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第11讲·几何图形·培优讲义
（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年人教版七年级数学上册
思维导图
课程目标
· 能识别常见的立体图形与平面图形，会对几何体按柱体、锥体、球体进行分类
· 会从正面、左面、上面三个方向观察几何体并画出其三视图，能由三视图还原几何体
· 认识正方体及常见几何体的展开图，能判断展开图能否围成正方体并确定相对面
· 理解点、线、面、体之间的关系，认识平面图形旋转所形成的立体图形
· 会用平面截几何体并判断截面形状，能计算简单几何体的表面积与棱数
知识梳理
☆ 1.认识立体图形与平面图形
立体图形：各部分不都在同一平面内的几何图形，如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等
平面图形：各部分都在同一平面内的图形，如线段、角、三角形、长方形、圆等
常见几何体的分类：柱体（圆柱、棱柱）、锥体（圆锥、棱锥）、球体；棱柱按底面边数分为三棱柱、四棱柱等
从实物中抽象出几何图形，感受图形与生活的联系，注意区分立体图形与平面图形
概念辨析例题：下列几何体中，属于柱体的有（　　）①正方体　②圆锥　③圆柱　④球　⑤棱柱
答案：①③⑤
解析：柱体分为圆柱和棱柱两类：正方体、棱柱是棱柱（柱体），圆柱是柱体；圆锥是锥体，球是球体，故属于柱体的是①③⑤。
☆ 2.从不同方向看几何体
从正面、左面、上面三个方向观察同一个几何体，得到的平面图形一般不同
画三视图：看得见的轮廓线画实线，看不见但存在的轮廓线画虚线
由三个方向看到的平面图形可以确定几何体的形状，进而确定小正方体的个数
计算表面积：分别数出正面、左面、上面看到的面数，上下面、左右面、前后面分别对应相等
概念辨析例题：一个几何体由几个大小相同的小正方体搭成，从正面看和从左面看得到的图形如图所示，则搭成该几何体最少需要几个小正方体？
答案：最少需要5个小正方体
解析：由从正面看的图形知共有3列，由从左面看的图形知共有2行，结合两个方向，底层至少需要4个小正方体，第二层至少1个，故最少需要5个。
☆ 3.立体图形的展开图
正方体的展开图共有11种，按结构分为「一四一」型6种、「二三一」型3种、「二二二」型1种、「三三」型1种
判断展开图能否围成正方体：不能含「田」字形和「凹」字形结构，一行不能超过4个正方形
相对面判断：展开图中相隔一个面的两个面相对（「隔一相对」），呈「Z」字形两端的面相对
常见几何体的展开图：圆柱的展开图是两个圆和一个长方形，圆锥的展开图是一个圆和一个扇形，棱柱的展开图是两个相同的多边形和若干个长方形
概念辨析例题：如图是一个正方体的展开图，每个面上都标有一个汉字，则原正方体中与「爱」字所在的面相对的面上的汉字是（　　）
答案：国
解析：根据「隔一相对」与「Z」字两端的判断方法，展开图中与「爱」相隔一个面的面是「国」，故相对面上的汉字是「国」。
☆ 4.点、线、面、体与截一个几何体
点、线、面、体：几何图形由点、线、面构成，点动成线、线动成面、面动成体
面与面相交得到线，线与线相交得到点；平面图形绕轴旋转可得到对应的立体图形
截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面，截面是一个平面图形
截正方体：截面边数取决于平面与正方体几个面相交，最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形
概念辨析例题：用一个平面去截一个正方体，截面的形状不可能是（　　）A．三角形　B．四边形　C．七边形　D．六边形
答案：C
解析：正方体只有6个面，用一个平面去截正方体时，截面最多与6个面相交，得到的截面最多是六边形，不可能是七边形，故选C。
知识总结表
核心概念 定义/公式 注意事项
立体图形的分类 柱体（圆柱、棱柱）、锥体（圆锥、棱锥）、球体 球既不是柱体也不是锥体
三视图 从正面、左面、上面三个方向观察所得图形 看得见棱画实线，看不见画虚线
正方体展开图 共11种：141型6种、231型3种、222型1种、33型1种 含「田」「凹」字形或一行超4个不能围成
相对面 隔一个面相对；「Z」字形两端相对 折叠后可验证相对关系
点、线、面、体 点动成线、线动成面、面动成体 面面相交成线、线线相交成点
截面 用平面截几何体所得平面图形 截正方体截面为三角形至六边形
核心考点
【考点1】从不同方向看几何体（三视图）（第1-17题）
· 按从正面、左面、上面三个方向分别观察，把每一层、每一列的小正方体个数数清楚
· 画三视图时：看得见的轮廓线画实线，被遮挡的轮廓线画虚线，注意对齐与比例
· 由两个方向的三视图确定小正方体个数时，先定底层再定上层，求最少个数时上层尽量靠内
· 求表面积：分别数出从正面、左面、上面看到的面数，再乘2即为小正方体的总表面积（单位面积）
1．（25-26七年级上·陕西延安·阶段检测）小猫沿着小路自东向西奔跑，它看到下面三幅图的先后顺序是（ ）
A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③①②
2．（24-25六年级上·山东济宁·阶段检测）用相同的小正方体搭一个立体图形，从上面看到的形状是 ，从左面看到的形状是 ．搭这样的立体图形，最少需要（ ）个小立方体．
A．4 B．5 C．6 D．7
3．（24-25七年级上·山西太原·阶段检测）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示该位置的小立方块的个数，则从正面看这个几何体的形状图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（24-25七年级上·黑龙江大庆·期末）一个由若干个大小相同的小立方块搭成的几何体，从正面和从上面看到的形状图如图所示，则搭成这样的几何体最少需要______个小立方块．
5．（24-25六年级上·河南商丘·期中）一个由小正方体搭成的立体图形，从上面看到的形状是，从左面看到的形状是，最少需要_____个小正方体．（小正方体之间至少有一个面重合）
6．（25-26七年级上·山西太原·阶段检测）如图是用6个大小相同的小立方块搭成的几何体，请在指定位置画出从正面，左面和上面看到的这个几何体的形状图．
7．（24-25六年级上·山东泰安·期末）从正面、左面、上面观察如图所示的几何体，分别画出所看到的几何体的形状图．
8．（23-24七年级上·广东云浮·期末）如图是由几个完全相同的小正方体搭成的一个立体图形，请画出从不同方向看该立体图形得到的平面图形．
9．（24-25七年级上·陕西西安·期中）如图2是由几个完全相同的小正方体搭成的一个几何体，每个小正方体的棱长为1cm．
(1)请画出从不同方向看该几何体得到的平面图形；（用黑色签字笔将对应的虚线描为实线即可）
(2)如果小明还想添加一些相同的小正方体，并保持从上面和左面看得到的形状图不变，最多可以再添 个小正方体．
10．（24-25七年级上·贵州毕节·阶段检测）一个几何体是由大小相同的小立方块搭成，其中小正方形上的数字表示在该位置上的小立方块的个数，请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图．
11．（25-26七年级上·辽宁丹东·期末）如图是由12个棱长都为1的小正方体搭成的几何体．
(1)请画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图；
(2)若从这个几何体上拿掉一个或者几个小正方体（不能直接拿掉被压在下面的小正方体）而保持从三个方向看到的这个几何体形状图与（1）中保持不变的方法有________种．
12．（24-25七年级上·广东清远·期中）如图，在平整的地面上，用6个完全一样的小正方体堆成一个几何体．
(1)请在图1中画出从正面、左面和上面看到的这个几何体的形状图；
(2)直接写出这个几何体的表面积（包括底部）是________（平方单位）
13．（第1章 基础测试卷 -【千里马 单元测试卷】2024-2025学年新教材七年级上册数学（北师大版2024））请分别画出从正面、左面和上面观察如图所示的几何体看到的形状图．

14．（25-26七年级上·四川成都·期末）如图是由棱长都为的7块小正方体组成的简单几何体．
(1)直接写出这个几何体的表面积（包括底面）；
(2)请在方格内分别画出从正面、左面、上面观察该几何体看到的形状图（在所提供的方格内涂上相应的阴影）．
15．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）如图为一个正方体的表面展开图，若正方体相对面上的两个数字之和相等，面“2”是右面；面“4”在后面（数字和字母均在外表面），则上面是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
16．（2025七年级上·四川成都·专题练习）把14个棱长是的正方体放在地面上，堆成如图所示的组合体，然后将露出的表面部分涂成红色（底面不涂）．那么红色部分的面积是（ ）
A．33 B．38 C．42
17．（25-26七年级上·广东深圳·期中）如图，是由10个大小相同的小正方体块搭建的几何体．
(1)请在指定位置画出该几何体从左面和上面看到的形状图；
(2)在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，使得从左面和上面看到的形状图不变，那么最多可以再添加_____个小正方体．
(3)若每个小正方体的每个面面积都是1，则这个几何体的总表面积（含底面）为_____．
【考点2】正方体相对两面上的字（第18-29题）
· 「隔一相对」：展开图中相隔一个面的两个面折成正方体后相对
· 「Z」字形两端：呈Z字形排列的两个面折起后相对
· 相对面与相邻面：有公共边的面相邻，无公共边的面可能相对，可用排除法结合折纸验证
· 数字、字母、汉字类题目先确定相对关系，再代换求解
18．（2024·陕西渭南·二模）如图是某正方体的平面展开图，则原正方体中与“盛”字所在的面相对的面上的字是（ ）
A．祖 B．国 C．繁 D．荣
19．（24-25七年级上·广东深圳·期中）如图，这是一个正方体的表面展开图，每个面上都标有汉字，其中与“是”字处于正方体相对面上的是（ ）
A．识 B．是 C．力 D．量
20．（25-26七年级上·河南郑州·期中）已知一个不透明的正方体的六个面上分别写着1到6六个数字，从三个不同的方向看到的情形如下左图所示，下右图为这个正方体的展开图，则图中的x表示的数字是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
21．（23-24七年级上·江西赣州·期末）如图是正方体展开图，每个面均有一个字，把它折成正方体后，“通”字对面的字是（ ）
A．天 B．寨 C．欢 D．迎
22．（23-24七年级上·山西晋中·期中）在“爱国、爱党”主题班会上，小新特别制作了一个正方体玩具，其表面展开图如图所示，则原正方体中与“少”字相对面上的字是_____．

23．（23-24七年级上·四川成都·阶段检测）如图是一个正方体的展开图，在原正方体中，与“你”字所在面相对的面上的汉字是______．
24．（23-24七年级上·四川成都·阶段检测）如图是一个正方体的展开图，如果正方体相对的面上标注的值相等，那______，______．
25．（25-26七年级上·山东济南·阶段检测）一个正方体的平面展开图如图所示，每一个面都有一个汉字，则在该正方体中和“福”字相对的汉字是______．
26．（23-24七年级上·重庆开州·期末）如图，若要使图中的平面展开图折叠成正方体后，相对面的数字之和都等于，则_________．
27．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，一个正方形的表面上分别写着连续的6个正整数，且每两个相对面上的两个数的和都相等，则这6个整数和为_____．
28．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）如图是一个正方体的表面展开图，将这个展开图折叠成正方体后，相对面上的代数式与数字相等，则的倒数为______．
29．（25-26七年级下·河南新乡·期末）如图1是两个几何体的表面展开图，图2是一个正方体的表面展开图．
(1)写出图1中对应几何体的名称：①__________，②__________；
(2)将图2的展开图折叠成正方体，折叠后相对的两个面上的数字之和均相等，求的值．
【考点3】截一个几何体（第30-33题）
· 截面边数＝平面与几何体相交的面数，正方体截面最多为六边形、最少为三角形
· 圆柱截面：平行于底面截得圆，垂直于底面截得长方形，斜截可得椭圆
· 圆锥截面：平行于底面截得圆，过顶点垂直于底面截得等腰三角形
· 判断题逐一分析截面经过的面，注意截面一定是平面图形
30．（24-25七年级上·山西太原·阶段检测）在一个正方体的玻璃容器内装了一些水，随意倾斜该玻璃容器，容器内水面的形状不可能是（ ）
A．七边形 B．等腰梯形 C．五边形 D．六边形
31．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期中）用平面去截一个正方体，截面形状不可能是（ ）
A．等边三角形 B．长方形 C．六边形 D．正八边形
32．（25-26七年级上·山西运城·期中）用一个平面按如图的方式截该几何体，则截面的形状是（ ）
A． B．
C． D．
33．（25-26六年级上·山东泰安·阶段检测）若用一个平面去截一个正方体，截面的边数最多是________．
【考点4】点、线、面、体与平面图形的旋转（第34-39题）
· 「点动成线、线动成面、面动成体」：笔尖画线、雨刷扫面、旋转门等都是实例
· 面与面相交得到线，线与线相交得到点，几何体由点线面构成
· 平面图形绕轴旋转：长方形绕长边旋转得圆柱，直角三角形绕直角边旋转得圆锥，直角梯形绕高旋转得圆台
· 判断旋转体的形状时，先确定旋转轴，再看图形各点到轴的距离关系
34．（24-25七年级上·宁夏银川·阶段检测）“流星滑过天空”反映了什么数学原理___________．
35．（23-24七年级上·贵州贵阳·阶段检测）直角三角形绕它的直角边旋转一周，形成了一圆锥体，说明了____．（点动成线、线动成面、面动成体）
36．（23-24九年级上·甘肃兰州·期中）把笔尖看作一个点，当笔尖在纸上移动时，形成一条线，这说明点动成线，那么时钟的秒针旋转时，形成一个圆面，这说明了______．
37．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图，分别以直角梯形的下底和上底所在的直线为轴，将梯形旋转一周得到A，B两个几何体，则，两个几何体的体积之比是（ ）
A． B． C． D．
38．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）现有一个长方形，长和宽分别为和，绕它的一条边所在的直线旋转一周，得到的几何体体积为_______．
39．（25-26六年级上·山东淄博·阶段检测）如图，一个直角三角形的三条边长分别为3、4和5．
(1)将此直角三角形绕着它的较短直角边所在直线旋转一周，求所得到的几何体的体积；
(2)将此直角三角形绕着它的较长直角边所在直线旋转一周，求所得到的几何体的体积．（）
【考点5】正方体展开图与几何体展开图（第40-45题）
· 正方体展开图11种：141型6种、231型3种、222型1种、33型1种，熟记结构特征
· 排除法判断能否围成正方体：含「田」「凹」字形或一行超过4个正方形的一定不能
· 补一个面使展开图围成正方体：在满足展开图结构的空白处补面，并验证相对关系
· 由展开图识别几何体：圆柱展开为两个圆+长方形，圆锥展开为一个圆+扇形，棱柱展开为两个多边形+多个长方形
40．（24-25七年级上·福建厦门·期末）在数学活动课上，同学们通过“剪一剪、画一画、折一折”的方法学习立体图形的展开图．如图，其中标注序号的图形都是正方形，小艺认为它可以作为一个正方体的展开图，则她的判断______________（填“正确”或“错误”），理由是_______________________________________________．

41．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）如图是一个几何体表面的展开图，则该几何体的名称是______．
42．（24-25七年级上·福建漳州·期末）如图，阴影部分是由5个相同的小正方形组成的，请你在图中标注数字的位置选择添加一个正方形，使组成的新图形能够折叠成一个正方体盒子，则添加的位置可以是______．（写出一种即可）
43．（24-25七年级上·山西太原·阶段检测）下图中，有个无阴影的正方形，从中选出个和个有阴影的正方形一起可以折成正方体包装盒，这样的无阴影的正方形共有个，则的值为（ ）
A． B． C． D．
44．（25-26七年级上·福建泉州·期末）【项目式学习】项目主题：礼品盒的探究．
项目内容：学会用数学的眼光看世界，学习小组开展了一次礼品盒的探究之旅．
探究一：图1的三个几何体是常见的礼品盒模型．
（1）请分别写出每种礼品盒对应的几何体名称：①正三棱柱；②____________；③____________；
探究二：打开礼品盒顶盖后，看到里面分别装着圆柱形礼品，如图2分别是三个礼品盒拿走顶盖后从上面看到的形状图．
（2）学习小组绘制了图2-1中礼品盒的表面展开图，其中能折叠成正三棱柱礼品盒的图样是_______．（请把正确的序号填在横线上）
探究三：经测量发现，每个圆柱形礼品高，底面圆的半径．
（3）现对图2-2和图2-3中礼品盒（有盖）的表面进行贴膜塑封，求两个礼品盒贴膜塑封的总面积．（结果保留，礼品盒高等于圆柱形礼品高，礼品盒的厚度和贴膜接缝处忽略不计．）
45．（24-25七年级上·辽宁铁岭·阶段检测）聪聪在学习了“展开与折叠”这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形，于是他在家用剪刀把一个长方体纸盒（如图1）剪开了，可是他一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图2中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：

(1)若这个长方体纸盒的长、宽、高分别是、、，则该长方体纸盒的体积是______．
(2)聪聪一共剪开了_________条棱．
(3)现在聪聪想将剪掉的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪掉的②粘贴到①中的什么位置？请你帮他在①上补全一种情况．
【考点6】点、棱、面与表面积综合（第46-52题）
· 棱柱的棱、面、顶点数：n棱柱有3n条棱、n+2个面、2n个顶点；欧拉公式V+F-E=2
· 表面积计算：分别求上下面、左右面、前后面的面积之和，组合体注意重叠面的扣除
· 由展开图求几何体的表面积或体积：先识别几何体形状，再代入相应公式
· 规律探索题：从特殊情况入手，列出前几项观察数据变化规律，再用代数式表示第n项
46．（25-26七年级上·四川成都·期中）一个七棱柱的所有侧棱长之和为，则它侧棱长为______．
47．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）已知一个直棱柱有8个面，它的底面边长都是，侧棱长都是．
(1)它是几棱柱？多少条棱？
(2)这个棱柱的所有侧面的面积之和是多少？
48．（25-26七年级上·浙江·期末）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察图中几种简单多面体模型，解答下列问题：
(1)根据图中的多面体模型，填写表格中的空格：
多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E）
四面体 4 4 6
正方体 8 6
八面体 8 12
十二面体 20 12 30
(2)根据上面的表格，猜想顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是______（用所给的字母表示）．
(3)若一个多面体的面数比顶点数少14，且有48条棱，则这个多面体的面数是______．
(4)有一个玻璃饰品的外形是简单多面体，它共有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体的面数为，求的值．
49．（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）在一节实践探究课上，小凡同学用硬纸板制成了一个如图所示的底面边长都是、侧棱长是的直五棱柱几何体模型．
(1)这个五棱柱共有______条棱，______个顶点；
(2)这个棱柱的所有侧面的面积之和是多少？
50．（2026·安徽淮南·一模）综合与实践
【项目主题】
为开展室内小足球活动，某课外活动小组对用正五边形和正六边形皮子拼接成足球产生了兴趣．
【项目准备】
（1）密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间既没有空隙也没有重叠地铺成一片，叫做图形的密铺．
（2）足球的表面是由正五边形和正六边形拼接而成的多面体，这种结构的表面究竟是由多少个正五边形和正六边形拼接而成的呢？
【项目分析】
课外活动小组通过欧拉公式和顶点配置做了如下探究．
欧拉公式
对于任何凸多面体，欧拉公式成立：其中，是顶点数，E是边数，F是面数．
设为足球表面正五边形的数量，为足球表面正六边形的数量，则
（1）总面数计算：总面数F用含，的式子表示为：①
（2）边数计算
每个五边形有条边，每个六边形有条边，但每条边被两个面共享，因此总边数用含，的式子表示为：②
（3）顶点数计算
在足球表面，每个顶点是三个面的交点，具体来说，是两个六边形和一个五边形的交点．因此，每个顶点有条边．
从五边形的视角，每个五边形有个顶点，且每个顶点对应一个五边形，因此顶点数用含的式子表示为：③
从六边形的视角，每个六边形有个顶点，但每个顶点有两个六边形，因此顶点数用含的式子表示为：④
（4）代入欧拉公式计算
将③、②、①代入：，可得：，之间的关系为：⑤
但由③和④相等得：⑥
把⑥和⑤联立成含有，为未知数的方程组，解这个方程组得：⑦，⑧
【项目实施】
因此，足球的表面必须由⑨个正五边形和⑩个正六边形拼接而成．这种配置确保了多面体的对称性和接近球形的形状，同时满足几何约束．此外，这种结构在现实中也使足球具有较好的滚动性和稳定性，从而便于在室内开展活动．
请将上述材料中横线上所缺内容补充完整：
①____；②____；③____；④____；⑤_____；⑥____；⑦____；⑧____；⑨_____；⑩_____．
51．（23-24七年级上·陕西渭南·阶段检测）下列几何体中，属于棱柱的有______．（填序号）

52．（24-25七年级上·贵州·阶段检测）下列几何体中，只有平的面的是（ ）
A． B． C． D．
课后巩固
复习建议
· 立体图形与平面图形：先判断图形是否在同一平面内，再按柱体、锥体、球体分类记忆
· 三视图：正面、左面、上面三个方向分别观察，画图时实线虚线分清，还原时先底层后上层
· 展开图与相对面：熟记正方体11种展开图结构，用「隔一相对」「Z字两端」快速确定相对面
· 点线面体：牢记「点动成线、线动成面、面动成体」，旋转体问题先确定旋转轴
· 截面与表面积：截面边数等于平面与几何体相交的面数；表面积按六个方向分别数面再求和
【作业1】．（23-24七年级上·江西上饶·期中）有下列几何体：正方体；长方体；圆柱；圆锥；棱柱；球．这些几何体中，截面可能是圆的有（　　）
A．种 B．种 C．种 D．种
【作业2】．（24-25七年级上·辽宁阜新·期末）把如图所示的图形折成一个正方体的盒子，折好后与“厚”相对的字是（ ）
A．打 B．造 C．阜 D．新
【作业3】．（24-25七年级上·辽宁辽阳·阶段检测）下列说法正确的有（ ）个．
长方体与正方体都有六个面；圆锥的底面是圆；棱柱的上下底面是完全相同的图形；五棱柱有五个面，五条棱．
A．1个 B．2 C．3 D．4
【作业4】．（23-24七年级上·辽宁大连·期末）下列现象能说明“点动成线”的是（ ）
A．长方形硬纸片绕它的一边旋转，形成一个圆柱体
B．时钟分针旋转时扫过的痕迹
C．夜晚流星划过天空时留下一道明亮的光线
D．汽车的雨刷在挡风玻璃上画出一个扇面
【作业5】．（24-25七年级上·全国·期末）分别从正面、左面观察下列物体，得到的平面图形完全相同的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【作业6】．（25-26七年级上·陕西西安·开学考试）贝贝按如图方式在大正方体的每一个面上都涂上两个绿色小正方形和两个白色小正方形，使它从各个角度看起来都是由四个绿色小正方体和四个白色小正方体搭建而成，则这个大正方体的表面展开图可以是（ ）
A． B．
C． D．
【作业7】．（25-26七年级上·山东·期末）若将一个三棱锥的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，那么我们需要剪开______条棱．
【作业8】．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期中）一个正方体的平面展开图如图所示，每一个面都有一个汉字，则在该正方体中和“国”字相对的汉字是___________．
【作业9】．（24-25七年级上·河南·开学考试）下面这个几何体，是由个小正方体组成的．想一想，至少再摆上____个小立方体，它就能拼成一个长方体了．
【作业10】．（第02讲 从立体图形到平面图形（5个知识点 8种题型 过关检测）-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版2024））用一个平面将一个长方体截去一个三棱柱，剩下的几何体可能是（写出所有可能的结果）________．
【作业11】．（25-26七年级上·全国·课后作业）一个立体图形从不同方向看到的平面图形如图所示，则该立体图形的表面积S是________（结果保留π）．
【作业12】．（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）将一个长为，宽为的长方形绕它的一边所在的直线旋转一周，则得到的几何体的体积为_____．（结果保留）
【作业13】．（24-25七年级上·江苏苏州·开学考试）如图，一个底面直径6厘米的圆柱体木头，沿底面虚线处垂直切成一个最大的正方体，这个正方体的表面积是 __________ 平方厘米．
【作业14】．（25-26七年级上·江苏南京·开学考试）一个立体图形是由若干个小正方体拼成的，小军分别从前面、右面、上面观察看到的图形如下，这个立体图形是由( )个小正方体拼成的．
【作业15】．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，四个几何体分别是三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱，三棱柱有5个面、9条棱、6个顶点，观察图形并填空．
(1)四棱柱有 个面， 条棱， 个顶点；
(2)五棱柱有 个面， 条棱， 个顶点；
(3)六棱柱有 个面， 条棱， 个顶点；
(4)由此猜想棱柱有 个面， 条棱， 个顶点．
【作业16】．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列平面图形绕虚线旋转一周能得到一个立体图形，请将对应图形用线连接起来．
【作业17】．（23-24七年级上·陕西汉中·期中）如图是一个底面边长均为5cm，侧棱长为9cm的直三棱柱．

(1)这个棱柱有几个面，几个顶点？
(2)求该三棱柱所有侧面的面积之和．
【作业18】．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）一个长方体的每个面上都标注了字母，如图是该长方体的表面展开图，请根据要求回答问题：
(1)如果A在长方体的底部，那么哪一面会在上面？
(2)如果面F在前面，从左面看是B面，那么哪一面会在上面？
(3)如果从右面看是面C，面D在后面，那么哪一面会在上面？
2
1第11讲·几何图形·培优讲义
（知识梳理+典例+练习）·2026-2027学年人教版七年级数学上册
参考答案与试题解析
思维导图
课程目标
· 能识别常见的立体图形与平面图形，会对几何体按柱体、锥体、球体进行分类
· 会从正面、左面、上面三个方向观察几何体并画出其三视图，能由三视图还原几何体
· 认识正方体及常见几何体的展开图，能判断展开图能否围成正方体并确定相对面
· 理解点、线、面、体之间的关系，认识平面图形旋转所形成的立体图形
· 会用平面截几何体并判断截面形状，能计算简单几何体的表面积与棱数
知识梳理
☆ 1.认识立体图形与平面图形
立体图形：各部分不都在同一平面内的几何图形，如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等
平面图形：各部分都在同一平面内的图形，如线段、角、三角形、长方形、圆等
常见几何体的分类：柱体（圆柱、棱柱）、锥体（圆锥、棱锥）、球体；棱柱按底面边数分为三棱柱、四棱柱等
从实物中抽象出几何图形，感受图形与生活的联系，注意区分立体图形与平面图形
概念辨析例题：下列几何体中，属于柱体的有（　　）①正方体　②圆锥　③圆柱　④球　⑤棱柱
答案：①③⑤
解析：柱体分为圆柱和棱柱两类：正方体、棱柱是棱柱（柱体），圆柱是柱体；圆锥是锥体，球是球体，故属于柱体的是①③⑤。
☆ 2.从不同方向看几何体
从正面、左面、上面三个方向观察同一个几何体，得到的平面图形一般不同
画三视图：看得见的轮廓线画实线，看不见但存在的轮廓线画虚线
由三个方向看到的平面图形可以确定几何体的形状，进而确定小正方体的个数
计算表面积：分别数出正面、左面、上面看到的面数，上下面、左右面、前后面分别对应相等
概念辨析例题：一个几何体由几个大小相同的小正方体搭成，从正面看和从左面看得到的图形如图所示，则搭成该几何体最少需要几个小正方体？
答案：最少需要5个小正方体
解析：由从正面看的图形知共有3列，由从左面看的图形知共有2行，结合两个方向，底层至少需要4个小正方体，第二层至少1个，故最少需要5个。
☆ 3.立体图形的展开图
正方体的展开图共有11种，按结构分为「一四一」型6种、「二三一」型3种、「二二二」型1种、「三三」型1种
判断展开图能否围成正方体：不能含「田」字形和「凹」字形结构，一行不能超过4个正方形
相对面判断：展开图中相隔一个面的两个面相对（「隔一相对」），呈「Z」字形两端的面相对
常见几何体的展开图：圆柱的展开图是两个圆和一个长方形，圆锥的展开图是一个圆和一个扇形，棱柱的展开图是两个相同的多边形和若干个长方形
概念辨析例题：如图是一个正方体的展开图，每个面上都标有一个汉字，则原正方体中与「爱」字所在的面相对的面上的汉字是（　　）
答案：国
解析：根据「隔一相对」与「Z」字两端的判断方法，展开图中与「爱」相隔一个面的面是「国」，故相对面上的汉字是「国」。
☆ 4.点、线、面、体与截一个几何体
点、线、面、体：几何图形由点、线、面构成，点动成线、线动成面、面动成体
面与面相交得到线，线与线相交得到点；平面图形绕轴旋转可得到对应的立体图形
截面：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面，截面是一个平面图形
截正方体：截面边数取决于平面与正方体几个面相交，最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形
概念辨析例题：用一个平面去截一个正方体，截面的形状不可能是（　　）A．三角形　B．四边形　C．七边形　D．六边形
答案：C
解析：正方体只有6个面，用一个平面去截正方体时，截面最多与6个面相交，得到的截面最多是六边形，不可能是七边形，故选C。
知识总结表
核心概念 定义/公式 注意事项
立体图形的分类 柱体（圆柱、棱柱）、锥体（圆锥、棱锥）、球体 球既不是柱体也不是锥体
三视图 从正面、左面、上面三个方向观察所得图形 看得见棱画实线，看不见画虚线
正方体展开图 共11种：141型6种、231型3种、222型1种、33型1种 含「田」「凹」字形或一行超4个不能围成
相对面 隔一个面相对；「Z」字形两端相对 折叠后可验证相对关系
点、线、面、体 点动成线、线动成面、面动成体 面面相交成线、线线相交成点
截面 用平面截几何体所得平面图形 截正方体截面为三角形至六边形
核心考点
【考点1】从不同方向看几何体（三视图）（第1-17题）
· 按从正面、左面、上面三个方向分别观察，把每一层、每一列的小正方体个数数清楚
· 画三视图时：看得见的轮廓线画实线，被遮挡的轮廓线画虚线，注意对齐与比例
· 由两个方向的三视图确定小正方体个数时，先定底层再定上层，求最少个数时上层尽量靠内
· 求表面积：分别数出从正面、左面、上面看到的面数，再乘2即为小正方体的总表面积（单位面积）
1．（25-26七年级上·陕西延安·阶段检测）小猫沿着小路自东向西奔跑，它看到下面三幅图的先后顺序是（ ）
A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③①②
【答案】A
【知识点】从不同方向看几何体
【分析】本题考查简单组合体从不同方向看物体的形状，掌握从不同方向看物体的形状的方法是正确解答的关键．
根据在不同方向上所看到的图形，在小路的相应位置标注即可．
【详解】解：在小路的相应位置标注所看到的图形的位置如图所示：
所以自东向西的顺序为①②③．
故选：A．
2．（24-25六年级上·山东济宁·阶段检测）用相同的小正方体搭一个立体图形，从上面看到的形状是 ，从左面看到的形状是 ．搭这样的立体图形，最少需要（ ）个小立方体．
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【知识点】从不同方向看几何体
【分析】本题考查从不同方向看几何体，在从上面看到的图形的相应位置标注所能摆放小正方体的个数的最小值即可．
【详解】
解：由于这个组合体从上面看到形状是 ，从左面看到的形状是 ，
在从上面看到的图形相应位置标注所摆放的小正方体的个数最少的情况为 或 或 ，
因此最少需要4个小正方体，
故选：A．
3．（24-25七年级上·山西太原·阶段检测）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示该位置的小立方块的个数，则从正面看这个几何体的形状图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】从不同方向看几何体
【分析】本题考查从不同方向看几何体.根据图形得到小立方体的个数，结合正面看即可得到答案.
【详解】解：由图形可得，从正面看这个几何体的形状图是：
，
故选：C．
4．（24-25七年级上·黑龙江大庆·期末）一个由若干个大小相同的小立方块搭成的几何体，从正面和从上面看到的形状图如图所示，则搭成这样的几何体最少需要______个小立方块．
【答案】7
【知识点】从不同方向看几何体
【分析】本题考查了从不同方向看几何体，具备较强的空间想象能力是解题关键．在从上面看得到的图形的对应位置上，根据从正面看得到的图形标注最少需要摆放的小立方块的个数，由此即可得．
【详解】解：在从上面看得到的图形的对应位置上，根据从正面看得到的图形标注最少需要摆放的小立方块的个数如下：
或
则搭成这样的几何体最少需要的小立方块的个数为（个），
故答案为：7．
5．（24-25六年级上·河南商丘·期中）一个由小正方体搭成的立体图形，从上面看到的形状是，从左面看到的形状是，最少需要_____个小正方体．（小正方体之间至少有一个面重合）
【答案】
【知识点】从不同方向看几何体
【分析】本题考查已知三视图求最多或最少的小立方块的个数，根据从上面看到的形状和从左面看到的形状，得到第一层和第二层最少应有的小正方体个数，即可解题．
【详解】
解：因为从上面看到的形状是，从左面看到的形状是，
所以第一层最少有4个小正方体，第二层最少有1个小正方体，
即最少需要个小正方体．
故答案为：．
6．（25-26七年级上·山西太原·阶段检测）如图是用6个大小相同的小立方块搭成的几何体，请在指定位置画出从正面，左面和上面看到的这个几何体的形状图．
【答案】
如图所示：
【知识点】从不同方向看几何体
【分析】本题考查了从不同方向看几何体．熟练掌握是解题的关键．
从正面看：共有3列，从左往右分别有2，1，3个小正方形；从左面看：共有2列，从左往右分别有3，1个小正方形；从上面看：共有3列，从左往右分别有2，1，1个小正方形，据此可画出图形．
【详解】略
7．（24-25六年级上·山东泰安·期末）从正面、左面、上面观察如图所示的几何体，分别画出所看到的几何体的形状图．
【答案】
看到的几何体的形状图如图所示：
；
【知识点】从不同方向看几何体
【分析】本题考查从正面、左面、上面看到的平面图形．从正面看有3列，每列小正方形数目分别为1，2，1；从左边看有2列，每列小正方形数目分别为2，1；从上面看有3列，每行小正方形数目分别为2，1，1，再画图即可．
【详解】略
8．（23-24七年级上·广东云浮·期末）如图是由几个完全相同的小正方体搭成的一个立体图形，请画出从不同方向看该立体图形得到的平面图形．
【答案】
看到的图形如下：
【知识点】从不同方向看几何体
【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体，从正面看，看到的图形分为上下两层，共四列，从左边数，下面一层每一列都有一个小正方形，上面一层第一列有一个小正方形；从左面看，看到的图形分为上下两层，共两列，从左边数，上面一层每一列都有一个小正方形，，上面一层第一列有一个小正方形；从上面看，看到的图形分为上下两层，从左边数，上面一层每一列都有一个小正方形，下面一层第一列有一个小正方形；据此画图即可．
【详解】解：从正面看，看到的图形分为上下两层，共四列，从左边数，下面一层每一列都有一个小正方形，上面一层第一列有一个小正方形；从左面看，看到的图形分为上下两层，共两列，从左边数，上面一层每一列都有一个小正方形，，上面一层第一列有一个小正方形；从上面看，看到的图形分为上下两层，从左边数，上面一层每一列都有一个小正方形，下面一层第一列有一个小正方形；
9．（24-25七年级上·陕西西安·期中）如图2是由几个完全相同的小正方体搭成的一个几何体，每个小正方体的棱长为1cm．
(1)请画出从不同方向看该几何体得到的平面图形；（用黑色签字笔将对应的虚线描为实线即可）
(2)如果小明还想添加一些相同的小正方体，并保持从上面和左面看得到的形状图不变，最多可以再添 个小正方体．
【答案】(1)
解：根据题意，画图如下：
．
(2)7个
【知识点】从不同方向看几何体
【分析】本题考查了从不同方向看几何体．
（1）根据题意画出从不同方向看得到的图形即可．
（2）根据保持从上面和左面看得到的形状图不变，看到最左边可以加上2个，最高层的右边同行上可加个，前一行可加1个，共加7个．
【详解】（1）略
（2）解：根据保持从上面和左面看得到的形状图不变，看到最左边可以加上2个，最高层的右边同行上可加个，前一行可加1个，共加7个．
10．（24-25七年级上·贵州毕节·阶段检测）一个几何体是由大小相同的小立方块搭成，其中小正方形上的数字表示在该位置上的小立方块的个数，请画出从正面和从左面看到的这个几何体的形状图．
【答案】
从正面和从左面看到的这个几何体的形状图如图所示：
【知识点】从不同方向看几何体
【分析】本题主要考查了从不同方向看几何体，根据各行、各列对应的立方体的个数画正面看，左面看的图形即可．
【详解】略
11．（25-26七年级上·辽宁丹东·期末）如图是由12个棱长都为1的小正方体搭成的几何体．
(1)请画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图；
(2)若从这个几何体上拿掉一个或者几个小正方体（不能直接拿掉被压在下面的小正方体）而保持从三个方向看到的这个几何体形状图与（1）中保持不变的方法有________种．
【答案】(1)
如图：
(2)4
【知识点】从不同方向看几何体
【分析】本题考查了从不同方向看几何体．
（1）根据从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图作图即可；
（2）根据“保持从三个方向看到的这个几何体形状图与（1）中保持不变”可知最下方一排、最右方一排、最左后方一列的正方体不能移动，可知可拿掉的正方体有三个，进而找出所有情况，作答即可．
【详解】（1）略
（2）解：∵保持从三个方向看到的这个几何体形状图与（1）中保持不变，
∴最下方一排、最右方一排、最左后方一列的正方体不能移动，
则可拿掉的正方体有三个，如图，
则保持不变的方法有拿掉①、②、③、①③共4种．
故答案为：4．
12．（24-25七年级上·广东清远·期中）如图，在平整的地面上，用6个完全一样的小正方体堆成一个几何体．
(1)请在图1中画出从正面、左面和上面看到的这个几何体的形状图；
(2)直接写出这个几何体的表面积（包括底部）是________（平方单位）
【答案】(1)
解：三视图如图所示：
(2)26
【知识点】从不同方向看几何体
【分析】本题考查作图-三视图，几何体的表面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识
（1）由已知条件可知，从正面看有3列，每列小正方形数目分别为1，1，2，从左面看有2列，每列小正方形数目分别为2，1；从上面看有3列，每列小正方数形数目分别为2，1，2，据此可画出图形；
（2）分前后，左右，上下三个方向统计正方形的个数即可．
【详解】（1）略
（2）表面积，
故答案为：26．
13．（第1章 基础测试卷 -【千里马 单元测试卷】2024-2025学年新教材七年级上册数学（北师大版2024））请分别画出从正面、左面和上面观察如图所示的几何体看到的形状图．

【答案】
如图：
【知识点】从不同方向看几何体
【分析】本题考查了从不同方向观察几何体，注意小正方形的数目及位置．
从正面看到的图象有两层，下层有个正方形，上层有一个正方形在最左边；从左面看到的图形有两层，下层有个正方形，上层有一个正方形在它上边；从上面看到的图形有有一层，下层有个正方形．
【详解】略
14．（25-26七年级上·四川成都·期末）如图是由棱长都为的7块小正方体组成的简单几何体．
(1)直接写出这个几何体的表面积（包括底面）；
(2)请在方格内分别画出从正面、左面、上面观察该几何体看到的形状图（在所提供的方格内涂上相应的阴影）．
【答案】(1)
(2)
正面、左面、上面观察该几何体看到的形状图如下：
【知识点】从不同方向看几何体
【分析】本题主要考查了从不同方向看几何体、几何体的表面积，熟练掌握从不同方向看几何体所得到的图形的画法是解题关键．
（1）有顺序的计算上下面、左右面、前后面的表面积之和即可求解；
（2）根据从不同方向看几何体，画出所得到的图形即可．
【详解】（1）解：．
（2）略
15．（25-26七年级上·陕西西安·阶段检测）如图为一个正方体的表面展开图，若正方体相对面上的两个数字之和相等，面“2”是右面；面“4”在后面（数字和字母均在外表面），则上面是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】B
【知识点】从不同方向看几何体、正方体相对两面上的字
【分析】本题考查了正方体的相对两个面上的文字，从不同方向看几何体，正方体展开图中相隔一个面的两个面互为对面．找出相对面，再根据相对面上的两个数字之和相等，即可求解．
【详解】解：由正方体展开图的特点可知，面“2”与面“x”相对，面“4”与面“10”相对，面“6”与面“y”相对，
相对面上的两个数字之和相等，
，
，，
面“2”在右面，面“4”在后面，
面“x”在左面，面“10”在前面，面“6”在下面，面“y”在上面，
上面是8，
故选：B．
16．（2025七年级上·四川成都·专题练习）把14个棱长是的正方体放在地面上，堆成如图所示的组合体，然后将露出的表面部分涂成红色（底面不涂）．那么红色部分的面积是（ ）
A．33 B．38 C．42
【答案】A
【知识点】几何体中的点、棱、面、从不同方向看几何体
【分析】此题考查的知识点是几何体的表面积，关键是在计算表面积时减去不露的或重叠的面积．
此题可根据表面积的计算分层计算得出红色部分的面积再相加．
【详解】解：根据题意得：
第一层露出的表面积为：；
第二层露出的表面积为：；
第三层露出的表面积为：．
所以红色部分的面积为：．
故选：A．
17．（25-26七年级上·广东深圳·期中）如图，是由10个大小相同的小正方体块搭建的几何体．
(1)请在指定位置画出该几何体从左面和上面看到的形状图；
(2)在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，使得从左面和上面看到的形状图不变，那么最多可以再添加_____个小正方体．
(3)若每个小正方体的每个面面积都是1，则这个几何体的总表面积（含底面）为_____．
【答案】(1)
如图所示：
(2)4
(3)36
【知识点】几何体中的点、棱、面、从不同方向看几何体
【分析】此题主要考查了从不同方向看几何体，分别是从物体正面、左面和上面看，所得到的图形；从上面看到的图形决定底层立方块的个数．
（1）根据从不同方向看几何体作图即可得；
（2）从上面看确定位置，即可得到最多添加的数量；
（3）根据表面积公式结合图形计算即可得解．
【详解】（1）略
（2）解：如图，在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，使得从左面和上面看到的形状图不变，那么最多可以再添加个小正方体，
故答案为：4；
（3）解：这个几何体的总表面积（含底面）为：，
故答案为：．
【考点2】正方体相对两面上的字（第18-29题）
· 「隔一相对」：展开图中相隔一个面的两个面折成正方体后相对
· 「Z」字形两端：呈Z字形排列的两个面折起后相对
· 相对面与相邻面：有公共边的面相邻，无公共边的面可能相对，可用排除法结合折纸验证
· 数字、字母、汉字类题目先确定相对关系，再代换求解
18．（2024·陕西渭南·二模）如图是某正方体的平面展开图，则原正方体中与“盛”字所在的面相对的面上的字是（ ）
A．祖 B．国 C．繁 D．荣
【答案】A
【知识点】正方体相对两面上的字
【分析】本题主要考查了正方体与展开图的面的关系，掌握相对的面之间一定相隔一个正方形是解答本题的关键．
【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，则“祖”与“盛”是相对面，“国”与“荣”是相对面，“繁”与“昌”是相对面．
故选：A．
19．（24-25七年级上·广东深圳·期中）如图，这是一个正方体的表面展开图，每个面上都标有汉字，其中与“是”字处于正方体相对面上的是（ ）
A．识 B．是 C．力 D．量
【答案】A
【知识点】正方体相对两面上的字
【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，根据正方体的表面展开图找相对面的方法解答即可．
【详解】解：正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，所以与“是”字处于正方体相对面上的是“识”．
故选：A．
20．（25-26七年级上·河南郑州·期中）已知一个不透明的正方体的六个面上分别写着1到6六个数字，从三个不同的方向看到的情形如下左图所示，下右图为这个正方体的展开图，则图中的x表示的数字是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】正方体相对两面上的字
【分析】本题考查了正方体相对两个面上的数字，根据题意，与1相邻的面的数字有：2，5，4，6，判断出1的对面数字是3，与4相邻的面的数字有：2，3，1，6，判断出4的对面数字是5，从而确定出2的对面数字是6，再根据展开图可得6的对面是，即可得出答案，根据相邻面上的数字确定出相对面上的数字是解题的关键．
【详解】解：根据题意，∵与1相邻的面的数字有：2，5，4，6，
∴1的对面数字是3，
∵与4相邻的面的数字有：2，3，1，6，
∴4的对面数字是5，
∴2的对面数字是6，
从展开图，可以知道6的对面是，那么，
故选：B．
21．（23-24七年级上·江西赣州·期末）如图是正方体展开图，每个面均有一个字，把它折成正方体后，“通”字对面的字是（ ）
A．天 B．寨 C．欢 D．迎
【答案】B
【知识点】正方体相对两面上的字
【分析】根据展开图中隔一相对的原则，得到解答即可．
本题考查了正方体展开图中的相对字问题，熟练掌握展开图的意义是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得“通”字一面相对的面上的字为“寨”，
故选B．
22．（23-24七年级上·山西晋中·期中）在“爱国、爱党”主题班会上，小新特别制作了一个正方体玩具，其表面展开图如图所示，则原正方体中与“少”字相对面上的字是_____．

【答案】强
【知识点】正方体相对两面上的字
【分析】本题考查正方体的展开图．熟练掌握确定正方体相对面的方法，是解题的关键．根据Z字型确定正方体展开图的相对面，即可得解．
【详解】解：由图可知：原正方体中与“少”字相对的字是：强；
故答案为：强．
23．（23-24七年级上·四川成都·阶段检测）如图是一个正方体的展开图，在原正方体中，与“你”字所在面相对的面上的汉字是______．
【答案】成
【知识点】正方体相对两面上的字
【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字，根据正方体的表面展开图找相对面的方法：“Z”字两端是对面，即可解答．
【详解】解：如图是一个正方体的展开图，在原正方体中，与“你”字所在面相对的面上的汉字是“成”．
故答案为：成．
24．（23-24七年级上·四川成都·阶段检测）如图是一个正方体的展开图，如果正方体相对的面上标注的值相等，那______，______．
【答案】
【知识点】正方体相对两面上的字
【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点找出相对面，然后求解即可得到x、y的值．
【详解】解：∵正方体相对的面上标注的值相等，
∴，
解得，
故答案为：，．
25．（25-26七年级上·山东济南·阶段检测）一个正方体的平面展开图如图所示，每一个面都有一个汉字，则在该正方体中和“福”字相对的汉字是______．
【答案】天
【知识点】正方体相对两面上的字
【分析】本题主要考查了正方体展开图相对面的特征，解题的关键是掌握正方体展开图相对面的特征“隔一个或Z字形端”．根据正方体展开图相对面的特征即可进行解答．
【详解】解：“福”字相对的汉字是“天”，
故答案为：天．
26．（23-24七年级上·重庆开州·期末）如图，若要使图中的平面展开图折叠成正方体后，相对面的数字之和都等于，则_________．
【答案】
【知识点】正方体相对两面上的字
【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【详解】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
与3是相对面，与是相对面，
相对面的数字之和都等于，
，，
，，
．
故答案为：．
27．（24-25七年级上·江苏南京·期末）如图，一个正方形的表面上分别写着连续的6个正整数，且每两个相对面上的两个数的和都相等，则这6个整数和为_____．
【答案】45
【知识点】有理数加法运算、正方体相对两面上的字
【分析】本题主要考查了有理数的加法，解题关键是根据正方体的展开图求出这六个连续的整数．根据题意分析可得：六个面上分别写着六个连续的整数，故六个整数可能为5，6，7，8，9，10或4，5，6，7，8，9，然后分析是否符合题意即可．
【详解】解：根据题意分析可得：六个面上分别写着六个连续的整数，
故六个整数可能为5，6，7，8，9，10或4，5，6，7，8，9；
且每个相对面上的两个数之和相等，
，，，
，，（5与8相邻，不合题意，舍去）
∴这六个数是5，6，7，8，9，10，
∴这六个整数的和为：，
故答案为：45．
28．（25-26七年级上·陕西渭南·期末）如图是一个正方体的表面展开图，将这个展开图折叠成正方体后，相对面上的代数式与数字相等，则的倒数为______．
【答案】
【知识点】倒数、已知字母的值 ，求代数式的值、正方体相对两面上的字
【分析】本题主要考查了正方体表面展开图，求代数式的值，倒数的定义等知识，由正方体的展开图的特征求出，求得，再根据倒数的定义即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：由正方体的展开图的特征可得：“”与“”相对，“”与“”相对，“”与“”相对，
∵相对面上的代数式与数字相等，
∴，
∴，
∴，
∵的倒数是，
∴的倒数为，
故答案为：．
29．（25-26七年级下·河南新乡·期末）如图1是两个几何体的表面展开图，图2是一个正方体的表面展开图．
(1)写出图1中对应几何体的名称：①__________，②__________；
(2)将图2的展开图折叠成正方体，折叠后相对的两个面上的数字之和均相等，求的值．
【答案】(1)长方体（或四棱柱）； 三棱锥
(2)11
【知识点】几何体展开图的认识、正方体相对两面上的字
【分析】本题主要考查了几何体的展开图、正方体相对面的识别，熟练掌握常见几何体的展开图特征、正方体展开图中相对面的位置关系是解题的关键．
（1）根据几何体表面展开图的特征，即可判断图①、图②对应的几何体；
（2）先确定正方体展开图中相对的面，再根据相对面数字之和相等，求出、的值，进而计算．
【详解】（1）解：图1中对应几何体为：①长方体（或四棱柱），②三棱锥.
（2）解：由题图可知与1，2与4，y与相对．
∵相对的两个面上的数字之和均相等，，
．
．
．
【考点3】截一个几何体（第30-33题）
· 截面边数＝平面与几何体相交的面数，正方体截面最多为六边形、最少为三角形
· 圆柱截面：平行于底面截得圆，垂直于底面截得长方形，斜截可得椭圆
· 圆锥截面：平行于底面截得圆，过顶点垂直于底面截得等腰三角形
· 判断题逐一分析截面经过的面，注意截面一定是平面图形
30．（24-25七年级上·山西太原·阶段检测）在一个正方体的玻璃容器内装了一些水，随意倾斜该玻璃容器，容器内水面的形状不可能是（ ）
A．七边形 B．等腰梯形 C．五边形 D．六边形
【答案】A
【知识点】截一个几何体
【分析】本题考查了截一个几何体，熟练掌握正方体的截面形状是解题的关键．
根据正方体的截面形状，即可解答．
【详解】解：正方体的截面形状可能是：三角形，四边形，五边形，六边形，
∴在一个正方体的玻璃容器内装了一些水，随意倾斜该玻璃容器，容器内水面的形状不可能是七边形，
故选：A
31．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期中）用平面去截一个正方体，截面形状不可能是（ ）
A．等边三角形 B．长方形 C．六边形 D．正八边形
【答案】D
【知识点】截一个几何体
【分析】本题考查了截一个几何体，用一个平面去截一个正方体，截面经过几个面，截面就是几边形，即可解答．
【详解】解：用一个平面去截一个正方体，则截面的形状可能为等边三角形，长方形，六边形，不可能是正八边形，
故选：D．
32．（25-26七年级上·山西运城·期中）用一个平面按如图的方式截该几何体，则截面的形状是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】截一个几何体
【分析】本题考查截一个几何体，认真观察图中的截面是解题的关键．
观察图中的截面可直接得出答案．
【详解】解：观察图中的截面，可知截面是四边形，不是正方形．
故选：C．
33．（25-26六年级上·山东泰安·阶段检测）若用一个平面去截一个正方体，截面的边数最多是________．
【答案】6/六
【知识点】截一个几何体
【分析】本题考查正方体的截面．截面经过正方体的几个面，得到的截面形状就是几边形．由此可解．
【详解】解：∵用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，最少与三个面相交得三角形，
∴最多可以截出六边形，即截面的边数最多是6．
故答案为：6．
【考点4】点、线、面、体与平面图形的旋转（第34-39题）
· 「点动成线、线动成面、面动成体」：笔尖画线、雨刷扫面、旋转门等都是实例
· 面与面相交得到线，线与线相交得到点，几何体由点线面构成
· 平面图形绕轴旋转：长方形绕长边旋转得圆柱，直角三角形绕直角边旋转得圆锥，直角梯形绕高旋转得圆台
· 判断旋转体的形状时，先确定旋转轴，再看图形各点到轴的距离关系
34．（24-25七年级上·宁夏银川·阶段检测）“流星滑过天空”反映了什么数学原理___________．
【答案】点动成线
【知识点】点、线、面、体四者之间的关系
【分析】本题考查点、线、面、体，解题的关键是掌握点动成线，线动成面，面动成体．据此解答即可．
【详解】解：“流星滑过天空”留下一条痕迹，这种生活现象可以反映的数学原理是：点动成线．
故答案为：点动成线．
35．（23-24七年级上·贵州贵阳·阶段检测）直角三角形绕它的直角边旋转一周，形成了一圆锥体，说明了____．（点动成线、线动成面、面动成体）
【答案】面动成体
【知识点】点、线、面、体四者之间的关系
【分析】本题考查了点、线、面、体；
根据点动成线，线动成面，面动成体进行解答即可．
【详解】解：直角三角形绕它的直角边旋转一周，形成了一圆锥体，说明了面动成体，
故答案为：面动成体．
36．（23-24九年级上·甘肃兰州·期中）把笔尖看作一个点，当笔尖在纸上移动时，形成一条线，这说明点动成线，那么时钟的秒针旋转时，形成一个圆面，这说明了______．
【答案】线动成面
【知识点】点、线、面、体四者之间的关系
【分析】此题主要考查了点、线、面、体，关键是掌握点动成线，线动成面，面动成体．由秒针是一条线，从而可得答案.
【详解】解：时钟的秒针旋转时，形成一个圆面，这说明了线动成面．
故答案为：线动成面．
37．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图，分别以直角梯形的下底和上底所在的直线为轴，将梯形旋转一周得到A，B两个几何体，则，两个几何体的体积之比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形
【分析】本题考查了圆柱和圆锥的体积、图形的旋转，熟练掌握图形的旋转是解题关键．几何体的体积等于圆柱的体积与圆锥的体积之和，几何体的体积等于圆柱的体积减去圆锥的体积，由此即可得．
【详解】解：几何体的体积为，
几何体的体积，
则，两个几何体的体积之比是，
故选：C．
38．（25-26七年级上·陕西咸阳·期中）现有一个长方形，长和宽分别为和，绕它的一条边所在的直线旋转一周，得到的几何体体积为_______．
【答案】
或
【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形
【分析】本题考查了圆柱的体积，理解圆柱的形成过程是解题的关键．
绕长方形的一条边旋转一周，形成的几何体是圆柱体，体积取决于旋转轴是长方形的长还是宽，分别计算两种情况的体积即可．
【详解】解：①当绕长方形的长旋转时，圆柱体的底面半径为，高为，
则圆柱体的体积为 = ，
②当绕长方形的宽旋转时，圆柱体的底面半径为，高为宽，
则圆柱体的体积为 = ．
故答案为：或．
39．（25-26六年级上·山东淄博·阶段检测）如图，一个直角三角形的三条边长分别为3、4和5．
(1)将此直角三角形绕着它的较短直角边所在直线旋转一周，求所得到的几何体的体积；
(2)将此直角三角形绕着它的较长直角边所在直线旋转一周，求所得到的几何体的体积．（）
【答案】(1)
(2)
【知识点】含乘方的有理数混合运算、平面图形旋转后所得的立体图形
【分析】本题主要考查了平面图形旋转后所得的立体图形，圆锥的体积公式，有理数的乘方运算，多个有理数的乘法运算等知识点，能够判断出旋转所成的圆锥体的底面半径和高是解题的关键．
（1）由题意得，该几何体是圆锥，再根据圆锥的体积公式计算；
（2）由题意得，该几何体是圆锥，再根据圆锥的体积公式计算．
【详解】（1）解：由题意得，该几何体是圆锥，
∴；
（2）解：由题意得，该几何体是圆锥，
∴．
【考点5】正方体展开图与几何体展开图（第40-45题）
· 正方体展开图11种：141型6种、231型3种、222型1种、33型1种，熟记结构特征
· 排除法判断能否围成正方体：含「田」「凹」字形或一行超过4个正方形的一定不能
· 补一个面使展开图围成正方体：在满足展开图结构的空白处补面，并验证相对关系
· 由展开图识别几何体：圆柱展开为两个圆+长方形，圆锥展开为一个圆+扇形，棱柱展开为两个多边形+多个长方形
40．（24-25七年级上·福建厦门·期末）在数学活动课上，同学们通过“剪一剪、画一画、折一折”的方法学习立体图形的展开图．如图，其中标注序号的图形都是正方形，小艺认为它可以作为一个正方体的展开图，则她的判断______________（填“正确”或“错误”），理由是_______________________________________________．

【答案】 错误 折成正方体形状后，标有数字1和2的两个面重叠．
【知识点】正方体几种展开图的识别、正方体相对两面上的字
【分析】本题考查几何体的展开图，掌握正方体表面展开图的特征是正确解答的关键．
根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．
【详解】解：根据正方体表面展开图的“田凹应弃之”可得，该图形不是正方体的表面展开图，折成正方体形状后，标有数字1和2的两个面重叠．
故答案为∶错误； 折成正方体形状后，标有数字1和2的两个面重叠．
41．（25-26七年级上·河南郑州·阶段检测）如图是一个几何体表面的展开图，则该几何体的名称是______．
【答案】六棱柱
【知识点】几何体展开图的认识
【分析】本题考查了根据展开图还原几何体．
根据几何体表面的展开图的特征判断即可．
【详解】解：几何体表面的展开图为两个六边形和个矩形，
则该几何体的名称是六棱柱．
故答案为：六棱柱．
42．（24-25七年级上·福建漳州·期末）如图，阴影部分是由5个相同的小正方形组成的，请你在图中标注数字的位置选择添加一个正方形，使组成的新图形能够折叠成一个正方体盒子，则添加的位置可以是______．（写出一种即可）
【答案】②
【知识点】正方体几种展开图的识别
【分析】本题主要考查了正方体的侧面展开图的复原，掌握把不同的侧面展开图成功复原成正方体的方法是解题的关键．
结合正方体的平面展开图的特征，只要折叠后能围成正方体即可．
【详解】解：如图所示，
选择A，B，C，D处的任一正方形，都可以使新拼接成的图形折叠后成为一个封闭正方体，
∴在②添加一个正方形，使组成的新图形能够折叠成一个正方体盒子．
故答案为：②．
43．（24-25七年级上·山西太原·阶段检测）下图中，有个无阴影的正方形，从中选出个和个有阴影的正方形一起可以折成正方体包装盒，这样的无阴影的正方形共有个，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】补一个面使图形围成正方体
【分析】本题主要是正方体的展开图形，将一个正方体展开，可能得到的形状有以下几种：①“一四一”型；②“二三一”型或“一三二”型；③“二二二”型；④“三三”型；结合题中所给的图形，运用正方体常见展开的几种形式分析求解即可．
【详解】解：根据正方体的表面展开图，选A、B、C、D四个位置即可．
故选：D．
44．（25-26七年级上·福建泉州·期末）【项目式学习】项目主题：礼品盒的探究．
项目内容：学会用数学的眼光看世界，学习小组开展了一次礼品盒的探究之旅．
探究一：图1的三个几何体是常见的礼品盒模型．
（1）请分别写出每种礼品盒对应的几何体名称：①正三棱柱；②____________；③____________；
探究二：打开礼品盒顶盖后，看到里面分别装着圆柱形礼品，如图2分别是三个礼品盒拿走顶盖后从上面看到的形状图．
（2）学习小组绘制了图2-1中礼品盒的表面展开图，其中能折叠成正三棱柱礼品盒的图样是_______．（请把正确的序号填在横线上）
探究三：经测量发现，每个圆柱形礼品高，底面圆的半径．
（3）现对图2-2和图2-3中礼品盒（有盖）的表面进行贴膜塑封，求两个礼品盒贴膜塑封的总面积．（结果保留，礼品盒高等于圆柱形礼品高，礼品盒的厚度和贴膜接缝处忽略不计．）
【答案】（1）②长方体；③圆柱；（2）①②④；（3）
【知识点】常见的几何体、几何体展开图的认识、由展开图计算几何体的表面积
【分析】本题主要考查了几何体和求几何体的面积，注意：棱柱的侧面都是长方形，上下底面是几边形就是几棱柱．
（1）根据图形求解即可；
（2）根据正三棱柱的展开图分析即可；
（3）先求出长方体的长、宽、高，圆柱体的底面半径和高，再求面积，即可求解．
【详解】解：（1）每种礼品盒对应的几何体名称：②长方体；③圆柱；
（2）能折叠成正三棱柱礼品盒的图样是①②④；
（3）长方体的长为，宽为，高为，
长方体礼盒的面积为，
圆柱体的底面半径为，高为，
圆柱体礼盒的面积为，
两个礼品盒贴膜塑封的总面积．
45．（24-25七年级上·辽宁铁岭·阶段检测）聪聪在学习了“展开与折叠”这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形，于是他在家用剪刀把一个长方体纸盒（如图1）剪开了，可是他一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图2中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：

(1)若这个长方体纸盒的长、宽、高分别是、、，则该长方体纸盒的体积是______．
(2)聪聪一共剪开了_________条棱．
(3)现在聪聪想将剪掉的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪掉的②粘贴到①中的什么位置？请你帮他在①上补全一种情况．
【答案】(1)70
(2)8
(3)
如图，就是所画的图形（答案不唯一）．
【知识点】几何体展开图的认识、由展开图计算几何体的体积
【分析】本题考查长方体体积，将长方形裁成两图需剪开的棱数，画长方体所有展开图问题，掌握长方体体积公式，会画长方体平面展开图是解题关键．
（1）利用体积公式：长宽高计算即可；
（2）由总的棱数减去没剪开的棱数即可得到答案；
（3）根据长方体的平面展开图再画图即可．
【详解】（1）解： ．
该长方体纸盒的体积是．
故答案为：70；
（2）解：把纸盒剪成了两部分，即图（2）中的①和②．共有12条棱，4条没剪开，
聪聪一共剪开条棱；
故答案为：8；
（3）略
【考点6】点、棱、面与表面积综合（第46-52题）
· 棱柱的棱、面、顶点数：n棱柱有3n条棱、n+2个面、2n个顶点；欧拉公式V+F-E=2
· 表面积计算：分别求上下面、左右面、前后面的面积之和，组合体注意重叠面的扣除
· 由展开图求几何体的表面积或体积：先识别几何体形状，再代入相应公式
· 规律探索题：从特殊情况入手，列出前几项观察数据变化规律，再用代数式表示第n项
46．（25-26七年级上·四川成都·期中）一个七棱柱的所有侧棱长之和为，则它侧棱长为______．
【答案】
【知识点】几何体中的点、棱、面
【分析】本题考查棱柱的空间结构特征，熟记棱柱的空间结构特征是解决问题的关键．
根据七棱柱有7条侧棱，且所有侧棱长度相等，由侧棱总长除以7即可得到答案．
【详解】解：由七棱柱的侧棱数为7，每条侧棱长度均相等，且所有侧棱长之和为，可得：
每条侧棱长为，
故答案为：．
47．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）已知一个直棱柱有8个面，它的底面边长都是，侧棱长都是．
(1)它是几棱柱？多少条棱？
(2)这个棱柱的所有侧面的面积之和是多少？
【答案】(1)它是六棱柱，有18条棱
(2)这个棱柱的所有侧面的面积之和是
【知识点】几何体中的点、棱、面、由展开图计算几何体的表面积
【分析】本题考查了棱柱的特征及表面积，解决本题的关键是熟练运用长方形的面积公式计算．
（1）已知该直棱柱有8个面，除了上下底面，它还有6个侧面，所以它是六棱柱．根据棱柱的性质，棱柱有个顶点，条棱．对于六棱柱，，则顶点数量为个，棱的数量为条；
（2）根据六棱柱侧面展开后是一个长方形．这个长方形的长就是底面六边形的周长，所以长方形的长为，又已知侧棱长都是，所以长方形宽为，根据长方形面积公式长×宽，可得这个长方形（即棱柱侧面展开图）的面积．
【详解】（1）解：侧面有：个，
因此这是六棱柱，则顶点数量为个，棱的数量为条．
答：它是六棱柱，有18条棱．
（2）解：棱柱所有侧面的面积之和为．
答：这个棱柱的所有侧面的面积之和是．
48．（25-26七年级上·浙江·期末）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察图中几种简单多面体模型，解答下列问题：
(1)根据图中的多面体模型，填写表格中的空格：
多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E）
四面体 4 4 6
正方体 8 6
八面体 8 12
十二面体 20 12 30
(2)根据上面的表格，猜想顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是______（用所给的字母表示）．
(3)若一个多面体的面数比顶点数少14，且有48条棱，则这个多面体的面数是______．
(4)有一个玻璃饰品的外形是简单多面体，它共有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体的面数为，求的值．
【答案】(1)12；6
(2)
(3)18
(4)
【知识点】列代数式、图形类规律探索、其他问题(一元一次方程的应用)、几何体中的点、棱、面
【分析】本题主要考查立体图形的相关概念，图形规律的探索，列代数式，实际问题与一元一次方程，熟练掌握以上知识点是做题的关键．
（1）观察图形即可得出答案；
（2）观察图形和表格即可得出规律；
（3）根据（2）中的关系式，代入即可求值；
（4）根据题意可列方程，再解方程即可．
【详解】（1）解：观察图形，正方体的棱数为12，正八面体的顶点数为6．
故答案为：12；6．
（2）解：观察图形和表格可以看出：顶点数＋面数－棱数，
即．
故答案为：．
（3）解：由题意得，，
解得，．
故答案为：18．
（4）解：因为该多面体的顶点数，且每个顶点处有3条棱，
所以该多面体的棱数．
因为，
所以，
解得，．
答：的值为．
49．（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）在一节实践探究课上，小凡同学用硬纸板制成了一个如图所示的底面边长都是、侧棱长是的直五棱柱几何体模型．
(1)这个五棱柱共有______条棱，______个顶点；
(2)这个棱柱的所有侧面的面积之和是多少？
【答案】(1)15，10
(2)
【知识点】常见的几何体、几何体中的点、棱、面、由展开图计算几何体的表面积
【分析】（1）根据五棱柱的结构特征解答即可；
（2）求出一个侧面的面积，再乘以 5 即可求解；
【详解】（1）解：这个五棱柱共有15条棱，10个顶点，
故答案为：15，10；
（2）解：，
答：这个棱柱的侧面积之和是．
50．（2026·安徽淮南·一模）综合与实践
【项目主题】
为开展室内小足球活动，某课外活动小组对用正五边形和正六边形皮子拼接成足球产生了兴趣．
【项目准备】
（1）密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，使图形之间既没有空隙也没有重叠地铺成一片，叫做图形的密铺．
（2）足球的表面是由正五边形和正六边形拼接而成的多面体，这种结构的表面究竟是由多少个正五边形和正六边形拼接而成的呢？
【项目分析】
课外活动小组通过欧拉公式和顶点配置做了如下探究．
欧拉公式
对于任何凸多面体，欧拉公式成立：其中，是顶点数，E是边数，F是面数．
设为足球表面正五边形的数量，为足球表面正六边形的数量，则
（1）总面数计算：总面数F用含，的式子表示为：①
（2）边数计算
每个五边形有条边，每个六边形有条边，但每条边被两个面共享，因此总边数用含，的式子表示为：②
（3）顶点数计算
在足球表面，每个顶点是三个面的交点，具体来说，是两个六边形和一个五边形的交点．因此，每个顶点有条边．
从五边形的视角，每个五边形有个顶点，且每个顶点对应一个五边形，因此顶点数用含的式子表示为：③
从六边形的视角，每个六边形有个顶点，但每个顶点有两个六边形，因此顶点数用含的式子表示为：④
（4）代入欧拉公式计算
将③、②、①代入：，可得：，之间的关系为：⑤
但由③和④相等得：⑥
把⑥和⑤联立成含有，为未知数的方程组，解这个方程组得：⑦，⑧
【项目实施】
因此，足球的表面必须由⑨个正五边形和⑩个正六边形拼接而成．这种配置确保了多面体的对称性和接近球形的形状，同时满足几何约束．此外，这种结构在现实中也使足球具有较好的滚动性和稳定性，从而便于在室内开展活动．
请将上述材料中横线上所缺内容补充完整：
①____；②____；③____；④____；⑤_____；⑥____；⑦____；⑧____；⑨_____；⑩_____．
【答案】
； ； ； ； ； ； ； ； ；
【知识点】列代数式、图形类规律探索、几何体中的点、棱、面
【分析】设为足球表面正五边形的数量，为足球表面正六边形的数量，可得总面数，总边数，从五边形的视角，可得顶点数，代入欧拉公式化简可得，从六边形的视角，可得顶点数，根据不同视角所得顶点数相等，可得，解方程组即可得，．
【详解】解：设为足球表面正五边形的数量，为足球表面正六边形的数量，则
（1）总面数计算：总面数用含，的式子表示为： ，
（2）边数计算
每个五边形有5条边，每个六边形有6条边，但每条边被两个面共享，因此总边数E用含，的式子表示为： ，
（3）顶点数计算
在足球表面，每个顶点是三个面的交点，具体来说，是两个六边形和一个五边形的交点．因此，每个顶点有条边．
从五边形的视角，每个五边形有个顶点，且每个顶点对应一个五边形，因此顶点数用含的式子表示为： ，
从六边形的视角，每个六边形有个顶点，但每个顶点有两个六边形，因此顶点数用含的式子表示为： ，
（4）代入欧拉公式计算
将、、代入：，可得：，之间的关系为：，即 ，
但由和相等得：，即 ，
把和联立成含有，为未知数的方程组，得，
解这个方程组得：，，
因此，足球的表面必须由个正五边形和个正六边形拼接而成．
51．（23-24七年级上·陕西渭南·阶段检测）下列几何体中，属于棱柱的有______．（填序号）

【答案】③④⑤⑥
【知识点】立体图形的分类
【分析】根据几何体的分类即可求得答案．
【详解】①为圆柱体，不属于棱柱；
②为圆锥体，不属于棱柱；
③为长方体，属于棱柱；
④为正方体，属于棱柱；
⑤为长方体，属于棱柱；
⑥为六棱柱，属于棱柱；
⑦为球体，不属于棱柱．
故答案为：③④⑤⑥．
【点睛】本题主要考查几何体的分类，牢记几何体的分类是解题的关键．
52．（24-25七年级上·贵州·阶段检测）下列几何体中，只有平的面的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】常见的几何体
【分析】本题主要考查了常见几何体的特点，熟知常见几何体的特点是解题的关键．
【详解】解：A、圆柱的上下底面为曲面，不符合题意；
B、长方体没有曲面，只有平的面,符合题意；
C、圆台的上下底面为曲面，不符合题意；
D、球是曲面，不符合题意；
故选：B．
课后巩固
复习建议
· 立体图形与平面图形：先判断图形是否在同一平面内，再按柱体、锥体、球体分类记忆
· 三视图：正面、左面、上面三个方向分别观察，画图时实线虚线分清，还原时先底层后上层
· 展开图与相对面：熟记正方体11种展开图结构，用「隔一相对」「Z字两端」快速确定相对面
· 点线面体：牢记「点动成线、线动成面、面动成体」，旋转体问题先确定旋转轴
· 截面与表面积：截面边数等于平面与几何体相交的面数；表面积按六个方向分别数面再求和
【作业1】．（23-24七年级上·江西上饶·期中）有下列几何体：正方体；长方体；圆柱；圆锥；棱柱；球．这些几何体中，截面可能是圆的有（　　）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】B
【知识点】截一个几何体
【分析】本题考查了截面的形状问题根据圆柱、正方体、棱柱、球、圆锥、长方体这些几何体的形状特点进行判断即可选出正确答案，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关.
【详解】解：在这些几何体中，正方体，长方体和棱柱的截面不可能有弧度，所以一定不会截出圆；
圆柱和圆锥中如果截面和底面平行是可以截出圆的；球体中截面是圆，
∴圆柱、球、圆锥能截出圆，共3种，
故选：．
【作业2】．（24-25七年级上·辽宁阜新·期末）把如图所示的图形折成一个正方体的盒子，折好后与“厚”相对的字是（ ）
A．打 B．造 C．阜 D．新
【答案】D
【知识点】正方体相对两面上的字
【分析】本题考查正方体展开图的相对面，解题的关键是掌握正方体表面展开图的特征．
根据正方体的展开图的相对面必定相隔一个小正方形，进行判断即可．
【详解】解：由正方体表面展开图的“相间是对面”可知，
“厚”的对面是“新”，
故选：D．
【作业3】．（24-25七年级上·辽宁辽阳·阶段检测）下列说法正确的有（ ）个．
长方体与正方体都有六个面；圆锥的底面是圆；棱柱的上下底面是完全相同的图形；五棱柱有五个面，五条棱．
A．1个 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】几何体中的点、棱、面
【分析】本题考查了立体图形的基本特征，根据立体图形的特征逐项分析即可得解，熟练掌握相关知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：长方体与正方体都有六个面，说法正确；
圆锥的底面是圆，说法正确；
棱柱的上下底面是完全相同的图形，说法正确；
五棱柱有七个面，条棱，原说法错误；
综上所述，说法正确的有①②③，共个，
故选：C．
【作业4】．（23-24七年级上·辽宁大连·期末）下列现象能说明“点动成线”的是（ ）
A．长方形硬纸片绕它的一边旋转，形成一个圆柱体
B．时钟分针旋转时扫过的痕迹
C．夜晚流星划过天空时留下一道明亮的光线
D．汽车的雨刷在挡风玻璃上画出一个扇面
【答案】C
【知识点】点、线、面、体四者之间的关系
【分析】本题考查点，线，面，体之间的关系．根据点动成线，线动成面，面动成体，逐一进行判断即可．
【详解】解：A是面动成体，不符合题意；
B是线动成面，不符合题意；
C是点动成线，符合题意；
D是线动成面，不符合题意；
故选C．
【作业5】．（24-25七年级上·全国·期末）分别从正面、左面观察下列物体，得到的平面图形完全相同的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】从不同方向看几何体
【分析】本题考查简单组合体的三视图，根据从正面、左面看到几何体的形状逐一判断解答即可．
【详解】解：从正面、左面观察长方体得到的是长方形，但不一定相同，
从正面、左面观察圆锥得到相同的等腰三角形，
从正面、左面观察正方体得到相同的正方形，
从正面、左面观察圆柱得到相同的长方形，
故选：C．
【作业6】．（25-26七年级上·陕西西安·开学考试）贝贝按如图方式在大正方体的每一个面上都涂上两个绿色小正方形和两个白色小正方形，使它从各个角度看起来都是由四个绿色小正方体和四个白色小正方体搭建而成，则这个大正方体的表面展开图可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】正方体几种展开图的识别
【分析】本题考查正方体的展开图，具备空间想象能力是解决问题的关键．根据正方体的展开图和两个绿色小正方形与两个白色小正方形的相对位置解答即可．
【详解】解：根据正方体的展开图和两个绿色小正方形与两个白色小正方形的相对位置，B选项符合题意．
故选：B．
【作业7】．（25-26七年级上·山东·期末）若将一个三棱锥的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，那么我们需要剪开______条棱．
【答案】3
【知识点】几何体展开图的认识
【分析】本题考查了几何体的展开图．
根据三棱锥面数结合展开后面与面之间的需要的棱连接的条数即可求解．
【详解】解：∵三棱锥有4个面，6条棱，展开成平面图形需要3条棱将面连接起来，
∴需要剪开3条棱．
故答案为：3．
【作业8】．（23-24七年级上·辽宁沈阳·期中）一个正方体的平面展开图如图所示，每一个面都有一个汉字，则在该正方体中和“国”字相对的汉字是___________．
【答案】追
【知识点】正方体相对两面上的字
【分析】根据正方体展开图相对面的特征即可进行解答．
【详解】解：“国”字相对的汉字是“追”，
故答案为：追．
【点睛】本题主要考查了正方体展开图相对面的特征，解题的关键是掌握正方体展开图相对面的特征“隔一个或Z字端”．
【作业9】．（24-25七年级上·河南·开学考试）下面这个几何体，是由个小正方体组成的．想一想，至少再摆上____个小立方体，它就能拼成一个长方体了．
【答案】
【知识点】从不同方向看几何体
【分析】本题考查从不同方向看几何体，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题；根据几何体特征即可求解；
【详解】解：这个几何体是由个小正方形组成的，
（个）
至少再摆上个小立方体，它就能拼成一个长方体了，
故答案为：
【作业10】．（第02讲 从立体图形到平面图形（5个知识点 8种题型 过关检测）-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版2024））用一个平面将一个长方体截去一个三棱柱，剩下的几何体可能是（写出所有可能的结果）________．
【答案】三棱柱或四棱柱或五棱柱
【知识点】截一个几何体
【分析】本题考查了用平面截长方体．从长方体中截去一个三棱柱后剩下的几何体的形状与截面的位置有关，所以本题需要分情况讨论．
三棱柱中三角形所在面的个顶点在长方体的顶点上；
三棱柱中三角形所在面的2个顶点在长方体的顶点上；
三棱柱中三角形所在面的1个顶点在长方体的顶点上．
【详解】解：如图所示：用一个平面将一个长方体截去一个三棱柱，剩下的几何体是：三棱柱或四棱柱或五棱柱．
方法一、如下图所示，当三棱柱的底面三角形的个顶点分别在长方体的个顶点上时，剩下的几何体是一个三棱柱；
方法二、如下图所示，当三棱柱的底面三角形的个顶点分别在长方体的个顶点上，另个顶点在长方体的条棱上时，剩下的几何体是一个四棱柱；
方法三、如下图所示，当三棱柱的底面三角形的个顶点分别在长方体的个顶点上，另个顶点分别在长方体的条棱上时，剩下的几何体是一个五棱柱
故答案为：三棱柱或四棱柱或五棱柱．
【作业11】．（25-26七年级上·全国·课后作业）一个立体图形从不同方向看到的平面图形如图所示，则该立体图形的表面积S是________（结果保留π）．
【答案】
【知识点】由三视图还原几何体、已知三视图求侧面积或表面积
【分析】本题需要先根据三视图判断出立体图形的形状为半圆柱，然后分别计算半圆柱的各个面的面积，最后将它们相加得到表面积．
【详解】由三视图可知，该立体图形是底面半径为，高为的半圆柱。
计算半圆柱的侧面积：圆柱侧面积公式为（为底面半径，为高），半圆柱侧面积为
这里，所以侧面积为
计算两个半圆的面积：圆的面积公式为，两个半圆可组成一个整圆，面积为
计算矩形的面积：矩形的长为，宽为，面积为
计算表面积：将上述各部分面积相加，可得表面积
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了由三视图判断立体图形以及立体图形表面积的计算，掌握根据三视图确定立体图形的形状，再分别计算各部分的面积并求和是解题的关键．
【作业12】．（25-26七年级上·四川成都·阶段检测）将一个长为，宽为的长方形绕它的一边所在的直线旋转一周，则得到的几何体的体积为_____．（结果保留）
【答案】或
【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形
【分析】本题考查了点、线、面、体和圆柱体的体积的求法，熟记圆柱体的体积公式是解题关键，根据圆柱体的体积公式计算即可．
【详解】解：绕长方形的长所在的直线旋转一周得到的几何体是底面半径为，高为的圆柱，如图，
该圆柱的体积为：．
绕长方形的宽所在的直线旋转一周得到的几何体是底面半径为，高为的圆柱，
如图，
该圆柱的体积为：．
故答案为：或．
【作业13】．（24-25七年级上·江苏苏州·开学考试）如图，一个底面直径6厘米的圆柱体木头，沿底面虚线处垂直切成一个最大的正方体，这个正方体的表面积是 __________ 平方厘米．
【答案】108
【知识点】由展开图计算几何体的表面积
【分析】本题主要考查了三角形面积及正方体表面积的计算，读懂图形是解答关键．
根据题意可知，把圆柱削成一个最大的正方体，圆柱的底面直径等于削成的正方体的底面对角线的长度，把这个正方形分成两个完全一样的三角形，每个三角形的底等于圆柱的底面直径，高等于圆柱底面的半径，根据三角形的面积公式：，把数据代入公式求出削成正方体的一个面的面积，然后根据正方体的表面积公式：，把数据代入公式求出这个正方体的表面积．
【详解】解：
（平方厘米）
答：这个正方体的表面积是108平方厘米．
故答案为：108．
【作业14】．（25-26七年级上·江苏南京·开学考试）一个立体图形是由若干个小正方体拼成的，小军分别从前面、右面、上面观察看到的图形如下，这个立体图形是由( )个小正方体拼成的．
【答案】
【知识点】从不同方向看几何体
【分析】从上面看确定底层小正方体的分布及数量，从前面看确定每一列的最大高度，从右边看确定每一行的最大高度，综合推断出每个位置的小正方体个数．
【详解】解：从上面看可知，该立体图形底层有个小正方体，分布在三行三列中，
从前面看可知，第列最高层，第列最高层，第列最高层，
第列的个位置高度均为，第列的个位置高度为，
从右边看可知，立体图形的前、中、后三行的最高层数分别为，
第列最高层，且只有第行（后）允许最高层，
第行第列位置有个小正方体，
第行（中）最高层，且该行第列高度为，
该行第列位置有个小正方体，
小正方体总数为．
【作业15】．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，四个几何体分别是三棱柱、四棱柱、五棱柱和六棱柱，三棱柱有5个面、9条棱、6个顶点，观察图形并填空．
(1)四棱柱有 个面， 条棱， 个顶点；
(2)五棱柱有 个面， 条棱， 个顶点；
(3)六棱柱有 个面， 条棱， 个顶点；
(4)由此猜想棱柱有 个面， 条棱， 个顶点．
【答案】(1)6，12，8
(2)7，15，10
(3)8，18，12
(4)，，
【知识点】几何体中的点、棱、面
【分析】本题考查了立体图形中的顶点、棱、面．
（1）四棱柱面数：2个底面4个侧面，棱数：个底面棱4个侧棱，顶点数：个底面顶点；
（2）五棱柱面数：2个底面5个侧面，棱数：个底面棱5个侧棱，顶点数：个底面顶点；
（3）六棱柱面数：2个底面6个侧面，棱数：个底面棱6个侧棱，顶点数：个底面顶点；
（4）棱柱面数：2个底面 个侧面，棱数：个底面棱个侧棱，顶点数：个底面顶点．
【详解】（1）解：四棱柱有6个面，12条棱，8个顶点；
（2）五棱柱有7个面，15条棱，10个顶点；
（3）六棱柱有8个面，18条棱，12个顶点；
（4）由此猜想棱柱有个面，条棱，个顶点．
【作业16】．（25-26七年级上·全国·课后作业）下列平面图形绕虚线旋转一周能得到一个立体图形，请将对应图形用线连接起来．
【答案】
【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形
【分析】本题考查了点、线、面、体的知识，是基础题，熟悉常见几何体的形成是解题的关键．
根据面动成体结合常见立体图形的形状连接即可．
【详解】解：连接如图．
【作业17】．（23-24七年级上·陕西汉中·期中）如图是一个底面边长均为5cm，侧棱长为9cm的直三棱柱．

(1)这个棱柱有几个面，几个顶点？
(2)求该三棱柱所有侧面的面积之和．
【答案】(1)个面，个顶点
(2)
【知识点】组合几何体的构成、由展开图计算几何体的表面积
【分析】本题考查了三棱柱的定义，求三棱柱的侧面积，理解“棱柱的侧面都是长方形”是解题的关键．
（1）根据三棱柱由2个底面和3个侧面组成，共6个顶点，作答即可；
（2）根据长方形的面积公式计算即可．
【详解】（1）解：由图得
这个棱柱有个面，个顶点；
（2）解：由题意得
（）
故该三棱柱所有侧面的面积之和．
【作业18】．（24-25七年级上·河南洛阳·期末）一个长方体的每个面上都标注了字母，如图是该长方体的表面展开图，请根据要求回答问题：
(1)如果A在长方体的底部，那么哪一面会在上面？
(2)如果面F在前面，从左面看是B面，那么哪一面会在上面？
(3)如果从右面看是面C，面D在后面，那么哪一面会在上面？
【答案】(1)F
(2)E
(3)F
【知识点】正方体相对两面上的字、含图案的正方体的展开图
【分析】此题考查了正方体相对面上的字，正方体的展开图，
根据正方体相对面的特点求解即可．
【详解】（1）解：∵A和F是相对面上的字
∴如果A在长方体的底部，那么F会在上面；
（2）解：如果面F在前面，从左面看是B面，那么E会在上面；
（3）解：如果从右面看是面C，面D在后面，那么F会在上面．
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