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《用字母表示规律》教学设计
学科 数学 年级 五年级 课型 新授课 单元 第四单元
课题 《用字母表示规律》 课时 一课时
课标要求 依据《义务教育数学课程标准（2022 年版）》数与代数领域要求：在具体情境中，探索简单的变化规律，能用字母表示规律；感悟字母表示数的一般性，发展符号意识；经历观察、猜想、归纳、验证的探究过程，能借助图形直观分析数量变化，发展推理意识与模型意识；体会用字母表示规律的简洁性，感受代数思想，能用代数式子表达一类事物的数量关系。
教材分析 本课是北师大版五年级上册《用字母表示（一）》第四课时《用字母表示规律》。教材创设用三角形摆Y形图案的动手操作情境，层层递进引导学生探究规律。 教材编排分为三个层次：①观察图案，依次求出第4个、第10个图案需要的三角形数量，借助列表记录数据，发现数量变化规律；②通过圈一圈、画一画，从不同角度解读图案结构，归纳得出三角形个数=3n；③从两种不同观察视角解释3n的含义，理解字母n代表图案序号，3n可以概括所有图案的三角形数量。 本课是“字母表示数”单元的升华，从静态的数量关系，过渡到动态变化规律，帮助学生理解字母可以表示变化的量，建立“变量”初步感知，为后续正比例、方程学习打下基础，渗透数形结合、不完全归纳的数学思想。
学情分析 五年级学生已经学习用字母表示数、表示固定数量关系，具备找简单数列规律的基础，能通过列表、数一数、动手摆一摆的方式探究问题。 认知优势：学生喜欢动手操作、图形类探究活动，能够观察、列举前几项数据，发现简单倍数规律。 认知难点：学生习惯于字母代表固定数字，较难理解字母n可以代表任意的图案序号（变化的量）；不容易从不同角度解读图形结构，解释同一个代数式3n的两种含义；容易把“具体某一项”和“通用规律”混淆。 学生适合借助动手摆、画图圈画、小组讨论的方式，突破变量理解的难点。
核心素养目标 1.符号意识：探索图形规律，能用含有字母的式子3n概括图形变化规律，理解字母可以表示变化的数，体会符号表达的简洁与概括性。 2.推理意识：通过观察、列举、归纳、验证，从图形中发现数量变化规律，能用不同思路解释同一个代数式，发展合情推理能力。 3.几何直观：借助画图、圈画图案，从不同角度分析图形构成，建立图形结构与代数表达式之间的联系。 4.模型意识：建立图形规律的代数模型3n，能用模型快速计算任意序号对应的三角形数量。
教学重点 找出图形数量变化规律，用含有字母的式子表示规律。
教学难点 理解字母式子的实际图形含义，实现从具象图形到抽象代数表达的转化。
教学准备 多媒体课件
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 复习提问，温故孕新 1.连一连。 2.填一填。 摆1个三角形需要4根小棒，摆2个三角形需要（ ）根小棒，摆3个三角形需要（ ）根小棒，摆n个三角形需要（ ）根小棒。 学生独自完成，然后集体订正。 通过复习旧知，检查学生掌握知识的情况，同时为后面学习新的知识做准备。
一、引新 创设情境，引入课题 师：你瞧，淘气和笑笑正在用三角形摆有趣的Y型图案。 课件出示： 师：如果继续照这个样子摆下去，里面藏着什么样的数学规律呢？今天我们就一起来探究 ——用字母表示规律。 学生观察图片。 以学生感兴趣的三角形摆Y型图案的直观操作情境导入，贴近学生认知，激发探究欲望。通过图形持续变化的特点，引导学生感知图形蕴含的变化规律，顺势揭示课题，自然引出用字母表示规律的学习内容，为学生从具象图形规律过渡到抽象字母建模做好铺垫。
二、探究 合作探究，活动领悟 探究1：观察图案，寻找数据 师：大家仔细看图，数一数，这三个图案分别用了多少个三角形？先独立观察，把数字记录下来，同桌互相说一说你的发现。给大家2分钟。 师巡视了解数图形情况。 师：时间到！谁来汇报你数出来的结果？ 师：你观察得很仔细，数得完全正确！请大家继续观察这一组图形和数据，你能发现它们的变化特点吗？ 根据学生的回答，课件出示： 师：很棒！那按照这个规律，第4个图案需要多少个三角形？可以动手摆一摆、数一数，也可以直接找规律，想好之后和同桌交流你的想法。 课件出示： 照这样摆，第4个图案需要多少个三角形？与同伴交流你的想法。 师：谁愿意分享你的答案和想法？ 展示： 师：通过摆一摆找出了正确结果，不错！大家还有别的想法吗？ 师：思路清晰！我们通过数一数、找变化，发现每往后一个图案，就多3个三角形，所以第4个图案需要12个三角形。这是我们找到的第一层规律。 学生观察图片，数三角形，同桌交流。 学生：第1个图案有3个三角形；第2个图案有6个；第3个图案有9个。 学生独自观察，然后回答：第1个图案有3个小三角形，第2个图案比第一个多了3个，第3个又再多3个，我发现：每往后一个图案就增加 3 个三角形。 学生独立思考，然后与同伴交流。 学生：我们摆一摆，数一数，第4个图案需要12个三角形。 学生：我发现第1个图案3个，第2个6个，第3个9个，每往后一个图案就增加3个三角形，第4个就是12个。 本环节以摆Y型三角形图案为载体，让学生通过观察、数一数、动手操作，收集前几组图形对应的三角形数量，直观感受图形依次变化的特点。引导学生发现：序号每增加1，三角形就增加3个。借助具象图形建立图形序号与三角形数量之间的关联，让学生先感知变化规律，积累数据，为后续抽象概括做好铺垫，初步感受从图形到数字的转化。
探究2：用字母表示规律 课件出示：第10个图案需要多少个三角形？说一说你是怎样思考的？ 师：同学们，刚刚我们算出了第4个图案。那如果继续往下摆，第10个图案需要多少个三角形？难道我们要一直写到10吗？ 师：那怎么办呀？ 师：我们先把前面收集的这些数据整理到表格里，一起来看一看。 课件出示： 师：大家观察表格中的数据，看看你有什么发现？先独自思考，然后在小组内交流你的思考方法。 师巡视指导。 师：时间到！哪个小组来分享你们的发现？ 根据学生的回答，课件出示： 师接着提问：第10个图案需要多少个三角形？说一说你是怎么思考的。 师：大家发现了，图案序号和三角形个数之间，藏着固定的倍数关系，老师为你们点赞。那如果我们一直摆下去，第100个呢？第1000个呢？我们总不能一直写算式，有没有更简洁的办法？大家想一想，如果用字母n表示图案的序号，第n个图案需要多少个三角形？ 师：太棒了！我们用字母n代表图案序号，三角形个数就可以写成3n。一个式子，就概括了所有情况，不管是第5个、第10个、第100个，代入就能算出三角形数量。 课件出示：三角形个数=3n 师：我们通过列表整理数据，找到了通用规律，用字母3n表示三角形个数。字母可以帮我们概括无限多的图形规律。 学生：要是一直摆下去太麻烦。 学生摇头。 学生独自观察，然后分小组交流。 小组代表上台展示：我发现第2个图案需要6个三角形，正好3×2；第3个图案需要9个三角形，正好3×3；第4个图案需要2个三角形，正好3×4。 学生：第10个图案就是3×10=30个三角形。图案是第几个，就用3乘几。 学生：3×n，可以简写写成3n。 从有限的第4个、第10个图案出发，制造认知矛盾：如果求第100、1000个图案，无法一直列举计算。借助表格整理数据，引导学生自主寻找序号与三角形个数之间的倍数关系，由具体数字过渡到用字母n表示图案序号，抽象出通用表达式3n。让学生体会字母的概括性，明白一个含字母式子就能表示无穷多组情况，完成从具象图形、具体数字到代数模型的建构，发展符号意识。
四、变式 师生互动，变式深化 探究3：多角度理解式子 师：同学们，我们得到式子三角形个数=3n。淘气和笑笑，从两个不一样的角度看懂了3n。我们一起来看一看。 课件出示：淘气和笑笑用含有字母的式子表示了所摆图案与三角形个数之间的关系，你能看懂吗？画一画，圈一圈，小组内交流。 师：请大家认真看图，自己圈一圈、画一画，然后小组讨论，说一说淘气是怎么理解的，笑笑又是怎么理解的。小组讨论3分钟。 师巡视指导，并参与到小组交流中。 师：时间到！谁来说一说淘气的想法？ 师：理解得非常到位！他是一圈一圈地数，每一圈都有3个三角形，n圈就有n个 3。那笑笑的想法呢？谁来说？ 师：哇，大家读懂了两种思路！老师有个疑问：明明两个人观察的角度完全不一样，为什么最后写出的式子都是3n呢？小组快速讨论1分钟。 师：说得太棒了！同一个式子3n，可以从不同角度解释图形规律。字母式子，既能表示数量，也能概括图形里藏着的规律。这就是字母表示规律的奇妙之处，一个式子背后藏着不同的思考方法。 学生观察图，动手圈画，小组交流。 学生：淘气是一圈一圈看的。1 圈是1个3，2圈就是2个3，第n圈就是n个3，所以总数就是3×n=3n。 学生：笑笑是分三个方向看，这个Y形图案有3个分支方向。每一个方向上有n个三角形，3个方向，就是3个n，也就3n。 学生分组讨论后汇报：因为两种方法算出来的总数是一样的，只是观察角度不同，最后得到的数量关系相同。 本环节设置思辨问题，引导学生读懂不同观察角度下对3n的理解。学生通过圈画图形、小组交流，发现虽然淘气、笑笑观察图形的思路不同，但最终得到同一个字母式子。让学生体会：字母式子不只是计算结果，还可以承载不同的思考逻辑；同一个代数式，可以对应多种图形解读方式。深化对字母表示规律的理解，培养多角度分析问题的思维，感受代数表达的丰富性。
五、尝试 尝试练习，巩固提高 1.填一填。 摆1个正方形需要4根小棒，摆2个正方形需要（ ）根小棒，摆3个正方形需要（ ）根小棒，摆n个正方形需要（ ）根小棒。 2.摆图形。 （1）淘气用小正方形摆大门。 摆1个大门需要_______个小正方形； 摆2个大门需要_______个小正方形； 摆n个大门需要_______个小正方形。 （2）笑笑用小正方形摆长方形。 3.你知道蜜蜂采的是几号花吗？填一填。 4.利用小正方形按照一定的规律摆图形，并用字母表示所需的小正方形个数。 学生独自完成，然后集体订正。 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。
六、提升 适时小结，兴趣延伸 师：回顾这节课你学到了什么？ 师：同学们，今天我们学习了用字母表示规律。我们先观察图案，列出数据，找到数量变化的规律，最后用含有字母的式子3n概括规律。同一个式子，还可以从不同角度观察图形来解释它的含义。字母n代表变化的序号，含有字母的式子可以一次性表示所有情况，这就是代数的魅力。 学生1：我学会观察图形，找图案的规律。 学生2：我还知道同一个字母式子，可以有两种不同的理解方法。 引导学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获，让学生全面把握本节课的重点和难点，并启发学生用类比或迁移的方法学习后续课程。
板书设计 用字母表示规律 第1个：3=3×1 第2个：6=3×2 第3个：9=3×3 …… 第n个：3n 三角形个数=3n 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 （课外练习） 基础达标： 1.填一填。 （1）按规律填数：6，12，18，24…… 第m个数是（ ）；第15个数是（ ）。 （2）摆五角星，第1组有5颗五角星，第2组有10颗，第k组有（ ）颗五角星。 （3）一组图形，第n个图形有4n个小圆片，当n=9，小圆片数量是（ ）。 2.判断。 （1）摆三角形图案，第n个图案三角形个数是3n，n代表图案序号。（ ） （2）式子3n表示3加n。 （ ） （3）如果第n个图形小棒数量是5n，当n=6，一共有30根小棒。（） 能力提升： 1.按规律摆圆片：第1组6个圆片，第2组12个圆片，第3组18个圆片。 （1）用字母表示第n组圆片的数量。 （2）第11组有多少个圆片？ 2.有一串珠子，第1串有7颗珠子，第2串14颗，第3串21颗。 （1）写出第n串珠子数量的字母式子。 （2）当n=14，一共有多少颗珠子？ 拓展迁移：自己设计一组有规律的图形，像课本一样，写出第n个图形需要多少个小图形，写出含有字母的式子。 参考答案： 基础达标： 1.（1）6m，90；（2）5k；（3）36。 2.（1）√；（2）×；（3）√。 能力提升： 1.（1）6n；（2）6×11=66（个）。 2.（1）7n；（2）7×14=98（颗）。
教学反思 本节课依托摆三角形Y型图案，遵循“观察图形——收集数据——寻找规律——字母建模——多元解读的探究路径开展教学，课堂以学生观察、动手操作、小组讨论为主，充分发挥学生主体地位。学生能够自主数出图形中的三角形数量，发现依次增加3个的变化规律，大部分学生可以理解3n的含义，体会字母能够概括无限的图形规律，较好落实符号意识的培养目标。 课堂存在以下不足： 1.部分学生只会被动找数字规律，缺少图形视角的理解。在探究1时，少数学生只盯着数字看，不会结合图形解释为什么每次增加3个，停留在单纯看数据的层面。 2.字母含义理解存在局限。部分学生知道3n代表三角形个数，但说不清n表示什么，遇到变式，容易混淆图案序号和三角形数量，不能灵活代入求值。 3.小组讨论不均衡。探究3多角度解读式子时，思维灵活的学生能快速读懂两种思路，学困生只能跟随他人结论，独立看图、圈图说理的能力较弱，很难自主说出两种不同观察角度。 4.缺少对比练习。本节课重点在建构模型，缺少同类图形规律变式练习，学生容易形成思维定式，误以为所有图形规律都是简单倍数关系。 改进措施：后续增加同类图形规律练习，区分倍数型规律和加减型规律；在探究时要求学生边找规律边结合图形说理，不能只看数字；设计分层任务，对学困生引导先圈图再表达；增加辨析题，让学生说一说字母n的取值范围，明白这里n只能是正整数；增加课堂展示，鼓励学生用自己的语言解释字母式子的图形意义。
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《用字母表示（一）》单元整体设计
一、单元主题解读
（一）课程标准要求分析
《用字母表示（一）》单元是数与代数领域第三学段“数量关系”中的重要内容。《课程标准》 在“内容要求”中提出：“根据具体情境理解等式的基本性质。在具体情境中，探索用字母表示事物的关系、性质和规律的方法，感悟用字母表示的一般性。能运用常见的数量关系解决实际问题，能合理解释结果的实际意义，逐步形成模型意识和几何直观，提高解决问题的能力。”。在“内容要求”中提出：“能在具体问题中感受等式的基本性质。能在具体情境中，用字母或含有字母的式子表示数量之间的关系、性质和规律，感悟用字母表示具有一般性。能解决较复杂的真实问题，形成几何直观和初步的应用意识，提高解决问题的能力。”
（二）单元教材内容分析
1.本单元是北师大版五年级上册第四单元《用字母表示（一）》，属于代数初步知识，是学生正式接触代数的起始单元。
单元内容包含5个模块：
1.青蛙歌——用字母表示数：借助青蛙儿歌情境，体会字母可以代表变化的数，学习含有字母的乘法式子简写规则；结合年龄问题，理解字母式子可以表示一个数量。
2.回声测距离 ——用字母表示数量关系：结合回声测距现实情境，用字母表达路程、速度、时间的数量关系式。
3.用字母表示数量关系：依托高铁行程，抽象出s=vt，用字母表示运算律、图形周长面积公式，认识a2，初步感知乘法分配律。
4.用字母表示规律：摆三角形图案，探究图形规律，用字母式子表达变化规律。
5.等式中的规律：借助天平直观模型，探究等式的基本性质，理解等式两边加减、乘除（不为0）同一个数，等式仍然成立。
单元教材从具体儿歌、生活实例、图形操作、天平实验层层递进，从“字母表示一个数”过渡到“字母表示数量关系、变化规律”，最后研究等式的性质，为后面学习方程、解方程做好铺垫。
（三）学生认知情况
1.已有基础：学生在之前学习中，接触过用图形、符号代表未知数，熟悉运算律、周长面积公式，会解决路程、倍数等算术应用题，习惯算术思维，擅长用固定数字计算。
2.认知难点：算术思维固化，很难理解字母可以代表变化的数；容易混淆“字母代表一个固定数”和“字母代表任意数”；对4×a简写、a 理解困难；难以读懂含有字母式子表达的数量关系；很难从具体实例抽象出通用规律。
3.认知特点：五年级学生以具象思维为主，需要大量现实情境、动手操作、直观模型（天平、画图）支撑抽象概念，喜欢儿歌、摆图案等探究活动，但抽象概括能力较弱。
4.易错预判：认为a只青蛙一定a条腿；混淆2a和a ；忽略等式性质中“除数不能为0”；找规律时只能列举具体数字，不会提炼字母表达式。
二、单元目标拟定
1.知识与技能目标
（1）在具体情境中，理解用字母表示数的意义，会用字母表示数、数量关系、计算公式、运算律；掌握含有字母乘法式子简写规则，能区分2a与a 。
（2）结合天平直观操作，理解等式的基本性质，能利用等式性质进行简单等式变换。
（3）能发现简单图形、数列中的变化规律，能用含有字母的式子表示规律。
2.过程与方法
（1）经历“具体实例→列举数字→观察对比→抽象概括→字母表达”的完整过程，体会符号化、模型化思想。
（2）通过儿歌、摆图形、天平实验、回声测距等活动，学会用字母表达现实情境中的数量关系，发展抽象概括能力。
3.情感态度
（1）感受用字母表示数的简洁性、一般性，体会代数表达的优势。
（2）在小组合作探究规律的过程中，乐于表达自己想法，体会数学与生活的紧密联系。
三、关键内容确定
（一）教学重点
1.理解用字母表示数的意义，能用字母表示数量、数量关系、计算公式。
2.掌握等式的基本性质。
3.能从情境中发现规律，用含有字母的式子表示规律。
（二）教学难点
1.理解字母可以表示变化的数，理解含有字母的式子既可以表示一个数，也可以表示数量之间的关系。
2.区分a 和2a，理解平方的含义。
3.从大量具体例子中抽象出通用的字母表达式，完成从算术思维向代数思维的过渡。
四、单元整合框架及说明
整合指导思想定位：
会用数学的眼光观察现实世界
会用数学的思维思考现实世界
会用数学的语言表达现实世界
这是数学课程的核心素养内涵。本单元着力培养学生以下核心素养：
1.符号意识（本单元核心）：经历用字母替代具体数字的抽象过程，理解字母可以代表任意、变化的数，能用符号表示数量、关系、规律，感受符号简洁、通用的数学表达，建立代数符号思维。
2.推理意识：通过列举多组实例，归纳数量规律、等式的性质，从特殊例子推理得到一般性结论；在辨析不同字母表达式对错时，开展演绎说理，发展合情推理能力。
3.模型意识：从青蛙儿歌、路程问题、图形规律中抽象出代数模型（4a、s=vt、3n等），理解数学模型可以表达一类问题，会用代数模型解决简单现实问题。
4.数感：体会字母式子的取值含义，理解字母取值变化，对应结果随之变化，感知变量之间的依存关系，初步感悟变量思想。
5.应用意识：能用字母表示生活中的数量关系，利用等式性质分析现实情境中的等量问题，体会代数在生活中的用途。
本单元教材的具体编排结构如下：
本单元教科书编写的基本特点主要体现在以下几个方面：
1.情境驱动，素材生活化
以青蛙儿歌、年龄问题、回声测距、高铁行程、摆三角形、天平称重等学生熟悉的现实素材引入，降低抽象知识的学习门槛，从生活中提炼数学问题。
2.层层递进，螺旋上升
编排顺序：字母表示数→字母表示数量关系→字母表示规律→等式的性质。由浅入深，从静态的数，到动态变化的数量关系，再到等式变换，逐步完成算术到代数的过渡。
3.直观建模，重视操作体验
大量使用天平、摆图形、画图等直观模型，借助可视化载体帮助学生理解抽象的代数知识，不直接灌输结论，让学生在操作、观察、对比中自主发现规律。
4.突出对比辨析，突破认知误区
教材设置辨析题（如a只青蛙a条腿、b条腿、4×a条腿对比），通过学生不同想法的辩论，暴露认知错误，理解字母表达数量关系的本质。
5.沟通新旧知识联系
把字母表示数和之前学过的运算律、周长面积公式、路程问题结合，实现旧知识代数化表达，构建完整知识体系，为后续方程学习做好铺垫。
五、单元课时规划
单元划分依据 □课程标准 教材章节 □知识结构
课程内容模块 数与代数 图形与几何 统计与概率 □综合与实践
单元数量 4
单元主题 单元名称 主要内容 课时
数与代数 用字母表示（一） 青蛙歌 1
回声测距离 1
用字母表示数量关系 1
用字母表示规律 1
等式中的规律 1
重点渗透的数学思想方法 抽象 符号化 分类 □集合 对应 演绎 归纳 类比 转化 数形结合 □极限 模型 □方程 □函数 □统计 分析 综合 比较 □假设 □其他
课时 学习目标 评价形式 评价标准
4.1《青蛙歌》 目标： 结合“青蛙歌”情境，会用字母表示数和数量关系。 探究1：用字母表示青蛙腿数 → 探究2：用字母表示儿歌 → 探究3：生活里字母表示数——年龄问题 → 1.能辨析3种不同表达，理解含有字母的式子可以表达数量关系。 2.能用字母表示儿歌。 3.能用含有字母的式子表示两个数量之间的关系，体会字母取值的现实限制。
4.2《回声测距离》 目标： 理解回声测距问题中“声音往返”的数量关系，能运用“路程=速度×时间”解决回声测距离的实际问题，并能用字母表示相关数量关系。 探究1：计算赵叔叔到山的距离 → 探究2：用字母表示距离 → 探究3：已知距离s，求回声总时间 → 1.能画图表示声音传播的过程，并列式算一算单程的路程。 2.能用字母表示出赵叔叔到对面的山的距离。 3.能用字母表示已知距离s，求回声的总时间。
4.3《用字母表示数量关系》 目标： 理解用字母表示数量、数量关系、运算律和几何公式的意义，能规范书写含字母的式子，掌握路程、总价、长方形面积等常见字母关系式。 探究1：路程的字母关系式 → 探究2：用字母表示运算律与图形公式 → 探究3：借助长方形面积理解乘法分配律 → 1.能用s，v，t表示数量之间的关系。 2.能用字母表示你学过的运算律和公式，并说说生活中能用x=ab解决的数学问题。 3.能用字母组合表示长方形的面积，并理解乘法分配律。
4.4《用字母表示规律》 目标： 能发现图形排列的数量规律，会用含有字母的式子表示图形数量关系，并能代入数值计算对应图形个数。 探究1：观察图案，寻找数据 → 探究2：用字母表示规律 → 探究3：多角度理解式子 → 1.能观察图形，找出图形排列的数量规律，并判断第4个图案需要的三角形数量。 2.能列表找出图案序号和三角形个数之间的规律，并尝试用字母表示规律。 3.能从两种不同观察视角解释3n的含义。
4.5《等式中的规律》 目标： 通过天平直观演示，理解等式的基本性质；能利用等式性质看图列等式、简单求解天平问题。 探究1：等式两边加、减同一个数的规律 → 探究2：等式两边乘、除以同一个数的规律 → 探究3：借助等式的规律解决问题 → 1.能借助天平图归纳出等式两边加、减同一个数的规律，并举例验证。 2.能借助天平图归纳出等式两边乘、除以同一个数的规律。 3.能利用等式的规律，在天平两边同时去掉相同质量，求出未知物体的质量。
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