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1.3.1 空间直角坐标系讲义
目录
教学目标 1
知识点 1
知识点1 空间直角坐标系的建立 1
知识点2 空间中点的坐标 1
知识点3 空间向量的坐标表示 2
知识点4 空间点的对称坐标 2
知识点5 空间两点间距离公式 2
随学随练 2
典型题型 3
题型1：空间直角坐标系中点坐标识别（基础） 3
题型2：求空间向量的坐标（基础必考） 4
题型3：求空间点的对称点坐标（基础+中档） 4
题型4：空间两点之间距离计算（中档高频） 4
题型5：正方体、长方体模型读写点坐标（中档） 5
题型6：距离公式简单应用（中档） 5
课后练习 6
答案与详细解析 6
教学目标
课标要点 理解空间直角坐标系的建立，认识原点、坐标轴、坐标平面； 掌握空间中点的坐标定义，会写出简单几何体顶点的空间坐标； 掌握空间向量的坐标表示，会把向量用坐标形式书写； 掌握空间点关于坐标轴、坐标平面、原点的对称点坐标； 掌握空间两点间距离公式，会计算两点距离； 会结合长方体、正方体模型读写点与向量坐标。
学习重难点 重点：空间点、空间向量的坐标；空间两点间距离公式；求对称点坐标。 难点：几何体中读取点的坐标；区分点的坐标与向量坐标。
知识点
知识点1 空间直角坐标系的建立
在空间中选定一点作为原点，过作三条两两互相垂直的数轴：轴、轴、轴，构成空间直角坐标系。
坐标轴：轴、轴、轴；两两垂直；
坐标平面：每两条坐标轴确定一个坐标平面，平面，平面，平面；
右手系：右手四指从轴正方向向轴正方向旋转，大拇指指向轴正方向。
知识点2 空间中点的坐标
空间任意一点，过分别作垂直于轴、轴、轴的平面，交点在对应轴上实数，则点坐标记作。
原点坐标：；
平面上点：，形式；
平面上点：，形式；
平面上点：，形式；
轴上点：，形式；
轴上点：，形式；
轴上点：，形式。
知识点3 空间向量的坐标表示
取单位正交基底，分别是轴正方向单位向量。 空间任意向量可以唯一表示：
向量坐标记作。 若点，点，则向量
> 注意：点的坐标与向量坐标符号书写形式一样，但概念不同；向量坐标等于终点坐标减去起点坐标。
知识点4 空间点的对称坐标
设点：
关于平面对称点：；
关于平面对称点：；
关于平面对称点：；
关于轴对称点：；
关于轴对称点：；
关于轴对称点：；
关于原点对称点：。
知识点5 空间两点间距离公式
设，，两点之间距离：
点到原点距离：。
随学随练
原点的坐标是 。
点在哪个坐标平面上：______。
已知，则 。
点关于原点对称点坐标为 。
典型题型
题型1：空间直角坐标系中点坐标识别（基础）
解题贴士：分清坐标轴、坐标平面上点坐标特征；坐标轴上有两个坐标为0；坐标平面上有一个坐标为0。
例1（24 25高二·广州月考）下列点在平面上的是（ ）




解析：平面上点横坐标，故满足。答案B。
对点练（举一反三）
（24 25高二·石家庄期中）点落在（ ）
平面
平面
平面
轴
（24 25高二·南京阶段检测）写出轴上一个点的坐标 。
（24 25高二·武汉月考）判断点位置 。
（25 26高二·济南月考）下列点在平面的是（ ）




（25 26高二·长沙月考）点在哪条坐标轴上？
题型2：求空间向量的坐标（基础必考）
解题贴士：坐标等于终点坐标减去起点坐标。
例2（24 25高二·天津月考）已知，，求向量的坐标 。
解析：
对点练（举一反三）
（24 25高二·沈阳期中），，求= 。
（24 25高二·福州期中），，求= 。
（24 25高二·成都阶段检测），，求= 。
（25 26高二·哈尔滨阶段）为原点，点，求= 。
（25 26高二·太原月考），，求= 。
题型3：求空间点的对称点坐标（基础+中档）
解题贴士：记准对称变换规则；关于哪个坐标平面对称，该平面内对应坐标不变，另外一个坐标变号；关于原点三个坐标全部变号。
例3（24 25高二·郑州期中）求点关于平面的对称点。
解析：关于平面对称，不变，取相反数；对称点。
对点练（举一反三）
（24 25高二·南宁月考）求点关于原点的对称点 。
（24 25高二·呼和浩特期中）求点关于平面对称点 。
（24 25高二·贵阳月考）求点关于轴的对称点 。
（25 26高二·重庆阶段）求点关于轴对称点 。
（25 26高二·福州阶段）求点关于平面对称点 。
题型4：空间两点之间距离计算（中档高频）
解题贴士：直接代入空间两点距离公式，注意坐标作差之后平方。
例4（24 25高二·济南联考）已知，，求两点距离。
解析：
对点练（举一反三）
（24 25高二·合肥月考），，求= 。
（24 25高二·石家庄期中），，求= 。
（24 25高二·长沙期中），，求= 。
（25 26高二·哈尔滨月考）点，求原点到距离= 。
（25 26高二·成都月考），，求= 。
题型5：正方体、长方体模型读写点坐标（中档）
解题贴士：以一个顶点作为原点，三条棱分别落在坐标轴上，根据棱长写出各个顶点坐标。
例5（24 25高二·天津联考）正方体，棱长为，以为原点，分别落在轴，写出点坐标 。
解析：对应，坐标。
对点练（举一反三）
（24 25高二·广州期中）同上正方体棱长，写出坐标 。
（24 25高二·南京月考）长方体原点，长宽高，棱分别在坐标轴，写出顶点对角顶点坐标 。
（24 25高二·武汉联考）正方体棱长为，原点，棱在坐标轴，求坐标 。
（25 26高二·济南阶段）长方体，原点，方向长，方向长，方向长，写出顶点向上方向顶点坐标 。
（25 26高二·长沙期中）正方体棱长，原点，棱在坐标轴，写出点坐标 。
题型6：距离公式简单应用（中档）
解题贴士：利用距离列等式，解出坐标里面未知分量。
例6（24 25高二·太原期中）已知点到原点距离等于，求= 。
解析：
对点练（举一反三）
（24 25高二·贵阳月考）点到原点距离为，求= 。
（24 25高二·西安联考）点与距离等于，求= 。
（24 25高二·重庆月考）点到距离，求= 。
（25 26高二·南宁阶段）点到原点距离，求= 。
（25 26高二·福州月考）点与距离为，求= 。
课后练习
点在哪一个坐标平面？
已知，，求向量。
求点关于平面对称点坐标。
求两点，之间距离。
正方体棱长为，原点，棱落在坐标轴上，写出点坐标。
点到原点距离为，求。
求点关于原点对称点坐标。
已知，，求。
答案与详细解析
随学随练解析
；
平面；
；
。
题型1解析
对点练
B；解析：，属于平面。
示例：，答案不唯一，满足。
在轴上。
A；，属于平面。
轴。
题型2解析
对点练
。
。
。
。
。
题型3解析
对点练
。
。
。
。
。
题型4解析
对点练
。
。
。
。
。
题型5解析
对点练
。
对角顶点。
。
。
。
题型6解析
对点练
或。
或。
或。
或。
或。
课后练习解析
，落在平面。
。
对称，变号：。
。
。
或。
。
。
本章复习小结
空间直角坐标系，三条坐标轴两两垂直；分清坐标平面上点、坐标轴上点坐标特征；坐标平面一个分量为，坐标轴两个分量为。
向量坐标等于终点坐标减去起点坐标；区分点的坐标和向量坐标。
对称点变换：关于坐标平面对称，该平面内坐标不变，另一坐标变号；关于原点对称三个坐标全部取相反数。
两点距离公式；点到原点距离为。
正方体长方体读坐标：选顶点做原点，棱放在坐标轴，直接写出各顶点坐标。
利用距离等式，可以求解坐标里面未知分量，注意方程一般有两个解。

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