资源简介

(共30张PPT)
人教版·七年级上册
生活中的阶梯计价问题
——用数学的眼光看消费
授课教师：
情境导入
你家一个月的水费是多少？
你知道水费是怎么计价的吗？
生活中的分段计费问题
活动1 生活中的阶梯计价问题
居民生活用水通常按户计费. 下表是某城市居民生活用水的收费标准（户内人口不超过 4 人），称这样的收费方式为阶梯计价.
收费方式 年用水量/m3 费用/(元/m3)
第一阶梯 0~180 4.5
第二阶梯 181~240 6
第三阶梯 240以上 8
考虑如下问题：
（1）若小明家去年用水量为150m3,水费是多少？
收费方式 年用水量/m3 费用/(元/m3)
第一阶梯 0~180 4.5
第二阶梯 181~240 6
第三阶梯 240以上 8
4.5×150=675元
150m3在第一个阶梯
考虑如下问题：
（2）若小明家去年用水量为200m3,水费是多少？
收费方式 年用水量/m3 费用/(元/m3)
第一阶梯 0~180 4.5
第二阶梯 181~240 6
第三阶梯 240以上 8
第一阶梯：4.5×180=810元
第二阶梯：6×（200-180）=120元
总水费：810+120=930元
已知用水量
方法小结：
1.判断用量在哪个阶梯
2.分段计算，累积求和
200m3在第二个阶梯
考虑如下问题：
（3）设某户居民的年用水量为 t m3（t 是正整数）.请你思考一下，当 t 在不同范围内取值时，如何计费.
收费方式 年用水量/m3 费用/(元/m3)
第一阶梯 0~180 4.5
第二阶梯 181~240 6
第三阶梯 240以上 8
当 0≤t ≤ 180 时，应缴水费: 4.5t 元；
当 180 ＜ t ≤ 240 时，应缴水费：
180×4.5 + (t -180)×6 = 6t - 270 元；
当 t > 240 时，应缴水费:
180×4.5 + (240-180)×6 + (t -240)×8 = 8t - 750 元.
收费方式 年用水量/m3 费用/(元/m3)
第一阶梯 0~180 4.5
第二阶梯 181~240 6
第三阶梯 240以上 8
年用水量/m3 费用/(元/m3)
0≤t ≤ 180 4.5t
180 ＜ t ≤ 240 6t - 270
t > 240 8t - 750
整理，列表：
收费方式 年用水量/m3 费用/(元/m3)
第一阶梯 0~180 4.5
第二阶梯 181~240 6
第三阶梯 240以上 8
（4）已知某户居民一年的水费为 930 元，这户居民的年用水量是多少立方米？
收费方式 年用水量/m3 费用/(元/m3)
第一阶梯 0~180 4.5
第二阶梯 181~240 6
第三阶梯 240以上 8
方法：求每个阶梯的最大费用
分析：这个水费是用哪个阶梯的水价算出来的呢？
（4）已知某户居民一年的水费为 930 元，这户居民的年用水量是多少立方米？
收费方式 年用水量/m3 费用/(元/m3)
第一阶梯 0~180 4.5
第二阶梯 181~240 6
第三阶梯 240以上 8
6t – 270 = 930
t = 200
4.5×180=810＜930＜810+(240-180)×6=1170
年用水量在181~240之间
已知水费
方法小结：
1.判断水费在哪个阶梯
2.选择对应的公式计算
（求每个阶梯的最大水费）
总结
阶梯计价问题有几种类型？
类型一：已知用水量
类型二：已知水费
类型三：未知用水量、水费
（直接判断）
（间接判断）
（分类讨论）
解决阶梯计价问题，一定要做的事情是什么？
阶梯计价的核心：
分段计算，累加求和.
1.判断。（判断在哪个阶梯）
2.列方程求解
步骤：
总结
（5）请你根据南宁市生活用水收费标准，并根据自己家缴的水费金额，推算出自己家的年用水量.
南宁市居民生活用水收费标准（每户≤5人）
收费方式 年用水量/m3 费用/(元/m3)
第一阶梯 0~180 2.7
第二阶梯 180~300 3.6
第三阶梯 300以上 6.7
推算：判断阶梯区间：
第一阶梯最大费用：180×2.7=486 元
第二阶梯最大费用：486+（300-180）×3.6=918 元
（5）请你根据南宁市生活用水收费标准，并根据自己家缴的水费金额，推算出自己家的年用水量.
列方程求解：
解：设年用水量为x m3.
180×2.7+（x-180）×3.6=水费
（6）根据南宁市的居民生活用水标准，你能提出哪些数学问题并加以解决.
示例：
1.小陈家今年用水量为220m ，应缴多少元水费？（已知水量，求水费）
2.某家庭年缴水费1000元，且用水量处于第二阶梯范围内（180~300m ）求该家庭的用水量.（已知水费，反推用水量）
......
（7）根据你的课前调查，（电费、停车场收费、出租车收费等），按相应的收费标准，自己提出可以利用一元一次方程解决的问题，并正确地表述问题及其解决过程.
示例：停车场阶梯收费问题.
问题表述：某商场停车场收费标准为：前一个小时收5元，超过一个小时后，每半小时收费2元（不足半小时按半小时算）.小李停车缴费17元，求他的停车时长.
例：某商场停车场收费标准为：前一个小时收5元，超过一个小时后，每半小时收费2元（不足半小时按半小时算）.小李停车缴费17元，求他的停车时长.
解决过程：
1.判断收费区间
因为17>5，所以停车时长超过1小时
2.列方程求解
分析：设停车时长为x小时，超过1小时的部分，按“每半小时2元”计费，即每小时4元.
例：某商场停车场收费标准为：前一个小时收5元，超过一个小时后，每半小时收费2元（不足半小时按半小时算）.小李停车缴费17元，求他的停车时长.
解：设停车时长为x小时.
超过1小时的部分，按“每半小时2元”计费，即每小时4元
5+4（x-1）=17
解得：x=4
答：他的停车时长为4小时
巩固练习
1.某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法收取电费：居民每月用电不超过100度时，按每度0.6元计费，每月用电量超过100度时，其中的100度按原标准收费，超过部分按每度1.5元计费.若12月份张老师家用电量为a度（a>100），缴纳电费135元，则可列方程为（ ）
A. 0.6×100+1.5(a-100)=135
B. 0.6×100+1.5a=135
C. 0.6a=135
D 1.1a=135
A
巩固练习
2.为鼓励居民节约用电，某市试行阶梯电价收费制度，具体执行方案如下:
档次 每户每月用电量/(kW·h) 执行电价/[元/(kW·h)]
第一档 200 及以下 0.5
第二档 超过 200 但不超过 450 的部分 0.7
第三档 超过 450 的部分 1
（1）某户居民在一个月内用电 a kW·h，则该户居民这个月应缴电费多少元？
解：①当 a ≤ 200 时，应缴电费 0.5a 元；
②当 200 < a ≤ 450 时，应缴电费 200×0.5 + (a -200)
×0.7 ＝ (0.7a - 40) 元；
③当 a > 450 时，应缴电费200×0.5 + (450 - 200)×0.7
+ (a - 450)×1 ＝ (a - 175)元.
档次 每户每月用电量/(kW·h) 执行电价/[元/(kW·h)]
第一档 200 及以下 0.5
第二档 超过 200 但不超过 450 的部分 0.7
第三档 超过 450 的部分 1
（2）某户居民六月份用电 300 kW·h，则该户居民六月份应缴电费多少元？
档次 每户每月用电量/(kW·h) 执行电价/[元/(kW·h)]
第一档 200 及以下 0.5
第二档 超过 200 但不超过 450 的部分 0.7
第三档 超过 450 的部分 1
由（1）知应缴电费 0.7×300 – 40 ＝ 170（元）.
（3）某户居民八月份缴电费 300 元，则该户居民八月份用电多少千瓦时？
档次 每户每月用电量/(kW·h) 执行电价/[元/(kW·h)]
第一档 200 及以下 0.5
第二档 超过 200 但不超过 450 的部分 0.7
第三档 超过 450 的部分 1
第一裆最大电费为0.5×200＝100（元），
第二档最大电费为0.7×450－40＝275（元）
因为 275 < 300，
所以该户居民八月份用电超过 450 kW·h.
3.某市居民用气阶梯气价标准如下：
阶梯 年度用气量（单位：立方米） 价格（单位：元/立方米）
第一阶梯 大于0小于等于500的部分 a
第二阶梯 大于500小于等于660的部分 （a+0.2）
第三阶梯 660以上的部分 （a+0.4）
（1）小依家年度用气600立方米，应缴纳气费　 　 元（用含a的式子表示）；已知该年度缴纳气费1340元，则
a＝　 　 ．
拓展提升
解：（1）当小依家年度用气600立方米时，应缴纳气费500a+（600﹣500）（a+0.2）＝（600a+20）元，
根据题意得：600a+20＝1340，
解得：a＝2.2．
故答案为：（600a+20），2.2；
（2）在（1）的结论下，该市某天然气公司推出了“居民家庭采暖用气”政策，居民用户在申请执行该政策后，全年用气量划分为两个阶段．每年1月、2月以及12月共三个月为采暖期，无论用气量为多少，均按第一阶梯气价计费，其余的9个月为非采暖期，用气总量按普通阶梯气价计费．小钟家成功申请了“居民家庭采暖用气”，今年的年用气总量为1200立方米，共缴纳气费2660元．已知非采暖期用气量不低于500立方米，求小钟家今年采暖期用气费用．
阶梯 年度用气量（单位：立方米） 价格（单位：元/立方米）
第一阶梯 大于0小于等于500的部分 a
第二阶梯 大于500小于等于660的部分 （a+0.2）
第三阶梯 660以上的部分 （a+0.4）
（2）设小钟家今年非采暖期用气量为x立方米，则小钟家今年采暖期用气量为（1200﹣x）立方米，
当500＜x≤660时，2.2×500+（2.2+0.2）（x﹣500）+2.2（1200﹣x）＝2660，
解得：x＝600，
∴2.2（1200﹣x）＝2.2×（1200﹣600）＝1320（元）；
当x＞660时，2.2×500+（2.2+0.2）×（660﹣500）+（2.2+0.4）（x﹣660）+2.2（1200﹣x）＝2660，
解得：x＝630（不符合题意，舍去）．
答：小钟家今年采暖期用气费用为1320元．
课堂小结
已知用水量
方法小结：
1.判断用量在哪个阶梯
2.分段计算，累积求和
已知水费
方法小结：
1.判断水费在哪个阶梯
（求每个阶梯的最大水费）
2.选择对应的公式计算
通过今天的学习，我们可以看到用水量越多，单价越高。这不仅是数字的变化，更体现了“公平负担，节约优先”的社会理念。
数学公式的背后是国家推动绿色发展，建设节水型社会的政策导向。
作为新时代的少年，不仅要解得了方程，更要懂得自己的社会责任。
希望同学们不仅掌握分段计费的方法，更能将这种“分段思维”延伸到自己的人生规划中——制定清晰的目标，阶梯前行。附件1
教学设计
课题名称 生活中的阶梯计价问题
执教者 工作单位
学段 □小学 初中 任教学科 数学
解读理念 本课以“立德树人”为根本任务，秉持“数学源于生活、服务生活、引领价值”的教学理念，将数学知识与思政教育有机融合，具体体现在以下三个方面： 数学建模与生活实际相结合 从学生熟悉的家庭水费、电费等生活情境出发，引导学生在真实问题中抽象出“阶梯计价”的数学模型，经历“问题情境—建立模型—求解验证—应用拓展”的完整过程，培养学生的数学建模素养。 2. 数学思维与社会责任相结合 通过阶梯计价“用水越多、单价越高”的规则设计，引导学生理解其背后的社会理念——“公平负担、节约优先”。在数学计算中渗透资源节约、绿色发展的国家政策导向，实现知识传授与价值引领的同频共振。 3. 解题能力与人生规划相结合 将“分段思维”从数学问题延伸到人生规划，引导学生树立“阶梯前行、目标清晰”的成长意识，体现数学教育的育人功能。
解读学生 1. 认知基础 七年级学生已具备一定的代数运算能力，能列方程解决简单实际问题。对“分段”有一定直观认识（如出租车计价、购物满减等），但缺乏系统建模经验。 2. 生活经验 学生对家庭水费、电费等生活消费有感性认识，但多数不清楚具体的计价规则。课前通过调查活动，学生已初步接触生活中的阶梯计价实例，具备一定的探究兴趣。 3. 学习困难 容易犯“直接用水量×单价”的错误，缺乏分段计算的意识。在“已知水费反推用水量”时，难以判断水费所属的阶梯。对数学问题背后的社会意义关注较少，需要教师引导提升。 4. 情感特点 七年级学生思维活跃，乐于探究生活中的数学问题，喜欢合作交流。正处于价值观形成的关键期，适合在数学课堂中融入社会责任教育。
解读教材 1. 教材地位 本课内容属于“数与代数”领域中“方程与实际问题”的应用拓展，是七年级一元一次方程知识的综合运用，也是后续学习分段函数、不等式等内容的重要铺垫。 2. 教学内容 核心知识：阶梯计价问题的两种基本类型（已知量求费、已知费求量） 核心方法：分段计算、列方程求解、分类讨论 核心思想：建模思想、函数思想、分类讨论思想 3. 教学价值 知识价值：巩固一元一次方程的应用，拓展到分段情境 思维价值：培养逻辑推理、逆向思维、分类讨论能力 育人价值：渗透节约资源、公平负担的社会理念，落实思政教育 4. 教材处理 根据学情和思政课比赛要求，我对教材做如下处理： 以“水费”为主线，整合电费、燃气费等生活实例 增加“各阶梯最大费用”的比较方法，突破难点 增设“推算自家水费”的实践活动，增强应用意识 强化思政元素，将数学公式与国家政策、社会责任关联
解读方法 本节课采用了情境，问题驱动，思政融合相结合的教学方法。 情境教学法，从家庭水费调查切入，创设真实问题情境，激发兴趣，体现数学与生活的联系。 问题驱动法，通过层层递进的问题链引导学生思考 ，培养学生探究能力和逻辑思维。 思政融合法，在计算中渗透节约资源、公平负担理念 ，实现知识传授与价值引领的统一。
教学过程 导语：用数学的眼光看消费，用数据的逻辑懂生活。同学们今天我们来学习：生活中的阶梯计价问题。 (一)情境导入 提问：你知道你们家每月用水多少，缴多少水费吗？ 你知道水费是怎么计价的吗？ 生活中有很多收费都是阶梯式计费的，我们来看看都有哪些。课前让同学们进行了有关阶梯计价的调查，老师挑取了几位同学的调查结果，我们一起来看看。 展示学生课前调查结果（水、电、气、停车、出租车等阶梯计价实例） 设计意图：从学生熟悉的生活情境出发，激发兴趣，引出课题，体现“用数学的眼光看消费”。 （二）探究新知 居民生活用水通常按户计费. 下表是某城市居民生活用水的收费标准（户内人口不超过 4 人），称这样的收费方式为阶梯计价. 思考以下问题： 若小明家去年用水量为150m3,水费是多少？ 解：4.5×150=675元 若小明家去年用水量为200m3,水费是多少？ 提问：是直接用200×6吗？
教学过程 （200只是达到了第二阶梯，并不是全部属于第二阶梯，其中有180是属于第一阶梯的。 所以我们要分段计算。） 解： 第一阶梯：4.5×180=810元 第二阶梯：6×（200-180）=120元 总水费：810+120=930元 提问：这两个小问有什么共同特点？ （都是已知用水量，求水费） 提问：解决这类问题的步骤是什么呢？ （先判断在那个阶梯，然后分段计算，累加求和） 适时归纳： 类型一：已知用水量 方法小结： 1.判断用量在哪个阶梯 2.分段计算，累积求和 设计意图： 通过第（1）（2）问让学生感受两者在水费的计算上的不同。通过具体数据，帮助学生理解“分段计算”的思想，避免直接用水量×单价的错误。 （3）设某户居民的年用水量为 x m3（x 是正整数）.请你思考一下，当 x在不同范围内取值时，如何计费. 解： 当 0≤ x ≤ 180 时，应缴水费: 4.5x 元； 当 180 ＜x≤ 240 时，应缴水费：180×4.5 + (x -180)×6 = 6x - 270 元； 当 x> 240 时，应缴水费: 180×4.5 + (240-180)×6 + (x -240)×8 = 8x - 750 元. 设计意图： 让学生感受分类思想，同时培养学生将实际问题转化为数学模型，培养学生的代数表达能力。 已知某户居民一年的水费为 930 元，这户居民的年用水量是多少立方米？ 提问：这个水费是用哪个阶梯的水价算出来的呢？ （要想知道这个水费对应的阶梯，我们可以算一下每个阶梯的最大费用） 解：第一阶梯最大费用：180×4.5=810元 第二个阶梯最大费用：810+（240-180）×6=1170元 ∵810<930<1170 ∴年用水量在181~240之间 解：设年用水量为x m3. 180×4.5+（x-180）×6=930 x=200 提问：这个小问跟前面的小问有什么不同？ （已知水费倒求用水量） 适时归纳： 类型二：已知水费 方法小结： 1.判断水费在哪个阶梯 （求每个阶梯的最大水费） 按照对应的阶梯列出方程 设计意图： 引导学生逆向思考，掌握通过比较最大费用判断阶梯的方法，提升逻辑推理能力。 提问：无论是第一种类型还是第二种类型，都需要先做什么？（判断） 提问：如果既不知道用水量也不知道水费该怎么办？（分类讨论） 总结： 阶梯计价问题的类型： 类型一：已知用水量（直接判断） 类型二：已知水费（间接判断） 类型三：未知用水量、水费（分类讨论） 提问：解决阶梯计价问题的关键是什么？解决问题的步骤呢？ 设计意图： 总结每一种类型的特点以及解决的方法，加深学生对题型特点的印象，加强学生解决每种类型题的能力。 （5）请你根据南宁市生活用水收费标准，并根据自己家缴的水费金额，推算出自己家的年用水量. 展示两位同学的计算过程并带领学生一起分析两位同学的计算过程。 设计意图： 展示两位学生的计算过程，表扬节俭用水的学生，融入节约用水的思想品德，强化思政元素，同时也是将知识应用于真实生活情境，提升学生的实践能力和学习成就感。 （三）小结提升 教师引导： 回顾三种类型： 1. 已知用水量 → 求水费 2. 已知水费 → 求用水量 3. 未知水费和水量 → 分类讨论 学生总结：解决阶梯计价问题的关键是：判断阶梯、分段计算、累加求和 设计意图： 帮助学生构建知识结构，形成解题模型，提升综合运用能力。 （四）情感升华 教师总结： 用水量越多，单价越高，体现“公平负担，节约优先” 数学公式背后是绿色发展的国家政策 鼓励学生将“分段思维”延伸到人生规划中：目标清晰，阶梯前行 设计意图： 将数学学习与价值观教育融合，提升学生的社会责任感和人生规划意识。 （五）板书设计 课题：生活中的阶梯计价问题——用数学的眼光看消费 类型一：已知用水量 方法小结： 1.判断用量在哪个阶梯 2.分段计算，累积求和 类型二：已知水费 方法小结： 1.判断水费在哪个阶梯 （求每个阶梯的最大水费） 2.按照对应的阶梯列出方程 类型三：未知用水量、水费（分类讨论）

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