资源简介

25.2.2　公式法
1．经历用配方法推导一元二次方程求根公式的全过程，理解根的判别式Δ＝b2－4ac的由来．
2．掌握Δ＞0、Δ＝0、Δ＜0三种情况对应的实数根情况，能不解方程直接判断一元二次方程实数根的个数．
3．熟记求根公式，会用公式法解数字系数、简单含字母系数一元二次方程．
4．能根据方程根的情况，利用判别式求参数取值范围，体会分类讨论数学思想．
根的判别式与根的关系；用公式法规范解一元二次方程．
灵活运用判别式求参数取值范围；含字母系数方程的分类讨论．
新课导入
回顾上一节配方法，抛出核心探究问题：
【问题】任何一个一元二次方程都可以写成一般形式：
ax2＋bx＋x＝0(a≠0)，
我们已经会用配方法解数字系数方程，能不能用配方法求出这个含字母一般式的解？
【师生活动】
1．师生共同分步配方推导：
移项，得ax2＋bx＝－c．
二次项系数化为1，得x2＋x＝－．
配方，得x2＋x＋＝－＋，
即．
2．递进追问：
（1）左边是完全平方式，取值恒大于或等于 0，右边分式的正负由哪个代数式决定？
（2）分三种情况讨论b2－4ac的正负，方程实数根会出现什么不同情况？
【设计意图】从配方法旧知自然切入一般式推导，让学生亲眼看见判别式Δ=b2 4ac是配方后诞生的代数式，理解判别式的由来；再顺势分类讨论根的三种情况，最后汇总得到统一求根公式，知识生成逻辑和课本完全一致。
新知探究
一、探究学习
（一）根的判别式
【问题】在实数范围内，等式可以直接开平方吗？
【师生活动】学生独立思考，教师适时给予点拨：只有当≥0的时候，可以直接开平方．因为a≠0，所以4a2＞0，所以的符号由b2－4ac决定．
【追问】式子b2－4ac的值有几种情况？
【师生活动】学生围绕式子的符号展开讨论，教师提问．
【答案】式子b2－4ac的值有以下三种情况：
（1）b2－4ac＞0
这时＞0，由得
方程有两个不等的实数根
x1＝，x2＝．
（2）b2－4ac＝0
这时＝0，由可知，
方程有两个相等的实数根
x1＝x2＝．
（3）b2－4ac＜0
这时＜0，由可知＜0，
而x取任何实数都不能使其小于0，所以方程无实数根．
【设计意图】此处通过讨论b2－4ac的符号问题，让学生充分感受分类讨论的数学思想，直观理解判别式的由来，为求根公式推导做好铺垫．
【新知】可以发现，式子b2－4ac可以判别一元二次方程的根的情况，因此把它叫作一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即Δ＝b2－4ac．
【归纳】一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)实数根的情况
（1）当Δ＞0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不等的实数根；
（2）当Δ＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根；
（3）当Δ＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实数根．
【小结】结合以上分类讨论能够发现，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有无实数根、根是否相等，完全由判别式Δ的符号决定．
【特别提醒】（1）一元二次方程有两个实数根时，应包括有两个不相等实数根或两个相等的实数根，此时Δ≥0，切勿丢掉等号．
（2）判别式仅针对一元二次方程；若方程二次项系数含字母，需分类讨论系数是否为 0．
（二）求根公式推导
【新知】当Δ≥0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的实数根可写为
x＝
的形式，这个式子叫作一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式．
求根公式表达了用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的结果．解一个具体的一元二次方程时，把各系数代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法．
【问题】你能用公式法解方程x2－3x＝1吗？
【师生活动】先让学生观察、尝试．如果学生有困难，教师可以引导学生思考．
【答案】解：移项，得x2－3x－1＝0．
因为a＝1，b＝－3，c＝－1．
所以Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×1×(－1)＝13＞0．
方程有两个不相等的实数根x＝，
即x1＝，x2＝．
【追问】你能根据上面的解题过程，总结出用公式法解一元二次方程的一般步骤吗？
【师生活动】学生以小组为单位，交流讨论进行总结，教师适时点拨．
【答案】第1步：先把方程化为一般形式；
第2步：确定a，b，c的值；
第3步：计算判别式Δ的值；
第4步：当Δ≥0时，把a，b，c的值代入一元二次方程的求根公式，求得方程的根；当Δ＜0时，方程没有实数根．
简记为：一化二定三算四求．
【设计意图】让学生结合解题过程，直观感受使用公式法解一元二次方程的步骤，同时对解题步骤进行归纳，为后续直接使用求根公式解方程作铺垫．
【提醒】求根公式适用的一元二次方程的形式：求根公式适用于所有的一元二次方程，是通用解法，也被称作“万能公式”，使用时必须保证二次项系数a≠0．
二、典例精讲
【例1】用公式法解下列方程：
（1）x2－4x－7＝0； （2）2x2－2x＋1＝0；
（3）5x2－3x＝x＋1； （4）x2＋17＝8x．
【师生活动】学生独立解题，教师巡视纠错．
【答案】解：（1）因为a＝1，b＝－4，c＝－7．
所以Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×1×(－7)＝44＞0．
方程有两个不等的实数根
即x1＝2＋，x2＝2－．
（2）因为a＝2，b＝－2，c＝1．
所以Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4×2×1＝0．
方程有两个相等的实数根
x1＝x2＝
注意：当Δ＝0时，两根相等，可简化书写为x1＝x2＝，也可完整代入求根公式计算。
（3）方程化为5x2－4x－1＝0．
此时a＝5，b＝－4，c＝－1．
所以Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×5×(－1)＝36＞0．
方程有两个不等的实数根
x＝
即x1＝1，x2＝－．
（4）方程化为x2－8x＋17＝0．
此时a＝1，b＝－8，c＝17．
所以Δ＝b2－4ac＝(－8)2－4×1×17＝－4＜0．
方程无实数根．
【设计意图】通过例1，考查学生对求根公式的掌握程度，同时锻炼学生的计算能力，能够熟练应用公式法解一元二次方程．
【归纳】1．公式法求解一元二次方程的两点注意
（1）必须先将方程化成一般形式，再确定a，b，c的值，确定a，b，c的值时要注意它们的符号；
（2）当Δ≥0时，方程有实数根；
当Δ＜0时，负数无法开平方，方程无实数根．
2．公式法求解一元二次方程的常见易错点
（1）没有把一元二次方程化为一般形式；
（2）没有判断Δ的值就直接运用公式；
（3）确定a，b，c的值时，符号出现错误．
【例2】解关于x的方程：(m＋n)x2＋(4m－2n)x＋n－5m＝0(m≠0，n≠0)．
【师生活动】教师带领学生进行分析：关于x的方程是指x是未知数，m，n是已知数．注意二次项的系数含字母时，要考虑其是否为0．
当m＋n＝0时，转化为一元一次方程求解；当m＋n≠0时，按照一元二次方程的求解方法求解．
【答案】解：①当m＋n＝0，且m≠0，n≠0时，n＝－m，原方程可化为(4m＋2m)x－m－5m＝0，即6mx－6m＝0．
因为m≠0，所以x＝1．
②当m＋n≠0，且m≠0，n≠0时，
因为a＝m＋n，b＝4m－2n，c＝n－5m，
所以Δ＝b2－4ac＝(4m－2n)2－4(m＋n)(n－5m)＝36m2＞0，
所以x＝，
注意：，再分m＞0，m＜0两种情况去掉绝对值化简，两种情形下均能得到根x1=1。
不论m是正数，还是负数，都有x1＝1，x2＝．
【设计意图】设置本题，使学生掌握利用求根公式解决含有字母系数的一元二次方程的相关问题，同时渗透分类讨论思想，增强学生逻辑推理能力．
【归纳】1．类比数字系数方程，巧解字母系数方程
解含有字母系数的方程的方法就是把字母看作已知常数，解题方法与步骤和系数为数字时相同，不同的是有时要对系数进行讨论：先判断二次项的系数是否为0，若为0，则按一元一次方程来求解；若不为0，再确定a，b，c的值，求出Δ的值，当Δ≥0时，套用求根公式进行求解．
2．（1）解含有字母参数的一元二次方程时，一定要注意区分哪个是未知数，哪个是字母参数．
（2）注意考虑各字母的取值范围，如果题目中字母有附加条件，应根据条件确定方程的根，否则应讨论各种可能的情况．
课堂小结
板书设计
　　一、根的判别式
Δ＝b2－4ac
Δ＞0：两个不等的实数根
Δ＝0：两个相等的实数根
Δ＜0：无实数根
　　一、一元二次方程的求根公式
当Δ≥0，a≠0时，x＝
二、公式法解一元二次方程的概念
三、公式法解一元二次方程的步骤
一化（一般形式）、二定（a，b，c）、三算（Δ）、四求（代公式）
完成教材第12页练习题．
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