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4　正方形的性质与判定
第1课时　正方形的性质
教学目标
1.掌握正方形的性质，并会用它们进行有关的论证和计算.
2.理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系和区别.
重点难点
重点：正方形的性质.
难点：正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系及正方形性质的灵活运用.
教学过程
师：除了矩形和菱形外，还有什么特殊的平行四边形吗？
生：还有正方形.
师：正方形是我们熟悉的几何图形，而且我们在小学中就学过，那么怎样研究正方形这类图形呢？我们先回忆一下前面是怎样研究矩形和菱形的.
生：我们研究了它们的性质和判定方法.
师：同矩形和菱形一样，这节课我们就先来研究正方形的性质.
探究新知
探究点　正方形的性质
【例1】如图，在正方形ABCD中，F为CD上一点，BF与AC相交于点E.若∠CBF＝18°，则∠AED的度数为　　　　.
【解析】∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAE＝∠DAE＝45°，∠ABC＝90°.
∵∠CBF＝18°，
∴∠ABE＝72°，
∴∠AEB＝180°－∠BAE－∠ABE＝180°－45°－72°＝63°.
又∵AE＝AE，
∴△ABE≌△ADE（SAS），
∴∠AED＝∠AEB＝63°.
【解】63°
【方法总结】根据正方形的性质求出角的度数或边长，结合三角形全等或等腰三角形的性质解题.
【例2】如图，在正方形ABCD中，E是AB边上的一点，连接CE，以CE为边，在CE的上方作正方形CEFG，连接DG.求证：
（1）△CBE≌△CDG；
（2）AB＝AE＋DG.
【解析】（1）由正方形的性质可得三角形全等的条件，利用“SAS”进行判定即可；（2）利用（1）中证得的全等三角形的性质得出BE＝DG，然后等量代换即可得出结论.
【解】（1）∵四边形ABCD和四边形CEFG均是正方形，
∴CB＝CD，CE＝CG，∠BCD＝∠ECG＝90°，
∴∠BCE＝∠DCG，
∴△CBE≌△CDG（SAS）.
（2）由（1）知△CBE≌△CDG，
∴BE＝DG.
∵AB＝AE＋BE，
∴AB＝AE＋DG.
【方法总结】利用正方形的性质，求线段之间的关系或证明三角形全等.正方形具有平行四边形、菱形、矩形的所有性质，因此，要从边、角、对角线三个方面分类理解和掌握.
课堂训练
1.矩形、菱形、正方形都具有的性质是（　　）
A.对角线互相垂直
B.对角线相等
C.对角线互相平分
D.每一条对角线平分一组对角
2.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，DE＝AF，BE与CF相交于点G.
（1）求证：△BCE≌△CDF；
（2）若BC＝4，DE＝1，求CF的长.
板书设计
第1课时　正方形的性质
正方形的性质：①四个角都是直角；②四条边相等；③对角线相等且互相垂直平分.
课堂小结
本节课学习了正方形的性质，可以根据性质求线段的长度和角的度数.
教学反思
　　通过课前小组的交流、课堂展示讲解的过程，为学生提供了展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中更有利于教师发现学生分析问题和解决问题的能力、思维误区以及学生的发展就近区，以便指导今后的教学.课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度.
留给学生充分的独立思考和自由讨论的时间，因为只有这样学生自身的知识结构才能更好地重建，才有可能碰撞出灵感，产生新的问题，毕竟学生自身思考出来的问题才是带领他们更深入思考的利器.其次学生主导的同时，不要忽略教师应有的必要引领与指导，这样才能使学习更具实效性.
答案
课堂训练
1.C
2.解：（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴BC＝CD＝DA，∠BCE＝∠CDF＝90°.
∵DE＝AF，
∴CE＝DF.
在△BCE和△CDF中，
∴△BCE≌△CDF（SAS）.
（2）∵CD＝AD＝BC＝4，AF＝DE＝1，
∴DF＝3.
在Rt△CDF中，CF＝＝＝5.
第2课时　正方形的判定
教学目标
1.掌握正方形的判定定理.
2.综合运用特殊四边形的性质和判定定理解决问题.
重点难点
重点：正方形的判定.
难点：正方形的判定的运用.
教学过程
你能说出平行四边形、菱形、矩形的性质和判定定理吗？它们之间有什么联系与区别？
上节课学习了正方形的性质，这节课我们来探究正方形有哪些判定方法.
探究新知
探究点一　正方形的判定
【例1】如图，四边形ABCD为矩形，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH＝DG.求证：四边形EFGH为正方形.
【解析】由于四边形ABCD为矩形，四边形EFGH为菱形，那么∠A＝∠D＝90°，HE＝HG，而AH＝DG，易证△AHE≌△DGH，从而有∠AEH＝∠DHG.由等量代换可得∠AHE＋∠DHG＝90°，易证四边形EFGH为正方形.
【解】∵四边形ABCD为矩形，四边形EFGH为菱形，
∴∠A＝∠D＝90°，HE＝HG.
又∵AH＝DG，
∴Rt△AHE≌Rt△DGH（HL），
∴∠AEH＝∠DHG.
∵∠AHE＋∠AEH＝90°，
∴∠AHE＋∠DHG＝90°，
∴∠EHG＝90°，
∴四边形EFGH为正方形.
【方法总结】判定正方形的一般顺序：先证明它是平行四边形，再证明它是菱形或矩形，最后证明它是正方形.
探究点二　正方形的性质与判定的综合应用
【例2】如图，E，F，M，N分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE＝BF＝CM＝DN.求证：四边形EFMN是正方形.
【解析】通过证明△AEN，△DNM，△CMF，△BFE全等，得出四边形EFMN是菱形.再证明四边形EFMN中一个内角为90°，得出四边形EFMN是正方形的结论.
【解】∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°.
∵AE＝BF＝CM＝DN，
∴AN＝BE＝CF＝DM，
∴△AEN≌△DNM≌△CMF≌△BFE，
∴EF＝EN＝MN＝FM，∠ANE＝∠DMN，
∴四边形EFMN是菱形.
∵∠DMN＋∠DNM＝90°，
∴∠ANE＋∠DNM＝90°，∴∠ENM＝90°，
∴四边形EFMN是正方形.
课堂训练
1.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的是（　　）第1题图
A.若AB⊥BC，则 ABCD是菱形
B.若AC⊥BD，则 ABCD是正方形
C.若AC＝BD，则 ABCD是矩形
D.若AB＝AD，则 ABCD是正方形
2.小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具.他先活动学具成为如图①所示的菱形，并测得∠B＝60°，接着活动学具成为如图②所示的正方形，并测得正方形的对角线AC＝40cm，则图①中对角线AC的长为　　　　cm.第2题图
3.如图，E是正方形ABCD的对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为F，G.若正方形ABCD的周长是40cm.
　　（1）求证：四边形BFEG是矩形；
（2）求四边形EFBG的周长.
板书设计
第2课时　正方形的判定
1.正方形的判定：①有一组邻边相等的矩形是正方形；②对角线互相垂直的矩形是正方形；③有一个角是直角的菱形是正方形；④对角线相等的菱形是正方形.
2.例题讲解.
课堂小结
本节课学习了正方形的判定和正方形的性质与判定的综合应用.
教学反思
　　本节课内容较多，但由于采用了电脑辅助教学手段，为学生创建了一个学习情境，通过图形的变换，使学生很容易发现问题的规律、找出解决方法，并且学生在老师的启发下，一步一步地探索、归纳、学习，在探索的过程中培养了学生的创新精神和创新意识.
答案
课堂训练
1.C　2.20
3.解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°.
∵EF⊥AB，EG⊥BC，
∴∠BFE＝∠BGE＝90°，
∴四边形BFEG是矩形.
（2）∵正方形ABCD的周长是40cm，
∴AB＝40÷4＝10（cm）.
∵四边形ABCD是正方形，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴AF＝EF，
∴四边形EFBG的周长＝2（EF＋BF）＝2（AF＋BF）＝2AB＝20cm.

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