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空间向量及其线性运算讲义
目录
教学目标 1
知识点 1
知识点1 空间向量的基本概念 1
知识点2 空间向量的线性运算（加法、减法、数乘） 2
知识点3 空间向量线性运算的运算律 2
知识点4 空间共线向量定理 2
随学随练 2
典型题型 3
题型1：空间向量概念辨析（基础） 3
题型2：空间向量线性化简运算（基础必考） 4
题型3：共线向量定理概念与简单判断（基础+中档） 4
题型4：几何体中用已知向量表示目标向量（中档高频） 5
题型5：共线向量定理求参数（中档，只用集合，不用区间） 5
题型6：直线方向向量简单应用（中档） 6
课后练习 7
答案与详细解析 8
本章复习小结 10
教学目标
课标要点 理解空间向量的概念，掌握空间向量、零向量、单位向量、相等向量、相反向量、共线向量的定义； 掌握空间向量的加法、减法、数乘向量的线性运算及其几何意义； 掌握空间向量加法交换律、结合律，数乘的运算律； 理解空间共线向量（平行向量）定理，理解直线的方向向量； 会进行空间向量线性运算化简、用已知向量表示其他向量； 能够在简单立体图形中完成向量表示，取值全部使用集合描述，不使用区间。
学习重难点 重点：空间向量相关概念；空间向量线性运算；空间共线向量定理。 难点：在立体几何体中用基底向量表示目标向量；共线向量定理的简单应用。
知识点
知识点1 空间向量的基本概念
在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量。向量用有向线段表示，，也可用粗体字母表示。
向量的模：向量的大小，记作或；
零向量：长度为的向量，记作；零向量方向任意；
单位向量：模等于的向量；
相等向量：方向相同并且模相等的向量；
相反向量：模相等，方向相反；的相反向量是；
共线向量（平行向量）：表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或者重合，则称这些向量共线或者平行；规定零向量与任意向量共线。
知识点2 空间向量的线性运算（加法、减法、数乘）
空间向量线性运算法则和平面向量一致。
向量加法：三角形法则：；平行四边形法则。
向量减法：；。
数乘向量：实数与向量的乘积仍是向量；
；
，与方向相同；，与方向相反；，。
知识点3 空间向量线性运算的运算律
对任意空间向量，任意实数：
加法交换律：；
加法结合律：；
数乘分配律：；；
数乘结合律：。
知识点4 空间共线向量定理
空间中两个向量，与共线的充要条件是：存在实数，使得
> 注意条件；零向量和任意向量共线。
直线的方向向量：为空间直线，是上定点，是的方向向量（），则对直线上任意一点，，。
随学随练
的相反向量是。
化简： 。
若（），则与的关系为______。
。
典型题型
题型1：空间向量概念辨析（基础）
解题贴士：区分零向量、相等向量、相反向量、共线向量；注意零向量方向任意，零向量与任意向量共线。
例1（24 25高二·广州月考）下列说法正确的是（ ）
零向量没有方向
若，则
零向量与任意向量共线
单位向量都相等
解析：零向量方向任意，A错；模相等方向不一定相同，B错；单位向量模相等方向不一定相同，D错；C正确。答案C。
对点练（举一反三）
（24 25高二·石家庄期中）下面命题正确的是（ ）
若共线，则与方向相同
相等向量模一定相等
模相等向量是相等向量
单位向量模不一定为1
（24 25高二·南京阶段检测）判断：相反向量一定是共线向量？说明理由。
（24 25高二·武汉月考）判断：若，则线段与平行？
（25 26高二·济南月考）下列向量中与是相反向量的是（ ）




（25 26高二·长沙月考）判断：模为0的向量是零向量？
题型2：空间向量线性化简运算（基础必考）
解题贴士：使用向量加减法三角形法则，合并首尾相接向量；利用相反向量变形。
例2（24 25高二·天津月考）化简。
解析：
对点练（举一反三）
（24 25高二·沈阳期中）化简。
（24 25高二·福州期中）化简。
（24 25高二·成都阶段检测）化简。
（25 26高二·哈尔滨阶段）化简。
（25 26高二·太原月考）化简。
题型3：共线向量定理概念与简单判断（基础+中档）
解题贴士：时，共线；注意条件。
例3（24 25高二·郑州期中）已知，判断下面命题：若，与是否共线。
解析：，由共线向量定理，存在实数，故与共线。
对点练（举一反三）
（24 25高二·南宁月考）已知，，判断是否共线。
（24 25高二·呼和浩特期中）判断：若与共线，则一定存在实数使得？需要注意什么？
（24 25高二·贵阳月考）已知，下列向量与一定共线的是（ ）




（25 26高二·重庆阶段）若不共线，，，判断与是否共线。
（25 26高二·福州阶段）若，，与是否共线。
题型4：几何体中用已知向量表示目标向量（中档高频）
解题贴士：在棱柱、四面体中，利用向量加减法，把目标向量拆解为已知向量的组合。
例4（24 25高二·济南联考）在四面体中，，，，用表示。
解析：。
对点练（举一反三）
（24 25高二·合肥月考）四面体，，，，表示。
（24 25高二·石家庄期中）平行六面体，记，，，表示。
（24 25高二·长沙期中）四面体，，，，表示。
（25 26高二·哈尔滨月考）平行六面体，，，，表示。
（25 26高二·成都月考）四面体，，，，表示。
题型5：共线向量定理求参数（中档）
解题贴士：，与共线，则，对比向量系数求参数。
例5（24 25高二·天津联考）已知，向量与共线，求实数的取值范围。
解析：由共线向量定理，对任意实数，均与共线，取值范围：。
对点练（举一反三）
（24 25高二·贵阳月考），已知与共线，求取值范围。
（24 25高二·西安联考）向量，，；与共线，求取值。
（24 25高二·重庆月考）已知，与共线，求取值集合。
（25 26高二·南宁阶段），若与共线，求取值集合。
（25 26高二·福州月考）已知，向量和共线，求取值集合。
题型6：直线方向向量简单应用（中档）
解题贴士：直线方向向量是非零向量；同一直线方向向量互相共线。
例6（24 25高二·太原期中）直线的一个方向向量为（），下面可以作为方向向量的是（ ）


任意与长度相等向量
任意向量
解析：方向向量不能是零向量；与共线非零，可以作为方向向量。选B。
对点练（举一反三）
（24 25高二·广州期中）直线方向向量，下列可做方向向量的是（ ）


不与共线
任意单位向量
（24 25高二·南京月考）判断：一条直线的方向向量是唯一的？说明理由。
（24 25高二·武汉联考）已知直线过点，方向向量，是上一点，请写出表达式。
（25 26高二·济南阶段）判断：两条平行直线方向向量一定共线？
（25 26高二·长沙期中）若是直线方向向量，则下面也可以作为方向向量的是？


不共线向量
任意向量
课后练习
判断命题：相等向量一定是共线向量。（ ）
化简。
化简：。
四面体，，，，用表示。
已知，，判断与是否共线。
平行六面体，，，，表示。
，向量与共线，求的取值集合。
直线的一个方向向量为，写出一个另外可以作为方向向量。
答案与详细解析
随学随练解析
；
；
共线；
。
题型1解析
对点练
B；解析：共线可以方向相反，A错；模相等不一定方向相同，C错；单位向量模等于1，D错。
正确；相反向量模相等方向相反，所在直线平行或重合，满足共线向量定义。
不一定；，有两种情况：线段与平行或者重合。
A；，是相反向量。
正确；零向量定义就是模为0的向量。
题型2解析
对点练
。
。
。
。
。
题型3解析
对点练
共线；满足共线向量定理。
命题不正确；必须条件；若，时，不存在。
B；是数乘，一定共线。
共线；，。
共线；规定零向量与任意向量共线。
题型4解析
对点练
。
。
。
。
。
题型5解析
对点练
；任意实数，都和共线。
；恒与共线，故恒与共线。
；可取任意实数。
；与都是的数乘，一定共线。
；与均为数乘，对任意实数共线。
题型6解析
对点练
A；非零，且与共线，可以作为方向向量；零向量不可以。
不是唯一；所有与共线的非零向量都可以作为该直线方向向量。
，。
正确；平行直线方向向量互相平行（共线）。
A；，非零，与共线，可做方向向量。
课后综合练习解析
正确；相等向量模相等方向相同，一定共线。
。
。
。
共线；，满足共线向量定理。
。
。
示例：（答案不唯一，任意与共线的非零向量都可以）。
本章复习小结
空间向量具有大小和方向；掌握零向量、单位向量、相等、相反、共线向量概念；零向量方向任意，零向量和任意向量共线。
线性运算遵循三角形、平行四边形法则；加减数乘运算律和平面向量完全一样。
共线向量定理：，共线存在实数，；注意前提条件。
几何体中将目标向量拆分为已知向量的和差组合，是本节重点技能。
直线方向向量必须是非零向量；一条直线有无穷多个方向向量，全部互相共线。
参数问题结果写成集合形式，本讲义不使用区间。

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