资源简介

2.4　一元二次方程的应用
第1课时　一元二次方程在几何及行程问题中的应用
教学目标
1.能够利用一元二次方程解决实际问题.
2.能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性.
重点难点
重点：用一元二次方程解决几何及行程问题.
难点：用一元二次方程解决实际问题.
教学过程
情景导入
提出问题：还记得梯子下滑的问题吗？
（1）在这个问题中，梯子顶端下滑1m时，梯子底端滑动的距离大于1m，那么梯子顶端下滑几米时，梯子底端滑动的距离和它相等呢？（2）如果梯子长度是13m，梯子顶端下滑的距离与梯子底端滑动的距离可能相等吗？如果相等，那么这个距离是多少？
分组讨论：
（1）怎么设未知数？在这个问题中存在怎样的等量关系？如何利用勾股定理来列方程？
（2）涉及解的取舍问题，应引导学生根据实际问题进行检验，决定解到底是多少.
探究新知
探究点一　几何问题
【例1】如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用长为25m的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门.所围矩形猪舍的长、宽分别为多少米时，猪舍的面积为80m2？
【解析】设矩形猪舍垂直于住房墙一边的长为xm，可以得出平行于墙的一边的长为（25－2x＋1）m.根据矩形的面积公式建立方程求出解.
【解】设矩形猪舍垂直于住房墙的一边的长为xm，则平行于墙的一边的长为（25－2x＋1）m.
由题意，得x（25－2x＋1）＝80，
化简，得x2－13x＋40＝0，
解得x1＝5，x2＝8.
当x＝5时，25－2x＋1＝16＞12（不符合题意，舍去）；
当x＝8时，25－2x＋1＝10＜12.
故所围矩形猪舍的长为10m，宽为8m.
【方法总结】解答此类问题时，关键是把实际问题数学化，这就要求我们认真分析题意，把实际问题中的已知条件和未知条件归结到某一个几何图形中，然后用几何原理来寻找他们之间的关系.
探究点二　行程问题
【例2】如图，海关缉私人员驾艇在C处发现在正北方向30km的A处有一艘可疑船只，并测得它正以60km/h的速度向正东方向航行，缉私艇随即以75km/h的速度在B处将可疑船只拦截.缉私艇从C处到B处需航行　　　　h.
【解析】设缉私艇从C处到B处需航行xh，
则AB＝60xkm，BC＝75xkm.
根据题意，得（60x）2＋302＝（75x）2，
解得x1＝，x2＝－（不符合题意，舍去）.
故缉私艇从C处到B处需航行h.
【解】
【方法总结】解答此类问题的步骤：①设未知数，用含未知数的式子表示出各条线路的长度；②根据勾股定理列出方程求解.
课堂训练
1.如图，某中学计划靠墙围建一个面积为80m2的矩形花圃（墙长为12m），围栏总长度为28m，则与墙垂直的边的长x为（　　）
第1题图
A.4m或10m
B.4m
C.10m
D.8m
2.如图，AB⊥OC于点O，AO＝BO＝50cm，OC是射线.蚂蚁甲以2cm/s的速度从点A爬向点B，蚂蚁乙以3cm/s的速度从点O沿射线OC爬行，那么经过多长时间，两只蚂蚁和点O围成的三角形的面积为450cm2？
板书设计
第1课时　一元二次方程在几何及行程问题中的应用
1.几何图形问题.
2.行程问题.
3.例题讲解.
课堂小结
本节课学习了一元二次方程的实际问题：几何图形问题和行程问题.会解决几何图形的面积问题及根据路程公式列出方程.
教学反思
　　本节课是学生学习完一元二次方程的解法后的应用课，学生在七、八年级已经进行过方程应用的训练，对于方程的实际应用并不陌生.虽然学生已经进行了一定的训练，但本节课对学生而言还是有一定的难度.本节课采用启发、问题讨论相结合的方式引导学生从已有的知识和生活经验出发，以教材提供的素材为基础，对旧知识进行迁移，找出解决问题的新的途径和方法.学生之间的合作交流、互助学习，能更好地调动学生学习的积极性，有助于根据学生的实际情况对课堂练习进行调整.无论是例题还是练习的分析，尽可能地鼓励学生动脑、动手、动口，为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中发现学生分析问题、解决问题的独到见解以及思维的误区，从而更好地进行学习指导.
答案
课堂训练
1.C
2.解：设经过xs，两只蚂蚁和点O围成的三角形的面积为450cm2.
①当0≤x≤25时，蚂蚁甲在线段AO上爬行.
由题意，得（50－2x）·3x＝450，
整理，得x2－25x＋150＝0，
解得x1＝10，x2＝15.
②当25＜x≤50时，蚂蚁甲在线段OB上爬行.
由题意，得（2x－50）·3x＝450，
整理，得x2－25x－150＝0，
解得x3＝30，x4＝－5（不符合题意，舍去）.
综上所述，经过10s或15s或30s，两只蚂蚁和点O围成的三角形的面积为450cm2.
第2课时　一元二次方程在营销及其他问题中的应用
教学目标
1.经历和体验运用一元二次方程解决实际问题的过程.
2.掌握一元二次方程应用题解法步骤，并能根据具体问题找出等量关系.
重点难点
重点：会列方程解决营销问题.
难点：找等量关系列方程.
教学过程
情景导入
某网店专售一款新型钢笔，其成本为20元/支，销售过程中发现，该商品每天的销售量y（单位：支）与销售单价x（单位：元）之间满足y＝－10x＋400.为支持公益事业，该网店店主决定从每天获得的利润中抽出200元捐赠给公益机构，同时尽量让顾客得到实惠.当销售单价定为多少元时，捐款后每天的剩余利润为550元？
探究新知
探究点　销售中的营销问题
【例1】某农场以32000元收购了某种农产品40t，目前以1200元/吨售出.如果储藏起来，每个星期会损失1t，且每个星期需支付各种费用共800元.同时，每隔1个星期每吨价格将上涨200元.若要获利61000元且尽早卖出，则需要将这批农产品储藏　　　　个星期.
【解析】设需要将这批农产品储藏x个星期，则每吨的售价为（1200＋200x）元.
依题意，得（1200＋200x）（40－x）－32000－800x＝61000，
整理，得x2－30x＋225＝0，
解得x1＝x2＝15.
【解】15
【方法总结】一元二次方程的应用，找准等量关系，利润＝售价－进价，正确列出一元二次方程是解题的关键.
【例2】某商场销售一批名牌衬衫，当销售价为每件299元时，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施.经试销发现，如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件.若商场平均每天要盈利1200元，则每件衬衫的定价为多少元？
【解析】设每件衬衫降价x元，则每件衬衫的定价为（299－x）元，每件盈利（40－x）元，平均每天可售出（20＋2x）件.根据平均每天的利润＝每件的利润×平均每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论.
【解】设每件衬衫降价x元，则每件衬衫的定价为（299－x）元，每件盈利（40－x）元，平均每天可售出（20＋2x）件.
依题意，得（40－x）（20＋2x）＝1200，
整理，得x2－30x＋200＝0，
解得x1＝10，x2＝20.
∵要扩大销售，减少库存，
∴x＝20，∴299－x＝279，
∴每件衬衫的定价为279元.
【方法总结】总利润＝总销售价－总成本＝单件利润×总销售量；单件利润＝单件售价－单件成本；利润率＝×100％.
课堂训练
1.某超市经销一种水果，每千克盈利10元，每天销售500kg.经市场调查，若每千克涨价1元，日销售量减少20kg，现该超市要保证每天盈利6000元，每千克应涨价（　　）
A.15元或20元 B.10元或15元
C.10元 D.5元或10元
2.西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200kg.为了促销，该经营户决定降价销售.经调查发现，这种小型西瓜每千克降价0.1元，每天可多售出40kg.另外，每天的房租等固定成本共24元.
（1）若将这种小型西瓜每千克的售价降低0.4元，则每天的销售量是　　　　kg；
（2）销售这种小型西瓜要想每天盈利200元，且使每天的销售量较大，需将每千克的售价降低多少元？
板书设计
第2课时　一元二次方程在营销及其他问题中的应用
1.营销问题.
2.例题讲解.
课堂小结
本节课学习了一元二次方程的实际问题，掌握列一元二次方程解应用题的解题步骤.
教学反思
　　设未知数（用字母表示未知量），带着未知量去“翻译”题目中的有关信息，然后将题目中有关联的量表示成等量关系，就是应用题的解题策略.
无论是例题还是练习的分析，尽可能地鼓励学生动脑、动手、动口，为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中更利于教师发现学生分析问题、解决问题的独到见解以及思维的误区，以便指导今后的教学.课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在首位，通过运用各种启发、激励的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度.
答案
课堂训练
1.D
2.解：（1）360
（2）设这种小型西瓜每千克的售价降低x元，则每千克的利润为3－x－2＝（1－x）元，每天的销售量为200＋×40＝（200＋400x）kg.
依题意，得（1－x）（200＋400x）－24＝200，
整理，得50x2－25x＋3＝0，
解得x1＝0.2，x2＝0.3.
∵要使每天的销售量较大，
∴x＝0.3，
∴需将每千克的售价降低0.3元.

展开更多......

收起↑