资源简介

25.1　一元二次方程的概念
1．理解一元二次方程及一元二次方程的根的概念．
2．掌握一元二次方程的一般形式，正确认识二次项系数、一次项系数和常数项．
由实际问题列出一元二次方程，得出一元二次方程的概念．
对一元二次方程的一般形式的正确理解及其各项系数的确定．
新课导入
在设计人体雕像时，使雕像的腰部以上与腰部以下的身长比，等于腰部以下与全身的身长比，可以增加视觉美感。如果某人体雕像全身长为 5 m，按照上述比例，雕像腰部以下为多长？
让我们画出图形，解决这个问题．
如图，雕像腰部以上的身长AC与腰部以下的身长BC 满足如下等量关系：
AC∶BC＝BC∶5，即BC2＝5AC．
设雕像腰部以下的身长BC为x m，根据上述等量关系，就可以列出方程x2＝5(5－x)，整理得
x2＋5x－25＝0．
这个方程也只含有一个未知数，但未知数的最高次数是 2，和一元一次方程不同。在本节课中，我们将围绕这个方程展开探究学习。
【设计意图】利用人体雕像身长比例分割问题，建立数学模型，得到一元二次方程，为本节课新知识的学习做好铺垫。
新知探究
一、探究学习
【问题】1．如图1，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四角各切去一个同样大小的正方形，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（图2）．如果要制作的无盖方盒的底面积为3 600 cm2，那么矩形铁皮各角应切去边长为多少的正方形铁皮？（只列方程）
【师生活动】教师引导学生对所给图形进行分析，合理设未知数、列方程．
【答案】解：设各角切去的正方形铁皮的边长为x cm，则盒底的长为(100－2x)cm，宽为(50－2x)cm．根据方盒的底面积为3 600 cm2，可列得方程
(100－2x)(50－2x)＝3 600．
整理并化简，得x2－75x＋350＝0．
【问题】2．要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛 1 场）．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？（只列方程）
【师生活动】学生以小组为单位，对题目中所给的数量关系进行分析，指名学生代表口述分析过程，教师进行点评．
【分析】全部比赛的场数为4×7＝28．
设应邀请x支球队参赛，每支球队要与其他(x－1)支球队各赛一场，则此次邀请赛共需进行x(x－1)场．
【师生活动】教师出示气泡问题 “为什么需进行x(x－1)场？”，组织小组讨论；学生发言后教师总结：若直接用x(x－1)计算，甲队对乙、乙队对甲会被算作两场，实际是同一场比赛，因此需要除以 2，避免重复计数。
【答案】解：设应邀请x支球队参赛．
列方程为x(x－1)＝28．
整理并化简，得x2－x－56＝0．
【设计意图】通过安排两个实际问题，得出一元二次方程的具体实例，为后面新知识的学习进行铺垫．
【问题】在x2－75x＋350＝0，x2－x－56＝0这两个方程中，未知数的个数和最高次数各是多少？
【师生活动】引导学生观察两个方程，得出答案．
【答案】这两个方程中，未知数的个数都是1，未知数的最高次数都是2．
【思考】观察下列三个方程，找到它们的共同点：
x2＋5x－25＝0，x2－75x＋350＝0，x2－x－56＝0．
1．方程两边都是________；
2．只含有_______个未知数；
3．未知数的最高次数是______．
【师生活动】引导学生观察三个方程，发现它们在形式上的共同点．
【答案】整式　　一　　2
【设计意图】此处通过观察三个来源于实际情境的方程，帮助学生抽象出一元二次方程的概念与标准数学形式．
二、新知精讲
【新知】等号两边都是 整式 ，只含有 一个 未知数（一元），并且未知数的最高次数是 2 （二次）的方程，叫作一元二次方程．
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．
一元二次方程的各项及其系数：
【问题】在一元二次方程的一般形式中，为什么规定a≠0？
　　【师生活动】引导学生探究在a＝0的时候出现什么情况．
　　【答案】当a＝0时，方程没有二次项．
【设计意图】使学生明白，在一元二次方程中，a，b，c可以用来表示具体的常数，它们可以取不同的数值；但要保证一元二次方程成立，需要二次项系数不为0．
【新知】使一元二次方程左右两边 相等 的未知数的值，就是这个一元二次方程的 解 ，一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根．
三、典例精讲
【例1】下列方程中，哪些是一元二次方程？
（1）x2＝4； （2）y2－3y＋1＝0；
（3）(y－1)2＝y2＋2； （4）x2－2y＋1＝0．
【师生活动】学生组内讨论，解答本题，教师提问．
【答案】解：（1）整理，得x2－4＝0，是一元二次方程；
（2）是一元二次方程；
（3）整理，得2y＋1＝0，未知数的最高次数是1，所以不是一元二次方程，是一元一次方程；
（4）方程中含有x，y两个未知数，不是一元二次方程．
所以（1）（2）是一元二次方程．
【设计意图】巩固学生对一元二次方程概念的掌握，能够正确地判断出一元二次方程．
【归纳】判断一元二次方程，理清“是”“否”是关键
【例2】将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．
【师生活动】学生独立解决此题，组内之间交流纠错．
【答案】解：去括号，得
3x2－3x＝5x＋10．
移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式
3x2－8x－10＝0．
它的二次项系数为3，一次项系数为－8，常数项为－10．
【归纳】化一元二次方程为一般形式的步骤
第1步：去分母；
第2步：去括号；
第3步：移项；
第4步：合并同类项．
【设计意图】巩固学生对一元二次方程及相关概念的掌握，同时给出具体的化简方程的一般步骤．
【归纳】确定一元二次方程的各项及其系数，三点注意莫忽视
（1）先把方程化为一般形式．如果二次项系数小于0，一般把方程两边同乘－1，将其二次项系数转化为大于0的数．
（2）指出一元二次方程各项的系数时，注意带上前面的符号，不要漏掉．
（3）特例：若没有出现一次项bx，则b＝0；若没有出现常数项，则c＝0．
【例3】判断x＝2，x＝3是不是一元二次方程x2－x－5＝1的根．
【师生活动】学生独立解决本题，教师提问．
【答案】解：将x＝2分别代入方程的左右两边，得左边＝－3，右边＝1，－3≠1，
所以x＝2不是方程的根；
将x＝3分别代入方程的左右两边，得左边＝1，右边＝1，1＝1，
所以x＝3是方程的根．
【设计意图】巩固对一元二次方程的根的概念的认识．
【归纳】判断一个数是不是一元二次方程的根的妙招
将已知数值分别代入一元二次方程的左右两边，若左右两边的值相等，则这个数值是一元二次方程的根；否则不是一元二次方程的根．
四、拓展提升
一元二次方程的特殊形式
a，b，c的取值 方程的一般形式
a≠0 b≠0，c＝0 ax2＋bx＝0
b＝0，c≠0 ax2＋c＝0
b＝0，c＝0 ax2＝0
课堂小结
板书设计
　　一、一元二次方程的概念
二、一元二次方程的一般形式
三、一元二次方程的解（根）
完成教材第3～4页练习题．
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