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25.1 一元二次方程的概念
知识点梳理
1. 一元二次方程的定义
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。
三个必备条件（缺一不可）：
整式方程：分母不含未知数，根号内部不含未知数；
只含有个未知数；
未知数最高次数为，且二次项系数不能等于0。
2. 一元二次方程的一般形式
：二次项，为二次项系数；
：一次项，为一次项系数；
：常数项。
注意要点：
，当时，方程变为，属于一元一次方程；
可以取0；
确定各项系数前，一定要整理成一般形式，系数要连同前面符号。
3. 一元二次方程的根
能让一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的根，也叫方程的解。 判定方法：将数值代入方程左右两侧，检验两边是否相等。
4. 根据实际情境列一元二次方程
解题步骤：审题寻找等量关系设未知数列出方程（本节只列方程，不需要求解）。
典型题型
题型1：识别一元二次方程
核心判断标准：整式方程、单未知数、最高次数2，二次项系数不为0。
例1 判断下面给出的方程，哪些属于一元二次方程？
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
举一反三 判定下列哪些是一元二次方程？
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
题型2：化为一般形式，写出各项系数
解题思路：去括号，移项，整理为。
例2 将方程整理成一元二次方程一般形式，并写出二次项、一次项、常数项。
举一反三 将下列方程整理成一元二次方程一般形式，并写出二次项、一次项、常数项。
（1） ；（2） ；（3）
（4） ；（5）
题型3：由一元二次方程定义求参数
核心条件：未知数次数等于2，同时二次项系数，两个条件必须同时成立。
例3 若方程是关于的一元二次方程，求的值。
举一反三
若是一元二次方程，求的值 ；
若是一元二次方程，求的值 ；
方程是一元二次方程，求取值范围 ；
若是一元二次方程，求的值 ；
是一元二次方程，求的值 。
题型4：利用方程根的定义求代数式、参数
思路：把根代入原方程，等式成立，进行整体代换或者求解参数。
例4 已知是方程的一个根，求的值。
举一反三
是方程的根，求的值 ；
方程有一根为，求的值 ；
若是方程的根，求的值 ；
是的根，求的值 ；
有一根，求= 。
题型5：实际应用列一元二次方程
要求：只列出方程，不解方程。
例5 用长30m篱笆围成矩形场地，矩形面积，设矩形长为米，列出方程。
举一反三
正方形边长增加4cm，面积增加56，设原边长 cm，列出方程；
商品原价每件120元，连续两次降价，降价百分率相同，现价97.2元，设降价百分率，列方程；
直角三角形两直角边之和16，面积30，设一条直角边长，列出方程；
聚会所有人两两握手，一共握手45次，设参加人数，列出方程；
矩形面积，长比宽多6m，设宽为 m，列出方程。
课后练习
下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）




将方程化为一般形式，则二次项系数、一次项系数、常数项依次为 。
若方程是一元二次方程，则 。
已知是方程的根，则 。
若是方程的根，则代数式的值是 。
某工厂2023年产值200万元，2025年产值288万元，设年平均增长率为，列出对应的方程： 。
若关于的方程有一根是0，则 。
参考答案与详细解析
题型1 例题解析
例1：
（1）：一元二次方程；
（2）：分母含未知数，分式方程；
（3）：含有两个未知数；
（4）整理：，最高次数1，一元一次方程；
（5）整理，是一元二次方程。
结论：(1)(5)是一元二次方程。
举一反三答案
（1）：是一元二次方程；
（2）：根号内含未知数，不是整式方程；
（3）：当时不是，无法判定；
（4）整理，是；
（5）：最高次数3，不是。
是一元二次方程：(1)(4)
题型2 例题解析
例2
一般形式：； 二次项：；一次项：；常数项：。
举一反三答案
（1），二次项，一次项，常数项；
（2），二次项，一次项，常数项；
（3），二次项，一次项，常数项；
（4），二次项，一次项，常数项；
（5），二次项，一次项，常数项。
题型3 例题解析
例3：为一元二次方程
；，得到。
举一反三答案
；
；
；
；
。
题型4 例题解析
例4：代入
举一反三答案
；
；
将代入方程：；
代入：，，，解得；
代入，。
题型5 例题解析
例5：长，则宽为，矩形面积：
举一反三答案（只写方程）
；
；
；
；
。
课后练习解析
B。A是二元一次；C是分式方程；D一元一次。
原式展开：；系数：。
。
。
。
两年平均增长率模型：。
将代入方程：；二次项系数，。

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