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温州市初中数学课时教学备课（2025年版）
课题： 5.5.1一次函数的简单应用（1）
课型：新授课 设计时间： 2026 年 10 月 13 日
学习核心内容 本节课主要内容是一次函数在实际问题中的简单应用，包括通过实验数据判断两个变量是否近似满足一次函数关系，并求出函数表达式；利用一次函数图像解决实际问题中的最值问题、相遇问题等；以及通过建立函数模型解决生活中的优化问题，如运费最小化、温度单位换算等。
学习目标 评价设计（指向学习目标）
1.能通过实验数据判断两个变量是否近似满足一次函数关系，并求出函数表达式。 2.能利用一次函数图像解决最值问题、相遇问题等实际应用问题。 3.能建立一次函数模型，解决生活中的优化问题，如最小运费、最优选择等。 1.利用数据、画出图象取得函数表达式的基本方法和步骤。 2.会综合运用一次函数的表达式，函数图象以及结合方程(组)等其他数学模型，解决实际问题。
学习过程设计
环节一：引入新课 复习旧知，情境导入 想一想：一次函数具有什么性质？ 思考：怎样判断“两个变量满足一次函数关系？” 在日常生活和生产实践中有不少问题的数量关系可以用一次函数来刻画.在运用一次函数解决实际问题时，首先判定问题中的两个变量之间是不是一次函数关系.当确定是一次函数关系时，可求出函数表达式，并运用一次函数的图象和性质进一步求得我们所需要的结果. 设计意图：从学生的已有经验和生活实际出发，去构建知识。 二、新知讲解 弹簧秤上挂上物体后会伸长,测得一弹簧的长度y(cm) 与所挂物体的 质量x(kg)有如下关系: 【知识拓展】 判断函数类型的困难：学生可能难以从散点图中准确判断是否满足一次函数关系，需通过多组数据训练其观察与判断能力。 待定系数法的运用不熟练：部分学生在代入点求 时容易出错，需加强计算训练。 图像与代数方法结合不灵活：学生可能习惯于代数计算，忽视图像直观性，需通过典型例题引导其综合运用两种方法。 环节三：典例精析 例1：通过实验数据判断函数类型并建立模型 教师出示生物学家测量的7条成熟雄性鲸的吻尖到喷水孔的长度x（m）与全长y（m）的数据： x（m）1.781.912.062.322.592.822.95y（m）10.0010.2510.7211.5212.5013.1613.90
问题提出： "同学们，观察这组数据，你们认为x和y之间可能存在什么样的函数关系？" 学生活动： 学生以小组为单位，在坐标系中描出各点（1.78,10.00）、（1.91,10.25）、（2.06,10.72）、（2.32,11.52）、（2.59,12.50）、（2.82,13.16）、（2.95,13.90）。 追问1： "观察这些点的分布，它们呈现出什么特征？是否近似在一条直线上？" 预期回答： 学生通过观察发现这些点大致分布在一条直线附近，说明x和y之间可能近似满足一次函数关系。 追问2： "如果这是一次函数关系，我们应该如何求出这个函数表达式？" 预期回答： 学生回忆待定系数法，知道需要选择两个点来建立方程组。 深入探究： 教师引导学生思考："我们应该选择哪两个点来确定这条直线？为什么？" 学生讨论： 有些学生可能选择第一个点和最后一个点，有些可能选择中间的点。教师引导比较不同选择对结果的影响。 教师指导： "在实际应用中，我们通常选择分布较为均匀、能够代表整体趋势的点。比如点（1.91,10.25）和（2.59,12.50），它们的位置大致在数据范围的中间区域。" 计算过程： 设函数为 ，代入点（1.91,10.25）和（2.59,12.50）： 解得： 所以函数表达式为： 验证与反思： 教师引导学生将其他点的x值代入函数表达式，计算理论值并与实际值比较： "当x=2.82时，y=3.31×2.82+3.93≈9.34+3.93=13.27，与实际值13.16相差0.11" "这说明用一次函数来刻画这两个量之间的关系是近似的，在实际应用中这种近似是允许的。" 环节四：课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.若一炷香的可燃烧部分长35 cm，点燃后每小时燃烧7 cm，则剩下的可燃烧部分的长度y(cm)与燃烧时间x(h)之间的函数关系可用图象表示为(　　) A. B. C. D. 选做题： 2.在弹性限度内，弹簧的长度y(cm)(12.5≤y≤25)是所挂物体质量x(kg)的一次函数。一根弹簧不挂物体时长12.5 cm，当所挂物体的质量为2 kg时，弹簧长为13.5 cm，当所挂物体的质量为5 kg时，弹簧的长度为　　cm。 【综合拓展类作业】 3.“曹冲称象”的故事在我国家喻户晓，讲述了年幼的曹冲借助一艘船称出大象体重的故事。小方在佩服曹冲聪明机智的同时，想探究一下，船的入水深度y和船上物品的重量x是否存在函数关系，于是他制作了一艘小型模型船，进行了数据测量，部分数据如表：
船上物品的 重量x/克010203040506070…船的入水深 度y/毫米23.13.95.16789…
(1)能否用一次函数近似刻画两个变量x和y的关系？如果能，求出这个一次函数的表达式。 (2)当船上物品重量为100克时，求出模型船的入水深度。 (3)如果模型船的入水深度为15毫米，求模型船上物品的重量。 环节五：课堂总结 知识点方法说明判断一次函数关系描点观察是否近似直线求函数表达式待定系数法利用图像求交点解方程组或观察图像交点求最值分析函数增减性或图像趋势建立实际问题的函数模型确定变量、约束条件、目标函数
作业内容： 【知识技能类作业】 必做题： 1.星期天，小明上午8：00从家里出发，骑车到图书馆去借书，再骑车回到家，他离家的距离y(km)与时间t(min)之间的关系如图所示，则上午8：45小明离家的距离为　　km。 选做题： 2.某汽车在行驶过程中，油箱中的剩余油量y(L)与行驶路程x(km)之间是一次函数关系，其部分图象如图所示。已知当油箱中的剩余油量为8 L时，该汽车会开始提示加油。若一次加满油行驶了500 km时，司机发现离前方最近的加油站还有30 km，则在驶往该加油站的途中，汽车开始提示加油时，离加油站的路程是　　km。
【综合拓展类作业】 3.斜挎包的结构如图1所示，包的挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成，通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度(单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计)加长或缩短。单层部分的长度x(cm)与双层部分的长度y(cm)满足函数关系，经测量，得到如下数据： 单层部分的长度x/cm…5060708090100…双层部分的长度y/cm…403530252015…
(1)请在图2的平面直角坐标系中，描出各点，画出函数图象。 (2)求出y关于x的函数表达式。 (3)根据小林的身高和习惯，当挎带的长度为96 cm时，背起来正合适，求此时双层部分的长度。
4.[应用意识]根据以下素材，探索完成任务。 背景 我国是水资源最为紧缺的国家之一，然而在日常生活中，水龙头漏水造成的水资源浪费现象仍较为突出。某校园内有一个漏水的水龙头，数学活动小组要探究其漏水造成的浪费情况。同学们用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面接水，探究量筒中的总水量y(毫升)是否为时间t(分钟)的函数？素材每隔1分钟记录一次量筒中的总水量，但因操作延误，开始计时时量筒中已有少量水，因而得到如表的一组数据： 时间t/分钟12345…总水量y/毫升1015202530…
问题探究和问题解决任务1(1)请在如图所示的平面直角坐标系内描出表格中每对数据所对应的点。任务2(2)请根据表格中的数据和所描的点，判断y=kt(k≠0)和y=kt＋b(k，b为常数，k≠0)哪一个能正确反映总水量y与时间t的函数关系？并求出这个关系式。任务3(3)①同学们继续观察，当量筒中的水刚好有65毫升时，所需时间是多少分钟？ ②照这个漏水速度，请预测此水龙头1小时会浪费多少毫升水？ ③请你根据以上的探索和结论，提一条关于水龙头节水管理方面的建议。
参考答案： 课堂练习： 1.C 2.15 3.解：(1)观察表格数据可知，能用一次函数近似刻画两个变量x和y的关系， 设y=kx＋b， 将点(0，2)，(40，6)代入得 解得 ∴y=0.1x＋2。 将其他几组数据代入近似满足表达式， ∴这个一次函数的表达式为y=0.1x＋2。 (2)∵y=0.1x＋2，令x=100，y=10＋2=12， ∴当船上物品重量为100克时，模型船的入水深度是12毫米。 (3)∵y=0.1x＋2，令y=15，15=0.1x＋2， 解得x=130， ∴如果模型船的入水深度为15毫米，模型船上物品的重量为130克。 作业内容： 1.5 2.10 3.解：(1)描点及其图象如答图。 第5题答图 (2)由答图可知，y是x的一次函数。 设y关于x的函数表达式为y=kx＋b(k，b为常数，且k≠0)， 将x=50，y=40和x=70，y=30分别代入y=kx＋b， 得 解得 ∴y关于x的函数表达式为y=－x＋65。 (3)根据题意，得x＋y=96，即x－x＋65=96， 解得x=62。 当x=62时，y=－×62＋65=34。 答：此时双层部分的长度是34 cm。 4.解：(1)描出表格每对数据所对应的点如答图。 (2)由所描点在同一条直线可知，y=kt＋b能正确反映总水量y与时间t的函数关系， 把点(1，10)，(2，15)代入，得 解得 ∴y=5t＋5。 (3)①∵y=5t＋5，令y=65，得65=5t＋5， 解得t=12， ∴当量筒中的水刚好有65毫升时，所需时间是12分钟。 ②∵y=5t＋5，令t=60，y=5×60＋5=305。 ∵305－5=300(毫升)， ∴此水龙头1小时(60分钟)会浪费300毫升水。 ③建议水龙头要定期检查，对漏水的水龙头要及时更换(答案不唯一，合理即可)。
作业类别 选用 改编 自编 书面练习类 口头训练类 活动实践类
板书设计：课题 概念 例题 应用
教学反思：通过完整的探究过程，培养学生从数据中提取信息、建立数学模型的能力。强调"近似"概念，让学生理解数学模型与现实世界的关系。对应目标1：能通过实验数据判断两个变量是否近似满足一次函数关系，并求出函数表达式。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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