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25.2.4　一元二次方程的根与系数的关系
1．通过因式分解、求根公式两种方法推导并掌握一元二次方程根与系数的关系，能直接求两根和与积，完成代数式整体代换求值、已知一根求参数，牢记使用结论的前提为Δ≥0，解题时主动检验．
2．在由二次项系数为 1 的特殊方程推广至一般一元二次方程的探究中，体会由特殊到一般、转化、整体代换的数学思想，提升代数推理与变形能力．
3．在推导与综合解题中，养成先判断判别式、检验参数取值的严谨解题习惯，体会因式分解与本节知识的内在关联．
一元二次方程根与系数关系的双路径推导、公式运用与综合应用，使用韦达定理前检验判别式的规范．
借助因式分解建立根与系数的联系；含两根代数式的恒等变形；含参问题结合Δ≥0取舍参数．
新课导入
回顾：上一节我们学习了因式分解法解一元二次方程，已知两根x1，x2时，可以反向构造方程(x－x1)(x－x2)＝0，展开后能直观发现两根和、两根积与方程系数的关系．此前我们推导了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式，公式说明方程的根完全由系数a，b，c决定，暗藏根与系数的内在联系．
提问：除了求根公式、因式展开这两种形式，一元二次方程的根与系数之间，是否存在简洁通用的等量关系？今天我们一起来探究．
新知探究
一、探究学习
【问题】由因式分解法可知，若方程两根为x1和x2，可写成(x－x1)(x－x2)＝0，将其化为x2＋px＋q＝0的形式，展开方程，观察对比后你有什么发现？能找出x1，x2与p，q之间的关系吗？
【师生活动】学生独立思考，通过将(x－x1)(x－x2)＝0的左边展开，化为一般形式进行观察，得出结论．
【答案】把方程化为x2＋px＋q＝0的形式后，得到方程：
x2－(x1＋x2)x＋x1x2＝0，
对比x2＋px＋q＝0可以发现，这个方程的二次项系数为 1 ，一次项系数p＝ －(x1＋x2) ，常数项q＝ x1x2 ．
于是，上述方程两个根的和、积与系数分别有如下关系：
x1＋x2＝ －p ，x1x2＝ q ．
【设计意图】依托前一节因式分解旧知，从特殊形式入手，铺垫根与系数的直观关系，感受由特殊到一般的探究思路．
【问题】一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，二次项系数a不是1，它的两个根的和、积与系数存在怎样的关系呢？
【师生活动】教师带领学生复习求根公式：x1＝，x2＝．
学生分组尝试，分别计算两根的和与积，完成后全班汇总推导结果．
【答案】x1＋x2＝＋＝＝－．
x1x2＝·＝＝．
【问题】我们除了用求根公式计算，能不能沿用刚才因式分解的思路推导通用结论？
【师生活动】教师引导：若ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为x1，x2，由因式分解法可变形为a(x－x1)(x－x2)＝0，全班同步展开，对比等式两边同类项系数．
【答案】
展开a(x－x1)(x－x2)＝ax2 a(x1＋x2)x＋ax1x2，
与ax2＋bx＋c＝0对比系数得：
a(x1＋x2)＝b，ax1x2＝c，
化简同样得到：x1＋x2＝－，x1x2＝．
【设计意图】打通前后课时逻辑，用两种完全独立的方法得到同一结论，强化因式分解与本节知识的关联，完善推理逻辑．
【问题】把方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两边同除以a，能否得出前面二次项系数为 1的结论？
【答案】方程两边同除以a，得x2＋x＋＝0，则二次项系数变为1，此时方程可化为x2＋px＋q＝0的形式，对应p＝－，q＝．结合此前x1＋x2＝－p，x1x2＝q，可再次验证通用结论成立．
【设计意图】通过方程变形实现一般式与特殊式的互化，完整走完“特殊→一般→回归特殊”的闭环，巩固两种推导方法得到的统一结论．
【新知】方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：
x1＋x2＝－，x1x2＝．
这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比．
【特别提醒】1．在使用两根之和关系式时，不要漏写“－”；
2．能用根与系数的关系的前提条件为Δ＝b2－4ac≥0，方程必须存在实数根；
3．方程不是一般式的要先化成一般式．
二、典例精讲
【例1】根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积：
（1）x2－6x－15＝0；（2）3x2＋7x－9＝0；（3）5x－1＝4x2．
【师生活动】学生在解决问题时易出现先解方程求根再计算的繁琐做法，教师引导对比两种方法，体会韦达定理不解方程直接求值的优势．
【答案】解：（1）x1＋x2＝－(－6)＝6，x1x2＝－15．
（2）x1＋x2＝－，x1x2＝＝－3．
（3）方程化为4x2－5x＋1＝0．x1＋x2＝－＝，x1x2＝．
【归纳】利用一元二次方程的根与系数的关系求两根的和与积的三点注意
（1）一元二次方程必须有两个实数根(Δ≥0)．
（2）两根之和中的负号与方程中a，b的符号不要混淆．
（3）非标准形式方程，要先整理为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．
【设计意图】加强对一元二次方程的根与系数关系的认识，并进一步熟悉根与系数关系的应用．
【例2】关于x的方程3x2＋mx－4＝0有一个根是2，求另一个根及m的值．
【师生活动】学生独立解决问题，组内交流纠错．
【答案】解：设方程的另一个根为x1，则由一元二次方程根与系数的关系，
得2x1＝－，解得x1＝－．
x1＋2＝－，得－＋2＝－，
解得m＝－4．
所以，方程的另一个根是－，m的值是－4．
【追问】还有其他解法吗？
【答案】解：把x＝2代入3x2＋mx－4＝0，得12＋2m－4＝0，
解得m＝－4．
设方程的另一个根为x1，则2＋x1＝－＝，
解得x1＝－．
所以方程的另一个根是－，m的值是－4．
【归纳】已知一元二次方程的一个根，求另一个根的方法
方法1(利用根与系数的关系)：当方程的二次项系数、一次项系数已知，常数项未知时，利用两根的和求另一个根；当方程的二次项系数、常数项已知，一次项系数未知时，利用两根的积求另一个根．使用根与系数关系前，需保证方程存在实数根Δ≥0．
方法2(利用根的定义)：先把方程的已知根代入方程求出未知系数或常数项，再解方程求另一个根．使用根与系数关系前，需保证方程存在实数根Δ≥0．
【设计意图】考查一元二次方程根与系数的关系的应用：已知一根求另一根和待定字母的值．指导学生按两种方法解答，对已经学过的知识进行复习．
【例3】设x1，x2是方程2x2＋5x＋1＝0的两个根，求下列各式的值：
（1）(x1＋1)(x2＋1)； （2）．
【师生活动】教师引导学生观察代数式结构，将式子恒等变形为仅含x1＋x2，x1x2的形式，再整体代入求值．
【答案】解：由一元二次方程根与系数的关系，
得x1＋x2＝－，x1x2＝．
（1）(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＝－＋1＝－1；
（2）
【归纳】巧用根与系数的关系，求特殊代数式的值（前提：Δ≥0，方程存在实数根）
（1）计算：计算出x1＋x2，x1x2的值；
（2）变形：将所求的代数式变形为用x1＋x2和x1x2表示的式子；
（3）代入：代入所求的代数式计算．
【设计意图】通过代数式恒等变形与整体代换，考查学生灵活运用根与系数关系的能力，强化转化思想．
【例4】已知方程x2＋kx＋k＋2＝0的两个实数根是x1，x2，且，求k的值．
【师生活动】学生独立解决问题，教师巡视纠错．
【答案】解：由根与系数的关系得，x1＋x2＝－k，x1x2＝k＋2．
又，即(x1＋x2)2－2x1x2＝4，
所以k2－2(k＋2)＝4．
化简，得k2－2k－8＝0，解得k＝4或k＝－2．
方程x2＋kx＋k＋2＝0中，a＝1，b＝k，c＝k＋2．
所以Δ＝b2－4ac＝k2－4×1×(k＋2)＝k2－4k－8，
所以当k＝4时，Δ＜0；当k＝－2时，Δ＞0．所以k＝－2．
【归纳】使用根与系数的关系的前提——Δ≥0
利用一元二次方程根与系数的关系求方程的系数时，千万不要忘记将系数代回验证Δ≥0，因为根与系数的关系是在一元二次方程中Δ≥0的前提下使用的．
【设计意图】结合完全平方变形与判别式取舍参数，强化“使用韦达定理必须满足Δ≥0”的严谨意识，训练含参问题完整解题规范．
课堂小结
板书设计
一元二次方程的根与系数的关系
一、核心公式
x1＋x2＝－ x1x2＝
易错：两根和不要漏负号，先化一般式
二、推导方法
①因式分解对比系数 ②求根公式计算
三、使用前提
Δ＝b2－4ac≥0（含参求值必须检验）
四、典型应用
1. 不解方程，求两根和与积
2. 已知一根，求参数与另一根
3. 代数式整体代换求值
完成教材第16页练习题．
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