资源简介

2.3　一元二次方程的根与系数的关系
教学目标
1.掌握一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根x1，x2与系数a，b，c之间的关系.
2.掌握一元二次方程的根与系数的关系的应用.
3.会求一元二次方程的两个根的倒数和、平方和与差.
重点难点
重点：根与系数的关系.
难点：根与系数的关系的应用.
教学过程
情景导入
我们来做一个游戏，看谁能更快速地说出下列一元二次方程的两根之和与两根之积.
（1）x2＋3x－4＝0；　　（2）6x2＋x－2＝0；
（3）2x2－3x＋1＝0.
探究新知
探究点一　根与系数的关系
【例1】一元二次方程x2＋4x－3＝0的两个根分别为x1，x2，则x1·x2的值为（　　）
A.4　　　　　　　　　　B.－4
C.3 D.－3
【解析】根据一元二次方程的根与系数的关系有x1·x2＝＝－3.
【答案】D
【方法总结】一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）只有在Δ＝b2－4ac≥0时，才有x1＋x2＝－，x1·x2＝.
探究点二　根与系数的关系的应用
【例2】设x1，x2是方程x2＋5x－3＝0的两个根，则＋的值是（　　）
A.19 B.25
C.31 D.30
【解析】∵x1，x2是方程x2＋5x－3＝0的两个根，
∴x1＋x2＝－5，x1x2＝－3，
∴＋＝（x1＋x2）2－2x1x2＝25＋6＝31.
【答案】C
【方法总结】利用根与系数的关系求有关两根的代数式时，要善于将代数式化为含有两根之和（x1＋x2）和两根之积（x1x2）的形式.
课堂训练
1.若关于x的一元二次方程x2＋（k＋3）x＋2＝0的一个根是x＝－2，则另一个根是（　　）
A.x＝2 B.x＝1
C.x＝－1 D.x＝0
2.一个菱形的对角线恰好是一元二次方程x2－12x＋26＝0的两个根，则菱形的面积是（　　）
A.12 B.13
C.26 D.无法计算
3.已知关于x的方程为x2＋（m－3）x＋m－7＝0.
（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；
（2）若方程的两个实数根分别为x1，x2，且满足2（x1＋x2）＋x1x2＞0，求m的取值范围.
4.关于x的一元二次方程x2－2kx＋k2＋k－2＝0有两个实数根.
（1）求k的取值范围；
（2）若x1x2＝2（x1＋x2）＋2，求k的值.
板书设计
3　一元二次方程的根与系数的关系
1.如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根为x1，x2，那么x1＋x2＝－，x1·x2＝.
2.常用根与系数的关系解决以下问题：（1）不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根；（2）已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数；（3）不解方程，求关于根的式子的值；（4）判断两根的符号.
课堂小结
本节课学习了根与系数的关系，熟练掌握两根之和与两根之积，能够用它们求一个代数式的值或字母的取值范围.
教学反思
　　本节课学习的是一元二次方程的根与系数的关系，这是利用求根公式计算出来的.在授课过程中，要留给学生充分的独立思考和小组合作交流的时间，使学生在资源共享的同时，体会到运用一元二次方程根与系数的关系解题的便捷.引导学生回顾本节课知识以及与之相联系的知识，通过回顾进一步巩固知识，将新知识纳入学生个人已有的知识体系中.
　　本节课充分以学生为主体进行教学，采用“实践—观察—发现—猜想—证明”的过程进行教学.让学生多实践，从实践中反思过程.经历根与系数的关系的探究过程，从中体验成功的乐趣.引导学生发现问题，师生共同解决问题.指导学生掌握思考问题的方法及解决问题的途径，并将问题和规律进行归类.
答案
课堂训练
1.C　2.B
3.解：（1）证明：∵Δ＝（m－3）2－4（m－7）＝m2－10m＋37＝（m－5）2＋12＞0，
∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根.
（2）根据题意，得x1＋x2＝3－m，x1x2＝m－7.
∵2（x1＋x2）＋x1x2＞0，
∴2（3－m）＋m－7＞0，
∴m＜－1.
4.解：（1）∵关于x的一元二次方程x2－2kx＋k2＋k－2＝0有两个实数根，
∴Δ＝（－2k）2－4（k2＋k－2）＝－4k＋8≥0，
∴k≤2.
（2）由根与系数的关系可知x1＋x2＝2k，x1x2＝k2＋k－2.
∵x1x2＝2（x1＋x2）＋2，
∴k2＋k－2＝2×2k＋2，
整理，得k2－3k－4＝0，
解得k1＝－1，k2＝4.
由（1）知k≤2，∴k的值为－1.

展开更多......

收起↑