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3.1.1 函数的概念 讲义
目录
教学目标 1
知识点 1
知识点1 函数的概念 1
知识点2 区间的定义与表示 1
知识点3 定义域求解规则 2
知识点4 值域常用求法 2
随学随练 2
典型题型 2
题型1：函数关系的判断 2
题型2：求函数值 3
题型3：区间的定义、表示、区间关系与运算 4
题型4：求具体函数的定义域（基础必考） 4
题型5：抽象函数定义域、复合函数定义域 4
题型6：实际问题中的函数定义域 5
题型7：判断两个函数是否相等 5
题型8：常见、复杂函数求值域 6
题型9：根据函数的值域求定义域 6
课后综合练习 7
答案与详细解析 8
本章复习小结 10
教学目标
课标要点 理解函数的定义，理解定义域、值域、对应关系三要素； 掌握区间的概念，会用区间表示集合，做区间交并补运算； 会判断是否为函数关系，会判断两个函数是否相等； 会求具体函数、抽象函数、复合函数的定义域；掌握实际问题定义域； 会求函数值，已知函数值求解自变量与参数； 掌握常见函数值域，会简单复杂函数求值域，判别式法求值域/最值； 已知值域反求定义域，体会集合对应思想。
学习重难点 重点：函数三要素；区间表示；各类定义域求解；函数相等判断；求函数值。
难点：抽象函数、复合函数定义域；判别式法求值域；已知值域反求定义域。
知识点
知识点1 函数的概念
设是非空实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数。记作：。
叫做自变量；的取值范围叫做定义域；
与的值相对应的值叫做函数值；函数值集合叫做值域；
函数三要素：定义域、对应关系、值域；两个函数相等定义域相同且对应关系完全相同。
核心关键点：任意，有唯一与之对应；一对多不是函数。
知识点2 区间的定义与表示
设，且。
无穷端永远用圆括号。区间可以做交、并、补运算。
知识点3 定义域求解规则
分式分母；
偶次根式被开方数；
次幂底数；
抽象函数：定义域为，则要求；
实际问题定义域除解析式外，还需要满足实际意义。
知识点4 值域常用求法
观察法：简单一次、二次函数；
配方法：二次函数；
判别式法：分式分子分母均为二次，，整理成关于一元二次方程，利用求范围；注意检验二次项等于0的情形。
随学随练
用区间表示集合= 。
函数的定义域为 。
已知，则 。
判断：与是否为同一个函数？ （ ）
典型题型
题型1：函数关系的判断
解题贴士：判断标准：集合中任意一个，有唯一的与之对应；一对多不是函数，可以多对一。
例1（24 25高一·武汉月考）下列对应，能构成函数的是（ ）
，，
，，
，，
，取不大于的整数，一个对应多个整数
解析：A：对应一对多；B一对多；D一对多；C任意有唯一。答案C。
对点练（举一反三）
（24 25高一·广州期中）下列对应关系为函数的是（ ）




（24 25高一·石家庄阶段检测）判断：集合，对应，是不是函数，说明理由。
（25 26高一·南京月考）下列图像，不能表示函数图像的是（ ）
直线
开口向上抛物线
圆心在原点的单位圆

题型2：求函数值
解题贴士：代入自变量；已知函数值列方程求解，注意检验定义域。
例2（24 25高一·济南期中）已知。(1)求；(2)若，求实数。
解析： (1)。 (2)，解得或，均在定义域内。
对点练（举一反三）
（24 25高一·长沙月考）已知，求。
（24 25高一·福州期中）已知，若，求。
（25 26高一·成都阶段检测）已知，，求参数的值。
题型3：区间的定义、表示、区间关系与运算
解题贴士：无穷一侧一定用圆括号；区间本质集合，可以做交并，端点仔细核对。
例3（24 25高一·天津月考）已知区间，，求，。
解析： ；。
对点练（举一反三）
（24 25高一·沈阳期中）把集合用区间表示 。
（24 25高一·合肥月考）区间，，求，。
（25 26高一·哈尔滨阶段）全集，区间，求（区间形式）= 。
题型4：求具体函数的定义域（基础必考）
解题贴士：分式分母不为0；偶次根式被开方；零次幂底数不为0；多个条件取交集。
例4（24 25高一·太原期中）求函数的定义域，写成区间 。
解析：
定义域：。
对点练（举一反三）
（24 25高一·贵阳月考）求定义域 。
（24 25高一·西安月考）求定义域 。
（25 26高一·重庆阶段）求定义域 。
题型5：抽象函数定义域、复合函数定义域
解题贴士： 中，方框整体范围不变；定义域永远指单独取值范围。
例5（24 25高一·武汉联考）已知定义域为，求的定义域。
解析：方框范围，这里方框为：
定义域。
对点练（举一反三）
（24 25高一·济南联考）已知定义域，求定义域 。
（24 25高一·南京期中）已知定义域，求定义域 。
（25 26高一·长沙阶段）已知定义域，求定义域 。
题型6：实际问题中的函数定义域
解题贴士：除了解析式约束，变量满足现实意义，长度、数量大于0等。
例6（24 25高一·广州月考）用总长为米篱笆围成矩形场地，矩形一边长为，面积，求函数定义域。
解析：边长大于0，，得；定义域。
对点练（举一反三）
（24 25高一·南宁月考）一个圆柱，高为，底面半径，体积，写出定义域 。
（24 25高一·呼和浩特期中）从边长为正方形铁皮四角剪去边长小正方形，折成无盖盒子，容积，求定义域 。
（25 26高一·福州阶段）某商品售价元，进价20元，销量，利润函数，写出实际定义域 。
题型7：判断两个函数是否相等
解题贴士：必须同时满足定义域相同，对应关系完全一样；两者缺一不可。
例7（24 25高一·郑州期中）判断与是否同一函数。
解析：定义域；，对应关系不同；不是同一个函数。
对点练（举一反三）
（24 25高一·石家庄期中）判断与是否相等，说明理由。
（24 25高一·合肥月考）判断与是否相等。
（25 26高一·哈尔滨阶段）判断，是否相等。
题型8：常见、复杂函数求值域
解题贴士：判别式法：把整理为关于方程；注意当二次项系数等于0时是否存在；得到范围，必须检验端点。
例8（24 25高一·天津联考）求函数的值域。
解析：整理：
①若即，方程变为，有解，可取。 ②，关于一元二次方程有实根，则
解得，结合包含在此区间。 值域。
对点练（举一反三）
（24 25高一·太原月考）配方法求值域 。
（24 25高一·西安联考）用判别式法求值域 。
（25 26高一·重庆阶段）求值域 。
题型9：根据函数的值域求定义域
解题贴士：已知函数输出范围，反向解不等式求自变量集合。
例9（24 25高一·贵阳期中）已知，值域为，求定义域。
解析：，即
解集。
对点练（举一反三）
（24 25高一·南宁月考），值域，求定义域 。
（24 25高一·福州月考），值域，求定义域 。
（25 26高一·成都阶段）已知，值域，求定义域 。
课后综合练习
求函数的定义域（区间表示） 。
已知，求；若求的值 。
已知定义域，求定义域 。
判断与是否为同一个函数，说明理由。
区间，，求与。
用判别式法求函数的值域 。
矩形周长30，一边长，面积，写出实际问题的定义域 。
已知，值域，求满足条件的一个定义域 。
答案与详细解析
随学随练解析
。
；区间。
。
不是；定义域不同，后者。
题型1解析
对点练
B；A,C,D都存在一对多，不能作为函数。
是函数；集合每一个元素，都有集合中唯一元素与之对应，允许多对一。
C；单位圆存在一个对应两个，竖线检验不通过。
题型2解析
对点练
；。
。
。
题型3解析
对点练
。
。
。
题型4解析
对点练
，定义域。
；。
；。
题型5解析
对点练
；定义域。
定义域即，，定义域。
；取交集。
题型6解析
对点练
半径大于0；，区间。
；。
售价大于进价，销量大于0，；。
题型7解析
对点练
是同一个函数；定义域都是，对应关系只看输入输出，与变量符号无关。
不是；定义域，定义域，定义域不同。
是同一个函数；定义域均，对应关系等价。
题型8解析
对点练
；；；；值域。
，整理。若方程无解；，，解得，值域。
，；值域。
题型9解析
对点练
，定义域。
，定义域。
。
课后综合练习解析
；。
；，或。
，定义域。
不是；定义域，定义域，定义域不同。
。
。 当，得有解； ，， ，得； 值域。
，定义域。
；答案不唯一，写出其中一个例如、均可。
本章复习小结
函数核心定义：任意，唯一与之对应；三要素：定义域、对应关系、值域；两函数相等必须定义域与对应关系全部相同。
区间本质是集合，无穷端点一定写圆括号，可以做交并补运算。
定义域：具体函数看根式、分式、零次幂约束；抽象复合函数抓住“方框整体范围不变，定义域永远是范围”；实际问题额外满足现实意义。
求值域方法：观察法、配方法、判别式法；判别式法务必讨论二次项系数为0，检验端点能否取到。
已知值域反求定义域，把值域条件转化关于自变量不等式求解。

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