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学科 数学 年级 九年级 设计者
教材版本 人教版 册、章 上册第二十九章
课标要求 1．理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念；探索并掌握点与圆的位置关系． 2．探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧． 3．探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，知道同弧（或等弧）所对的圆周角相等．了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补． 4．了解三角形的外心． 5．能用尺规作图：过不在同一直线上的三点作圆． 6．会计算圆的弧长、扇形的面积． 7．通过实例体会反证法的含义．
内容分析 本章是初中平面几何中研究曲线图形的重要单元，是在学生学习三角形、四边形等直线型几何、图形变换之后开展教学．教材从生活中的圆形实例入手，从动态旋转与点的集合两个角度定义圆，依次学习圆的基本概念、点与圆的位置关系、垂径定理、圆心角与圆周角定理、圆内接四边形性质，最后学习弧长、扇形面积、圆锥侧面积计算．圆兼具轴对称与旋转对称性，本章充分利用对称性推导各类定理，是对前面全等、勾股定理、图形变换知识的综合运用．本章渗透数形结合、转化、反证法等数学思想，既是初中几何知识的重要收尾，也为后续高中解析几何、三角函数的学习打下基础．同时结合赵州桥、古代铜镜等素材，体现数学文化价值，培养学生几何直观与逻辑推理素养．
学情分析 学生在小学已经对圆有直观认识，已经掌握直线型图形的证明、勾股定理、旋转与轴对称等知识，具备初步尺规作图和简单演绎推理能力．但学生长期接触直线图形，对于曲线图形的性质比较陌生；本章概念多，弦、弧、圆心角、圆周角等概念容易混淆．学生对于借助圆的对称性推导定理的思路不易理解，辅助线的添加没有固定套路．同时，学生容易把直线图形的思维直接套用到圆的问题中，在定理综合计算、推理证明、数形结合运算方面存在困难，需要借助动手探究、问题串降低思维难度，逐步建立曲线图形的研究思维．
单元目标 （一）教学目标 1．理解圆的定义，掌握弦、直径、弧、优弧、劣弧、等圆、等弧等基本概念；掌握点和圆的三种位置关系；会用尺规作过不在同一直线上三点的圆，了解三角形的外心，初步了解反证法． 2．探索圆的轴对称、旋转对称性，掌握垂径定理及其推论；掌握同圆或等圆中弧、弦、圆心角之间的关系． 3．掌握圆周角定理及其推论，理解直径与圆周角的关系；掌握圆内接四边形对角互补的性质，能够进行角度计算与简单证明． 4．理解弧长、扇形面积公式的由来，会计算弧长、扇形面积，掌握圆锥侧面积、全面积的计算方法，能解决简单实际问题． 5．在探究定理、尺规作图过程中，体会数形结合、转化思想，发展几何直观与逻辑推理，感受圆在生活、传统文化中的应用价值． （二）教学重点、难点 重点： 1．圆的相关基本概念；垂径定理及其推论；同圆或等圆中弧、弦、圆心角的关系． 2．圆周角定理及其推论，圆内接四边形的性质，能够运用定理进行角度计算与简单几何推理． 3．弧长、扇形面积、圆锥侧面积相关公式，运用公式解决有关计算和简单实际问题． 难点： 1．利用圆的轴对称性、旋转对称性推导相关定理，结合图形合理添加辅助线解决圆的几何问题． 2．区分圆中易混淆概念，综合运用多个定理完成圆的几何证明与角度、线段的综合计算． 3．弧长、扇形、圆锥相关公式的理解与综合运算，结合实际情境提取几何模型解决问题．
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数1-3圆的有关概念34-7圆的有关性质48-9弧长和扇形面积210数学活动——四等分圆周与探究四点共圆的条件111章末复习1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务29.1.1圆的有关概念1.结合实例，从动态、集合两个角度理解圆的定义，认识圆心、半径． 2.探索点与圆的三种位置关系，会用点到圆心距离d与半径r的数量关系判断位置． 3.理解弦、直径、弧、优弧、劣弧、半圆、等圆、等弧的相关概念，能辨析易混淆概念．1.能说出圆的两种定义，准确识别圆心、半径． 2.能根据d和r的大小关系判断点与圆的位置关系． 3.能区分弦与直径、弧与半圆、等圆与等弧，正确判断相关说法正误． 4.能在圆的图形中标注出弦、直径、优弧、劣弧．任务一：认识圆的定义，举出生活中的圆实例． 任务二：探究点和圆的位置关系 任务三：完成教材例题，识别圆相关概念．29.1.2过三点的圆（第1课时）1.经历探究过程，理解不在同一直线上的三个点确定一个圆． 2.掌握尺规作图：过不在同一直线上的三点作圆． 3.了解三角形外接圆、外心的概念，知道外心是三边垂直平分线交点．1.能说出"不在同一直线上三点确定一个圆"，理解三点共线不能作圆． 2.能独立用尺规作出过不在同一直线上三点的外接圆． 3.能说出三角形外心的定义，知道外心到三角形三个顶点距离相等．任务一：动手探究过1个点、2个点、3个点作圆，理解定理． 任务二：尺规作图，作三角形的外接圆． 任务三：了解三角形外接圆、外心的概念． 29.1.2过三点的圆（第2课时）通过实例体会反证法的含义，了解反证法基本思路．能说出反证法大致步骤，读懂教材反证法证明．任务：阅读教材反证法案例，完成简单说理练习．29.2.1垂直于弦的直径1.通过折叠探究，理解圆是轴对称图形，直径所在直线是对称轴． 2.探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧． 3.会运用垂径定理进行简单线段、弧长的计算与证明，会添加对应辅助线．1.能说出圆的轴对称性，完整表述垂径定理内容． 2.能结合图形写出垂径定理的几何符号语言． 3.能构造直角三角形，结合勾股定理利用垂径定理进行计算．任务一：动手折叠圆纸片，探究圆的轴对称性，猜想垂径定理． 任务二：学习教材例题，利用垂径定理解决弦长、半径计算问题．29.2.2圆心角1.理解圆心角的概念，认识圆心角所对的弧、弦． 2.探究同圆或等圆中弧、弦、圆心角之间的相等关系． 3.会运用三者之间的关系进行简单证明和角度、线段推理．1.能在圆中识别圆心角，说出圆心角所对的弧和弦． 2.能表述同圆或等圆中弧、弦、圆心角的互推关系． 3.能利用三者相等关系，完成简单几何证明．任务一：旋转圆形纸片，探究圆心角、弧、弦之间关系． 任务二：研读教材例题，利用圆心角性质进行证明．29.2.3圆周角（第1课时）1.理解圆周角定义，能区分圆周角与圆心角． 2.探索圆周角定理，掌握圆周角定理的推论． 3.会运用圆周角定理及其推论解决实际问题．1.能判断一个角是不是圆周角． 2.能完整表述圆周角定理及其推论，理解定理的推导思路． 3.能利用圆周角定理进行求解或证明．任务一：对比圆心角，认识圆周角，辨析图形． 任务二：分类探究圆周角定理及推论，完成教材例题．29.2.3圆周角（第2课时）1.理解圆内接多边形、多边形的外接圆的概念，掌握圆内接四边形对角互补的性质． 2.综合运用圆内接四边形对角互补的性质解决角度计算与简单证明．1.记住圆内接四边形对角互补，进行角度计算． 2.能综合圆周角定理及其推集结完成几何推理．任务一：探究圆内接四边形对角关系 任务二：完成教材例题．29.3弧长和扇形面积（第1课时）1.理解弧长公式的推导过程，掌握弧长计算公式． 2.理解扇形定义，推导扇形面积两个计算公式． 3.会直接利用弧长、扇形面积公式进行相关计算．1.能说出弧长、扇形面积公式的由来，记住公式． 2.能代入圆心角、半径，正确计算弧长、扇形面积． 3.能在简单情境中识别扇形，选取合适公式计算．任务一：由圆周长推导弧长公式，由圆面积推导扇形面积公式． 任务二：完成教材例题，运用公式进行计算．29.3弧长和扇形面积（第2课时）1.认识圆锥，理解圆锥母线、底面半径、高的概念． 2.推导圆锥侧面积、全面积公式，理解圆锥侧面展开图是扇形． 3.会利用圆锥相关公式解决实际计算问题．1.能识别圆锥母线、高、底面半径，理清三者数量关系． 2.能说出圆锥侧面展开图与原扇形各元素的对应关系． 3.能计算圆锥侧面积与全面积，解决简单实际应用题．任务一：剪开圆锥模型，观察侧面展开图，寻找各量对应关系． 任务二：研读教材例题，完成圆锥面积相关计算．数学活动：四等分圆周与探究四点共圆的条件1.通过动手操作，尝试四等分圆周，感受圆的对称性． 2.探究四点共圆的条件，理解四点共圆的判定思路． 3.在探究活动中体会观察、猜想、验证的数学研究方法，提升几何直观．1.能借助尺规完成四等分圆周的操作． 2.能说出四点共圆的基本条件，会简单判断四点能否共圆． 3.能小组合作完成探究，表达自己的猜想与推理．任务一：动手尺规作图，四等分圆周． 任务二：小组合作，画图、测量、猜想，探究四点共圆的条件．第29章圆章末复习1.梳理本章圆的基本概念、定理、公式，构建知识框架． 2.能综合运用垂径定理、圆心角、圆周角、弧长扇形面积等知识解决问题． 3.总结圆中辅助线添加思路，提升综合几何推理能力．1.能独立梳理本章知识结构图，复述核心定理与公式． 2.能综合运用多个圆的定理完成计算与证明． 3.能根据题型，合理添加圆中常用辅助线．任务一：结合教材回顾与思考问题，小组合作梳理全章知识思维导图，辨析易错概念 任务二：典型例题巩固，完成旋转计算、中心对称作图、原点对称坐标综合练习
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分课时教学设计
第九课时《29.3 弧长和扇形面积（第2课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本课是应用弧长和扇形面积来研究圆锥侧面展开图，是扇形面积公式的实际应用．教材定义圆锥母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫作母线．把圆锥侧面沿母线剪开，展开是扇形．建立圆锥实体与展开扇形之间元素对应：扇形半径=圆锥母线l；扇形弧长=圆锥底面圆周长2πr．由此推导圆锥侧面积公式、全面积公式．教材配备毡房实际应用题，毡房由圆柱+圆锥组合而成，综合侧面积计算．本课将立体图形转化平面展开图，体现转化思想，是空间观念培养的重要课时，把上节课扇形计算迁移到立体几何体，完善圆计算知识体系．
学习者分析 学生具备立体图形初步认知，知道圆锥底面是圆，但很难想象剪开圆锥侧面得到扇形，对立体转平面的对应关系理解是难点．学生经常混淆圆锥母线、底面半径、圆锥的高，分不清展开扇形里面哪一个量对应圆锥哪条线段．学生记得扇形面积，但是不会转化到圆锥侧面积．学生可以借助实物模型，小组动手剪开纸质圆锥，直观看到展开图，找到对应关系，突破立体到平面的思维障碍．
教学目标 1.认识圆锥，理解圆锥母线、底面半径、高的概念． 2.推导圆锥侧面积、全面积公式，理解圆锥侧面展开图是扇形． 3.会利用圆锥相关公式解决实际计算问题．
教学重点 圆锥侧面展开图各元素与圆锥对应关系；圆锥侧面积、全面积计算．
教学难点 分清圆锥母线、底面半径、高；理解展开扇形弧长等于圆锥底面周长．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1.认识圆锥，理解圆锥母线、底面半径、高的概念． 2.推导圆锥侧面积、全面积公式，理解圆锥侧面展开图是扇形． 3.会利用圆锥相关公式解决实际计算问题．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性。环节二：新知导入教师活动2： 问题1：在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长是多少？ 答案： 问题2：在半径为的圆中，圆心角为的扇形面积的两个公式是什么？ 答案： 导入：生活中的陀螺、烟囱帽都是圆锥，如果沿着圆锥侧面上从顶点到底边边缘的一条线段剪开，会得到什么图形？ 学生活动2： 学生回忆扇形面积公式，观察圆锥实物，猜想侧面展开图形．活动意图说明： 复习上节课所学习的弧长和扇形面积公式，通过实物展示，从平面图形过渡立体圆锥，激发探究兴趣．环节三：新知讲解教师活动3： 讲解：我们知道，圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体.如图所示，我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫作圆锥的母线. 追问1：你对圆锥还有哪些认识呢？ 预设：圆锥的高：连接圆锥顶点与底面圆心的线段． 圆锥的母线有无数条． 追问2：设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，高为h，那么圆锥的母线、高、底面圆的半径之间有什么关系？ 预设： 思考：圆锥的侧面展开图是什么图形 如何计算圆锥的侧面积 如何计算圆锥的全面积 预设：沿一条母线将圆锥的侧面剪开并展平，得到的圆锥的侧面展开图是一个扇形. 设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，那么这个扇形的半径为，扇形的弧长为底面圆的周长，因此圆锥的侧面积为. 圆锥的全面积为. 即：圆锥的侧面积为，圆锥的全面积为 例：如图所示，蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成.如果想用毛毡搭建20个底面积为，高为，外围高1.8m的蒙古包，至少需要多少平方米毛毡(π取3.142，结果取整数) 解：如图所示是一个蒙古包的示意图. 根据题意，下部圆柱的底面积为12，高；上部圆锥的高1.8=1.4. 圆柱的底面圆的半径 侧面积为 圆锥的母线长 侧面展开扇形的弧长为 圆锥的侧面积为 因此，搭建20个这样的蒙古包至少需要毛毡20×(22.10+14.76)≈. 学生活动3： 学生认识母线概念；观察剪开圆锥；跟随教师推导圆锥侧面积公式；小组动手操作实物模型，理清立体平面对应关系；完成例题相关计算并班内交流．活动意图说明： 通过教材定义、展开图描述、毡房例题；实物动手操作降低立体思维难度；问题串明确圆锥和展开扇形各个量一一对应，小组动手突破本节课难点．环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系。
板书设计 课题：29.3 弧长和扇形面积（第2课时）一、圆锥的母线 二、圆锥的侧面积 三、圆锥的全面积教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．已知圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5，则圆锥的侧面积为（ ） A． B． C． D． 答案：B 2．如果圆锥侧面展开图的面积是，母线长是5，则这个圆锥的底面半径是_____． 答案：4 3．如图1，冰激凌的外壳（不计厚度）可近似的看作圆锥，其母线长为12cm，底面圆直径长为8cm，当冰激凌被吃掉一部分后，其外壳仍可近似的看作圆锥，如图2，此时其母线长为9cm，求此时冰激凌外壳的侧面积（结果保留） 解：设该圆锥展开后所得扇形的圆心的度数为， 由题意得，冰激凌的底面圆的周长为：． ∵母线长为12cm， ∴， 解得，即展开后所得扇形的圆心角的度数是． ∵吃掉一部分后母线长为9cm， ∴此时冰激凌外壳的侧面积为：． 选做题： 4．如图，圆锥的底面半径为3，母线长为12，一只蜘蛛从底面圆周上一点 出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点 的最短路程是（ ） A．12 B．18 C． D．24 答案：C 【综合拓展类练习】 5．如图，锚标浮筒是打捞作业中用作标记锚或沉船位置的常用工具，它的上下两部分是圆锥，中间是圆柱（单位：）．电镀时，如果每平方米用锌，电镀100个这样的锚标浮筒，需要用锌多少千克（结果保留小数点后一位）？ 解：由图知，圆柱和圆锥的底面半径为， 两个圆锥的高均为，圆柱的高为， ∴圆锥的母线长为， ∴两个圆锥的侧面积为， 圆柱的侧面积为， ∴1个锚标浮筒的表面积为， ∵每平方米用锌， ∴电镀100个这样的锚标浮筒，需要用锌（千克）．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．把半径为的半圆做成圆锥的侧面，则圆锥的高是（ ） A． B． C． D． 答案：A 2．若一个圆锥的底面半径为，母线长为，则其侧面展开图的圆心角是_____． 答案： 3．如图是一个圆锥沿高线切开得到的等腰三角形，根据图中标出的数据（单位：cm），计算这个圆锥侧面展开图圆心角的度数 解：∵圆锥的底面半径为1， ∴圆锥的底面周长为2π， ∵圆锥的高是， ∴圆锥的母线长为， 设扇形的圆心角为n°， ∴， 解得：． 即圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角为120°． 选做题： 4．一个圆锥，根据下列所给条件能计算出它的侧面积的是（ ） ①圆锥侧面展开图的圆心角，圆锥的母线长； ②底面圆的面积，圆锥的母线长； ③圆锥侧面展开图的圆心角，底面圆的半径； ④圆锥侧面展开图的圆心角，底面圆的周长． A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．①②③④ 答案：D 【综合拓展类作业】 5．光明灯具厂生产一批台灯罩，如图的阴影部分为灯罩的侧面展开图．已知半径、分别为、，． (1)若要在灯罩的上下边缘镶上花边（花边的宽度忽略不计），需要多长的花边？ (2)求灯罩的侧面积（接缝不计）．（以上计算结果保留） 解：（1）由题意得，劣弧的长， 劣弧的长， ∴花边的长度为； （2）由题意得，， ， ∴ ．
教学反思 实物模型大大降低学生理解难度，但不少学生做题仍然混淆母线和底面半径，忘记"扇形弧长等于底面周长"这个核心等量．毡房例题是圆柱圆锥组合，计算步骤多，部分学生计算出错．课堂实物操作时间有限，个别小组动手不充分．后续练习中，要强调画图，标出圆锥、展开扇形各个量，强化立体转平面转化，训练公式代入计算．
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