资源简介

2.2　一元二次方程的解法
第1课时　用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程
教学目标
1.会用直接开平方法求形如（x＋m）2＝n（n≥0）的方程的解.
2.会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.
3.经历列方程解决实际问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效模型.
重点难点
重点：会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程.
难点：对配方法的理解.
教学过程
情景导入
1.你会解哪些一元二次方程？
2.你会解下列一元二次方程吗？你是怎么解的？
①x2＝5；②x2＋3＝5；③x2＋2x＋1＝5；④（x＋6）2＋72＝102.　
3.上节课，我们研究梯子底端滑动的距离x满足方程x2＋12x－15＝0，你能仿照上面几个方程的解题过程，求出x的精确解吗？你认为用这种方法解这个方程的困难在哪里？
探究新知
探究点一　用直接开平方法求一元二次方程的解
【例1】解方程：
（1）x2－16＝0；
（2）x2＋4＝－4x.
【解析】（1）移项后两边开方，即可求出答案；（2）移项后关键是配成完全平方式，再开方，即可求出答案.
【解】（1）x2－16＝0，
x2＝16，x＝±4，
∴x1＝4，x2＝－4.
（2）x2＋4＝－4x，
x2＋4x＋4＝0，
（x＋2）2＝0，
∴x1＝x2＝－2.
【方法总结】用直接开平方法求形如（x＋m）2＝n或可化简为这种形式的方程的解.
探究点二　用配方法求二次项系数为1的一元二次方程的解
【例2】利用配方法解方程：x2＋4x－3＝0.
【解析】根据配方法的步骤进行求解.
【解】x2＋4x－3＝0，
x2＋4x＋4＝3＋4，
（x＋2）2＝7，x＋2＝±，
∴x1＝－2＋，x2＝－2－.
【方法总结】用配方法解方程的关键是方程的两边都加上一次项系数一半的平方.
课堂训练
1.把方程x2－6x－5＝0左边配成一个完全平方式后，所得的方程是（　　）
A.（x－6）2＝41 B.（x－3）2＝4
C.（x－3）2＝14 D.（x－3）2＝9
2.解方程：x2－4x＋1＝0.
板书设计
第1课时　用配方法求解
二次项系数为1的一元二次方程
1.直接开平方法法则：先把方程化为“左平方，右常数”，再开平方取正负，分开求得方程的解.
2.用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤：（1）移项；（2）配方；（3）开方；（4）解一元一次方程，得出原方程的解.
课堂小结
本节课学习了用直接开平方法求一元二次方程的解以及用配方法求二次项系数为1的一元二次方程的解.
教学反思
　　课堂上要把激发学生学习热情和引导学生获得学习能力放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度.本节课多次组织学生合作交流，通过小组合作，为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中教师发现了学生在分析问题和解决问题时出现的独到见解，以及思维的误区，这样使得老师可以更好地指导今后的教学.
教师应对小组讨论给予适当的指导，包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问题及对学习有困难的学生的帮助等，使小组合作学习更具实效性.
答案
课堂训练
1.C
2.解：x2－4x＝－1，
x2－4x＋4＝－1＋4，
（x－2）2＝3，
x－2＝±，
∴x1＝2＋，x2＝2－.
第2课时　用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程
教学目标
1.经历配方法解一元二次方程的过程，获得解一元二次方程的基本技能.
2.经历用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的过程，体会其中的化归思想.
3.能利用一元二次方程解决有关的实际问题.
重点难点
重点：会用配方法求一元二次方程的解.
难点：理解配方法的过程.
教学过程
情景导入
印度古书中有这样一首诗：“一群猴子分两队，高高兴兴在游戏，八分之一再平方，蹦蹦跳跳树林里；其余十二叽喳喳，伶俐活泼又调皮.告我总数共多少，两队猴子在一起？”大意是说：一群猴子分两队做游戏，一队猴子只数是猴子总数的八分之一的平方，它们在树林里蹦蹦跳跳；另一队猴子只数是12，它们在那叽叽喳喳的，显得伶俐活泼又调皮.那么猴子的总数是多少？请同学们解决这个问题.
探究新知
探究点一　用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程
【例1】解方程：2x2＋8x－1＝0.
【解析】根据配方法的步骤求一元二次方程的解.
【解】整理原方程，得x2＋4x＝，
配方，得x2＋4x＋4＝＋4，即（x＋2）2＝，∴x＋2＝±，∴x1＝－2＋，x2＝－2－.
【方法总结】用配方法解形如ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的方程，配方时应按下面的步骤进行：先把二次项系数化为1，并把常数项移到一边；再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方；最后转化为（x＋m）2＝n的形式，利用直接开平方法求解即可.
探究点二　用一元二次方程解决实际问题
【例2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝21cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，同时动点Q从点B出发，沿BC方向运动，点P，Q的运动速度均为1cm/s.当运动多少秒时，两点相距15cm？
【解析】可设运动xs时，两点相距15cm，根据题意表示出CP，CQ的长，再根据勾股定理列出方程求解.
【解】设运动xs时，两点相距15cm.
依题意，得x2＋（21－x）2＝152，
解得x1＝9，x2＝12.
故运动9s或12s时，两点相距15cm.
【方法总结】根据勾股定理，列出一元二次方程，再求解.
课堂训练
1.在用配方法解一元二次方程2x2－3x－1＝0的过程中，配方正确的是（　　）
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
2.解方程：2x2＋4x－1＝0.
板书设计
第2课时　用配方法求解二次项系数不为
1的一元二次方程
1.用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤：（1）将二次项系数化为1；（2）移项；（3）配方；（4）开方；（5）分别解一元一次方程，得出原方程的两个解.
2.例题讲解.
课堂小结
本节课学习了用配方法求二次项系数不为1的一元二次方程的解.要熟悉配方法的步骤.
教学反思
　　本节课是在上一节课的基础上进行讲解的，学生对配方法的步骤比较熟悉，当二次项的系数不为1时，要先把二次项的系数化为1，然后根据配方法的步骤进行解答，学生掌握得比较好.
答案
课堂训练
1.C
2.解：∵2x2＋4x－1＝0，∴x2＋2x＝，
∴x2＋2x＋1＝＋1，即（x＋1）2＝，
∴x＋1＝±，
∴x1＝－1＋，x2＝－1－.
第3课时　用公式法求解一元二次方程
教学目标
1.能够正确地推导出一元二次方程的求根公式.
2.熟练运用求根公式求方程的解.
重点难点
重点：求根公式的运用.
难点：求根公式的推导过程.
教学过程
情景导入
一张桌子长4m、宽2m，桌布的面积是桌面面积的2倍，铺在桌子上时，各边下垂的长度相同.求桌布的长和宽.
探究新知
探究点一　用公式法求一元二次方程的解
【例1】解方程：
（1）－x2＋4x＋3＝0；（2）2x2－2x－5＝0.
【解析】先找出二次项系数、一次项系数、常数项，然后代入求根公式.
【解】（1）这里a＝－1，b＝4，c＝3.
∵Δ＝b2－4ac＝42－4×（－1）×3＝28＞0，
∴x＝＝2±，
即x1＝2＋，x2＝2－.
（2）这里a＝2，b＝－2，c＝－5.
∵Δ＝b2－4ac＝（－2）2－4×2×（－5）＝48＞0，
∴x＝＝，
即x1＝，x2＝.
【方法总结】用公式法解一元二次方程的前提条件是b2－4ac≥0.把方程化为一般形式，才能确定a，b，c的值，同时要注意a，b，c包含前面的符号，代入公式x＝时，也要注意符号.
探究点二　求根公式
【例2】一元二次方程4x2＋1＝4x的根的情况是（　　）
A.没有实数根
B.只有一个实数根
C.有两个相等的实数根
D.有两个不相等的实数根
【解析】原方程可化为4x2－4x＋1＝0.
∵Δ＝（－4）2－4×4×1＝0，
∴方程有两个相等的实数根.
【答案】C
【方法总结】利用一元二次方程的根的判别式Δ＝b2－4ac判断方程的根的情况：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根.
课堂训练
1.已知关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0（m＞0）有两个不相等的实数根，则（　　）
A.m＜1 B.0＜m＜1
C.m＞1 D.m＝1
2.解方程：3x2－2x－2＝0.
板书设计
第3课时　用公式法求解一元二次方程
1.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），通过配方法变形为＝，得一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的求根公式是x＝（b2－4ac≥0）.
2.利用一元二次方程的根的情况判断Δ的情况：①当一元二次方程有两个不相等的实数根时，Δ＞0；②当一元二次方程有两个相等的实数根时，Δ＝0；③当一元二次方程无实数根时，Δ＜0.
课堂小结
本节课学习了用公式法求一元二次方程的解及用根的判别式判断方程的解的情况.
教学反思
　　这节课不能仅仅让学生背公式、套公式来解方程，而应让学生初步建立对一些规律性的问题加以归纳、总结的数学建模意识.亲身体会公式推导的全过程，提高学生的推理能力和逻辑思维能力；进一步增强学生合作交流的意识，帮助学生形成积极主动的求知态度.
答案
课堂训练
1.B
2.解：这里a＝3，b＝－2，c＝－2.
∵Δ＝b2－4ac＝（－2）2－4×3×（－2）＝28＞0，
∴x＝＝＝，
即x1＝，x2＝.
第4课时　用因式分解法求解一元二次方程
教学目标
1.会用因式分解法解简单的含有数字系数的一元二次方程.
2.会选择适当的方法求解一元二次方程.
重点难点
重点：用因式分解法求一元二次方程的解.
难点：把多项式分解因式.
教学过程
情景导入
已知一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长满足方程x2－6x＋8＝0，你能判断这个三角形的形状是什么吗？
探究新知
探究点一　用因式分解法求解一元二次方程
【例1】一元二次方程x2－2x＝0的根是（　　）
A.x1＝0，x2＝－2 B.x＝2
C.x1＝1，x2＝－2 D.x1＝0，x2＝2
【解析】∵x2－2x＝0，∴x（x－2）＝0，∴x＝0或x－2＝0，∴x1＝0，x2＝2.
【答案】D
【方法总结】用因式分解法解一元二次方程时，将方程化为一般形式后，一定要让方程的右边等于0，否则会出现错误.切忌方程的两边同时除以含有未知数的整式.
探究点二　选择适当的方法解一元二次方程
【例2】解下列方程：
（1）（x＋2）2－25＝0；
（2）x2＋4x－5＝0；
（3）4（x＋3）2－（x－2）2＝0；
（4）2x2＋8x－1＝0.
【解析】根据方程的特点选择适当的方法.
【解】（1）∵（x＋2）2－25＝0，
∴（x＋2）2＝25，∴x＋2＝±5，
∴x1＝3，x2＝－7.
（2）∵x2＋4x－5＝0，∴x2＋4x＋4＝5＋4，
∴（x＋2）2＝9，∴x＋2＝±3，
∴x1＝1，x2＝－5.
（3）∵4（x＋3）2－（x－2）2＝0，
∴[2（x＋3）＋（x－2）][2（x＋3）－（x－2）]＝0，
∴（3x＋4）（x＋8）＝0，
∴3x＋4＝0或x＋8＝0，
∴x1＝－，x2＝－8.
（4）∵a＝2，b＝8，c＝－1，
∴Δ＝b2－4ac＝82－4×2×（－1）＝72＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝.
【方法总结】直接开平方法是最基本的方法，公式法和配方法是最重要的方法，公式法适用于任何一元二次方程.在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在使用公式前应先计算出一元二次方程的根的判别式的值，判断方程是否有解.掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程，所以一般不用配方法.最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数.
课堂训练
1.方程x2－x－2＝0的一个根是（　　）
A.x＝0 B.x＝2
C.x＝－2 D.x＝1
2.用你喜欢的方法解下列方程：
（1）（2x＋1）2＝81；
（2）（2x＋1）2＝3（2x＋1）；
（3）3x2－1＝4x.
3.x取何值时，代数式3x2＋6x－8与1－2x2的值互为相反数？
板书设计
第4课时　用因式分解法求解一元二次方程
1.用因式分解法求解一元二次方程.
2.例题讲解.
课堂小结
本节课讲解了用因式分解法求一元二次方程的解，要会选择适当的方法解一元二次方程.
教学反思
　　为了全面了解学生的学习状况，鼓舞学生的学习热情，促进学生的全面发展.本节课在评价时应注重关注学生能否积极主动地思考，能否清楚地表达自己的观点，及时发现学生的闪光点，给予肯定.增强他们对数学活动的兴趣和应用数学知识解决问题的意识，帮助学生形成积极主动的求知态度.
　　在本节课的学习过程中可考虑增加“拓展延伸”环节，让学生切实体会方程在实际生活中的应用，拓展学生的思路，培养学生综合运用知识来解决问题的能力.
本节课应着眼于学生能力的发展，因此其中设计的解题策略、思路方法在今后的教学中应注意进一步渗透，才能更好地达到提高学生数学能力的目标.　
答案
课堂训练
1.B
2.解：（1）直接开平方，得2x＋1＝±9，
解得x1＝4，x2＝－5.
（2）移项，得（2x＋1）2－3（2x＋1）＝0，
分解因式，得（2x＋1）（2x＋1－3）＝0，
∴2x＋1＝0或2x＋1－3＝0，
解得x1＝－，x2＝1.
（3）方程整理，得3x2－4x－1＝0，
这里a＝3，b＝－4，c＝－1.
∵Δ＝（－4）2－4×3×（－1）＝28＞0，
∴x＝＝，
∴x1＝，x2＝.
3.解：根据题意，得3x2＋6x－8＋1－2x2＝0，
整理，得x2＋6x－7＝0，
∴（x＋7）（x－1）＝0，
∴x＋7＝0或x－1＝0，
解得x1＝－7，x2＝1，
∴当x取－7或1时，代数式3x2＋6x－8与1－2x2的值互为相反数.

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