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1.2 空间向量基本定理讲义
目录
教学目标 1
知识点 1
知识点1 共面向量定理 1
知识点2 空间向量基本定理 1
知识点3 基底相关结论 2
知识点4 基底下的数量积运算 2
随学随练 2
典型题型 2
题型1：基底概念辨析，判断能否构成基底（基础） 2
题型2：共面向量定理的简单应用（基础必考） 3
题型3：用指定基底表示空间向量（中档高频） 4
题型4：几何体中选定基底表示向量（中档） 4
题型5：利用空间向量基本定理求参数（中档易错） 5
题型6：基底下简单数量积运算（中档） 5
课后练习 6
答案与详细解析 7
本章复习小结 9
教学目标
课标要点 理解空间向量基本定理，掌握基底、基向量的概念； 理解空间任意向量用不共面的三个基向量线性表示； 会判断三个向量能否作为空间的一组基底； 能够利用基底表示几何体中的向量； 掌握向量线性组合中参数求解； 会结合数量积，利用基底处理简单垂直、模的计算； 参数结果使用集合描述，不使用区间。
学习重难点 重点：空间向量基本定理；基底的判断；用基底表示空间向量。 难点：判断三个向量是否共面；立体图形中选择基底表示目标向量；求线性组合中的参数。
知识点
知识点1 共面向量定理
如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是： 存在唯一的一对实数，使得
> 说明：不共线；共面向量：平行于同一个平面的向量。
知识点2 空间向量基本定理
如果三个向量不共面，那么对空间任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得
叫做基向量；
叫做空间的一个基底；
基底条件：三个向量不共面；
零向量不能作为基向量；零向量可以写成。
知识点3 基底相关结论
三个向量只要共面，则不能构成空间的一组基底；
任意三个不共面的向量都可以作为空间一组基底；
一个空间基底由三个不共面非零向量组成；
同一个向量，在不同基底下，对应的系数（有序实数组）一般不相同。
知识点4 基底下的数量积运算
若为基底， ， ， 则
展开需要利用分配律，注意基向量之间的数量积不一定为0。
随学随练
空间向量基本定理中，作为基底的三个向量必须满足的条件是______。
若是一组基底，则这三个向量一定______（填共面/不共面）。
根据共面向量定理：与不共线共面，则 。
零向量______（填“可以”或“不可以”）作为基向量。
典型题型
题型1：基底概念辨析，判断能否构成基底（基础）
解题贴士：三个向量不共面才能构成空间基底；只要三者共面，就不能作为基底；零向量一定不能做基向量。
例1（24 25高二·广州月考）下列三组向量，可以作为空间一组基底的是（ ）


，其中不共面

解析：A中三个向量共面；B含有零向量；D中与共线，三者共面；C三个向量不共面，可以作为基底。答案C。
对点练（举一反三）
（24 25高二·石家庄期中）下面向量组可以作为空间基底的是（ ）

，不共面


（24 25高二·南京阶段检测）判断：三个共面向量可以作为空间的一组基底？说明理由。
（24 25高二·武汉月考）判断：只要三个向量都不是零向量，则一定可以构成空间基底？
（25 26高二·济南月考）已知是基底，则下面不能构成基底的是（ ）




（25 26高二·长沙月考）空间基底中，基向量个数为多少？
题型2：共面向量定理的简单应用（基础必考）
解题贴士：不共线，共面。
例2（24 25高二·天津月考）已知不共线，，判断与是否共面。
解析：由共面向量定理，存在实数，使得，故与共面。
对点练（举一反三）
（24 25高二·沈阳期中）不共线，，判断与是否共面。
（24 25高二·福州期中）已知不共线，若，则的位置关系？
（24 25高二·成都阶段检测）判断命题：若与共面，则一定存在实数使得，需要注意什么条件？
（25 26高二·哈尔滨阶段）不共线，，判断与是否共面。
（25 26高二·太原月考）若三个向量共面，且不共线，写出的表达式 。
题型3：用指定基底表示空间向量（中档高频）
解题贴士：把目标向量拆解为基向量的线性组合；利用向量加减、数乘运算。
例3（24 25高二·郑州期中）设为空间一组基底，化简，用基底表示。
解析：
对点练（举一反三）
（24 25高二·南宁月考）基底，化简= 。
（24 25高二·呼和浩特期中）基底，化简= 。
（24 25高二·贵阳月考）基底，化简= 。
（25 26高二·重庆阶段）基底，，求用基底表示 。
（25 26高二·福州阶段）基底，，，求= 。
题型4：几何体中选定基底表示向量（中档）
解题贴士：在四面体、平行六面体中，选定从同一点出发三个不共面向量作为基底，把目标向量拆分为基底的线性组合。
例4（24 25高二·济南联考）在四面体中，取，，作为一组基底，用表示。
解析：。
对点练（举一反三）
（24 25高二·合肥月考）四面体，基底，表示。
（24 25高二·石家庄期中）平行六面体，基底，表示。
（24 25高二·长沙期中）四面体，基底，表示。
（25 26高二·哈尔滨月考）平行六面体，基底，表示。
（25 26高二·成都月考）四面体，基底，为中点，用基底表示。
题型5：利用空间向量基本定理求参数（中档易错）
解题贴士：同一个向量用同一组基底表示，系数唯一；对应基向量系数相等列方程求解，结果写成集合。
例5（24 25高二·天津联考）已知是基底， ， ，求。
解析：由空间向量基本定理，表示系数唯一：
该方程组无解，不存在这样实数。
对点练（举一反三）
（24 25高二·贵阳月考）基底； ，，求。
（24 25高二·西安联考）基底； ，，求取值集合。
（24 25高二·重庆月考）基底； ，，求。
（25 26高二·南宁阶段）基底； ，，求取值集合。
（25 26高二·福州月考）基底； ，，求取值集合。
题型6：基底下简单数量积运算（中档）
解题贴士：分配律展开；注意基向量之间不一定垂直，不能默认数量积为0。
例6（24 25高二·太原期中）基底，已知，，其余数量积为0；，求。
解析：
对点练（举一反三）
（24 25高二·广州期中），，，求。
（24 25高二·南京月考），；，求。
（24 25高二·武汉联考），，，求。
（25 26高二·济南阶段），；，求。
（25 26高二·长沙期中），，，，求。
课后练习
判断：三个共面向量能不能构成空间的一组基底。（ ）
已知是空间基底，化简= 。
四面体，基底，为中点，用基底表示。
为基底，，，求的取值集合。
不共线，，判断与是否共面。
，；，求。
判断下面向量组可否作为空间基底：（不共面）。
平行六面体，基底，表示。
答案与详细解析
随学随练解析
不共面；
不共面；
（）；
不可以。
题型1解析
对点练
B；其余选项向量组均共面或含有零向量。
不可以；基底要求三个向量不共面，共面向量不能构成空间基底。
错误；三个非零向量如果共面，依旧不能作为基底。
C；，三者共面，不能作为基底。
3个；空间基底由3个不共面的基向量组成。
题型2解析
对点练
共面；存在，满足。
三者共面。
需要条件：不共线；若共线，则该结论不一定成立。
共面；，。
，其中为实数。
题型3解析
对点练
。
。
。
。
。
题型4解析
对点练
。
。
。
。
。
题型5解析
对点练
系数对应相等：。
；。
。
；。
；。
题型6解析
对点练
。
。
。
。
。
课后练习解析
不能；基底必须三个向量不共面。
。
。
；。
共面；，满足共面向量定理。
。
不可以；，三者共面，不能作为基底。
。
本章复习小结
共面向量定理：不共线，与共面。
空间向量基本定理：不共面，则空间任意向量，实数组唯一。
基底条件：三个向量不共面；零向量不能作为基向量；共面向量不能做空间基底。
同一个向量，同一组基底之下分解的系数是唯一的，可以利用系数相等列方程求参数。
几何体解题技巧：选取从同一点出发的三个不共面向量作为基底，把目标向量转化为基底线性组合。
在基底下做数量积运算，使用分配律展开；注意：没有说明正交时，不能默认基向量数量积为0。
参数结果写成集合，讲义不使用区间。

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