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2.4解直角三角形的应用(1)教学设计
课题 2.4解直角三角形的应用(1) 单元 第二单元 学科 数学 年级 九年级
教材分析 本节课是九年级上册第二章《锐角的正弦、余弦、正切》第四节“解直角三角形的应用”的第1课时，主要内容是通过实例让学生理解仰角和俯角的概念，同时锐角三角函数解决有关仰角和俯角的实际问题，在学生归纳了直角三角形边角关系的基础上，要求学生会运用直角三角形的边角关系，它既是前面所学知识的运用，也是高中继续学习三角函数和解斜三角形的重要预备知识，另外由于解直角三角形在实际生活中运用比较广泛，所以学生熟练利用解直角三角形解决仰、俯角实际问题，既是本节课的教学重点和教学难点。同时还蕴涵着深刻的数学思想方法（数学建模、转化、方程)，在本节教学中有针对性的对学生进行这方面的能力培养。
核心素养 能力培养 1.抽象能力：通过生活实例引入，让学生从现实中的物体抽象出几何图形，提升抽象能力； 2.几何直观：通过抽象的直角三角形，在空间观念的基础上进一步建立几何直观； 3.模型观念：通过探究在实际问题中建立直角三角形的模型的过程，培养学生利用方程模型和直角三角形模型的观念。 4.应用意识：通过例题运用解直角三角形知识解决实际问题，提升学生的应用意识；
教学目标 1.通过实际问题，理解仰角、俯角的概念； 2.能从实际问题中构造直角三角形，把实际问题转化为解直角三角形的问题，并能灵活选择三角函数解决问题； 3.经历从实际问题到数学问题的思考，培养学生数学建模思想和分析问题、解决问题的能力； 4.体会数学在解决实际问题中的应用，使学生感受数学在测量方面和建筑方面应用，使学生感受到数学的广泛作用.
教学重点 能够把解直角三角形相关知识应用到实际问题中.
教学难点 能根据直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
复习导入 在上节课中，我们已经学习了有关正弦、余弦以及正切的定义，以及特殊角度的正弦、余弦、正切的值。而我们这节课要进一步探究直角三角形的三角函数，根据直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题。在上新课之前，我们一起回忆下前面学习的知识。 1、特殊角的三角函数值是多少？ 2、解直角三角形的依据 如图，在中，，的对边分别记作. 直角三角形的三边之间有什么关系？ (勾股定理) (2)直角三角形的锐角之间有什么关系？ . (3)直角三角形的边和锐角之间有什么关系？ . . . 学生认真回答问题。 复习上节课知识点，回顾三角形内角和、外角及外角和相关知识点；
新知探究 一、仰角和俯角的概念： 在日常生活中，我们经常会碰到一些与直角三角形有关的实际问题. 对于这些问题，可用所学的解直角三角形的知识来加以解决. 思考： 某探险者到达如图 2. 4-1所示的点A处时，他准备估算出到目的地——海拔为 3 500 m 的山峰顶点 B 处的水平距离. 你能帮他想出一个可行的办法吗？ 教师展示思路： 如图，表示点的海拔， 表示点的海拔 ，，垂足为点. 用仪器先测量出点的海拔，再测出仰角，然后用锐角的正切就可求出两点的水平距离. 明确概念： 在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角. 二、探究1：用仰角俯角解直角三角形的实际问题 做一做:如图，如果测得点的海拔为1 ，仰角，求两点的水平距离(，结果精确到). 教师展示思路： 解：因为，，，， 所以在中， . 即, 从而. 因此,两点间的水平距离约为. 三、例题精讲： 例某测量人员准备测量上海东方明珠塔的高度，他站在离塔底部的处，用仪器测得塔顶的仰角为，仪器距地面的高度为 ，如图所示 . 求上海东方明珠塔的高度（，结果精确到）. 教师展示解题过程： 解:在中，，， 因此, 又， 从而. 因此，上海东方明珠塔的高度 答：上海东方明珠塔的高度约为. 总结方法： 解答含有仰角、俯角问题的方法：
(1)仰角和俯角是视线相对于水平线而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的，可巧记为“上仰下俯”．在测量物体的高度时，要善于将实际问题抽象为数学问题．
(2)视线、水平线、物体的高构成直角三角形，已知仰角(俯角)和另一边，利用解直角三角形的知识就可以求出物体的高度．
(3)弄清仰角、俯角的定义，根据题意画出几何图形，将实际问题中的数量关系归结到直角三角形中来求解．
拓展例题：如图，为了测量河的宽度，测量人员在高的建筑物的顶端处测得河岸处的俯角为，测得河对岸处的俯角为(在同一条直线上)，则河的宽度约是多少(精确到，参考数据：，) 教师展示解题过程： 分析：在中，根据已知条件求出的值，再在中，根据，求出，最后根据，代值计算即可． 解：在中，，，. ∵在中，， ，， ． 则河的宽度约是. 方法总结：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，把实际问题化归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 由生活实例引入，学生思考 学生以小组为单位讨论，代表展示想法； 结合导入的思考和老师的讲解，利用探究理解和掌握解直角三角形有关仰角、俯角的方法。 学生自主完成 通过生活实例引入问题，引发学生思考，将实际问题转化为数学问题，进一步提升学生的抽象能力； 通过探究将实际问题转化为数学问题的过程，培养学生的抽象能力，以及带领学生建立直角三角形的模型，进而分析问题，解决问题. 讲授知识，让学生掌掌握用仰角、俯角解直角三角形有关的实际问题方法。 通过例题拓展，进一步培养学生抽象能力和运用仰角俯角解直角三角形的实际应用题。
课堂练习 如图，一艘游船在离开码头后，以与河岸成 角的方向行驶了到达处，求处与河岸的距离. 某厂家新开发了一种电动车，其大灯射出的光线 与地面所成的夹角分别为和，大灯与地面的距离为，如图所示，求该车大灯照亮地面的宽度（，，不考虑其他因素，结果精确到）. 独立完成，小组代表展示； 学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。
课堂小结 1.在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角. 2.解答含有仰角、俯角问题的方法： (1)仰角和俯角是视线相对于水平线而言的，不同位置的仰 角和俯角是不同的，可巧记为“上仰下俯”．在测量物体的高度时，要善于将实际问题抽象为数学问题． (2)视线、水平线、物体的高构成直角三角形，知仰角(俯角)和另一边，利用解直角三角形的知识就可以求出物体的高度．
(3)弄清仰角、俯角的定义，根据题意画出几何图形，将实际问题中的数量关系归结到直角三角形中来求解. 学生归纳本节所学内容，并体验核心素养的形成。 训练学生总结归纳能力；升华知识，拓展知识面，开阔思维。
课后练习 1.必做题：教科书 习题--学而时习之 2.选做题：教科书 习题--温故而知新
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）

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