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1.1.2 空间向量的数量积运算讲义
教学目标
课标要点 理解空间向量夹角的概念，掌握夹角范围； 理解空间向量数量积的定义、几何意义； 掌握空间向量数量积的运算公式与运算性质； 掌握空间向量垂直的充要条件； 会利用数量积求向量的模、向量夹角； 会在简单几何体中计算向量数量积； 会利用数量积处理简单垂直问题，取值使用集合描述，不使用区间。
学习重难点 重点：空间向量数量积定义、性质；向量垂直条件；求模、求夹角。 难点：数量积不满足结合律；几何体中向量数量积计算；夹角概念辨析。
知识点
知识点1 空间两个向量的夹角
已知两个非零向量，在空间任取一点，作，，则叫做向量与的夹角，记作。
夹角范围：；
若，称与互相垂直，记作；
；
规定：零向量与任意向量的夹角不做讨论。
知识点2 空间向量数量积的定义
设为非零向量，它们夹角为，数量积
> 注意：结果是实数，不是向量；符号“”不能省略。 规定：。
知识点3 空间向量数量积的重要性质
为非零向量：
；
，即；
；
。
知识点4 空间向量数量积运算律
对任意向量，实数：
交换律：；
数乘结合：；
分配律：；
重要提醒：数量积不满足结合律，即，等式一般不成立。
随学随练
向量夹角的取值范围是______。
若，则 。
。
数量积得到的结果是______（向量/实数）。
典型题型
题型1：向量夹角概念辨析（基础）
解题贴士：夹角范围；分清同向、反向、垂直；零向量不讨论夹角。
例1（24 25高二·广州月考）下面说法正确的是（ ）
向量夹角范围是
与不相等
若，则
零向量与任意向量夹角为0
解析：A端点可取，错误；B夹角对称相等；D零向量不讨论夹角；C正确。答案C。
对点练（举一反三）
（24 25高二·石家庄期中）当同向时，（ ）




（24 25高二·南京阶段检测）当反向时，______。
（24 25高二·武汉月考）判断：若都是非零向量，是否正确，说明理由。
（25 26高二·济南月考）已知非零向量，若，则______。
（25 26高二·长沙月考）判断：两个向量夹角可以大于？
题型2：直接利用定义计算数量积（基础必考）
解题贴士：；注意夹角；垂直时数量积为0。
例2（24 25高二·天津月考）已知，，，求。
解析：
对点练（举一反三）
（24 25高二·沈阳期中），，，求。
（24 25高二·福州期中），，同向，求。
（24 25高二·成都阶段检测），，反向，求。
（25 26高二·哈尔滨阶段），，，求。
（25 26高二·太原月考）的值。
题型3：利用数量积求向量的模（基础+中档）
解题贴士：；遇到向量和差的模，先平方，利用分配律展开。
例3（24 25高二·郑州期中）已知，，，求。
解析：
所以。
对点练（举一反三）
（24 25高二·南宁月考）已知，求。
（24 25高二·呼和浩特期中），，，求。
（24 25高二·贵阳月考），，，求。
（25 26高二·重庆阶段），，，求。
（25 26高二·福州阶段）已知，，求。
题型4：利用数量积求向量夹角（中档高频）
解题贴士：，求出余弦，再得到夹角；向量均为非零向量。
例4（24 25高二·济南联考）已知，，，求。
解析：
又，故。
对点练（举一反三）
（24 25高二·合肥月考），，，求夹角。
（24 25高二·石家庄期中），，，求。
（24 25高二·长沙期中），，，求夹角。
（25 26高二·哈尔滨月考），，，求。
（25 26高二·成都月考）已知，，求。
题型5：数量积运算律辨析与化简（中档易错）
解题贴士：记住交换、数乘、分配律成立；数量积没有结合律；展开式子使用分配律。
例5（24 25高二·天津联考）化简。
解析：
对点练（举一反三）
（24 25高二·广州期中）化简。
（24 25高二·南京月考）判断等式是否恒成立，说明理由。
（24 25高二·武汉联考）化简。
（25 26高二·济南阶段）判断能否推出？说明理由。
（25 26高二·长沙期中）化简。
题型6：利用数量积判定垂直关系（中档）
解题贴士：非零向量；几何体中把向量拆成已知向量再算数量积。
例6（24 25高二·太原期中）已知，，，判断与是否垂直。
解析：，则，故。
对点练（举一反三）
（24 25高二·贵阳月考）已知，，，判断是否垂直。
（24 25高二·西安联考）已知，，，判断与是否垂直。
（24 25高二·重庆月考）若，试判断与关系。
（25 26高二·南宁阶段）已知，，，求实数的取值集合。
（25 26高二·福州月考）四面体中，若，可以得到什么几何结论。
课后练习
已知，，夹角，求。
已知，，，求。
，，，求两向量夹角。
化简：。
判断：是否恒成立。
已知，，，求的取值集合。
已知，，，求夹角。
已知，，求。
答案与详细解析
随学随练解析
；
；
；
实数。
题型1解析
对点练
A；同向夹角为。
。
正确；。
。
不可以；向量夹角最大为。
题型2解析
对点练
。
同向夹角，。
反向夹角，。
。
。
题型3解析
对点练
。
，。
，。
，。
，，，。
题型4解析
对点练
，夹角。
，夹角。
，夹角。
，夹角。
，，夹角。
题型5解析
对点练
。
不恒成立；左边是与共线向量，右边是与共线向量，一般不相等，数量积无结合律。
。
不能推出；，仅说明，不一定。
。
题型6解析
对点练
，故。
，不垂直。
，得。
，题目条件不足，若题干无，本式只能保留； 提示：若只看方程形式，该式依赖的值。
，得到，即角为直角。
课后练习解析
。
，。
，，。
。
不恒成立，数量积没有结合律。
； ；条件缺少，方程依赖。
，夹角为。
，，得。
本章复习小结
非零向量夹角范围：；。
数量积，运算结果是实数，不是向量。
重要公式：，；。
运算律：交换律、数乘结合、分配律成立；数量积没有结合律。
求模一般策略：向量模平方转化为数量积运算。
垂直判定：非零向量。
参数结果写集合，讲义不使用区间。

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