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学 科 数学 年 级 九年级 设计者
教材版本 华师大版 册、章 上册第二十二章
课标要求 1. 理解相似图形、相似多边形、相似三角形的概念，掌握相似多边形的对应角相等、对应边成比例的性质，能准确识别相似图形及对应边、对应角。 2. 掌握平行线分线段成比例定理及其推论，能运用定理进行线段长度的计算和比例式的推导，理解定理在相似三角形判定中的基础作用。 3. 探索并证明相似三角形的判定定理（两角分别相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例），能熟练运用判定定理判断两个三角形相似，规范书写推理过程。 4. 掌握相似三角形的性质，能运用性质进行线段、角、周长、面积的计算。 5. 了解位似图形的概念，掌握位似图形的性质，能利用位似将一个图形放大或缩小，能在平面直角坐标系中根据坐标变化判断位似关系，体会图形变换的思想。 6.能运用相似三角形的知识解决实际问题（如测量高度、距离等），经历从实际情境中抽象出相似图形的过程，发展模型观念和应用意识。
内容分析 《图形的相似》是华师大版九年级上册第22章的内容，是初中几何的重要组成部分，承接七年级全等三角形、八年级四边形的知识，是对图形关系的进一步拓展，从“全等（形状相同、大小相等）”延伸到“相似（形状相同、大小不等）”，实现了图形认知的深化。本单元以“相似”为核心，构建了“概念—定理—判定—性质—应用”的完整知识体系，不仅是后续学习锐角三角函数、圆的相关知识的基础，也是解决实际测量问题的重要工具，在中考中占据重要地位，同时培养学生的几何推理能力和空间想象能力，为高中几何学习奠定坚实基础。
学情分析 本单元的授课对象是九年级学生，在此之前，学生已熟练掌握全等三角形的判定与性质、线段的比、比例的基本性质等知识，具备一定的几何推理能力和作图能力，对图形的“全等”关系有深刻理解，为学习“相似”关系奠定了基础；同时，学生已具备一定的代数运算能力，能进行比例式的变形和计算，为相似三角形的相关计算提供支撑。但学生对“相似”的抽象概念理解不足，容易混淆相似与全等的关系，对比例线段的灵活运用能力较弱。
单元目标 （一）教学目标 1. 理解成比例线段、相似图形、相似多边形、相似三角形、位似图形的概念，掌握相关定义的本质特征，能准确识别各类图形。 2. 掌握比例的基本性质、合比性质、等比性质，能运用性质进行比例式的变形和计算；掌握平行线分线段成比例定理及其推论，能运用定理解决线段长度计算和比例推导问题。 3. 熟练掌握相似三角形的判定定理和性质，能运用定理进行几何推理、线段和角的计算，能规范书写证明过程。 4. 掌握位似图形的性质，能利用位似将图形放大或缩小，能在平面直角坐标系中进行位似变换，掌握位似图形的坐标变化规律。 5. 能运用相似三角形的知识解决实际测量问题和综合几何问题，能从实际情境中抽象出相似图形模型，检验结果的合理性。 （二）教学重点、难点 重点 1. 平行线分线段成比例定理及其推论的理解与应用。 2. 相似三角形的判定定理与性质的掌握，能熟练运用进行推理和计算。 3. 位似图形的概念与性质，能进行简单的位似变换。 4. 运用相似三角形的知识解决实际问题和综合几何问题。 难点 1. 平行线分线段成比例定理的推导，以及在复杂图形中准确识别比例线段。 2. 相似三角形判定定理的灵活运用，尤其是在复杂几何情境中选择合适的判定方法。 3. 相似三角形性质中面积比与相似比的关系的理解与应用，避免与周长比混淆。 4. 从实际问题中抽象出相似三角形模型，建立数学关系解决问题。 5. 位似图形的坐标变化规律的掌握，以及位似变换与其他图形变换的结合应用。
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数22.1 成比例线段成比例线段及其基本性质； 平行线分线段成比例222.2 相似图形相似多边形的特征；识别相似图形及对应边、对应角 122.3相似三角形相似三角形；相似三角形的判定 相似三角形的性质；相似三角形的应用422.4位似图形位似图形及其性质122.5图形与坐标用坐标确定位置；图形的变换与坐标2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务22.1 成比例线段理解成比例线段的概念（能准确表述，能判断四条线段是否成比例）；比例的基本性质、合比性质、等比性质。能记住成比例线段的概念和比例的基本性质，能完成基础的比例式计算。 任务一：能熟练运用比例的性质进行比例式变形. 任务二：能准确判断四条线段是否成比例.能准确表述平行线分线段成比例定理及其推论，理解推导过程； 能运用定理进行线段长度计算和比例推导。能熟练运用定理及推论解决问题，能准确识别复杂图形中的比例线段，作业规范任务一：平行线分线段成比例定理及其推论（能准确表述、理解推导过程）； 任务二：定理的应用22.2 相似图形理解相似图形、相似多边形的概念（能准确表述，能识别相似图形）； 掌握相似多边形的性质。能准确表述，能识别相似图形；能根据定义判断两个多边形是否相似 能记住相似图形、相似多边形的概念，能运用性质解决基础计算问题 22.3相似三角形能准确表述相似三角形的三种判定定理，理解推导过程； 能根据已知条件选择合适的判定定理，规范书写证明过程。能记住判定定理，能运用定理解决简单的三角形相似证明问题，证明步骤基本完整。任务一：相似三角形的三种判定定理； 任务二：判定定理的应用；复杂几何情境中判定定理的灵活选用。探究相似三角形的性质，面积比与相似比的关系的理解与应用，能准确区分周长比与面积比能准确表述对应线段、周长、面积与相似比的关系，能运用性质进行线段、周长、面积的计算任务一：记住相似三角形的性质； 任务二：运用性质解决基础计算问题。能准确表述，能区分位似与相似的关系；能利用位似将图形放大或缩小，掌握坐标变化规律；能从实际问题中抽象出相似模型，解决测量问题能熟练掌握位似变换的方法，能准确运用坐标变化规律，能从实际问题中抽象出相似模型，解决中等难度的实际应用问题；任务一：位似图形的概念与性质）； 任务二：位似变换的应用； 任务三：相似三角形的实际应用。
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22.3.1 相似三角形 教学设计
学科 数学 年级 九年级 课型 新授课 单元 第二十二章
课题 22.3.1 相似三角形 课时 1课时
课标要求 1. 理解相似三角形的概念，认识相似符号，能正确书写相似三角形，识别对应角、对应边，理解相似比的含义。 2. 掌握 “平行于三角形一边的直线，和其他两边（或两边延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似” 这一结论，能利用该结论进行简单计算与推理。 3. 经历观察、猜想、演绎证明的过程，体会类比、转化、从特殊到一般的数学思想，发展几何直观、逻辑推理等核心素养。 4. 了解全等三角形是相似三角形的特例（相似比k=1），建立全等与相似之间的联系
教材分析 本节课选自华师大版九年级上册第 22 章《图形的相似》22.3 第 1 小节。前面学生已经学习成比例线段、平行线分线段成比例、相似多边形，相似三角形是相似多边形中最简单的一类，是相似多边形的特殊化。教材先直接给出相似三角形定义、符号表示、相似比，通过 “思考” 栏目，以三角形中位线为特殊例子引入，再推广到一般的 A 型图，通过构造平行四边形完成演绎证明，之后拓展 X 型变式图形，最后配套例 1 进行计算应用。本节课是相似三角形判定的起始课，是后续相似三角形判定定理、性质、实际应用的基础，起到承上启下的作用。
学情 分析 1. 知识基础：九年级学生已经掌握全等三角形、三角形中位线定理、平行线性质、平行线分线段成比例、相似多边形相关知识，具备简单几何推理能力。 2. 认知特点：学生可以类比相似多边形快速理解相似三角形定义，但容易忽略对应顶点书写顺序；容易混淆相似比的顺序；对 X 型（两边延长线相交）图形识别存在困难。
核心素养目标 数学抽象：类比相似多边形抽象得到相似三角形定义，掌握相似符号、相似比概念，实现文字、图形、符号语言互译。 几何直观：能识别 A 型、X 型两类基本相似图形，快速找到相似三角形的对应边、对应角。 逻辑推理：经历中位线特例猜想→一般情况演绎证明的过程，理解平行线证相似的推导，能规范简单几何推理。
教学重点 1. 相似三角形的定义、符号表示、相似比的概念； 2. 掌握 “平行于三角形一边的直线构成的三角形与原三角形相似” 结论，会利用结论进行简单计算。
教学难点 1. 书写相似三角形时，对应顶点的顺序规范，准确找到对应边角； 2. 理解定理的演绎证明过程（构造平行四边形转化线段）；
教学 准备 多媒体课件、学习资料
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、引新 【思考】什么是相似多边形？相似多边形有什么性质？ 两个边数相同的多边形，如果各边对应成比例，各角对应相等，就称这两个多边形相似. 相似多边形的对应边成比例，对应角相等. 【想一想】三角形是最简单的多边形，类比相似多边形，对应边成比例、对应角相等的三角形，叫做什么？ 回忆相似多边形定义，类比猜想相似三角形特征。 类比旧知，自然生成相似三角形定义，降低新知门槛，强调对应顶点书写规范，提前规避易错点。
二、探究 在相似多边形中，最简单的就是相似三角形，它们是对应边成比例、对应角相等的三角形. 相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”. 如图所示的两个三角形中，有 ∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'. 此时△ABC与△A'B'C'相似，记作△ABC∽△A'B'C', 读作：ABC相似于A'B'C'. 如果记 这个比值 k 就表示这两个相似三角形的相似比. 【想一想】当k=1时，两个相似三角形有什么特点 这两个三角形全等. 全等三角形是相似三角形的特例. 【思考】如图，DE为△ABC的中位线，△ADE和△ABC是相似三角形吗 根据三角形中位线定理，有DE∥BC，DE= BC. 由此可知∠ADE= ∠ABC，∠AED=∠ACB，∠A= ∠A; 即△ADE和△ABC的三个角对应相等、三条边对应成比例. 因此△ADE和△ABC是相似三角形，相似比k= 如图，如果只有DE∥BC这个条件，是否同样也能得到△ADE和△ABC相似的结论呢 显然∠ADE= ∠ABC，∠AED=∠ACB，∠A= ∠A; 又由平行线分线段成比例的基本事实，可推得 通过度量，还可以发现 因而有△ADE∽△ABC. 已知：如图，DE∥BC，并分别交AB、AC于点D、E. 求证：△ADE∽△ABC. 证明：∵DE∥BC， ∴∠ADE= ∠B，∠AED=∠C， （平行线分线段成比例） 如图，过点D作AC的平行线交BC于点F， （平行线分线段成比例） ∵DE∥BC，DF ∥AC，∴四边形DFCE是平行四边形. ∴DE=FC. 又∵∠ADE= ∠B，∠AED=∠C，∠A= ∠A， ∴△ADE∽△ABC（相似三角形的定义） 【思考】如图，DE∥BC，△AED与△ABC是否还是相似的 由题意得，∠ADE= ∠B，∠AED=∠C，∠A= ∠A ∴△AED∽△ABC. 总结归纳 由此，可以得出下面常用的结论： 平行于三角形一边的直线，和其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似. 【例1】如图，在△ABC中，点D是边AB的三等分点，DE∥BC，DE=5. 求BC的长. 解：DE∥BC. ∴△ADE∽△ABC(平行于三角形一边的直线，和其他两边相交所构成的三角形与原三角形相似). ∴BC=3DE= 15. 学生理解对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。 记录概念，小组讨论相似比的顺序性；思考(k=1)的情况，理解全等属于特殊相似。 先分析中位线特例；跟随教师一起完成演绎证明，理解构造平行四边形转化线段；观察 A 型、X 型两个图形，理解 “两边延长线相交” 的情况，识记结论。 独立审题，口述解题思路，在练习本上写出解题过程，完成当堂练习，订正错误。 落实概念教学，突破相似比顺序性的易错点，建立全等和相似的知识关联，完善知识体系。 遵循课本思路，从特殊（中位线）到一般，完整经历猜想、证明，落实逻辑推理素养；区分 A 型、X 型两个基本模型，突破识图难点。 直接使用教材例题，巩固本节课结论，训练规范书写，落实数学运算素养，检测学习效果。
三、尝试 【知识技能类作业】必做题： 1.如图，已知△ABC∽△DEF，则∠A＝__∠D___，_∠B __＝∠E，∠C＝∠F， ＝＝＝________，相似比是_____． 2.若△ABC∽△A′B′C′，相似比为1∶3，AB＝3，则A′B′为（ C ）． A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 3.已知△ABC∽△A1B1C1，如果∠A＝50°，∠B＝95°，那么∠C1等于(　C　) A．50° B．95° C．35° D．25° 4.如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，DC上，△ABC∽△DEF. 求证：∠BEF＝90°. 证明：∵△ABE∽△DEF， ∴∠ABE＝∠DEF. ∵在矩形ABCD中，∠A＝90°， ∴∠ABE＋∠AEB＝90°， ∴∠DEF＋∠AEB＝90°，∴∠BEF＝90°. 【知识技能类作业】选做题： 5.如图，AB∥CD，若BO＝6，OD＝3，AB＝4，则CD的长是( C　) A. 6 B．1 C．2 D．3 6.如图，AB为斜靠在墙壁AC上的长梯，梯脚B距墙1.5 m，梯上一点D距墙1.2 m，BD长0.5 m，则梯长AB为___2.5___m. 【综合拓展类作业】 7.如图，在△ABC中，D为AC上一点，E为CB延长线上一点，连结DE，交AB于点F.若 求证：AD＝EB. 证明：过点D作DH∥BC交AB于点H， 则△AHD∽△ABC，∴＝，即＝. ∵DH∥BE，∴△BEF∽△HDF，∴＝. 又∵＝，∴＝，∴AD＝EB. 独立完成基础练习，在练习本上写出详细的解题过程。 基础练习旨在巩固本节课的核心知识点，帮助学生夯实基础；拓展提升活动则将数学知识与生活实际相结合，让学生体会数学与生活的联系，提高学生的知识应用能力和创新思维能力。
四、提升 适时小结，兴趣延伸 本节课你学到了什么？ 平行于三角形一边的直线，和其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似. 认真倾听教师的总结，回顾自己本节课的学习过程，反思自己的收获和不足。
帮助学生梳理知识体系，强化重点知识，让学生对本节课的内容有更清晰、系统的认识。
板书设计 22.3.1 相似三角形 ① 相似三角形的定义. ② 相似三角形的性质. ③ 例题讲解 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 【知识技能类作业】必做题： 1. 下列图形中一定相似的是( D ). A.所有的直角三角形 B.所有的等腰三角形 C.所有的含30°角的三角形 D.所有的等腰直角三角形 2.已知△ABC∽△DEF，若∠A=40°，∠E=80°，则∠F的度数为( B ) A. 30° B. 60° C. 70°D. 80° 【知识技能类作业】选做题： 3.如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，D，E分别在AB，AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为(　C　) A．4 B．3 C．2 D．1 4.如图，在□ABCD中，过点B的直线与对角线AC，边AD分别交于点E和点F，过点E作EG∥BC，交AB于点G，则图中相似三角形有( B ）. A.4对 B.5对 C.6对 D.7对 【综合拓展类作业】 5.如图，在△PAB中，M，N是AB上两点，且△PMN是等边三角形，△BPM∽△PAN，则∠APB的度数是多少？ 解：∵△BPM∽△PAN，∴∠BPM=∠A. ∵△PMN是等边三角形，∴∠MPN=∠MNP=60°, ∴∠A+∠APN=60°，即∠APN+∠BPM =60°, ∴∠APB =∠BPM+∠MPN+∠APN = 60° + 60° = 120°
教学反思 本节课1严格依照课本图片内容组织教学，遵循教材 “中位线特例→一般证明→变式图形→例题” 的编排顺序，贴合教材逻辑。 采用类比迁移，由相似多边形引入相似三角形，学生更容易理解；重视几何模型（A 型、X 型）的建构，强化几何直观。 重视几何语言规范，反复强调相似三角形对应顶点书写顺序，针对性解决学生高频错误。重视演绎证明，完整展示课本构造平行四边形的证明思路，落实逻辑推理素养。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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