资源简介

1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系讲义
教学目标
课标要点 理解直线的方向向量、平面的法向量的概念，会求简单几何体中方向向量与法向量； 掌握用向量判定空间两条直线的位置关系：平行、垂直； 掌握用向量判定直线与平面的位置关系：平行、垂直； 掌握用向量判定两个平面的位置关系：平行、垂直； 能够根据位置关系求解方向向量、法向量中的未知参数； 结合长方体、四棱锥模型完成向量与位置关系综合分析。
学习重难点 重点：直线方向向量、平面法向量概念；利用向量判定线线、线面、面面平行与垂直。 难点：求解平面的法向量；区分各类位置关系向量条件；含参数位置关系讨论。
知识点
知识点1 直线的方向向量
直线的方向向量：与直线平行的非零向量，记作。
一条直线有无穷多个方向向量，全部互相共线；
若直线经过两点，则可作为这条直线的一个方向向量：
知识点2 平面的法向量
如果非零向量与平面垂直，则称为平面的一个法向量。
一个平面有无穷多个法向量，全部互相共线；
法向量垂直于平面内的任意一条直线的方向向量；
求平面法向量：在平面内取两个不共线向量，设，联立
取方程组一组非零解即为平面一个法向量。
知识点3 线线位置关系（方向向量；方向向量）
（）；
。
知识点4 线面位置关系（直线方向向量；平面法向量）
（直线不在平面内）；
（）。
知识点5 面面位置关系（平面法向量；平面法向量）
（）；
。
随学随练
直线过点，该直线一个方向向量是 。
平面的法向量，则与平面内直线方向向量的数量积为______。
两直线垂直，则它们方向向量满足______。
直线平面，直线方向向量与平面法向量的关系：______。
典型题型
题型1：求直线的方向向量（基础）
解题贴士：直线两点坐标，用终点减起点得到向量，即为一条方向向量；方向向量为非零向量。
例1（24 25高二·广州月考）直线经过，，写出该直线一个方向向量。
解析：
一个方向向量：。
对点练（举一反三）
（24 25高二·石家庄期中）直线过，，写出一个方向向量 。
（24 25高二·南京阶段检测）直线过，原点，写出一个方向向量 。
（24 25高二·武汉月考）已知直线方向向量，写出该直线另外一个方向向量 。
（25 26高二·济南月考）过点，求直线的一个方向向量 。
（25 26高二·长沙月考）判断：一条直线方向向量是不是唯一的，说明理由。
题型2：求平面的法向量（基础+中档必考）
解题贴士：平面内取两个不共线向量，设，联立数量积等于0，给其中一个分量赋非零值，求一组解。
例2（24 25高二·天津月考）平面内两不共线向量，，求平面一个法向量。
解析：设，
令，得，得到平面一个法向量。
对点练（举一反三）
（24 25高二·沈阳期中）平面内，，求平面一个法向量 。
（24 25高二·福州期中）平面内两向量，，求平面一个法向量 。
（25 26高二·太原月考）判断：一个平面的法向量是不是唯一的，说明理由。
题型3：利用向量判定两条直线位置关系（中档）
解题贴士：方向向量共线直线平行；方向向量点积为直线垂直；都不满足则既不平行也不垂直。
例3（24 25高二·郑州期中）直线方向向量；方向向量，判断位置关系。
解析：，方向向量共线，故。
对点练（举一反三）
（24 25高二·南宁月考）方向向量；方向向量，判断两直线是否垂直。
（24 25高二·呼和浩特期中）；，判断位置关系。
（24 25高二·贵阳月考）方向向量；方向向量，判断平行或者垂直。
（25 26高二·重庆阶段）；，判断两直线位置关系。
（25 26高二·福州阶段）方向向量；方向向量，判断位置关系。
题型4：向量判定直线与平面位置关系（中档高频）
解题贴士：直线方向向量与平面法向量点积为0，直线不在平面内，则线面平行；方向向量与法向量共线，则线面垂直。
例4（24 25高二·济南联考）直线方向向量；平面法向量，判断与位置关系（）。
解析：，，又直线不在平面内，故。
对点练（举一反三）
（24 25高二·合肥月考）直线方向向量；平面法向量，判断与位置关系。
（24 25高二·石家庄期中）直线方向向量；平面法向量，，判断线面关系。
（24 25高二·长沙期中）直线方向向量；平面法向量，判断与。
（25 26高二·哈尔滨月考）直线方向向量，平面法向量，，判断线面。
（25 26高二·成都月考）直线方向向量，平面法向量，，判断线面。
题型5：向量判定平面与平面位置关系（中档）
解题贴士：两平面法向量共线面面平行；法向量点积等于面面垂直；否则既不平行也不垂直。
例5（24 25高二·天津联考）平面法向量；平面法向量，判断位置关系。
解析：，法向量共线，。
对点练（举一反三）
（24 25高二·广州期中）平面法向量；平面法向量，判断面面是否垂直。
（24 25高二·南京月考）平面；平面，判断。
（24 25高二·武汉联考）平面法向量；平面法向量，判断面面关系。
（25 26高二·济南阶段）平面法向量；平面法向量，判断是否垂直。
（25 26高二·长沙期中）平面法向量；平面法向量，判断面面。
题型6：由位置关系求解向量中的未知参数（中档偏难）
解题贴士：利用平行对应分量成比例；利用垂直对应数量积等于0，建立方程求解未知分量。
例6（24 25高二·太原期中）直线方向向量；方向向量；若，求。
解析：两方向向量共线，对应分量成比例：
对点练（举一反三）
（24 25高二·贵阳月考）方向向量，方向向量，，求。
（24 25高二·西安联考）方向向量，方向向量，，求。
（24 25高二·重庆月考）直线方向向量；平面法向量，（），求。
（25 26高二·南宁阶段）平面法向量；平面法向量；，求。
（25 26高二·福州月考）直线方向向量，平面法向量；，求。
课后练习
直线过点，，写出该直线一个方向向量。
平面内两不共线向量，，求平面一个法向量。
直线方向向量，方向向量，判断两直线位置关系。
直线方向向量，平面法向量，，判断与平面位置关系。
平面法向量，平面法向量，判断与是否垂直。
方向向量，方向向量，，求。
直线方向向量，平面法向量，，，求。
平面法向量，平面法向量，，求。
答案与详细解析
随学随练解析
；
；
方向向量的数量积等于；
两向量互相共线。
题型1解析
对点练
。
。
示例（非零共线向量均可，答案不唯一）。
。
不是；一条直线有无穷多个方向向量，全部互相共线。
题型2解析
对点练
，令，得，答案不唯一。
，令，，，答案不唯一。
不是；一个平面有无穷多个法向量，全部互相共线。
题型3解析
对点练
，两直线垂直。
，两直线平行。
，两直线垂直。
，两直线垂直。
，两直线平行。
题型4解析
对点练
，方向向量与法向量共线，。
，。
，与共线，。
；与不共线；直线与平面既不平行也不垂直。
；不共线；直线与平面既不平行也不垂直。
题型5解析
对点练
，。
，。
，。
，。
，。
题型6解析
对点练
。
。
，故；。
，；。
，与共线，，由，，得。
课后综合练习解析
。
设，，令，，；，答案不唯一。
，两直线平行。
；与不共线；直线与平面既不平行也不垂直。
；平面。
。
，，。
，，。
本章复习小结
直线方向向量：与直线平行的非零向量；由直线两点可以求方向向量；一条直线有无穷多共线方向向量。
平面法向量：垂直于平面的非零向量；平面内取两个不共线向量，联立点积为零，取一组非零解得到法向量；一个平面有无穷多共线法向量。
线线：方向向量共线平行；方向向量点积为垂直。
线面：直线不在平面内，方向向量与法向量垂直线面平行；方向向量与法向量共线线面垂直。
面面：法向量共线面面平行；法向量点积为面面垂直。
参数求解：平行用分量成比例；垂直用数量积等于零建立方程求解。
注意前提条件：直线平行平面需要确认直线不在平面内；方向向量、法向量均要求是非零向量。

展开更多......

收起↑