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1.3.2 空间向量运算的坐标表示讲义
目录
教学目标 1
知识点 1
知识点1 空间向量加减、数乘坐标运算 1
知识点2 空间向量数量积坐标公式 1
知识点3 向量的模的坐标公式 1
知识点4 向量平行与垂直的坐标条件 1
知识点5 两向量夹角余弦坐标公式 2
知识点6 向量与点坐标联系 2
随学随练 2
典型题型 2
题型1：向量加减、数乘坐标运算（基础） 2
题型2：数量积与向量模的计算（基础必考） 3
题型3：向量平行（共线）坐标判定（基础+中档） 3
题型4：向量垂直坐标判定与参数求解（中档高频） 3
题型5：利用坐标求两非零向量夹角（中档） 4
题型6：点坐标转化向量综合计算（中档） 4
课后综合练习 5
答案与详细解析 5
教学目标
课标要点 掌握空间向量加减法、数乘的坐标运算法则； 掌握空间向量数量积的坐标计算公式； 掌握向量模的坐标求法； 掌握空间两个向量平行、垂直的坐标条件； 会利用坐标求两个向量夹角； 能够结合点的坐标完成向量综合计算。
学习重难点 重点：空间向量四则坐标运算；向量平行、垂直的坐标条件；向量模、夹角坐标计算。 难点：区分平行与垂直坐标条件；夹角计算；综合运算中符号处理。
知识点
知识点1 空间向量加减、数乘坐标运算
设，，。
知识点2 空间向量数量积坐标公式
知识点3 向量的模的坐标公式
知识点4 向量平行与垂直的坐标条件
平行（共线）：存在实数，使得
垂直：
知识点5 两向量夹角余弦坐标公式
均为非零向量，夹角为：
知识点6 向量与点坐标联系
若，，则
随学随练
，则 。
，则 。
， 。
的坐标条件是______。
典型题型
题型1：向量加减、数乘坐标运算（基础）
解题贴士：对应坐标分别做加减；数乘把每一个分量都乘实数。
例1（24 25高二·广州月考）已知，，求，。
解析：
对点练（举一反三）
（24 25高二·石家庄期中），，求= 。
（24 25高二·南京阶段检测），求= 。
（24 25高二·武汉月考），，求= 。
（25 26高二·济南月考），，求= 。
（25 26高二·长沙月考），，求= 。
题型2：数量积与向量模的计算（基础必考）
解题贴士：数量积等于对应坐标乘积之和；模等于各坐标平方和再开算术平方根。
例2（24 25高二·天津月考）已知，，求与。
解析：
对点练（举一反三）
（24 25高二·沈阳期中），，求= 。
（24 25高二·福州期中），求= 。
（24 25高二·成都阶段检测），，求= 。
（25 26高二·哈尔滨阶段），求= 。
（25 26高二·太原月考），，求= 。
题型3：向量平行（共线）坐标判定（基础+中档）
解题贴士：，与共线，则各分量对应成比例。
例3（24 25高二·郑州期中）判断与是否共线。
解析：，各分量对应2倍关系，故与共线。
对点练（举一反三）
（24 25高二·南宁月考）判断，是否共线。
（24 25高二·呼和浩特期中）判断，是否共线。
（24 25高二·贵阳月考）已知，若，写出坐标。
（25 26高二·重庆阶段），，判断是否共线。
（25 26高二·福州阶段），若与共线，第一个分量取，写出= 。
题型4：向量垂直坐标判定与参数求解（中档高频）
解题贴士：，代入坐标列方程求未知分量。
例4（24 25高二·济南联考）已知，，，求。
解析：
对点练（举一反三）
（24 25高二·合肥月考），，，求的值 。
（24 25高二·石家庄期中），，，求的值 。
（24 25高二·长沙期中）判断，是否垂直。
（25 26高二·哈尔滨月考），，，求的值 。
（25 26高二·成都月考）判断，是否垂直。
题型5：利用坐标求两非零向量夹角（中档）
解题贴士：代入夹角余弦公式，算出余弦值，再确定夹角；夹角范围。
例5（24 25高二·天津联考）已知，，求。
解析：
对点练（举一反三）
（24 25高二·广州期中），，求= 。
（24 25高二·南京月考），，求= 。
（24 25高二·武汉联考），，求= 。
题型6：点坐标转化向量综合计算（中档）
解题贴士：等于终点减起点；得到向量坐标之后再做数量积、模、垂直平行判定。
例6（24 25高二·太原期中）已知，，，求与，计算。
解析：
对点练（举一反三）
（24 25高二·贵阳月考），，求以及。
（24 25高二·西安联考），，，求。
（24 25高二·重庆月考），，，判断与是否垂直。
（25 26高二·南宁阶段），，求，判断与是否共线。
（25 26高二·福州月考），，原点，求。
课后综合练习
已知，，计算。
向量，求。
，，求。
，，，求。
判断向量与是否共线。
，，求。
点，，求，。
，，，求。
答案与详细解析
随学随练解析
；
；
；
。
题型1解析
对点练
。
。
。
。
。
题型2解析
对点练
。
。
。
。
。
题型3解析
对点练
，共线。
分量不成倍数，不共线。
。
，共线。
比例系数，。
题型4解析
对点练
。
；不存在使得垂直。
；不垂直。
。
；垂直。
题型5解析
对点练
，。
，，；。
，；。
题型6解析
对点练
；。
，；点积。
，；；不垂直。
；与完全相同，共线。
，；。
课后综合练习解析
。
。
。
。
，两向量共线。
，，；。
；。
，；。
本章复习小结
空间向量坐标运算：加减对应坐标相加减；数乘每一个分量乘以实数；数量积等于各对应坐标乘积相加。
模：。
，共线：分量成比例；垂直：数量积等于0，即。
夹角余弦：，注意向量非零。
坐标等于终点坐标减去起点坐标；可以先由点得到向量，再做向量运算。

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