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温州市初中数学课时教学备课（2025年版）
课题：5.5.4 一元一次方程的应用（4）
课型：新授课 设计时间： 2026 年 10 月 16 日
学习核心内容 通过列一元一次方程的解决实际生活中的问题激发学习的兴趣，掌握利率、税率问题、集合问题的基本数量关系，进一步掌握分析数量关系、列方程的方法．通过分析成本、售价、利润等关系，锻炼学生的逻辑思维和解决实际问题的能力．
学习目标 评价设计（指向学习目标）
1、继续体验方程是刻画现实世界的有效的数学模型； 2、掌握利率、税率问题、集合问题的基本数量关系，进一步掌握分析数量关系、列方程的方法． 1.找出问题中的条件和要求的结论，并找出等量关系，列出方程，解决实际问题． 2.掌握销售和容斥问题中的数量关系，列出方程。
学习过程设计
环节一：引入新课 复习旧知，情境导入 想一想：一件衣服的进价为400元，标价为600元，按标价打折销售后，获得5%的毛利率。这件衣服是打几折销售的？ 解：设此商品是按x折销售的， 600×0.1x-400=400×5%, x=7. 此商品是按7折销售的. 设计意图：通过学习列方程解决实际问题，感知数学在生活中的作用，掌握利率、税率问题的解法． 环节二：新知探究 销售问题： (1)相等关系:①利润=售价-进价,②利润率=×100%；③售价=进价×(1+利润率) (2)打折:n折就是标价的,如7折就是标价的(或70%),其中n叫折数，实际售价=标价×. 分段计费问题常见类型: 我国公民个人所得税按分段累进税制计算；为鼓励节约用水、用电、用气,水费、电费、燃气费实行分段收费标准；解决这些分段问题的关键是理顺部分与整体的关系:①各段费用之和=总费用；②每一段的计费标准不同。 利息问题： (1)本金×利率×期数=利息；(若未特别说明,银行定期存款的利率是指年利率,期数是年数) (2)本金+利息=本息和；本息和=本金×(1+利率×期数). 容斥原理: 容斥原理是解决计数问题的重要方法，在计数时要求注意无一重复无一遗漏，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。 常见的容斥问题有两者容斥、三者容斥两种。 【强调】： 用一元一次方程解决实际问题时，可以先用文字表述数量关系，再将其中的一个未知量设为未知数，把其他的未知量用含该未知数的代数式表示， 根据相等关系列出方程。 【知识拓展】 容斥原理是解决计数问题的重要方法，在计数时要求注意无一重复无一遗漏，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。 常见的容斥问题有两者容斥、三者容斥两种。 环节三：典例精析 例7 某商店一款无线耳机按进价提高30%后标价，再优惠15元销售，能获得20%的毛利率(毛利率＝ ) 。销售一副该款耳机所得毛利润为多少元？ 分析:题中的数量有进价、标价、售价、毛利率、毛利润，它们之间有如下的相等关系: 标价=进价×(1+30%); 售价=标价-15; 售价×毛利率=售价一进价； 毛利润=售价一进价。 如果设进价为x元，那么根据前两个数量关系，就能用含x的代数式表示售价。然后根据第三个数量关系列方程、求解。 解:设一副该款无线耳机的进价为x元，则售价为[(1+30%)x-15]元。 根据题意，得(1+30%)x-15-x=[(1+30%)x-15]×20%, 解得x=300。 所得的毛利润为300×30%-15=75(元)。 答:销售一副该款耳机所得的毛利润是75元。 归纳：用一元一次方程解决实际问题时，可以先用文字表述数量关系，再将其中的一个未知量设为未知数，把其他的未知量用含该未知数的代数式表示， 根据相等关系列出方程。 例8 七年级二班有45人报名参加了文学社或书画社．已知参加文学社的人数比参加书画社的人数多5人，两个社都参加的有20人，问参加书画社的有多少人？ 析：我们可通过画示意图来分析数量关系。在图中，左边圆的面积表示参加书画社的人数，右边圆的面积表示参加文学社的人数，则两圆公共部分的面积表示两个社都参加的人数。 根据图中的面积关系，有下面的相等关系： 根据上面的分析，可列方程求解。 解：设参加书画社的有x人，那么参加文学社的有（x＋5）人。根据题意，得x＋(x＋5)－20＝45。 解这个方程，得x＝30。 答：参加书画社的有30人。 想一想：哪一部分的面积表示只参加文学社的数？ 变式 若将两个社都参加的有20人改为23人，其余都不变，那么结果又怎么样？ 环节四：课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.小明去银行存入本金1 000元，作为一年期的定期储蓄，到期后小明共取出1 018元。已知利息税税率为20%，则一年期储蓄的年利率为(　) A.2.5% B.2.25% C.2% D.1.8% 2.某商场打折销售一款风扇，若按标价的六折出售，则每台风扇亏损10元；若按标价的九折出售，则每台风扇盈利95元。这款风扇每台的标价为(　　) A.350元 B.320元 C.270元 D.220元 选做题： 3.小龙去年年初把压岁钱存入银行，定期一年，到期后得到本息和为2 150元。已知这种储蓄的年利率为3.50%，设小龙存入压岁钱x元，则根据题意，所列方程为　　 (利息税不计)。 【综合拓展类作业】 4.某商场购进一批服装，进价为200元，提价50%后标价，由于换季滞销，商场决定将这种服装打折销售。若打折后每件服装所获得毛利润为进价的20%，则该服装是按标价打几折销售的？ 环节五：课堂总结
作业内容： 【知识技能类作业】 必做题： 1.某商店剩有两个进价不同的计算器，处理时都卖了70元，其中一个盈利金额是售价的40%，另一个亏损金额是售价的30%。针对这两个计算器，这家商店(　　) A.盈利7元 B.盈利9元 C.亏损7元 D.亏损9元 2.如图，每个圆形纸片的面积均为30，圆形纸片A与B，B与C，C与A的重叠面积分别为6，8，5，三个圆形纸片覆盖的总面积为73，则图中阴影部分的面积为(　　) A.54 B.56 C.58 D.69 选做题：
3.如图，两个长方形重叠部分的面积等于大长方形面积的，等于小长方形面积的。已知阴影部分的面积为9 cm2，则重叠部分的面积为　　cm2。 【综合拓展类作业】 4. 某中学七年级一班有50名同学，有2人象棋、围棋都不会下，有30人象棋、围棋都会下，且会下象棋的学生比会下围棋的学生多6人。 (1)若设会下围棋的有x人，请你列出方程，并求出x的值。 (2)只会下象棋而不会下围棋的有多少人？ 参考答案： 课堂练习： 1.B　 2.A 3.x＋3.50%x=2 150 4.解：设该服装是按标价打x折销售的， 由题意，得200×(1＋50%)×0.1x－200=200×20%，解得x=8。 答：该服装是按标价打八折销售的。 作业内容： 1.A 2.C 3. 1 4.解：(1)若设会下围棋的有x人，则会下象棋的有(x＋6)人， 根据题意，得x－30＋x＋6－30＋30＋2=50，解得x=36。 (2)36＋6－30=12(人)。 答：只会下象棋而不会下围棋的有12人。
作业类别 选用 改编 自编 书面练习类 口头训练类 活动实践类
板书设计： 课题：5.5.4 一元一次方程的应用 （4） 1.概念 2.例题 3.巩固练习
教学反思：通过学习列方程解决实际问题，感知数学在生活中的作用；通过分析复杂问题中的数量关系，从而建立方程解决实际问题。发展分析问题，解决问题的能力，进一步体会方程模型的作用，学会有序观察，有条理思考和简单的事实推理.:21世
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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