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学科 数学 年级 九年级 设计者
教材版本 人教版 册、章 上册第二十九章
课标要求 1．理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念；探索并掌握点与圆的位置关系． 2．探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧． 3．探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧（或等弧）所对的圆周角相等．了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补． 4．了解三角形的外心． 5．能用尺规作图：过不在同一直线上的三点作圆． 6．会计算圆的弧长、扇形的面积． 7．通过实例体会反证法的含义．
内容分析 本章是初中平面几何中研究曲线图形的重要单元，是在学生学习三角形、四边形等直线型几何、图形变换之后开展教学．教材从生活中的圆形实例入手，从动态旋转与点的集合两个角度定义圆，依次学习圆的基本概念、点与圆的位置关系、垂径定理、圆心角与圆周角定理、圆内接四边形性质，最后学习弧长、扇形面积、圆锥侧面积计算．圆兼具轴对称与旋转对称性，本章充分利用对称性推导各类定理，是对前面全等、勾股定理、图形变换知识的综合运用．本章渗透数形结合、转化、反证法等数学思想，既是初中几何知识的重要收尾，也为后续高中解析几何、三角函数的学习打下基础．同时结合赵州桥、古代铜镜等素材，体现数学文化价值，培养学生几何直观与逻辑推理素养．
学情分析 学生在小学已经对圆有直观认识，已经掌握直线型图形的证明、勾股定理、旋转与轴对称等知识，具备初步尺规作图和简单演绎推理能力．但学生长期接触直线图形，对于曲线图形的性质比较陌生；本章概念多，弦、弧、圆心角、圆周角等概念容易混淆．学生对于借助圆的对称性推导定理的思路不易理解，辅助线的添加没有固定套路．同时，学生容易把直线图形的思维直接套用到圆的问题中，在定理综合计算、推理证明、数形结合运算方面存在困难，需要借助动手探究、问题串降低思维难度，逐步建立曲线图形的研究思维．
单元目标 （一）教学目标 1．理解圆的定义，掌握弦、直径、弧、优弧、劣弧、等圆、等弧等基本概念；掌握点和圆的三种位置关系；会用尺规作过不在同一直线上三点的圆，了解三角形的外心，初步了解反证法． 2．探索圆的轴对称、旋转对称性，掌握垂径定理及其推论；掌握同圆或等圆中弧、弦、圆心角之间的关系． 3．掌握圆周角定理及其推论，理解直径与圆周角的关系；掌握圆内接四边形对角互补的性质，能够进行角度计算与简单证明． 4．理解弧长、扇形面积公式的由来，会计算弧长、扇形面积，掌握圆锥侧面积、全面积的计算方法，能解决简单实际问题． 5．在探究定理、尺规作图过程中，体会数形结合、转化思想，发展几何直观与逻辑推理，感受圆在生活、传统文化中的应用价值． （二）教学重点、难点 重点： 1．圆的相关基本概念；垂径定理及其推论；同圆或等圆中弧、弦、圆心角的关系． 2．圆周角定理及其推论，圆内接四边形的性质，能够运用定理进行角度计算与简单几何推理． 3．弧长、扇形面积、圆锥侧面积相关公式，运用公式解决有关计算和简单实际问题． 难点： 1．利用圆的轴对称性、旋转对称性推导相关定理，结合图形合理添加辅助线解决圆的几何问题． 2．区分圆中易混淆概念，综合运用多个定理完成圆的几何证明与角度、线段的综合计算． 3．弧长、扇形、圆锥相关公式的理解与综合运算，结合实际情境提取几何模型解决问题．
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数1-3圆的有关概念34-7圆的有关性质48-9弧长和扇形面积210数学活动——四等分圆周与探究四点共圆的条件111章末复习1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务29.1.1圆的有关概念1.结合实例，从动态、集合两个角度理解圆的定义，认识圆心、半径． 2.探索点与圆的三种位置关系，会用点到圆心距离d与半径r的数量关系判断位置． 3.理解弦、直径、弧、优弧、劣弧、半圆、等圆、等弧的相关概念，能辨析易混淆概念．1.能说出圆的两种定义，准确识别圆心、半径． 2.能根据d和r的大小关系判断点与圆的位置关系． 3.能区分弦与直径、弧与半圆、等圆与等弧，正确判断相关说法正误． 4.能在圆的图形中标注出弦、直径、优弧、劣弧．任务一：认识圆的定义，举出生活中的圆实例． 任务二：探究点和圆的位置关系 任务三：完成教材例题，识别圆相关概念．29.1.2过三点的圆（第1课时）1.经历探究过程，理解不在同一直线上的三个点确定一个圆． 2.掌握尺规作图：过不在同一直线上的三点作圆． 3.了解三角形外接圆、外心的概念，知道外心是三边垂直平分线交点．1.能说出"不在同一直线上三点确定一个圆"，理解三点共线不能作圆． 2.能独立用尺规作出过不在同一直线上三点的外接圆． 3.能说出三角形外心的定义，知道外心到三角形三个顶点距离相等．任务一：动手探究过1个点、2个点、3个点作圆，理解定理． 任务二：尺规作图，作三角形的外接圆． 任务三：了解三角形外接圆、外心的概念． 29.1.2过三点的圆（第2课时）通过实例体会反证法的含义，了解反证法基本思路．能说出反证法大致步骤，读懂教材反证法证明．任务：阅读教材反证法案例，完成简单说理练习．29.2.1垂直于弦的直径1.通过折叠探究，理解圆是轴对称图形，直径所在直线是对称轴． 2.探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 3.会运用垂径定理进行简单线段、弧长的计算与证明，会添加对应辅助线．1.能说出圆的轴对称性，完整表述垂径定理内容． 2.能结合图形写出垂径定理的几何符号语言． 3.能构造直角三角形，结合勾股定理利用垂径定理进行计算．任务一：动手折叠圆纸片，探究圆的轴对称性，猜想垂径定理． 任务二：学习教材例题，利用垂径定理解决弦长、半径计算问题．29.2.2圆心角1.理解圆心角的概念，认识圆心角所对的弧、弦． 2.探究同圆或等圆中弧、弦、圆心角之间的相等关系． 3.会运用三者之间的关系进行简单证明和角度、线段推理．1.能在圆中识别圆心角，说出圆心角所对的弧和弦． 2.能表述同圆或等圆中弧、弦、圆心角的互推关系． 3.能利用三者相等关系，完成简单几何证明．任务一：旋转圆形纸片，探究圆心角、弧、弦之间关系． 任务二：研读教材例题，利用圆心角性质进行证明．29.2.3圆周角（第1课时）1.理解圆周角定义，能区分圆周角与圆心角． 2.探索圆周角定理，掌握圆周角定理的推论． 3.会运用圆周角定理及其推论解决实际问题．1.能判断一个角是不是圆周角． 2.能完整表述圆周角定理及其推论，理解定理的推导思路． 3.能利用圆周角定理进行求解或证明．任务一：对比圆心角，认识圆周角，辨析图形． 任务二：分类探究圆周角定理及推论，完成教材例题．29.2.3圆周角（第2课时）1.理解圆内接多边形、多边形的外接圆的概念，掌握圆内接四边形对角互补的性质． 2.综合运用圆内接四边形对角互补的性质解决角度计算与简单证明．1.记住圆内接四边形对角互补，进行角度计算． 2.能综合圆周角定理及其推集结完成几何推理．任务一：探究圆内接四边形对角关系 任务二：完成教材例题．29.3弧长和扇形面积（第1课时）1.理解弧长公式的推导过程，掌握弧长计算公式． 2.理解扇形定义，推导扇形面积两个计算公式． 3.会直接利用弧长、扇形面积公式进行相关计算．1.能说出弧长、扇形面积公式的由来，记住公式． 2.能代入圆心角、半径，正确计算弧长、扇形面积． 3.能在简单情境中识别扇形，选取合适公式计算．任务一：由圆周长推导弧长公式，由圆面积推导扇形面积公式． 任务二：完成教材例题，运用公式进行计算．29.3弧长和扇形面积（第2课时）1.认识圆锥，理解圆锥母线、底面半径、高的概念． 2.推导圆锥侧面积、全面积公式，理解圆锥侧面展开图是扇形． 3.会利用圆锥相关公式解决实际计算问题．1.能识别圆锥母线、高、底面半径，理清三者数量关系． 2.能说出圆锥侧面展开图与原扇形各元素的对应关系． 3.能计算圆锥侧面积与全面积，解决简单实际应用题．任务一：剪开圆锥模型，观察侧面展开图，寻找各量对应关系． 任务二：研读教材例题，完成圆锥面积相关计算．数学活动：四等分圆周与探究四点共圆的条件1.通过动手操作，尝试四等分圆周，感受圆的对称性． 2.探究四点共圆的条件，理解四点共圆的判定思路． 3.在探究活动中体会观察、猜想、验证的数学研究方法，提升几何直观．1.能借助尺规完成四等分圆周的操作． 2.能说出四点共圆的基本条件，会简单判断四点能否共圆． 3.能小组合作完成探究，表达自己的猜想与推理．任务一：动手尺规作图，四等分圆周． 任务二：小组合作，画图、测量、猜想，探究四点共圆的条件．第29章圆章末复习1.梳理本章圆的基本概念、定理、公式，构建知识框架． 2.能综合运用垂径定理、圆心角、圆周角、弧长扇形面积等知识解决问题． 3.总结圆中辅助线添加思路，提升综合几何推理能力．1.能独立梳理本章知识结构图，复述核心定理与公式． 2.能综合运用多个圆的定理完成计算与证明． 3.能根据题型，合理添加圆中常用辅助线．任务一：结合教材回顾与思考问题，小组合作梳理全章知识思维导图，辨析易错概念 任务二：典型例题巩固，完成旋转计算、中心对称作图、原点对称坐标综合练习
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分课时教学设计
第一课时《29.1.1 圆的有关概念》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本课时第二十九章圆的起始新授课，是学生从直线型几何过渡到曲线型几何的第一课．教材从橙子切片、摩天轮等大量圆形实例引入，从动态旋转以及点的集合两个角度给出圆的定义，介绍圆心、半径，点与圆的位置关系，紧接着给出弦、直径、弧、优弧、劣弧、半圆、等圆、等弧等基础概念．本节课是整章知识的奠基，后续垂径定理、圆周角等全部内容都建立在这些概念之上．本课渗透集合思想，《墨子》"圆，一中同长也"融入数学文化，帮助学生建立曲线图形的认知，实现由线段围成图形到封闭曲线图形的思维转变，为后续研究圆的各类性质、几何证明与计算做好概念储备，在初中几何知识体系中起到承上启下的作用．
学习者分析 学生在小学已经直观认识圆，能够识别生活中的圆形物体，掌握线段、三角形、四边形等直线图形相关知识，具备基础观察、识图能力．但学生只停留在感性认识，对圆的集合定义十分陌生，容易混淆弦与直径、弧与半圆、等圆和等弧等概念，会错误认为长度相等的弧就是等弧．学生习惯研究直线构成的图形，对曲线图形的描述、符号书写（如弧的表示）不熟练．学生具备小组合作交流能力，教师借助生活实例、教材阅读、辨析判断题，引导学生区分易混淆概念，逐步完成从直观感知到严谨数学定义的提升．
教学目标 1.结合实例，从动态、集合两个角度理解圆的定义，认识圆心、半径． 2.探索点与圆的三种位置关系，会用点到圆心距离d与半径r的数量关系判断位置． 3.理解弦、直径、弧、优弧、劣弧、半圆、等圆、等弧的相关概念，能辨析易混淆概念．
教学重点 圆的两种定义；弦、直径、弧等圆的相关概念．
教学难点 理解圆的集合定义；辨析等弧、优弧劣弧等易混淆概念．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1.结合实例，从动态、集合两个角度理解圆的定义，认识圆心、半径． 2.探索点与圆的三种位置关系，会用点到圆心距离d与半径r的数量关系判断位置． 3.理解弦、直径、弧、优弧、劣弧、半圆、等圆、等弧的相关概念，能辨析易混淆概念．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。环节二：新知导入教师活动2： 教师出示生活中圆形图片 提出问题： 问题1：生活中你见到哪些圆形物体？ 答案：车轮、月亮、盘子等 问题2：用圆规画圆的时候，什么固定不动？什么在运动？ 答案：圆心固定，笔尖绕圆心旋转 导入：在小学，我们已经初步认识了圆．本节我们将进一步学习圆的有关概念，探究点与圆的位置关系学生活动2： 学生观察图片，独立思考，集体口头回答问题活动意图说明： 利用教材生活情境导入，唤醒小学对圆的已有认知，引出动态定义，激发学习兴趣，为本课新知做好铺垫．环节三：新知讲解教师活动3： 思考：观察画圆的过程，你能从点的运动的角度描述圆是怎样形成的吗？ 归纳：如图所示，在一个平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所形成的图形叫作圆．其固定的端点O叫作圆心，线段OP叫作半径．以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作圆O． 想一想：从画圆过程看，圆上各点到圆心距离有什么特点？ 答案：都等于半径 指出：从画圆的过程可以看出： (1)圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）； (2)到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上． 归纳：圆心为O，半径为r的圆可以看成平面内所有到定点O的距离等于定长r的点的集合． 介绍：溯源 众多记载表明，我们的祖先很早就能从具体事物中抽象出纯粹的形的几何概念，并会用规和矩这些工具绘制它们.如战国时的《墨子》中记载着“圆，一中同长也”，即圆上各点到圆心的距离都相等；还记载着“圆，规写交也”，即用圆规画图，使其两端相交便形成一个圆. 思考：观察画圆的过程，还可以发现，平面被圆分成三部分．平面内的点和圆有哪几种位置关系？ 答：平面内的点与圆有三种位置关系：点在圆外，点在圆上，点在圆内. 说一说：设⊙O 半径为r，点P到圆心距离(OP=d)，请用d与r的大小关系描述这三种位置关系. 答：当时，点在圆外 当时，点在圆上 当时，点在圆内 归纳：点在圆外； 点在圆上； 点在圆内. 指出：符号“”读作“等价于”，它表示从符号“ ”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端. 例：如图所示，矩形的对角线，相交于点.求证：四个点在以点为圆心的同一个圆上. 证明：四边形为矩形，对角线，相交于点， . . 四个点在以点为圆心、为半径的圆上(如图所示). 讲解：连接圆上任意两点的线段叫作弦，经过圆心的弦叫作直径，直径长是半径长的2倍.如图所示，是弦，是直径. 追问：直径是弦，弦一定是直径吗？ 答案：不一定，弦要过圆心才是直径. 讲解： 圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧.以为端点的弧记作，读作“圆弧”或“弧”.圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆.大于半圆的弧叫作优弧，小于半圆的弧叫作劣弧.如图所示，(用三个字母表示)是优弧，是劣弧. 思考：仔细观察下面的动图，想一想什么情况下两个圆能够完全重合？ 归纳：能够重合的两个圆叫作等圆. 容易看出：同圆或等圆的半径相等；反过来，半径相等的两个圆是等圆. 讲解：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等弧. 如图所示， ， ， 是等弧． 追问：长度相等的弧是等弧吗？ 答案：不是，等弧前提是在同圆或等圆，能够互相重合的弧才是等弧.学生活动3： 学生阅读教材文本；独立回答教师问题；小组合作探究，识图标注圆各要素；小组代表展示标注结果；跟随教师学习教材例题，理解四点共圆说理后结合图形理解相关概念．活动意图说明： 以教材实例引导学生理解圆的定义及相关概念；设置问题辨析易错概念；借助教材例题初步体会点在圆上的判定；小组合作强化识图，突破概念混淆的难点．环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系。
板书设计 课题：29.1.1 圆的有关概念一、圆的两种定义 二、点与圆的位置关系 三、圆的相关概念教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．下列说法中，不正确的是（ ） A．过圆心的弦是圆的直径 B．同一条弦所对的两条弧一定是等弧 C．周长相等的两个圆是等圆 D．经过圆内一定点可以作无数条弦 答案：B 2．已知的半径为．若点到圆心的距离为，则在________．（填“圆内”、“圆外”、“圆上”中的一种） 答案：圆外 3．如图，在中，，以点C为圆心作，半径为r． (1)当r取什么值时，点A，B都在圆外？ (2)当r取什么值时，点A在圆内，点B在圆外？ 解：（1）， 当时，点A，B都在圆外． （2）， 当，即时，点A在圆内，点B在圆外． 选做题： 4．平面上有及一点P，P到上一点的距离最长为，最短为，则的半径为（ ）． A．4 B．2或4 C．3或2 D．4或3 答案：B 【综合拓展类练习】 5．在矩形中，，． (1)若以A为圆心，8长为半径作，则 B、C、D与圆的位置关系是什么？ (2)若作，使B、C、D三点至少有一个点在内，至少有一点在外，则的半径r的取值范围是多少？ 解：（1）如图所示，连接， ∵在矩形中，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴点在内， ∵， ∴点在上， ∵， ∴点在外； （2）∵以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外， ∴的半径r的取值范围是．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列说法正确的是（ ） A．圆中最长的弦只有一条 B．半圆不是弧 C．长度相等的两段弧是等弧 D．圆上各点到圆心的距离相等 答案：D 2．已知的半径为3，以圆心O为原点建立平面直角坐标系，若点A在内，请写出符合要求的点A的坐标______________．（写出一个即可） 答案：（答案不唯一） 3．如图．在直角三角形ABC中，分别为的中点，以B为圆心，为半径画圆．试判断点与的位置关系．并说明理由． 解：连接． C在上； 在直角中， ， 则A在的外部； ，则E在内部； ，则在直角中，，则F在的外部． 选做题： 4．如图，正方形是由四个边长为2的小正方形拼成的，连接和，分别以为圆心，的长为半径画弧，两弧交于正方形的中心处，图中阴影部分的面积是（ ） A．4 B．6 C． D． 答案：C 【综合拓展类作业】 5．如图，在菱形中，点E，F，G，H分别为各边的中点．求证：E，F，G，H四点在同一个圆上． 证明：∵四边形是菱形， ∴，即，． ∵是的中点， ∴． 同理可得：，，． ∴． ∴，，，四点在以点为圆心，为半径的圆上， 即，，，四点在同一个圆上．
教学反思 本节课依托教材实例与古文素材开展概念教学，学生对动态定义接受较好，但集合定义理解存在障碍，对等弧的判断错误较多．课堂小组识图活动调动了学生参与，但部分学生弧的符号书写不规范．教学中发现部分学生把长度相等直接等同于等弧，后续要增加辨析判断题．课堂时间分配上，概念辨析可以再多预留一点时间，加强易错点对比，强化教材例题的理解，帮助学生完成从直观到严谨定义的转变．
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