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温州市初中数学课时教学备课（2025年版）
课题：5.5.2 一元一次方程的应用（2）
课型：新授课 设计时间： 2026 年 10 月 16 日
学习核心内容 掌握面积体积问题的意义，能分析题中已知数与未知数之间的相等关系，列出一元一次方程解简单的应用题．学习分析面积、体积变形、盈亏等问题的方法，提高学生的分析能力及数形结合能力.[来源:21世纪育网
学习目标 评价设计（指向学习目标）
1.能用一元一次方程解决图形的面积、体积变形、盈亏等问题． 2.掌握运用一元一次方程解决等长等积变形问题的方法，提高解题能力。 1.学生能够理解等长等积变形问题中的数量关系，并能准确设出未知数。 2.学习分析几何问题的方法，提高学生的分析能力及数形结合能力．
学习过程设计
环节一：引入新课 复习旧知，情境导入 探索一： 请指出下列过程中，哪些量发生了变化？哪些量保持不变？ ⑴把一小杯水倒入另一只大杯中。 ⑵用一根15cm长的铁丝围成一个三角形，然后把它改成长方形。 ⑶用一块橡皮泥先做成一个正方体，再把它改做成球。 你能测量出一个苹果的体积是多少吗？你怎么测量呢？ 在测量过程中你发现了什么？ 苹果的体积等于测量时上升部分的水的体积． 设计意图：找到在变化过程中不变量，善于利用图形的面积、体积、周长及质量等捕捉等量关系，从而列出方程． 环节二：新知探究 如图，现有空的长方体容器 A和水深24厘米的长方体容器B(单位:厘米) (1)如果将容器B中的水全部倒入容器 A，容器 A 中的水深会是多少厘米 (2)如果将容器B中的水倒一部分给容器A，使两容器中水的高度相同。这时水深是多少厘米 等积(长)变形问题的关键： 此类问题的关键在“等积”与“等长”上，是等量关系的所在，必须掌握常见几何图形的周长、面积、体积公式。“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。“等长变形”是形状改变而周长不变为前提。 在运用方程解决有关实际问题时，清楚地分辨量与量之间的关系，尤其是相等关系，是建立方程的关键。解题中的检验对确保答案的正确和合理很有帮助，但具体过程可以省略不写。 【知识拓展】 1、在解决图形问题时，要抓住用不同方法表示出来的图形面积相等这一关系列出方程即可． 2、在解决等积变形问题时，首先要找到在变化过程中不变量，善于利用图形的面积、体积、周长及质量等捕捉等量关系，从而列出方程． 环节三：典例精析 例3 一标志性建筑的底面呈正方形，在其四周铺上花岗石，形成一个边宽为3.2米的正方形框（如图中阴影部分）．已知铺这个框恰好用了144块边长为0.8米的正方形花岗石（接缝忽略不计），问标志性建筑的底面边长是多少米？ 分析　阴影部分的面积＝ 144块边长为0.8米的正方形花岗石的面积． 阴影部分可以分割成4个长为（x+3.2）米，宽为3.2米的长方形． 如图，若用x表示中间空白正方形的边长，怎样用含x的代数式表示阴影部分的面积呢 你能设计几种不同的计算方法？ 解 :设标志性建筑底面的边长为x米，根据题意，得 4×3.2(x+3.2)=0.8×0.8×144， 解这个方程得 x=4， 答：这一标志性建筑底面边长为6米． 例4 如图用直径为200mm的钢柱锻造一块长、宽、高分别为300mm，300mm和80mm的长方体毛坯底板。问：应截取钢柱多少长（不计损耗，结果误差不超过1mm）？ 分析：1、在这个问题中的相等关系是： 锻造前的（ ）=锻造后的（ ）； 2、如果设锻造前圆柱的高为x毫米，也既截取的圆柱长为x毫米，则圆柱的体积怎么表示 ？ 3、锻造后长方体的长为（ ）毫米，宽为（ ）毫米，高为（ ）毫米，体积怎么计算？ 4、如何列方程？ 解：设截取圆柱的高为x（mm），根据题意，得 π××x＝300×300×80。 解这个方程，得x＝≈229。 答：应截取钢柱的长约为229mm。 环节四：课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.如图，将甲量筒中的液体全部倒入空量筒乙中，液体的高度比原来增加了5 cm。根据题意，可列方程(　　) A.π×x=π××(x＋5) B.π×x=π××(x－5) C.π×82x=π×62×(x－5) D.π×82x=π×62×5 选做题： 4.把一个半径为3 cm的大铁球融化后，能铸造　　个半径为1 cm的小铁球(球的体积公式：V=πr3，r为球的半径，不计损耗)。 【综合拓展类作业】 3.如图，将一个边长为a(cm)的正方形纸片剪去一个宽为4 cm的长方形纸片后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5 cm的长方形纸片。 (1)用含a的代数式分别表示剪去的两个长方形纸片的面积。 (2)果两次剪下的长方形纸片的面积正好相等，求剪去两个长方形纸片后，剩余纸片的面积。 环节五：课堂总结
作业内容： 【知识技能类作业】 必做题： 1.用一个底面为20 cm×20 cm的长方体容器(装满水)向一个长、宽、高分别是16 cm，10 cm和5 cm的长方体空铁盒内倒水。当铁盒装满水时，长方体容器中水的高度下降了(　　) A.1 cm B.2 cm C.10 cm D.20 cm 2.如图，大长方形ABCD由10个大小和形状均相同的小长方形拼接而成，已知BC的长为40 cm，则大长方形ABCD的面积为(　　) A.2 560 cm2 B.2 240 cm2 C.2 000 cm2 D.1 920 cm2 选做题： 3.如图，一个盛有水的圆柱形玻璃容器的内底面半径为5 cm，容器内水的高度为6 cm。把一根半径为1 cm的玻璃棒垂直插入水底，容器内的水将升高 　cm。
【综合拓展类作业】 4.[应用意识]如图，现有A，B两个圆柱形容器，B容器的底面积为S(cm2)、高为18 cm，A容器的底面积是B容器的底面积的2倍，容器内水的高度为10 cm。 (1)若把A容器内的水全部倒入B容器中，则水　　溢出(填“会”或“不会”)。 (2)若(1)中的水会溢出，则当B容器中的水倒满时，求A容器中剩余水的高度。 (3)若把A容器内的一部分水倒入B容器中，使得两个容器中水的高度恰好相同，求此时容器内水的高度。
参考答案： 课堂练习： 1.A 2. 27 3.解：(1)4a(cm2)，(5a－20)cm2。 (2)因为两次剪下的长方形纸片的面积正好相等，所以4a=5a－20，解得a=20， (20－4)×(20－5)=16×15=240(cm2)。 答：剪去两个长方形纸片后，剩余纸片的面积为240 cm2。 作业内容： 1.B 2.A 3. 4.解：(1)A容器内水的体积为2S×10=20S(cm3)， B容器的容积为18S(cm3)。 因为S＞0， 所以20S(cm3)＞18S(cm3)， 所以若把A容器内的水全部倒入B容器中，则水会溢出。 (2)设A容器中剩余水的高度为x(cm)， 由题意，得2Sx＋18S=20S， 解得x=1。 答：A容器中剩余水的高度为1 cm。 (3)设此时容器内水的高度为y(cm)， 由题意，得2Sy＋Sy=20S， 解得y=。 答：此时容器内水的高度为 cm。
作业类别 选用 改编 自编 书面练习类 口头训练类 活动实践类
板书设计： 课题：5.5.2 一元一次方程的应用（2） 1.概念 2.例题 3.巩固练习
教学反思：此类问题的关键在“等积”与“等长”上，是等量关系的所在，必须掌握常见几何图形的周长、面积、体积公式。“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。“等长变形”是形状改变而周长不变为前提。 在运用方程解决有关实际问题时，清楚地分辨量与量之间的关系，尤其是相等关系，是建立方程的关键。解题中的检验对确保答案的正确和合理很有帮助，但具体过程可以省略不写。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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