资源简介

25.2.1　配方法
1．掌握配方的基本步骤，会用配方法解一元二次方程．
2．在探究配方法解方程的过程中，体会降次转化、化归思想，理解配方法是实现降次的手段．
理解配方法的基本思想，会用配方法解一元二次方程．
能够熟练进行配方．
知识回顾
　　1．如果x2＝a，那么x叫作a的平方根．
　　当a为正数时，a有两个平方根，即x的值有两个，分别为_________；
　　当a为0时，a的平方根为0，即x的值有两个，均为_________；
　　当a为负数时，a没有平方根，即x的值不存在．
2．若一个数的平方等于9，则这个数是______；若一个数的平方等于7，则这个数是________．
　　【答案】1．　　0　　2．±3　　
新课导入
【问题】回顾思考：
（1）解一元二次方程的核心实质是什么？
（2）直接对等式两边开平方，需要满足什么条件？
（3）移项时，项的符号如何变化？
（4）等式两边同时加同一个代数式，等式仍然成立吗？
【答案】（1）降次，将一元二次方程转化为一元一次方程．
（2）方程的一边为完全平方式，另一边为非负数．
（3）符号改变．
（4）成立．
新知探究
一、探究学习
（一）直接开平方法
【问题】观察最简一元二次方程 x =4，如何利用平方根的意义求解？
【师生活动】学生口述解题过程，教师板书规范步骤．
【解答】
根据平方根的意义，得 x=±2，
即 x =2，x =－2．
【归纳】一般地，对于方程 x =p：
当 p>0 时，方程有两个不相等的实数根：x =，x =－；
当 p=0 时，方程有两个相等的实数根：x =x =0；
当 p<0 时，任意实数的平方均为非负数，方程无实数根．
【探究拓展】对照解方程 x =4 的过程，你认为应怎样解方程 (x+3) =5？
【师生活动】引导学生把 (x+3) 看成一个整体，类比基础模型开平方降次．
【解答】
在解方程 x =4时，由方程x2＝25得x＝±5．
由此想到：由方程(x＋3)2＝5得x＋3＝±．
即x＋3＝，或x＋3＝－．
于是，方程(x＋3)2＝5的两个根为x1＝－3＋，x2＝－3－．
【新知小结】像这样，把含有未知数的完全平方式整体开平方，将二次方程降次为一元一次方程求解的方法，叫作直接开平方法．
【例题】解下列方程：
（1）4x －3=0　　（2）(x+2) －9=0
【师生活动】两名学生上台板演，教师巡视纠错，规范书写步骤。
【解答】
（1）移项，并将二次项系数化为 1，得 x =，
开平方得 x=±，
即 x =，x =－．
（2）移项，得 (x+2) =9，
开平方得 x+2=±3，
即 x+2=3 或 x+2=－3，
解得x =1，x =－5。
【课堂小练习】解下列方程：
（1）x －9=0；（2）2x －8=0；（3）9x －5=3；
（4）(x+6) －9=0；（5）3 (x－1) －6=0；（6）x －4x+4=5．
【设计意图】由单一平方模型过渡到整体平方形式，分层练习巩固 “降次” 核心思想，为后续配方变形做好铺垫．
【过渡提问】我们会解(x＋3)2＝5这类能直接开平方的方程，观察方程x2＋6x＋4＝0，该如何求解？
【追问】方程(x＋3)2＝5的左边是含未知数x的完全平方式，右边是非负数，因此可直接开平方实现降次．
能否将方程x2＋6x＋4＝0变形为这种可直接开平方的形式？
【师生活动】教师引导观察、对比两个方程结构，启发学生思考配方思路，适时点拨．
【设计意图】以直接开平方法为基础，搭建新旧知识桥梁，引出配方转化的核心思路，贴合教材“先降次开方、再学习配方”的编排顺序．
（二）配方法
【问题】怎样解方程x2＋6x＋4＝0呢？
【师生活动】先让学生自主观察、尝试变形；若学生无从下手，教师再逐步引导思考。
【追问】把方程(x＋3)2＝5的左边展开，得到x2＋6x＋9＝5，对比这个方程与待求解的x2＋6x＋4＝0，你有什么发现？方程x2＋6x＋4＝0经过怎样转化，可以得到方程(x＋3)2＝5？
【师生活动】教师引导学生发现方程之间的关联，同时引导学生发现转化的步骤．
【答案】转化及解方程过程：
第一步：把方程x2＋6x＋4＝0左边的常数项移到等号的右边，得到x2＋6x＝－4；
第二步：在方程x2＋6x＝－4的等号两边同时加9，得到x2＋6x＋9＝－4＋9；
第三步：将x2＋6x＋9＝－4＋9的左边写成完全平方形式，得到(x＋3)2＝5．
第四步：对方程(x＋3)2＝5直接开平方降次求解．
【追问】转化过程第二步中，为什么在方程两边加9？加其他数行吗？
【师生活动】教师抛出问题，学生小组讨论交流、发表观点，教师总结梳理配方核心规则．
【答案】要想使方程左边化成完全平方式，对照完全平方式中一次项系数的特征可知，当二次项系数为1时，需要加上一次项系数一半的平方，本题一次项系数为 6，一半是 3，平方为32＝9；加其他数，无法将左侧配成标准完全平方式．
【设计意图】通过对比、分步探究，让学生自主归纳配方的基本思路与操作步骤，体会转化、降次的核心思想．
【新知】通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫作配方法．
配方法的目的：降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解；
配方法的依据：完全平方公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2．
【过渡】前面我们学习了直接开平方法，也探究出配方变形的思路，接下来通过三道典型例题，完整掌握配方法解方程的规范步骤。
二、典例精讲
【例题】解下列方程：
（1）x2－8x＋1＝0； （2）2x2＋1＝3x； （3）3x2－6x＋4＝0．
【师生活动】学生独立完成，请两名学生板书，教师与学生一起总结解方程的步骤，给出规范格式．
【分析】（2）先把方程化成2x2－3x＋1＝0．它的二次项系数为2，为了便于配方，需将二次项系数化为1，为此方程的两边都除以2．
【答案】解：（1）移项，得x2－8x＝－1．
配方，得x2－8x＋42＝－1＋42，
(x－4)2＝15．
由此可得x－4＝±，
x1＝4＋，x2＝4－．
（2）移项，得2x2－3x＝－1．
二次项系数化为1，得x2－x＝－．
配方，得x2－x＋＝－＋，
．
由此可得x－＝±，
x1＝1，x2＝．
（3）移项，得3x2－6x＝－4．
二次项系数化为1，得x2－2x＝－．
配方，得x2－2x＋12＝－＋12，
(x－1)2＝－．
因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时，(x－1)2都是非负数，上式都不成立，即原方程无实数根．
【设计意图】细化解题步骤，明确解题过程中每一步的目的，做到按部就班、环环落实．
【归纳】1．用配方法解形如x2＋px＋q＝0的方程
（1）移项，将常数项移到方程的右边；
（2）两边都加上一次项系数一半的平方，配成完全平方式；
（3）直接用开平方法求出它的解．
2．用配方法解系数不为1的一元二次方程的要点
（1）方程两边同除以二次项系数，把二次项系数要化为1；
（2）在二次项系数化为1时，常数项也要同步除以二次项系数；
（3）后续配方步骤同上．
【问题】通过配方将方程化为(x＋n)2＝p后，根据p的取值情况，你能总结出方程解的情况吗？
【师生活动】先由学生归纳，教师补充完善，得到方程的解的三种情况．
【答案】如果一个一元二次方程通过配方可以转化成(x＋n)2＝p的形式，则有：
（1）当p＞0时，方程有两个不等的实数根：
x1＝－n＋，x2＝－n－；
（2）当p＝0时，方程有两个相等的实数根：
x1＝x2＝－n；
（3）当p＜0时，方程无实数根．
【设计意图】让学生知道p可能的取值情况，由此得出方程的解的三种情况，为下节课推导求根公式奠定基础．
【思考】通过例题解答，你能总结出用配方法解一元二次方程的一般步骤吗？
【师生活动】学生独立思考、讨论、总结，教师引导学生得出配方法的基本步骤．
【答案】1．把常数项移到等号的右边．
2．把二次项系数化为1．
3．在方程的两边同时加上一次项系数一半的平方．
4．利用直接开平方法降次求出方程的解．
简记为：“一移二化三配四解”．
补充说明：前文分两类梳理解题注意事项，下方为通用完整解题口诀，兼顾不同层次学生记忆需求．
【设计意图】引导学生归纳配方法解任意一元二次方程的通用操作步骤，简记 “一移二化三配四解”，规范解题流程．
课堂小结
板书设计
25.2 降次——解一元二次方程
25.2.1 配方法
一、直接开平方法（把完全平方式整体开方，实现降次）
二、配方法
（一）配方法的概念
1．定义：配成完全平方式解方程
2．核心：降次
3．依据：完全平方公式
（二）配方法的步骤：一移二化三配四解
（三）配方法的关键：加一次项系数一半的平方
（四）配方后(x＋n)2＝p根的三种情况
完成教材第9页练习题．
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