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学 科 数学 年 级 九 设计者
教材版本 沪科版 册、章 上册第二十三章
课标要求 1.利用相似直角三角形，探索并认识锐角三角函数（sinA、cosA、tanA），掌握 30°、45°、60° 角的三角函数值。 2.会用计算器由锐角求三角函数值，或由三角函数值求对应锐角。 3.能用直角三角形边角关系、锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决测量、工程、航海等简单实际问题。 4.体会函数思想、数形结合、转化与建模思想，发展几何直观、运算能力、推理能力与应用意识。
内容分析 本单元是直角三角形、勾股定理、相似三角形的综合应用，属于 “图形与几何”。主要内容包括：锐角三角函数概念、特殊角三角函数、解直角三角形、实际应用。它承上启下，既是初中几何的重要应用，也是后续学习三角知识的基础，重点在概念理解与模型应用。
学情分析 学生已掌握直角三角形性质、勾股定理、相似知识，具备一定推理和计算能力。但九年级学生抽象思维仍较弱，对 “角与边比值” 的三角函数概念理解困难，易混淆边角对应关系，把实际问题转化为直角三角形模型的能力不足，需要从直观、实例入手逐步引导。
单元目标 （一）教学目标 1. 理解锐角三角函数意义，会求特殊角三角函数值；会根据已知边角解直角三角形；能解决测量、坡度、方位角等实际问题。 2.经历从直角三角形边角关系抽象出三角函数的过程，体会数形结合、转化与建模思想，提高运算与推理能力。 3.感受数学与生活实际的联系，增强应用意识与解决问题的自信心。 （二）教学重点、难点 重点： 锐角三角函数概念；解直角三角形的方法；运用解直角三角形解决实际问题。 难点： 锐角三角函数概念的理解；实际问题转化为直角三角形模型
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数23.1 锐角三角函数523.2 解直角三角形及其应用5
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务23.1.1锐角三角函数 (第一课时)1. 通过坡面、梯子倾斜等实际情境，感知直角三角形锐角固定时，对边与邻边比值恒定的规律； 2. 理解正切的定义，能准确区分直角三角形中锐角的对边、邻边，熟记正切计算公式； 3. 会利用定义求解简单直角三角形中锐角的正切值，初步建立边角对应的函数思想。1.学生能准确辨析直角三角形中锐角的对边、邻边； 2.能完整说出正切的定义，并正确计算基础题型的锐角正切值； 3.学生能感知三角函数的比值本质。任务一：探究在直角三角形中，当锐角固定时，对边与邻边的比值保持不变，能说出探究得到的规律。 任务二：辨析直角三角形中一个锐角的对边、邻边，复述正切的定义，写出正切的表达式 任务三：已知直角三角形两条直角边的长度，求锐角的正切值23.1.1锐角三角函数 (第二课时) 1. 类比正切的探究方法，自主探究直角三角形中锐角对边与斜边、邻边与斜边的比值规律； 2. 掌握正弦、余弦的定义及计算公式，区分正弦、余弦、正切三者的差异； 3. 能根据三角形边长，熟练求解锐角的正弦、余弦值，规范解题格式。1.学生能自主类比探究得出正、余弦的比值规律； 2.熟练掌握三种锐角三角函数的定义，无概念混淆； 3.可独立完成正、余弦求值基础习题。任务一：类比正切的探究活动，在直角三角形中探究锐角固定时，对边与斜边、邻边与斜边比值不变的规律。 任务二：辨析直角三角形边角，复述正弦、余弦的定义，写出sinA、cosA的表达式。 任务三：已知直角三角形三边长度，求锐角的正弦值、余弦值，完成基础求值练习。23.1.2 30°、45°、60°角的三角函数值(第一课时) 1. 结合等腰直角三角形、含30°角的直角三角形性质，自主推导30°、45°、60°特殊角的正弦、余弦、正切值； 2. 熟记特殊角的三角函数值，能快速认读、默写对应数值； 3. 掌握特殊角三角函数的简单混合运算方法。1.全体学生能跟随推导特殊角三角函数值，理解数值由来； 2.学生能熟练默写所有特殊角三角函数值； 3.学生能正确完成简单混合运算。任务一：利用含 30° 直角三角形、等腰直角三角形，小组合作推导 30°、45°、60° 的三角函数值。 任务二：整理特殊角三角函数表格，口头复述、默写各个角对应的三角函数值。 任务三：代入特殊角的三角函数值，完成简单的代数式计算。23.1.2 30°、45°、60°角的三角函数值(第二课时) 1. 熟练运用特殊角三角函数值进行复杂混合运算、化简求值； 2. 掌握已知特殊角三角函数值反求角度的方法； 3. 能结合简单几何图形，利用特殊角三角函数解决基础几何问题。1.能精准完成特殊角三角函数混合运算，规避运算错误；2.可根据函数值快速判断对应锐角； 3.能初步运用特殊角函数值解决简单几何题型。任务一：完成特殊角三角函数的混合运算、化简求值习题，熟练规范运算步骤。任务二：根据已知三角函数的值，反向推理、求出对应的锐角角度。 任务三：结合直角三角形几何图形，利用特殊角三角函数值求边长、角度。23.1.3一般锐角的三角函数值1. 掌握计算器求解一般锐角三角函数值的操作方法，熟知操作易错点； 2. 学会利用计算器根据三角函数值反求一般锐角，掌握角度换算方法； 3. 能运用一般锐角三角函数值解决简单计算与几何问题。1.掌握计算器基本操作，能正确求任意锐角的三角函数值； 2.能熟练反求锐角并规范书写角度； 3.能独立完成一般锐角三角函数计算习题。任务一：复习特殊角三角函数，引出一般锐角（非 30°45°、60°）无法直接写出三角函数值，引入计算器。 任务二：操作计算器，练习已知锐角求三角函数值，保留指定小数位数。 任务三：操作计算器，练习已知三角函数值求锐角。 23.2.1解直角三角形及其应用1. 理解解直角三角形的定义，掌握直角三角形三边、三角、边角的核心关系； 2. 归纳解直角三角形的两类基本题型：已知两边、已知一边一锐角； 3. 掌握解直角三角形的规范解题步骤，能独立求解基础题型。1.理解解直角三角形的含义与核心公式； 2.能根据已知条件选择合适的三角函数解题； 3.能规范书写解题步骤，无逻辑漏洞。任务一：回顾直角三角形边角关系，引出解直角三角形概念。 任务二：例题训练，已知一边一角解 Rt△。 任务三：例题训练，已知两边解 Rt△。 任务四：归纳解直角三角形解题思路，判断哪些条件可以解直角三角形。23.2.2解直角三角形及其应用 1. 理解仰角、俯角的定义，能在实际情境中识别仰角、俯角； 2. 学会将测高、测距等实际问题转化为直角三角形模型； 3. 能利用解直角三角形知识解决仰角、俯角类实际应用题。1.能准确识别仰角、俯角； 2.能完成实际问题的几何建模； 3.可独立完成仰角俯角典型应用题。任务一：复习解直角三角形基本关系，认识仰角、俯角 任务二：结合单直角三角形模型，利用仰角、俯角公式求解物体高度与水平距离问题。 任务三：总结测高测距解题流程，规避漏加仪器高度、角度标错、提前近似取值等易错点。23.2.3解直角三角形及其应用 1. 掌握方向角（北偏东、南偏西等）的表示方法，能准确解读方位图形； 2. 掌握方位问题的建模技巧，通过作辅助线构造直角三角形； 3. 能运用解直角三角形知识解决航海、方位测距类实际问题。1.能规范读写方向角，准确绘制方位示意图； 2.能通过辅助线构造直角三角形解题；3.能独立解决基础方位应用题。任务一：认识坡面、坡角、坡度，理解坡度的比值定义。 任务二：利用坡度公式进行基础计算，实现坡度、坡角、高、水平宽的相互转化。任务三：结合斜坡、堤坝图形构造直角三角形，解决坡面长度、高度计算问题。任务四：归纳坡度题型解题规律，纠正概念混淆、对应边找错等常见易错点。23.2.4解直角三角形及其应用 1. 理解坡度、坡角的定义，掌握坡度与坡角的三角函数关系； 2. 掌握坡度问题的几何模型，理清坡面、铅直高度、水平宽度的关系； 3. 能解决堤坝、坡面、道路改造等坡度类实际应用问题。1.熟记坡度、坡角公式及二者关系； 2.能准确分析坡面几何结构； 3.可独立完成坡度应用题。任务一：复习坡度坡角模型，认识方位角，掌握北偏东、南偏西等方位表述并绘图。 任务二：根据方位描述确定角度，构造直角三角形，进行方位角基础边角计算。 任务三：解决航海方位综合应用题，借助两个直角三角形寻找等量关系列方程求解。 任务四：梳理方位角解题思路，纠正基准线判断错误、角度找错等常见问题。23.2.5解直角三角形及其应用 1.理解直线倾斜角概念，掌握一次函数中k与倾斜角的关系； 2.能由倾斜角求斜率，由斜率求倾斜角。 3.能在平面直角坐标系构造直角三角形，把斜率转化为直角三角形边角比值，实现三角函数与一次函数跨模块融合，提升建模能力。1.能说出倾斜角定义，记住k=tanα，能写出 30°、45°、60° 对应的斜率。 2.能由直线上两点求斜率，并求出对应倾斜角；能根据k 正负判断倾斜角是锐角或钝角。 3.能解决坐标系中结合一次函数、解直角三角形的综合小题。任务一：复习解直角三角形知识，认识直线倾斜角，理解一次函数k与倾斜角的联系。 任务二：利用k=tanA进行基础计算，实现倾斜角与斜率k之间的相互转化。 任务三：结合一次函数图像构造直角三角形，求解点的坐标、线段长度等几何问题。 任务四：归纳k与倾斜角题型解题规律，纠正倾斜角概念理解错误等常见易错点。
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23.1.1锐角三角函数教学设计
学科 数学 年级 九 课型 新授课 单元 23
课题 23.1.1锐角三角函数 课时 1
教材分析 沪科版 23.1.1 锐角的正切是锐角三角函数第一课时，依托相似三角形探究，由斜坡坡度引入概念。本节课揭示：直角三角形中锐角确定，对边与邻边比值就确定，由此定义正切。它搭建几何边角联系，是后续正弦、余弦和解直角三角形的基础，渗透数形结合思想，体现数学在坡度测量等实际场景中的应用价值。
学情 分析 九年级学生已掌握勾股定理、相似三角形，具备一定几何推理能力，但第一次接触三角函数。学生容易混淆对边、邻边，难以理解正切是比值（函数），容易把 tanA 当成线段。学生习惯静态几何计算，对 “角决定比值” 的函数对应关系理解困难，抽象思维薄弱，需要借助图形、实例引导探究。
核心素养目标 1. 理解锐角三角形函数中正切的概念及其与现实生活的联系 2. 能在直角三角形中求出某个锐角的正切值，并进行简单计算. 3. 了解坡度、坡角的概念，能解决与坡度、坡角有关的问题.
教学重点 掌握锐角三角形函数中正切的概念
教学难点 能熟练利用正切解决实际问题
教学 准备 多媒体课件
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 复习提问，温故孕新 1.直角三角形三边关系 2.角的关系 ∠A+∠B=90° 学生回顾旧知，回答问题 通过复习重新巩固直角三角形的性质
二、引新 创设情境，引入课题 汽车免不了爬坡，爬坡能力是衡量汽车性能的重要指标之一．汽车的爬坡能力是指汽车在满载时所能爬越的最大坡度． 怎样描述坡面的坡度(倾斜程度)呢？ 学生思考问题 通过问题，自然引入课题
二、探究 合作探究，活动领悟 交流 在图中，有两个直角三角形，直角边AC与A1C1表示水平面，斜边AB与A1B1分别表示两个不同的坡面． 坡面AB和A1B1哪个更陡？你是怎样判断的？ 坡面A1B1比坡面AB更陡，从图中很容易看出∠A＜∠A1 ，所以坡面A1B1比坡面AB更陡． 类似地，在下图中，坡面AB和A1B1哪个更陡？ 你又是怎样判断的？ 坡面A1B1比坡面AB更陡． 因为BC= B1C1 ，所以只要比较AC和A1C1的长度即可，因为A1C1＜AC ，所以坡面A1B1比坡面AB更陡． 再来看下图中，坡面AB和A1B1哪个更陡？ 水平宽度和垂直高度都不一样怎么比较呢？ ∵ 0.2＜0.375， ∴ 坡面A1B1更陡． 如图，在锐角A的一边任取一点B，过点B作另一边的垂线BC，垂足为C，得到Rt△ABC；再任取一点B1，过点B1作另一边的垂线B1C1，垂足为C1，得到另一Rt△AB1C1……这样，我们可以得到无数个直角三角形，在这些直角三角形中，两直角边之比有怎样的关系？为什么？ 因为Rt△ABC∽Rt△AB1C1 ∽ Rt△AB2C2 所以对应边成比例 在Rt△ABC中，当锐角∠A的大小确定后，无论直角三角形的大小怎样变化，∠A的对边与∠A的邻边的比值总是唯一确定的。所以倾斜角的对边与邻边的比可以用来描述坡面的倾斜程度. 归纳： 如图，在Rt△ABC中，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切(tangent)，记作tan A，即 说明 1.tan A是一个完整的符号，tan A不表示“tan”乘以“∠A”； 2. .tan A没有单位，它表示一个比值，锐角A的对边和邻边的比； 如图，正切经常用来描述坡面的坡度．坡面的铅直高度h和水平长度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i，即(坡度通常写成h∶l的形式) ．坡面与水平面的夹角叫做坡角(或称倾斜角)，记作α，于是有 教师引导学生自主思考，可以进行讨论交流 引导学生通过自主发现与协作交流，深入理解坡度与正切的关系
三、变式 师生互动，变式深化 例、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，求tan A和tan B． 解：在Rt△ABC中， ∠C=90°，得 同学们完成，有困难时可请小组同学帮助。 巩固本节课所学知识，激发学生学习热情。让学生感知数学来源于生活
四、尝试 尝试练习，巩固提高 1.在Rt△ABC中，各边的长度都扩大4倍，那么锐角B的正切值(　C　) A.扩大4倍 B.扩大2倍 C.保持不变 D.缩小 2.如图所示，梯形护坡石坝的斜坡AB的坡度i＝1∶3，坝高BC＝2米，则斜坡AB的长是(　B　) A. B. C. D.6米 3. 如图，点在反比例函数 的图象上，轴于点，连接 ，则 _ __. 4.如图，河坝的横断面AB的坡度是1∶2，坝高BC＝3 m，则坡面AB的长度是_____m. 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，tan∠DCB＝，AC＝12，求BC的长. 解：∵∠ACB＝90°， ∴∠A＋∠B＝90°. ∵CD⊥AB， ∴∠BCD＋∠B＝90°， ∴∠BCD＝∠A. ∵在Rt△ACB中，tan A＝tan∠BCD＝＝， ∴BC＝AC＝×12＝9. 独立完成基础练习，小组讨论难题。 巩固知识，提升应用能力，兼顾不同学习需求
五、提升 适时小结，兴趣延伸 回顾这节课你学到了什么？ 正切的概念 各小组思考，代表总结本节课内容 学生回顾所学知识并内化，熟练掌握。
板书设计
作业设计 1．在平面直角坐标系中，直线OC过点P(1，3)，则tan α的值是(　D　) A. B. C.3 D. 2.在Rt△ABC中，∠A＝90°，现把这个三角形的三边都扩大为原来的5倍，则∠B的正切值(　C　) A．扩大为原来的5倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．不能确定 3. 如图，已知正方形和正方形 ，点在上，与交于点，若 ，正方形的边长为8，则 的长为__10__. 4. 在中， ，，则 ___. 5.在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，求tanC. 解：如图所示，过点A作AD⊥BC于点D， ∵AB=AC, ∴BD=CD=BC=3 ∴在Rt△ACD中，AD= - -=4 tanC==
教学反思 本节课借助坡度情境引入，学生能初步记住正切公式，但不少学生不会在翻转的直角三角形中识别对边邻边。课堂偏重公式训练，对正切的函数本质挖掘不足。今后要增加变式图形辨析，多让学生自主推导，减少机械记忆；分层设计习题，兼顾学困生，强化数形结合，帮助学生真正理解概念。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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