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北师大版六年级上册单元复习——第二单元《圆》
知识点一：圆的认识
1.圆是由曲线围成的封闭图形。用圆规画圆时，针尖所在的点叫作圆心，用字母O表示；连接圆心和圆上任意一点的线段叫作半径，用字母r表示；通过圆心并且两端都在圆上的线段叫作直径，用字母d表示。
2.在同一个圆里，有无数条半径，所有半径的长度都相等；有无数条直径，所有直径的长度都相等。直径的长度是半径的2倍，即d＝2r，r＝d÷2。
3.圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。画圆时，圆规两脚间的距离就是圆的半径。
4.圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴，圆有无数条对称轴。半圆只有1条对称轴。
知识点二：圆的周长
1.圆的周长除以直径的商是一个固定的数，我们把它叫作圆周率，用字母π表示。π是一个无限不循环小数，计算时通常取3.14。
2.圆的周长公式：C＝π d 或 C＝2πr。已知半径求周长用C＝2πr，已知直径求周长用C＝π d。
3.半圆的周长等于圆周长的一半加上一条直径的长度，即C半圆＝π r＋d＝π r＋2r。
知识点三：圆的面积
1.圆的面积公式推导：把圆平均分成若干份，拼成一个近似的长方形。分得的份数越多，拼成的图形越接近长方形。长方形的长相当于圆周长的一半（π r），宽相当于圆的半径（r），因为长方形面积＝长×宽，所以圆的面积S＝π r×r＝π r 。
2.已知直径求面积：先由r＝d÷2求出半径，再代入S＝π r 。已知周长求面积：先由r＝C÷π÷2求出半径，再求面积。
3.圆环（同心的两个圆之间的部分）的面积＝外圆面积－内圆面积，即S＝π R －π r ＝π（R －r ），其中R是外圆半径，r是内圆半径。
例1：圆规两脚间的距离是3厘米，画出的圆的直径是（　　）厘米，周长是（　　）厘米，面积是（　　）平方厘米。
答案：6；18.84；28.26。
解析：圆规两脚间的距离就是半径r＝3厘米。直径d＝2r＝6厘米；周长C＝2πr＝2×3.14×3＝18.84厘米；面积S＝π r ＝3.14×3 ＝28.26平方厘米。
例2：一个圆形花坛的周长是25.12米，它的面积是多少平方米？
答案：50.24平方米。
解析：要求面积必须先求半径。由C＝2πr，得r＝C÷π÷2＝25.12÷3.14÷2＝4（米）。再代入面积公式S＝π r ＝3.14×4 ＝50.24（平方米）。
例3：下面说法正确的是（　　）。
圆的直径是半径的2倍　　B．π＝3.14　　C．圆的对称轴是直径
答案：A。
解析：A在同一个圆中成立，直径等于半径的2倍，说法正确；B中π是无限不循环小数，3.14只是它的近似值，π≠3.14，错误；C中圆的对称轴是直径所在的直线，而直径是线段，不能说"对称轴是直径"，错误。
一、选一选
1. 如图所示为两个完全相同的正方形，比较两幅图中的涂色部分，会发现( )。
A .面积相等，周长不相等 B .周长和面积都相等
C .周长相等，面积不相等 D .周长和面积都不相等
2. 比较下面四幅图中的涂色部分，正确的说法是( )。
A .周长相等，面积不等 B .周长不等，面积相等
C .周长面积都相等 D .周长面积都不相等
3. 甲、乙两幅图中阴影部分相比较，下面的说法正确的是( )。
A .面积相等，周长相等 B .面积不相等，周长不相等
C .面积不相等，周长相等 D .面积相等，周长不相等
4. 工兵张爷爷告诉同学们，为了在战场上更好地保存兵力、储存物资，战士们需要挖出如图所示的防空洞，洞口形状可近似看成正方形与半圆组合而成，如果洞口的周长是9.14m，则洞口的面积为（ ）m2。
A .3.14 B .5.57 C .6.28 D .7.85
5.下列选项错误的是（ ）
A .圆的周长总是它半径的2π倍
B .把一个长方形拉成一个平行四边形后，面积变小了
C .三角形面积是平行四边形面积的一半
D .一个三角形的底扩大到原来的3倍，高不变，面积也扩大到原来的3倍
填空题
扫地机器人的机身一般被设计为圆形。有一个直径为4 d m 的圆形扫地机器人沿着一块长4m 、宽 2m 的长方形地毯 边缘行进一周，它清扫过的面积是 dm2。 (π 取 3.14)
7. 如图，圆的半径为r，点A、B、C、D、E、F将圆周六等分，则阴影部分面积为 。(结果保留π)
8. 如图，长方形的宽是4cm，图中阴影部分面积是 cm2(π取3.14)
9. 在一个正方形的草坪安装自动旋转喷灌装置(如下图)，射程是10m，没有被喷灌的草坪(阴影部分)面积是 m2。
10. 如下图，有一种酒瓶的直径是5cm，大小相同的酒瓶捆扎在一起(接头处不计)，第n组至少需要 cm长的绳子。(结果保留π)
判断题
11.用同样长的绳子分别围成正方形和圆，圆的面积比正方形的面积大。（ ）
12. 左图是一个半圆形，如果把它的半径缩小到原来的 ， 它的周长也缩小到原来的 ， 面积就缩小到原来的。（ ）
13. 半径是2厘米的圆，周长和面积相等。（ ）
14. 如果两个圆的面积相等，那么这两个圆的周长也相等。（ ）
15. 面积相等的两个圆，周长一定相等．（ ）
解决问题
一辆自行车的外轮胎直径是 0.7 米，车轮每分钟转动 100 圈。
这辆自行车每分钟能前行多少米？
如果骑着这辆自行车通过一座长 1099 米的桥，需要多少分钟？
17. 工人叔叔准备在光明湖内周长为62.8m的圆形草坪上安装自动水龙头喷灌装置，现有射程8m、10m和15m三种喷灌装置。
选用哪种射程的喷灌装置比较合适，并说明理由。
这块圆形草坪的面积是多少平方米？
在这个圆形草坪外围铺一条4m宽的小路，请你计算出这条小路的面积是多少平方米？
18. 公园里有一个周长12.56米的圆形花坛。
（1）这个花坛的占地面积是多少？
（2）公园要在花坛的四周铺一条1米宽的小路，这条小路的面积是多少？
19. 如图，中间空白部分是一个正六边形，它的边长为3 dm， 图中阴影部分的面积是多少 平方分米？(π取3)
20. 如图，大小不同的3个正方形分别内接于3个同心圆，已知最小的圆的半径为1cm， 那么阴影部分的面积是多少平方厘米？(π取 ）
参考答案
选择题
A
解析：比较两幅图的涂色部分的面积相等，都是：正方形的面积 - 圆形的面积；左图的周长 = 圆的周长 + 一条边长，右图的周长 = 圆形的周长 + 正方形的周长。
B
解析：每个图形阴影部分的面积 = 正方形面积 - 圆的面积图 ；1 阴影部分的周长 = 圆的周长 + 4 条边长；图 2 阴影部分的周长 = 圆的周长 + 2 条边长；图 3 阴影部分的周长 = 圆的周长；图 4 阴影部分的周长 = 圆的周长 + 4 条边长。
D
解析：甲、乙两幅图中阴影部分的面积相等，周长不相等。
B
解析：。
A
解析：根据题意，可得A：根据圆的周长公式（C表示周长，r表示半径），可得，所以圆的周长总是它半径的 2B：把长方形拉成平行四边形后，底的长度不变，但是高变小了，根据长方形面积公式（a，t面积公式（a 为底，h 为高），这里 a 不变，h ；C：只有当三角形与平行四边形等底等高时，三角形面积才是平行四边形面积的一半，该选项缺少前提D：根据三角形面积公式（a 为底，h 为高），当底扩大到原来的 3 倍，高不变时，新面积，即面积扩大到原来的 3 倍，该选项正确。
二、填空题
6.492.56
解析：先统一单位：长，宽，机器人圆形机身直径。直边扫过的长条面积：两条长对应的长条面积为，两条宽对应的长条面积为，和。四个角落扫过的部分能拼成一个完整的大圆，圆的直径是，算出圆面积把两部分面积相加：。
7.
解析：点 A、B、C、D、E、F 将圆周六等分，因此每段弧对应的圆心角为，建扇形，每个扇形的圆心角为。利用图形的对称性，将分散的阴影部分通过平移、旋转拼接，可以发现所有阴影部分恰好能拼成 3 个相当于一个圆心角为的半圆。圆的面积为：；阴影部分面积为半圆的面积：。
8.
解析：如图所示进行等积转化，图中阴影面积为长方形面积的一半减去圆的面积，，，。
9.86
解析：。
10.
解析：酒瓶直径。第①组（）：排列，绳子长度个圆的周长条直径第②组（）：排列，绳子长度个圆的周长条直径第③组（）：排列，绳子长度个圆的周长条直径由此可归纳出第组的规律：。
三、判断题
11.正确
解析：设绳子的长度为 L，，
，
，
，
，那么圆的面积比正方形的面积大。
12.正确
解析：设原半圆半径为r：
原半圆周长：，
半径缩小到后，新半圆周长：，
原半圆面积：，
新半圆面积：。
错误
解析：圆的周长和面积无法比较大小，原题说法错误。
14.正确
解析：设两个圆的半径分别为和；如果两个圆的面积相等，则因为是一个固定的数且不为 0，所以等式两边同时除以，得。由于半径为正数，因此；周长分别为和由于，所以，即两个圆的周长相等。
15.正确
解析：圆面积和周长就是由半径决定的，面积相等，半径一定相等，那么周长一定相等。
四、解决问题
16.（1）解：（米）
答：这辆自行车每分钟能前行 219.8 米。
（2）（分）
答：需要 5 分钟。
解析：（1）此题主要考查了圆的周长的应用，已知车轮的外轮胎直径，可以求出车轮的周长，，然后乘每分钟转动的圈数，可以求出这辆自行车每分钟能前行的米数；
（2）桥的长度 ÷ 这辆自行车每分钟能前行的米数 = 通过桥需要的时间，据此列式解答。
17.（1）解：（米）
答：选用 10 米射程的喷灌装置比较合适。
（2）解：（平方米）
答：这块圆形草坪的面积是 314 平方米。
（10
（平方米）
答：这条小路的面积是 301.44 平方米。
解析：（1）根据周长算出草坪半径为 10 米，所以选用射程 10 米的装置才能完全覆盖草坪。
（2）直接代入圆的面积公式，用半径 10 米算出草坪面积为 314 平方米。
（3）先算出包含小路的外圆半径为 14 米，再用外圆面积减去内圆面积，得到小路的面积为 301.44㎡
18.解：（1）
（米）
（平方米）
答：这个花坛的占地面积是 12.56 平方米。
（2）（米）
（平方米）
答：这条小路的面积是 15.7 平方米。
解析：（1）利用圆的周长公式推导半径，再代入圆的面积公式，就能算出花坛的占多少。
（2）利用环形面积公式，代入对应数据计算就能得到小路的面积。
19.先求半径为 3 d m 的整圆面积：（平方分米）
阴影拼接后扇形圆心角为 270°，占整个圆的
计算阴影面积：
（平方分米）
答：图中阴影部分的面积是 40.5 平方分米。
解析;正六边形的内角是 120°，图中的阴影扇形圆心角相加，拼在一起可以组成圆心角 270°、半径 3dm 的扇形；扇形面积计算方法：扇形面积 = 圆的面积 × 圆心角 ÷360；已知取 3，半径是 3 分米，代入公式求出阴影面积。
解：将题图拆分为 3 组，如下图所示。
图 1 由 “小方 + 小圆 + 中方” 构成，根据 “方中圆 + 圆中方” 推导的面积比，
可得 S 中方：S 小圆：S 小方，
因，
可得，
则；
结合 “方中圆 + 圆中方”“圆中方 + 方中圆” 推导的面积比，
可推导出 S 大圆：S 中圆：S 小圆，S 大方：S 中方：S 小方，
因，
可得；
如图 2，；
如图 3，；
。
答：阴影部分的面积是 8 平方厘米。
解析：借助方中圆、圆中方的面积比例关系，由最小圆半径 1cm 依次求出三个圆与对应内接正方形的环形阴影面积再相加，代入化简后得到总面积。

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