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3.1幂函数讲义
知识点
幂函数形式为 （ 为常数，底数为自变量，指数为常数），幂函数所有性质优先看第一象限图像，再结合奇偶性拓展到全部定义域。
两条核心原则：
（1）定义域优先原则：研究单调性、奇偶性、值域，必先写出定义域；
（2）第一象限图像规律：
①：在 单调递增；
②：在 单调递减；
需要熟记5个经典幂函数：
题型归纳——精讲典型题法，夯实解题根基
题型一：幂函数的概念辨析（判断是否幂函数、求参数）
典例1【2025 2026某省高一期末真题改编】 下列函数是幂函数的是（ ）




答案：B
详解：A：系数为2，不是幂函数；
B：，系数为1，指数常数，是幂函数；
C：存在常数项，不是幂函数；
D：底数为 ，不是 ，不是幂函数。
故选B。
变式1 1【2025高一期中】 已知幂函数 ，则实数 。
答案：3或-1
详解： 根据幂函数的定义，系数等于1，所以：
解得： 或 。
变式1 2【高考真题改编】 若函数 为幂函数，且为偶函数，则 （ ）




答案：C
详解： 幂函数系数 ，此时，是偶函数。
变式1 3 已知 是幂函数，则 。
答案： 或
详解：
当，；当，，两者均为幂函数。
题型二：幂函数定义域、奇偶性判定
典例2【2026高一期末】 判断下列幂函数的奇偶性：
（1） ；（2）；（3）。
答案：（1）奇函数；（2）非奇非偶函数；（3）偶函数
详解：
（1），定义域 ，关于原点对称。 ，奇函数。
（2），定义域 ，不关于原点对称，非奇非偶函数。
（3），定义域 。 ，偶函数。
变式2 1 函数 的定义域是（ ）




答案：B
详解：，要求 ，定义域 。
变式2 2 幂函数 的奇偶性为 。
答案：偶函数
详解：，定义域 ， ，是偶函数。
变式2 3 下列幂函数中，定义域为 且是奇函数的是（ ）




答案：C
详解：A.定义域x≠0；B.偶函数；D.定义域x≥0，非奇非偶函数；只有C符合，选C。
题型三：幂函数单调性（第一象限性质，结合奇偶性拓展）
题型模版：
典例3【2025高一期末改编】 下列说法正确的是（ ）
在 单调递减
在 单调递减
在 单调递增
在 单调递增
答案：B
详解： A： 在 递增； B：， 单调递减，正确； C： 在 递减， 递增； D：定义域只有 。
变式3 1 幂函数 在区间 单调递减，则实数 的取值范围 。
答案：
详解：在区间 单调递减，所以。
变式3 2【真题改编】 （多选）已知幂函数 ，满足 时，，则 可以是（ ）




答案：AB
详解： ，，即在 单调递减。 在单调递减，A正确；也在x＜0单调递减，B正确；CD不符合题意；所以选AB
变式3 3 比较大小： （填）。
答案：
详解：幂函数 ，指数大于0，单调递增，，故 。
题型四：利用幂函数比大小
典例4【2026高一期中】 比较 ，， 的大小。
答案：
详解： 构造幂函数 ，指数 ，在 单调递增。 ，故 ，即 。
变式4 1 ，则 和 的大小：。
答案：
详解：，指数 ，单调递减，，所以 。
题型五：幂函数解答综合题（基础中档，真题改编）
典例5【2025 2026高一期末解答真题】 已知幂函数 ，且 在 单调递减。
（1）求 的值；
（2）若，判断 的奇偶性。
答案：（1） ；（2）偶函数
详解：（1）幂函数在 单调递减，指数小于0：；解得：，所以。
（2）当,，定义域 ， ，故为偶函数。
变式5 1 已知幂函数 的图像过点 。
（1）求 的解析式；
（2）判断函数 的单调性，写出定义域。
答案：（1）；（2）定义域，上单调递增
详解： （1）设 ，代入 ，
解析式 。
（2），定义域 ，，上单调递增。
变式5 2 已知幂函数 ，且 ，求 的取值范围 。
答案：
详解： ，定义域 ，在 单调递增。
得 。
压轴挑战——攻克高难中档拔高小题
1.（多选）【改编全国高一期末】下面关于幂函数说法正确的是（ ）
幂函数图像一定过定点
若幂函数 在 递减，则
幂函数图像不可能出现在第四象限
幂函数若为偶函数，一定在 单调递减
答案：ABC
详解： A：任意幂函数代入 ，，恒过 ； B：第一象限性质； C：，，y恒大于0，第四象限无图像； D：反例：，偶函数，不是全体实数递减。
2. 已知幂函数 （）图像与坐标轴无交点，则 。
答案：
详解：图像和坐标轴无交点，指数小于等于0，所以
所以。
课后练习
一、单项选择题
1.【2025高一期中】下列函数属于幂函数的是（ ）




答案：B
详解：幂函数定义，系数必须为1。A系数为3；C有一次项；D底数为；只有B满足。
2. 幂函数 的图像过点，则（ ）




答案：A
详解：。
3. 函数 的定义域为（ ）




答案：C
详解：，分母不为零，故。
4. 下列幂函数，在上单调递减的是（ ）




答案：B
详解：指数小于0，在单调递减，只有指数。
5. 比较大小：与，下列正确的是（ ）



无法判断
答案：B
详解：，，递增；，故。
6. 幂函数满足，则可能是（ ）




答案：C
详解：，即函数递增。为奇函数，单调递增，满足条件。
7. 已知幂函数，若，，则实数的取值范围（ ）




答案：A
详解：，定义域，单调递增。所以
得 。选A。
8. 下列关于幂函数说法正确的是（ ）
幂函数一定过
幂函数一定不过第四象限
幂函数都是单调函数
幂函数都是奇函数或者偶函数
答案：B
详解：A：不过；C：不是单调；D：非奇非偶。
二、多项选择题
9. 下列函数中，是幂函数且为偶函数的有（ ）




答案：ABD
详解：C是奇函数；A、B、D既是幂函数又是偶函数。
10. 若幂函数，，在单调递增，则下面可取（ ）




答案：ABD
详解：时递增；C选项指数小于0，单调递减。
11. 已知，幂函数相关大小关系正确的是（ ）




答案：ABD
详解：A：递增，； B：递减，； C：在递增，； D：递减，。
三、填空题
12. 已知幂函数，则。
答案：或
详解：幂函数系数，解得或。
13. 幂函数过点，则。
答案：
详解：。
14. 比较大小： （填）。
答案：
详解：在单调递减，，故。
15. 幂函数，，图像与坐标轴无交点，且图像关于轴对称，则一个的值可以为 。
答案：（答案不唯一，负偶数均可）
详解：指数为负偶数，如等。
16. 已知幂函数，若，则的取值范围是 。
答案：
详解：在单调递增，定义域是R，则。
四、解答题
17.已知幂函数，且在单调递减。
（1）求可取的整数值；
（2）写出一个满足条件且为偶函数的解析式。
答案：（1）；（2）。
详解： （1） ，，。 （2）当，指数为，，为偶函数。
18.已知幂函数经过点。
（1）求解析式；
（2）判断的奇偶性与单调性。
答案：（1）；（2）奇函数，在上单调递增。
详解： （1）设，；
（2），定义域，奇函数；，单调递增。

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