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温州市初中数学课时教学备课（2025年版）
课题： 5.5.2一次函数的简单应用（2）
课型：新授课 设计时间： 2026 年 10 月 13 日
学习核心内容 本节课的主要内容是让学生了解探究直角坐标系中两条直线（不平行于坐标轴）的交点坐标与由两条直线的函数表达式所组成的方程组的解之间的关系。会综合运用一次函数的表达式和图象解决简单实际问题。
学习目标 评价设计（指向学习目标）
1.会综合运用一次函数的表达式和图象解决简单实际问题。 2.了解直角坐标系中两条直线(不平行于坐标轴)的交点坐标与由两条直线的函数表达式所组成的二元一次方程组的解。 1.综合运用一次函数的表达式和图象等解决简单实际问题。 2.尝试用图解法解决实际问题，发展学生的数形结合思想。
学习过程设计
环节一：引入新课 复习旧知，情境导入 教师讲授：在同一直角坐标系中画出下列函数的图象:y=2x+4 , y=-x+1 教师提问：它们的交点坐标是什么？ 答案：(-1,2) 设计意图：一次函数的表达式和图象交点坐标的意义。 二、新知讲解 一次函数与二元一次方程组的联系 从图象上看，我们可以用两个一次函数的图象，通过观察确定两条直线的交点的坐标值，求出由两个一次函数式组成的方程组的解. 反之，可以通过解由两个一次函数式组成的二元一次方程组来求得两个一次函数图象交点的坐标. 思考：利用一次函数的图象,求二元一次方程组的解。 解：如图所示，得交点的坐标为（-2,4） 所以方程组的解为 【知识拓展】 从“数”的角度看：解二元一次方程组，相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少； 从“形”的角度看：解二元一次方程组，相当于确定两条直线的交点坐标.因此，我们可以用画一次函数图象的方法得到方程组的解. 环节三：典例精析 例2：小聪和小慧去某风景区游览，约好在飞瀑见面.上午7:00,小聪乘电动汽车从古刹出发，沿景区公路去飞瀑，车速为30km/h.小慧也于上午7:00从塔林出发，骑电动自行车沿景区公路去飞瀑，车速为20km/h. (1)当小聪追上小慧时，他们是否已经过了草甸 (2)当小聪到达飞瀑时，小慧离飞瀑还有多少千米 (1)解：设经过t时，小聪与小慧离古刹的路程分别为s1, s2, 由题意,得s1=30t,s2=20t+10. 在直角坐标系中画出直线s1=30t和直线s2=20t+10 ∵两条直线s=30t,s=20t+10的交点坐标为(1,30) ∴当小聪追上小慧时,s=30km,即离古刹30km,小于35km,也就是说，他们还没到草甸 (2)解：如图,当小聪到达飞瀑时，即s1= 45 km,此时s2= 40 km.所以 小慧离飞瀑还有45- 40=5(km) 教师讲授：上例第(1 )题中,两条直线的交点坐标(1,30)应同时满足两条直线的表达式 即是二元一次方程组的解. 由此可见，我们可以用两个一次函数的图象，通过观察确定两条直线的交点的坐标值，求出由两个一次函数式组成的方程组的解(注意，这样得到的解可能是近似解). 反之,也可以通过解由两个一次函数式组成的二元一次方程组来求得两个一次函数图象交点的坐标. 例 3 :如图 5-17，在直角坐标系中，O是原点，已知梯形ABCD的顶点A,B,D的坐标分别为A(-3,0)，B(-1,)，D(0,2)，AB∥CD，BC经过点O。 （1）求证BO=CO。 （2）求梯形ABCD的面积。 解：（1）如图 5-18，延长AB，交y轴于点E。设直线AB的函数表达式为y=kx+b，由点A,B的坐标分别为A(-3,0)，B(-1,)，得 -3k+b=0,-k+b=-, 解得 k=-,b=-2。 所以直线AB的函数表达式为y=x-2。 令x=0，得y=-2，则点E的坐标为(0,-2)， 所以OD=OE=2。 由AB∥CD，得∠ CDO=∠ BEO。 又因为∠ DOC=∠ EOB， 所以ΔCDO≌ΔBEO(ASA)， 所以BO=CO（全等三角形的对应边相等）。 （2）因为ΔCDO≌ΔBEO， 所以SΔCDO=SΔBEO， 所以S梯形ABCD=SΔADE=DE×AO=×4×3=6。 答：梯形ABCD的面积为6。 从上例我们可以看到，在学习了直角坐标系、一次函数等知识之后，我们还可以建立直角坐标系，借助图象，采用数形结合的方法来解决平面几何中的一些论证和求值等问题。 环节四：课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.已知一次函数y=kx＋b(k，b是常数，k≠0)的图象如图所示，则方程kx＋b=0的解为(　　) A.x=2 B.y=2 C.x=－1 D.y=－1 选做题： 2.如图，若函数y=kx＋b(k＜0)的图象经过点P(－1，3)，则关于x的不等式kx＋b＞3的解为　　。 3.已知一次函数y=kx－4(k≠0)的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积等于2，则k的值为　　。 【综合拓展类作业】 4.已知一次函数y=ax－5与y=3x＋b的图象的交点坐标为A(1，－3)。 (1)关于x，y的方程组的解为 。 (2)求a，b的值。 5.已知直线y=－x＋b与直线y=2x－4相交于点C(2，0)。 (1)求b的值，并画出直线y=－x＋b。 (2)根据图象直接写出关于x的不等式－x＋b＞2x－4的解。 环节五：课堂总结 本节课你学到了什么 1.会看函数图象，能够从函数图象中获得有用的信息 2.利用一次函数的图象求二元一次方程组的解 3.学会优化组合，选择最佳方案
作业内容： 【知识技能类作业】 必做题： 1如图，直线y=x＋b和y=kx＋2分别与x轴相交于点A(－2，0)，B(3，0)，则不等式组的解集为(　　) A.x＜－2 B.x＞3 C.x＜－2或x＞3 D.－2＜x＜3 选做题： 2.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(1，3)，(3，3)。若直线y=kx(k≠0)与线段AB有公共点，则k的取值范围是　　。 3.我们知道，若ab＞0，则有或如图，直线y=kx＋b与y=mx＋n分别交x轴于点A(－0.5，0)，B(2，0)，则不等式(kx＋b)(mx＋n)＞0的解集是　　。
【综合拓展类作业】
4.在平面直角坐标系中，函数y=kx＋b(k≠0)与y=－kx＋3的图象相交于点(2，1)。 (1)求k，b的值。 (2)当x＞2时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值既大于函数y=kx＋b的值，也大于函数y=－kx＋3的值，直接写出m的取值范围。 5.一条笔直的路上依次有A，B，C三地，其中A，C两地相距720米。小刚、小欣两人分别从A，C两地同时出发，匀速而行，分别去往目的地C与A。图中线段OP，QR分别表示小刚、小欣两人离A地的距离y(米)与行走时间x(分钟)的函数关系图象。 (1)求QR所在直线的表达式。 (2)出发后小刚行走多少时间，与小欣相遇？ (3)小刚到B地后，再经过1分钟小欣也到B地，求A，B两地间的距离。 6.[创新意识]如图，在直角坐标系中，O是原点，梯形ABCD的顶点A(－4，0)，B(－2，－2)，D(0，3)，且 AB∥CD，BC经过点O。求： (1)点C的坐标。 (2)梯形ABCD的面积。
参考答案： 课堂练习： 1.C 2.x＜－1 3. ±4 4.解：(1)∵一次函数y=ax－5与y=3x＋b的图象的交点坐标为A(1，－3)， ∴关于x，y的方程组的解为是 (2)将代入方程组，得 解得a=2，b=－6。 5.解：(1)把点C(2，0)的坐标代入y=－x＋b，得－2＋b=0，解得b=2， 画出直线y=－x＋2如答图所示。 第8题答图 (2)由图象得，不等式－x＋b＞2x－4的解为x＜2。 作业内容： 1.D 2. 1≤k≤3 3. －0.5＜x＜2 4.解：(1)∵直线y=－kx＋3过点(2，1)， ∴－2k＋3=1，解得k=1。 将点(2，1)代入y=x＋b，得2＋b=1， 解得b=－1。 (2)如答图，观察图象可知，当m=1时，直线y=x－1可以看作直线y=mx向下平移1个单位长度所得，故两条直线没有交点，易知若m≥1，则在x＞2时函数y=mx的值大于函数y=kx＋b的值。 第9题答图 当x＞2时，y=－kx＋3=－x＋3＜1，而当m≥1，x＞2时，y=mx＞2，故函数y=mx的值大于函数y=－kx＋3的值。 综上所述，满足条件的m的取值范围是m≥1。
5.解：(1)小刚、小欣两人离A地的距离y(米)与行走时间x(分钟)的函数关系图象为一次函数，设QR所在直线表达式为y=kx＋b(k≠0)， 将点Q(0，720)，R(12，0)代入，得 解得 ∴QR所在直线表达式为y=－60x＋720。 (2)由图象可得小刚行走速度v1=720÷8=90(米/分)， 小欣行走速度v2=720÷12=60(米/分)， 两人相遇时间为720÷(90＋60)=4.8(分钟)， ∴小刚行走4.8分钟后两人相遇。 (3)设A，B两地的距离为s米， 由题意得＋1=， 解得s=396。 答：A，B两地间的距离为396米。 6.解：(1)设BC所在直线的表达式为y=kx，将点B(－2，－2)代入，得－2k=－2，∴k=1，∴直线BC的表达式为y=x。 设AB所在直线的表达式为y=mx＋n， 将点B(－2，－2)，A(－4，0)代入，得 解得 ∴直线AB的表达式为y=－x－4， ∴直线CD的表达式为y=－x＋3。 联立方程组解得 ∴点C的坐标为。 (2)梯形ABCD的面积=S△AOB＋S△AOD＋S△COD=×4×2＋×4×3＋×3×=4＋6＋。
作业类别 选用 改编 自编 书面练习类 口头训练类 活动实践类
板书设计：
教学反思：知道在日常生活和生产实践中有不少问题的数量关系可以用一次函数来刻画．学会数形结合，利用一次函数图象解决实际问题．沟通数学模型(包括函数表达式和图象)与实际问题情境之间的对应关系，是本节教学的难点．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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