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1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题讲义
目录
教学目标 1
知识点 1
知识点1 空间距离（向量方法） 1
知识点2 空间各类夹角与向量夹角关系 1
随学随练 2
典型题型 2
题型1：点到平面距离计算（基础必考） 2
题型2：点到直线距离计算（基础+中档） 3
题型3：求异面直线夹角（中档高频） 3
题型4：求直线与平面所成角（中档） 4
题型5：二面角的余弦值计算（中档偏难） 4
题型6：综合坐标条件，先求法向量再算距离与角度（中档偏难） 5
课后练习 5
答案与详细解析 6
本章复习小结 8
教学目标
课标要点 掌握空间向量求解距离：点到直线距离、点到平面距离； 掌握向量求夹角：两直线夹角、直线与平面所成角、二面角； 分清各类角取值范围，区分向量夹角与几何中立体角； 会利用法向量计算点面距离、二面角，能判断二面角是锐角还是钝角； 能够结合几何体坐标，综合计算距离与各类空间角； 处理简单含参数距离、角度计算问题。
学习重难点 重点：点到直线距离，点到平面距离；线线角、线面角、二面角向量计算公式。 难点：区分向量夹角和立体几何角的范围；二面角锐角钝角判断；公式的几何意义。
知识点
知识点1 空间距离（向量方法）
点到直线距离：设直线过点，方向向量，为直线外一点。 向量，点到直线距离
点到平面距离：设平面过点，平面法向量，是平面外一点，则点到平面距离
> 说明：分子必须带绝对值，距离是非负数。
知识点2 空间各类夹角与向量夹角关系
设两非零向量夹角，范围：。
两异面直线夹角：取两直线方向向量，
直线与平面所成角：直线方向向量，平面法向量，
二面角：两个平面法向量。二面角平面角为，则
；观察图形判断二面角是锐角或者钝角，确定符号取或者。
随学随练
点到平面距离公式 。
异面直线夹角取值范围是______。
直线与平面所成角与夹角关系：______。
计算点到直线距离，需要直线的______向量。
典型题型
题型1：点到平面距离计算（基础必考）
解题贴士：找到平面内一点，求；求出平面一个法向量，代入。
例1（24 25高二·广州月考）平面过点，平面一个法向量，点，求到平面距离。
解析：
对点练（举一反三）
（24 25高二·石家庄期中）平面过，法向量，点，求点到平面距离。
（24 25高二·南京阶段检测）平面过，法向量，求点到平面的距离。
（25 26高二·长沙月考）平面过原点，法向量，点，求点Q到平面的距离。
题型2：点到直线距离计算（基础+中档）
解题贴士：直线取一点，方向向量，外点，。
例2（24 25高二·天津月考）直线过，方向向量，外点，求到直线距离。
解析：
对点练（举一反三）
（24 25高二·沈阳期中）直线过，方向向量，外点，求点到直线距离。
（24 25高二·福州期中）直线过，方向向量，点，求点到直线的距离。
（24 25高二·成都阶段检测）直线过，方向向量，外点，求点到直线的距离。
题型3：求异面直线夹角（中档高频）
解题贴士：取两直线方向向量，夹角余弦取绝对值；结果。
例3（24 25高二·郑州期中）异面直线方向向量，，求异面直线夹角的余弦值。
解析：
对点练（举一反三）
（24 25高二·南宁月考）方向向量，方向向量，求异面直线夹角余弦。
（25 26高二·重庆阶段），，求异面直线夹角余弦。
（25 26高二·福州阶段），，求夹角余弦。
题型4：求直线与平面所成角（中档）
解题贴士：，；直线方向向量，平面法向量。
例4（24 25高二·济南联考）直线方向向量，平面法向量，求直线与平面所成角的正弦值。
解析：
对点练（举一反三）
（24 25高二·合肥月考）直线方向向量，平面法向量，求线面角正弦。
（24 25高二·石家庄期中），，求直线与平面所成角正弦。
（24 25高二·长沙期中），，求线面角正弦。
题型5：二面角的余弦值计算（中档偏难）
解题贴士：两个平面法向量；先算；结合图形判断二面角与法向量夹角相等还是互补。
例5（24 25高二·天津联考）平面法向量，平面法向量，已知二面角为锐角，求二面角余弦。
解析：
二面角为锐角，。
对点练（举一反三）
（24 25高二·广州期中），，二面角为锐角，求二面角余弦。
（24 25高二·南京月考），，二面角为钝角，求二面角余弦。
（24 25高二·武汉联考），，二面角锐角，求余弦。
题型6：综合坐标条件，先求法向量再算距离与角度（中档偏难）
解题贴士：由平面上点坐标，先求平面两个不共线向量，求出法向量，再计算距离或者夹角。
例6（24 25高二·太原期中）平面过三点，点，求到此平面距离。
解析： ，设
令，，。取平面点，。
对点练（举一反三）
（24 25高二·贵阳月考）平面三点，求原点到平面距离。
（24 25高二·西安联考）平面，点求点面距离。
（24 25高二·重庆月考）平面三点，点求距离。
课后练面过，法向量，点，求点到平面距离。
直线过，方向向量，外点，求点到直线距离。
异面直线方向向量，，求异面直线夹角余弦。
直线方向向量，平面法向量，求线面角的正弦。
两平面法向量，，二面角为锐角，求二面角余弦。
平面过三点，求原点到此平面距离。
直线方向向量，平面法向量，求直线与平面所成角正弦。
两平面法向量，，二面角为钝角，求二面角余弦。
答案与详细解析
随学随练解析
；
；
；
方向。
题型1解析
对点练
，。
，。
，。
题型2解析
对点练
；，；。
，；；。
，；，；。
题型3解析
对点练
，；。
；。
；。
题型4解析
对点练
；；。
；；。
；；。
题型5解析
对点练
；；锐角，。
；；；钝角。
；；锐角，。
题型6解析
对点练
，法向量；取，；；原点在平面上。
，求得法向量；；。
，法向量；；。
课后练习解析
；。
；；；。
；。
；；。
；；锐角，。
，法向量；；。
；；。
；二面角钝角，。
本章复习小结
点到直线距离：；点到平面距离，分子必须带绝对值。
异面直线夹角：取方向向量点积绝对值求余弦，范围。
线面角：等于直线方向向量与平面法向量夹角余弦的绝对值，。
二面角：利用两个平面法向量计算；等于法向量夹角余弦绝对值；根据图形判断锐角钝角确定符号。
做题流程：几何体坐标，先取平面内向量求解法向量，再代入距离、角度公式。
区分向量夹角和立体几何中的空间角；立体几何中异面直线夹角、线面角不取钝角。

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