角时的时间（画出相应示意图）；
(3)的最小值，并写出相应的时间或时间范围．
42．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）定义：若，且，则我们称是的差余角．例如：若，则的差余角．如图1，点O在直线上，是上方的一条射线，且．
(1)若是的差余角，求．
(2)将含角的直角三角尺按图2放置，使得直角顶点与O点重合，且平分．
①判断和的数量关系，并说明理由．
②图2中的差余角有哪些？请说明理由．
【考点6】方向角与角度综合（第58-70题）
· 方向角表述：北（南）偏东（西）α°，以南北线为基准；方位角也可用0°-360°表示
· 方向角题画示意图：以观测点为中心画十字方向线，标出各方向角
· 综合题：结合角平分线、余补角、方程，把角度关系转化为数量关系求解
43．（25-26七年级上·河南·期末）在下列说法中，正确的有（ ）个
①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释；
②若，则为的中点；
③在飘着墨香的书院里，书法家写毛笔字时，笔尖（可看作一个点）在纸上移动形成笔画．这一现象蕴含的数学道理是点动成线；
④．
A．1 B．2 C．3 D．4
44．（25-26七年级上·山东滨州·期末）如图，某海域有三个小岛、，在小岛处观测到小岛在它北偏东的方向上，观测到小岛在它南偏东的方向上，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
45．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）以下说法中①一批水果质量一定，按每箱质量相等分装，则装箱数与每箱的质量成反比例关系；②“把弯曲的河道改直，河道长度变短”的依据是“两点确定一条直线”；③若，，则；④代数式的意义是与3的和的2倍；⑤在木条上只要钉两个钉子，木条就被固定在木板上，这说明“两点之间，线段最短”．完全正确的是（ ）
A．②③⑤ B．①③④ C．②④⑤ D．①②④
46．（24-25七年级上·江苏泰州·开学考试）一次台风的大致路径如下图：
（1）台风生成后，先是沿着正( )方向移动了( )，然后沿( )( )方向移动了( )，到达了A市．
（2）接着，台风又改变方向，沿( )( )方向移动了( )，到达了B市．
47．（23-24六年级上·黑龙江绥化·期中）小明早上从家里出发，向东偏北方向上走了3千米后，到达书店，然后再向正东方向走了2千米到学校．画出明明的上学路线图．（用1厘米表示1千米）
48．（24-25七年级上·山东聊城·期末）如图，已知O是直线上一点，是直角，平分．
(1)写出图中的余角和补角；
(2)若，求的度数；
(3)写出与的关系，并说明理由；
(4)若，求的度数．
49．（24-25七年级上·陕西渭南·期末）【问题背景】
如图，点是直线上的一点，，平分．
【问题初探】
（1）如图1，射线和均位于直线的上侧，若，则______，______；
【牛刀小试】
（2）如图2，射线和分别位于直线的两侧，若，求的度数；
【拓展延伸】
（3）如图3，射线和均位于直线的下侧，且在的左侧，求的度数．
50．（14-15七年级上·江苏苏州·期末）如图，已知，平分，平分．
(1)若是直角，求的度数；
(2)若，则是多少度？
51．（23-24七年级下·湖南长沙·期末）如图1，在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点是第四象限内一点，轴于点，且
(1)求点 A，B，C 三点的坐标；
(2)如图2，点是线段上一动点，交于点，的角平分线与的角平分线交于第四象限的一点，求的度数；
(3)如图3，将点向左平移4个单位得到点，连接，与轴交于点．轴上是否存在点，使三角形的面积是三角形面积的3倍？若存在，试求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
52．（23-24七年级上·山东滨州·期末）【数学之美】三角尺中的数学．
如图，C，O，D三点在一条直线上，现有一直角三角板，，平分．
(1)如图1，若，求的度数；
(2)在图1中，若，试求出的度数；（用含的代数式表示）；
(3)将图1中的直角三角板绕顶点O顺时针旋转至图2的位置，在直线上方，在直线的下方．探究和之间的数量关系，并说明理由．
课后巩固
复习建议
· 度量要熟练：度分秒六十进制，互化与四则运算多练进位、借位
· 余角补角：和90°互余、和180°互补，牢记同角（等角）余角相等、补角相等两个性质
· 角平分线：∠AOC=∠COB=∠AOB，类比线段中点，多个平分线连用逐层计算
· 实际角度：钟面角记分针6°/分、时针0.5°/分，方向角先画方向线示意图
· 方程思想：已知角的倍分、和差关系时设未知角列方程，是角度计算的通法
【作业1】．（23-24七年级上·广东湛江·期末）如图所示，下列说法：①就是；②就是；③就是；④就是．其中正确的是（ ）
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
【作业2】．（24-25七年级下·广东茂名·阶段检测）如果的余角等于，则度数等于（ ）
A． B． C． D．
【作业3】．（24-25七年级上·河南平顶山·期末）如图，点O在直线上，且，平分，当时，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【作业4】．（23-24七年级下·河南许昌·阶段检测）如图，已知，且，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【作业5】．（23-24七年级上·安徽亳州·期末）宸宸同学课余时间利用一副三角板摆成图形如图，平分，则下列结论：①；②若，则；③图中的余角共有三个；④若，则；其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【作业6】．（25-26七年级上·山西晋中·期末）如图所示，以下描述错误的是（ ）
A．点A位于点B的北偏西方向 B．点A位于点C的北偏东方向
C．点C位于点B的北偏西方向 D．点B位于点A的南偏东方向
【作业7】．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）计算：______．
【作业8】．（25-26七年级上·全国·期末）已知，则它的余角的度数为__________．
【作业9】．（22-23七年级上·广东湛江·期末）如图，点O在直线上，射线平分，若，则______．
【作业10】．（25-26六年级上·上海长宁·期末）如图，为内一条射线，，，在内部，在外部，，那么的度数为___________．
【作业11】．（24-25七年级上·山东青岛·阶段检测）2024年10月30日4时27分神舟十九号载人飞船在酒泉卫星发射中心发射成功．此时分针与时针夹角的度数是______
【作业12】．（25-26七年级上·福建厦门·期末）如图，射线，分别为正北、正东方向，，则射线的方向是北偏东_____．
【作业13】．（2025八年级上·全国·专题练习）射线是的三等分线之一，，则的最大度数为_________．
【作业14】．（2025七年级上·安徽合肥·专题练习）已知与互为余角，且的比大，求的补角．
【作业15】．（24-25七年级上·湖北襄阳·期末）已知，以为边画，求的度数．
【作业16】．（24-25七年级上·陕西西安·阶段检测）如图，已知，是的平分线，若，求：
(1)的度数；
(2)的度数．
【作业17】．（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段检测）【问题背景】新定义：如果的内部有一条射线将分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线为的n倍分线，例如，如图1，，则为的四倍分线．，则也是的四倍分线．
【问题再现】
（1）若，为的二倍分线，且，求的度数；
【问题推广】
（2）如图2，点A，O，B在同一条直线上，为直线上方的一条射线．若，分别为和的三倍分线（，）．
①若，求的度数；
②若，的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由．
【拓展提升】
（3）如图3，点A，O，B在同一条直线上，为直线上方的一条射线． 已知，且所在射线恰好分别为和的三倍分线（，），求的度数．
【作业18】．（24-25七年级上·吉林长春·期末）计算：，
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