资源简介

3　矩形的性质与判定
第1课时　矩形的性质
教学目标
1.掌握矩形的性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系.
2.会初步运用矩形的性质来解决有关问题.
3.掌握直角三角形斜边的中线性质.
重点难点
重点：矩形的性质的发现、证明与初步运用.
难点：（1）能从矩形与平行四边形之间特殊与一般的关系出发，探究矩形的性质；
（2）能从矩形出发研究直角三角形中的有关问题.
教学过程
情景导入
作为特殊的平行四边形，矩形具有一般平行四边形所有的性质.此外，矩形还有哪些一般平行四边形没有的特殊的性质呢？
探究新知
探究点一　矩形的性质
【例1】如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△OAB是等边三角形，且AB＝2.求矩形ABCD的面积.
【解析】由等边三角形的性质得OA＝AB＝2，则AC＝2OA＝4.由勾股定理得BC＝＝2，再由矩形的面积公式即可得出答案.
【解】∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，OA＝OC.
∵△OAB是等边三角形，
∴OA＝AB＝2，
∴AC＝2OA＝4，
∴BC＝＝2，
∴矩形ABCD的面积＝AB·BC＝2×2＝4.
【方法总结】四边形的问题常转化为三角形的问题来解决.因为矩形具有“四个角都是直角”“对角线相等且互相平分”等性质，所以可以把矩形的性质问题转化为直角三角形、等腰三角形等问题.
探究点二　直角三角形斜边上的中线的性质
【例2】如图，公路AC，BC互相垂直，垂足为C，公路AB的中点M与点C被湖隔开.若测得AB的长为3.2km，则点M，C之间的距离是（　　）
A.0.8km B.1.6km
C.2.0km D.3.2km
【解析】由题意可知，在△ABC中，∠ACB＝90°，M是AB的中点，则MC＝AB＝×3.2＝1.6（km）.
【答案】B
【方法总结】掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键.
课堂训练
1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列选项错误的是（　　）第1题图
A.∠ABC＝90° B.AC＝BD
C.OA＝OB D.△ABO≌△ADO
2.若矩形中较短的一边长为4，两对角线的夹角为60°，则矩形对角线的长为　　　　.
3.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BD，垂足为E.若∠EAC＝2∠CAD，求∠BAE的度数.
板书设计
第1课时　矩形的性质
1.矩形的性质：①矩形的四个角都是直角；②矩形的对角线相等.
2.直角三角形斜边上的中线定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
课堂小结
本节课学习了矩形的性质：①矩形的四个角都是直角；②矩形的对角线相等.
直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
教学反思
　　本节课依据新课标的要求，设计的每个环节都是以学生为主体，在学生已有的知识经验的基础上，让学生自己动手探究，以便提升学生的创新思维和创造能力.首先从平行四边形的性质引入，提出问题，让学生猜想矩形应具有的性质，调动学生的思维积极性，激发探究欲望.
　　在解决问题的过程中发展了学生的合情推理意识，再引导学生进行推理证明，通过探索证明，开拓学生的思路，培养学生的思维能力，帮助他们在
自主探索和合作交流过程中真正理解和掌握矩形的性质，体会数学学习过程中的探索性和挑战性以及推理的严谨性.
答案
课堂训练
1.D　2.8
3.解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴OD＝OA＝OB，
∴∠OAD＝∠ODA，∠OAB＝∠OBA，
∴∠AOE＝∠OAD＋∠ODA＝2∠OAD.
∵∠EAC＝2∠CAD，∴∠AOE＝∠OAE.
∵AE⊥BD，∴∠AEO＝90°，
∴∠AOE＝∠OAE＝45°，
∴∠OAB＝∠OBA＝（180°－∠AOB）＝×（180°－45°）＝67.5°，
∴∠BAE＝∠OAB－∠OAE＝22.5°.
第2课时　矩形的判定
教学目标
1.理解并掌握矩形的判定方法.
2.使学生能运用矩形的定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力.
重点难点
重点：矩形的性质的探究与证明.
难点：选择合适的判定方法证明四边形为矩形.
教学过程
情景导入
师：上一节课我们研究了矩形的性质，下面我们研究如何判定一个四边形或平行四边形是矩形.我们先来看下面的问题.
课件展示问题：小明利用周末的时间，为自己做了一个相框（如图所示）.请你利用直尺和三角板帮他检验一下，相框是矩形吗？
生：先用直尺测量两组对边是否分别相等，再用三角板测量其中的一个角是否是直角，以此来检验相框是否是矩形.
师：这样测量的依据是什么？
生：因为有一个角是直角的平行四边形叫作矩形，所以可以利用矩形的定义进行判断.
师：除了矩形的定义外，还有没有其他判定矩形的方法呢？我们这节课就来探究矩形还有哪些判定方法.
探究新知
探究点一　矩形的判定——对角线相等的平行四边形是矩形
【例1】如图，BO是Rt△ABC斜边上的中线，延长BO到点D，使DO＝BO，连接AD，CD.四边形ABCD是矩形吗？请说明理由.
【解析】已知BO是Rt△ABC斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得OA＝OC＝OB，再由DO＝BO，即可证得四边形ABCD是平行四边形，且AC＝BD，则可证得四边形ABCD是矩形.
【解】四边形ABCD是矩形.
理由：∵BO是Rt△ABC斜边上的中线，
∴OA＝OC＝OB.
又∵DO＝BO，
∴四边形ABCD是平行四边形，且AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形.
【方法总结】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和已知条件证明四边形的对角线互相平分，得出四边形是平行四边形，再证明对角线相等，判断出四边形是矩形.
探究点二　矩形的判定——有三个角是直角的四边形是矩形
【例2】如图，在 ABCD中，若AE，BF，CN，DM分别是∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA的平分线，且分别相交于点O，K，H，G.求证：四边形HGOK是矩形.
【解析】首先根据平行四边形的性质可得∠DAB＋∠ABC＝180°，再根据角平分线的性质可得∠OAB＋∠OBA＝（∠DAB＋∠ABC）＝×180°＝90°，即∠GOK＝90°.然后同理可得∠OKH＝90°，∠KHG＝90°.根据有三个角是直角的四边形是矩形可证得四边形HGOK是矩形.
【解】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAB＋∠ABC＝180°.
∵AE，BF分别平分∠DAB，∠ABC，
∴∠OAB＋∠OBA＝（∠DAB＋∠ABC）＝×180°＝90°，
∴∠GOK＝∠AOB＝90°.
同理可得∠OKH＝90°，∠KHG＝90°，
∴四边形HGOK是矩形.
【方法总结】对矩形的判定方法的选择，可以根据已知条件选择合适的判定方法.
课堂训练
1.四边形ABCD的对角线AC，BD互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是（　　）
A.AB＝CD B.AC＝BD
C.AB＝BC D.AC⊥BD
2.木工师傅要做一个矩形桌面，做好后量得长为80cm，宽为60cm，对角线为100cm，则这个桌面　　　　（填“合格”或“不合格”）.
　　3.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC，AE∥BD，EO与AB相交于点F.
（1）求证：四边形AEBO是矩形；
（2）若CD＝3，求OE的长.
板书设计
第2课时　矩形的判定
1.矩形的判定方法：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有三个角是直角的四边形是矩形.
2.例题讲解.
课堂小结
本节课学习了矩形的判定定理，学会根据已知条件选择不同的判定方法解答问题.
教学反思
　　几何教学有时对学生的想象能力要求比较高，有些学生在这方面很有优势，而有一些学生可能要差一点，课堂教学不能过急；此外，几何教学中要合理把握学生的课堂兴奋点，合理安排时间，力图让学生在注意力最集中时完成最重要的知识内容，掌握本节课重要的学习方法；还要注意的是，不要让思维活跃的学生的回答掩盖了其他学生的疑问，应该争取关注每一个学生.
答案
课堂训练
1.B　2.合格
3.解：（1）证明：∵BE∥AC，AE∥BD，
∴四边形AEBO是平行四边形.
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，即∠AOB＝90°.
∴四边形AEBO是矩形.
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD＝3.
由（1）知四边形AEBO是矩形，
∴EO＝AB＝3.

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