资源简介

2.1　认识一元二次方程
第1课时　一元二次方程
教学目标
1.理解和掌握一元二次方程的定义及一般形式.
2.正确认识一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项.
重点难点
重点：一元二次方程的定义及一般形式.
难点：理解一元二次方程的定义并正确识别各项系数.
教学过程
情景导入
如图，有一块矩形铁皮，长是100cm，宽是50cm.在它的四角各切去一个边长是xcm的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积是3600cm2，那么铁皮各角切去的正方形的边长是多少厘米？
探究新知
探究点一　一元二次方程的定义
【例1】下面关于x的方程：①ax2＋bx＋c＝0；②3（x－9）2－（x＋1）2＝1；③x2＋＋5＝0；④x2＋5x3－6＝0；⑤3x2＝3（x－2）2；⑥12x－10＝0.其中，一元二次方程的个数是（　　）
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】①中未限定a的取值范围，若a＝0，且b≠0，则方程是一次方程，故不是一元二次方程；②展开、去括号、化简后，方程是一元二次方程；③中含，方程是分式方程，故不是一元二次方程；④中最高次数为3，故不是一元二次方程；⑤去括号、化简后，方程是一元一次方程，故不是一元二次方程；⑥中x的次数是1，故不是一元二次方程.综上所述，一元二次方程的个数是1.
【答案】A
【方法总结】一元二次方程的定义满足三个条件：①含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③是整式方程.
探究点二　一元二次方程的一般形式
【例2】方程2x2＝6x－9的二次项系数、一次项系数和常数项分别为（　　）
A.6，2，9 B.2，－6，9
C.2，－6，－9 D.2，6，－9
【解析】方程整理得2x2－6x＋9＝0，则二次项系数、一次项系数和常数项分别为2，－6，9.
【答案】B
【方法总结】将一元二次方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0），要注意不要漏掉系数的“－”号.
探究点三　根据一元二次方程的定义求字母的值
【例3】若关于x的方程（m＋1）x｜m｜＋1－2x＝3是一元二次方程，则m的取值是（　　）
A.m＝1 B.m＝－1
C.m＝±1 D.m≠－1
【解析】由关于x的方程（m＋1）x｜m｜＋1－2x＝3是一元二次方程，可知解得m＝1.
【答案】A
【方法总结】根据一元二次方程的定义列出关系式，求出字母的值，再进行检验，使二次项的系数不能为0.
课堂训练
1.下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A.3x2－5x＝6 B.－2＝0
C.x2＋y2＝4 D.6x＋1＝0
2.将一元二次方程（2x＋3）（2x－3）＋9＝3x化为一般形式为　　　　，其中一次项系数为　　　　.
3.已知关于x的方程（k－5）x2＋（k＋2）x＋5＝0.
（1）当k取何值时，方程是一元一次方程？
（2）当k取何值时，方程是一元二次方程？
板书设计
第1课时　一元二次方程
1.一元二次方程的定义：只含有一个未知数x的整式方程，并且可以化成ax2＋bx＋c＝0（a，b，c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫作一元二次方程.
2.一元二次方程的一般形式：
ax2＋bx＋c＝0（a，b，c为常数，a≠0）.
3.例题讲解.
课堂小结
本节课学习了一元二次方程的定义，知道了等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程是一元二次方程.
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成ax2＋bx＋c＝0（a，b，c为常数，a≠0）的形式，这种形式叫作一元二次方程的一般形式.其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项.
教学反思
　　让学生通过本节课的学习，自己归纳本节课的知识要点，并询问学生学会了什么、还有哪些困惑.
让学生学会自己梳理知识要点，提高归纳总结的能力.绝大多数学生能自己归纳出本节课的知识要点，也清楚自己的困惑和存在的问题.
答案
课堂训练
1.A　2.4x2－3x＝0　－3
3.解：（1）当k－5＝0且k＋2≠0时，方程是一元一次方程，即k＝5，
∴当k＝5时，方程（k－5）x2＋（k＋2）x＋5＝0是一元一次方程.
（2）当k－5≠0时，方程是一元二次方程，即k≠5，
∴当k≠5时，方程（k－5）x2＋（k＋2）x＋5＝0是一元二次方程.
第2课时　一元二次方程的解及其估算
教学目标
1.经历探索满足一元二次方程的解或近似解，增进学生对方程的解的理解.
2.会估算一元二次方程的解.
重点难点
重点：一元二次方程的解.
难点：估算一元二次方程的解.
教学过程
情景导入
梯子底端滑动的距离x（单位：m）满足方程x2＋12x－15＝0，我们已经能猜出滑动距离x的大致范围在1和2之间，并且知道x的整数部分是1，小数部分的十分位是1，那么你能求出x的小数部分的百分位吗？
探究新知
探究点一　一元二次方程的解
【例1】若关于x的一元二次方程x2＋2x＋m－1＝0有一个解是0，则m的值是（　　）
A.1 B.－1 C.2 D.0
【解析】把x＝0代入x2＋2x＋m－1＝0，得m－1＝0，解得m＝1，即m的值是1.
【答案】A
【方法总结】能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解.故把方程的解代入，即可求出字母的值.
【例2】若m是方程x2＋x－1＝0的一个根，求代数式2m2＋2m＋2019的值.
【解析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值.把x＝m代入方程即可得到m2＋m＝1，再整体代入代数式，即可求解.
【解】根据题意，得m2＋m－1＝0，
解得m2＋m＝1，
则2m2＋2m＋2019
＝2（m2＋m）＋2019
＝2＋2019
＝2021.
【方法总结】把已知方程的解代入一元二次方程，然后再把所求代数式进行化简求值.
探究点二　估算一元二次方程的解
【例3】根据下列表格中的对应值，判断关于x的方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的一个解x的取值范围是（　　）
x 3.24 3.25 3.26
ax2＋bx＋c －0.02 0.01 0.03
　　A.x＜3.24 B.3.24＜x＜3.25
C.3.25＜x＜3.26 D.3.25＜x＜3.28
【解析】观察表格可知，随着x的值逐渐增大，ax2＋bx＋c的值在3.24和3.25之间由负到正，故可判断ax2＋bx＋c＝0的一个解x的取值范围是3.24＜x＜3.25.
【答案】B
【方法总结】用估计的方法求一元二次方程的近似解的步骤：
第一步：根据实际情况确定大概的x的取值范围.第二步：在x的取值范围内取值，分别代入方程，缩小x的取值范围.第三步：不断重复第二步的操作，依次得到x的范围.第四步：按照实际需要确定近似值.
课堂训练
1.根据下表提供的信息，下列四个数中最接近方程x2－3x－5＝0的解的是（　　）
x 2 3 4 5 6
x2－3x－5 －7 －5 －1 5 13
　　A.0　　　　B.3.5　　　　C.3.8　　　　D.4.5
2.若关于x的方程a（x－1）2＝2x2－2是一元二次方程，则（　　）
A.a＝2 B.a＝－2
C.a＝0 D.a≠2
3.观察下表：
x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
5x2－24x＋28 28 17.25 9 3.25 0 －0.75 1 5.25 12
　　从表中你能得出方程5x2－24x＋28＝0的根是多少吗？如果能，写出方程的根；如果不能，请写出方程根的取值范围.
板书设计
第2课时　一元二次方程的解及其估算
1.判断未知数的某个值是否为已知方程的解，只需将该值分别代入方程左边和右边，看左右两边是否相等即可.
　　2.估算一元二次方程的解.
　　3.例题讲解.
课堂小结
本节课学习了一元二次方程的解的概念和一元二次方程的解的估算问题，理解一元二次方程的解的意义，会估算方程的解.
师生互相交流总结，探索解一元二次方程的基本思路和关键点，以及在求解（或近似解）时应注意的问题.
鼓励学生结合本节课的内容，谈自己的收获与感想（学生畅所欲言，教师给予鼓励）.
教学反思
　　本节课的学习中，重点是使学生在求解的过程中理解方程的解的含义.教师应引导学生讨论并探索求解的过程，防止学生在求解过程中只注重表格的数据的计算，而忽视了对数据特点的分析，忽视了探索求解的意识.在小组讨论之前，应该留给学生充分的独立思考的时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生的想法，掩盖了其他学生的疑问.教师应对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中应该注意的问题以及对学习有困难的学生的帮助等，使小组合作学习更具实效性.
答案
课堂训练
1.D　2.D
3.解：不能.根据表格中的数据，可以发现：x＝2时，5x2－24x＋28＝0，故方程5x2－24x＋28＝0有一个根是x＝2.又因为x＝2.5时，5x2－24x＋28＝－0.75，x＝3时，5x2－24x＋28＝1，故一元二次方程5x2－24x＋28＝0的另一个根x的取值范围是2.5＜x＜3.综上所述，方程5x2－24x＋28＝0的一个根是x＝2，另一个根x的取值范围是2.5＜x＜3.

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