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学 科 数学 年 级 九年级 设计者
教材版本 华师大版 册、章 上册第二十二章
课标要求 1. 理解相似图形、相似多边形、相似三角形的概念，掌握相似多边形的对应角相等、对应边成比例的性质，能准确识别相似图形及对应边、对应角。 2. 掌握平行线分线段成比例定理及其推论，能运用定理进行线段长度的计算和比例式的推导，理解定理在相似三角形判定中的基础作用。 3. 探索并证明相似三角形的判定定理（两角分别相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例），能熟练运用判定定理判断两个三角形相似，规范书写推理过程。 4. 掌握相似三角形的性质，能运用性质进行线段、角、周长、面积的计算。 5. 了解位似图形的概念，掌握位似图形的性质，能利用位似将一个图形放大或缩小，能在平面直角坐标系中根据坐标变化判断位似关系，体会图形变换的思想。 6.能运用相似三角形的知识解决实际问题（如测量高度、距离等），经历从实际情境中抽象出相似图形的过程，发展模型观念和应用意识。
内容分析 《图形的相似》是华师大版九年级上册第22章的内容，是初中几何的重要组成部分，承接七年级全等三角形、八年级四边形的知识，是对图形关系的进一步拓展，从“全等（形状相同、大小相等）”延伸到“相似（形状相同、大小不等）”，实现了图形认知的深化。本单元以“相似”为核心，构建了“概念—定理—判定—性质—应用”的完整知识体系，不仅是后续学习锐角三角函数、圆的相关知识的基础，也是解决实际测量问题的重要工具，在中考中占据重要地位，同时培养学生的几何推理能力和空间想象能力，为高中几何学习奠定坚实基础。
学情分析 本单元的授课对象是九年级学生，在此之前，学生已熟练掌握全等三角形的判定与性质、线段的比、比例的基本性质等知识，具备一定的几何推理能力和作图能力，对图形的“全等”关系有深刻理解，为学习“相似”关系奠定了基础；同时，学生已具备一定的代数运算能力，能进行比例式的变形和计算，为相似三角形的相关计算提供支撑。但学生对“相似”的抽象概念理解不足，容易混淆相似与全等的关系，对比例线段的灵活运用能力较弱。
单元目标 （一）教学目标 1. 理解成比例线段、相似图形、相似多边形、相似三角形、位似图形的概念，掌握相关定义的本质特征，能准确识别各类图形。 2. 掌握比例的基本性质、合比性质、等比性质，能运用性质进行比例式的变形和计算；掌握平行线分线段成比例定理及其推论，能运用定理解决线段长度计算和比例推导问题。 3. 熟练掌握相似三角形的判定定理和性质，能运用定理进行几何推理、线段和角的计算，能规范书写证明过程。 4. 掌握位似图形的性质，能利用位似将图形放大或缩小，能在平面直角坐标系中进行位似变换，掌握位似图形的坐标变化规律。 5. 能运用相似三角形的知识解决实际测量问题和综合几何问题，能从实际情境中抽象出相似图形模型，检验结果的合理性。 （二）教学重点、难点 重点 1. 平行线分线段成比例定理及其推论的理解与应用。 2. 相似三角形的判定定理与性质的掌握，能熟练运用进行推理和计算。 3. 位似图形的概念与性质，能进行简单的位似变换。 4. 运用相似三角形的知识解决实际问题和综合几何问题。 难点 1. 平行线分线段成比例定理的推导，以及在复杂图形中准确识别比例线段。 2. 相似三角形判定定理的灵活运用，尤其是在复杂几何情境中选择合适的判定方法。 3. 相似三角形性质中面积比与相似比的关系的理解与应用，避免与周长比混淆。 4. 从实际问题中抽象出相似三角形模型，建立数学关系解决问题。 5. 位似图形的坐标变化规律的掌握，以及位似变换与其他图形变换的结合应用。
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数22.1 成比例线段成比例线段及其基本性质； 平行线分线段成比例222.2 相似图形相似多边形的特征；识别相似图形及对应边、对应角 122.3相似三角形相似三角形；相似三角形的判定 相似三角形的性质；相似三角形的应用422.4位似图形位似图形及其性质122.5图形与坐标用坐标确定位置；图形的变换与坐标2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务22.1 成比例线段理解成比例线段的概念（能准确表述，能判断四条线段是否成比例）；比例的基本性质、合比性质、等比性质。能记住成比例线段的概念和比例的基本性质，能完成基础的比例式计算。 任务一：能熟练运用比例的性质进行比例式变形. 任务二：能准确判断四条线段是否成比例.能准确表述平行线分线段成比例定理及其推论，理解推导过程； 能运用定理进行线段长度计算和比例推导。能熟练运用定理及推论解决问题，能准确识别复杂图形中的比例线段，作业规范任务一：平行线分线段成比例定理及其推论（能准确表述、理解推导过程）； 任务二：定理的应用22.2 相似图形理解相似图形、相似多边形的概念（能准确表述，能识别相似图形）； 掌握相似多边形的性质。能准确表述，能识别相似图形；能根据定义判断两个多边形是否相似 能记住相似图形、相似多边形的概念，能运用性质解决基础计算问题 22.3相似三角形能准确表述相似三角形的三种判定定理，理解推导过程； 能根据已知条件选择合适的判定定理，规范书写证明过程。能记住判定定理，能运用定理解决简单的三角形相似证明问题，证明步骤基本完整。任务一：相似三角形的三种判定定理； 任务二：判定定理的应用；复杂几何情境中判定定理的灵活选用。探究相似三角形的性质，面积比与相似比的关系的理解与应用，能准确区分周长比与面积比能准确表述对应线段、周长、面积与相似比的关系，能运用性质进行线段、周长、面积的计算任务一：记住相似三角形的性质； 任务二：运用性质解决基础计算问题。能准确表述，能区分位似与相似的关系；能利用位似将图形放大或缩小，掌握坐标变化规律；能从实际问题中抽象出相似模型，解决测量问题能熟练掌握位似变换的方法，能准确运用坐标变化规律，能从实际问题中抽象出相似模型，解决中等难度的实际应用问题；任务一：位似图形的概念与性质）； 任务二：位似变换的应用； 任务三：相似三角形的实际应用。
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22.5.2 图形的变换与坐标 课件 教学设计
学科 数学 年级 九年级 课型 新授课 单元 第二十二章
课题 22.5.2 图形的变换与坐标 课件 课时 1课时
课标要求 在平面直角坐标系中，探索并了解将一个多边形依次沿两个坐标轴方向平移后所得到的图形与原来的图形具有平移关系，体会图形顶点坐标的变化；探索并了解多边形顶点坐标关于 x 轴、y 轴对称后对应顶点坐标的变化；了解在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似图形顶点坐标的变化规律，感受图形变换与坐标之间的内在联系，发展几何直观、推理意识。
教材分析 本节课是华师大版九年级上册 22.5《图形与坐标》的第 2 课时，承接上一节《用坐标确定位置》，是在学生已经学习平移、轴对称、位似等图形变换基础上，把几何变换和平面直角坐标系结合起来。教材以三角形平移、轴对称、矩形放大缩小、位似缩放为载体，通过例题、思考、试一试、探索活动，引导学生归纳：图形变换→点的坐标变化；反过来，坐标有规律变化→图形发生对应变换。它是数形结合思想的典型载体，既是对前面相似、位似、平移轴对称知识的巩固，也为后续函数图像性质学习打下基础，在整个几何体系中起到承上启下的作用。
学情 分析 九年级学生已经掌握平移、轴对称、位似的图形特征，会画平面直角坐标系，能写出点的坐标，具备一定的动手画图、观察猜想能力。但学生容易出现的问题： 1. 混淆不同变换对应的坐标变化规律，尤其是多次平移、连续变换时坐标计算出错； 2. 难以理解 “坐标变化” 和 “图形变换” 双向关系，只会看图写坐标，不会通过坐标预判图形怎么变； 3. 位似变换（放大缩小）的坐标规律容易忽略正负，和轴对称、平移区分不清。 学生抽象思维正在发展，需要借助画图、小组探究、表格归纳，由直观到抽象总结规律。
核心素养目标 1. 数学抽象：经历观察、计算、对比，归纳平移、轴对称、原点位似变换下点(x,y)的坐标变化规律，能用符号语言表达规律。 2. 几何直观：会在坐标系中画出平移、轴对称、位似后的图形，能根据坐标变化想象图形位置、大小变化。 3. 推理意识：能根据图形变换写出对应点坐标，也能根据坐标变化判断发生了什么图形变换，理解变换与坐标的双向对应关系。
教学重点 掌握平移、关于 x 轴、y 轴对称、原点为位似中心缩放时，点的坐标变化规律；能根据图形变换求坐标，根据坐标变化判断图形变换。
教学难点 理解多次连续变换的坐标变化；区分平移、轴对称、位似三种变换的坐标规律；理解坐标变化和图形变换之间双向的对应关系。
教学 准备 多媒体课件、学习资料
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、引新 1.什么是平移 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。 2.平移的性质是什么 一个图形和它经过平移所得的图形中， ①对应点所连的线段平行（或在一条直线上）且相等； ②对应线段平行（或在一条直线上）且相等， ③对应角相等． 【想一想】 在同一个平面直角坐标系中，一个图形经过变换之后，该图形上各点的坐标会如何变化呢 学生回忆：平移；思考猜想图形变换和坐标的联系。 唤醒旧知，抛出核心问题，激发探究兴趣，点明本节课数形结合的研究方向。
二、探究 【例1】在下图中，△AOB沿x轴向右平移3个单位长度之后，得到△A'O'B'. 三个顶点的坐标有什么变化 解：△AOB的三个顶点的坐标分别为 A(2，4)，O(0，0)，B(4，0). 平移之后的△A'O'B'的对应顶点的坐标分别为 A'(5，4)，O'(3，0)，B'(7，0). 比较相应顶点的坐标，你发现了什么 沿x轴向右平移3个单位长度之后，三个顶点的纵坐标都没有改变，而横坐标都增加了3. 在图中，△AOB沿x轴向左平移3个单位长度之后，得到△A''O''B''. 三个顶点的坐标有什么变化 A(2，4)，O(0，0)，B(4，0). A''(-1，4)，O''(-3，0)，B''(1，0). 比较相应顶点的坐标，你发现了什么 沿x轴向左平移3个单位长度之后，三个顶点的纵坐标都没有改变，而横坐标都减少了3. 【例2】如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为(-3，4)、(-4，3)和(-1，3).将△ABC沿y轴向下平移3个单位长度得到△A'B'C'，然后再将A'B'C'沿x轴向右平移4个单位长度得到A''B"C''. 试写出现在三个顶点的坐标，看看发生了什么变化. 解：△ABC的三个顶点的坐标分别为 A(-3，4)，O(-4，3)，B(-1，3). 沿y轴向下平移3个单位长度之后的△A'B'C’的对应顶点的坐标分别为A'(-3，1)，O'(-4，0)，B'(-1，0). 沿x轴向右平移4个单位长度之后的△A"B"C"的对应顶点的坐标分别为A"(1，1), B"(0，0), C"(3，0). 比较相应顶点的坐标，你发现了什么 经过两次平移之后，三角形三个顶点的横坐标都增加了4，纵坐标都减少了3. 我们还可以把这两次平移看作是△ABC沿BB"方向平移一次，得到A"B"C". 总结归纳 左右平移时，纵坐标不变，横坐标右加，左减，上下平移时，横坐标不变，纵坐标上加，下减。 【思考】在下图中，△AOB关于x轴的轴对称图形是△A'OB，它们对应顶点的坐标有什么变化 A (2，4)， A' (2，-4)， 你能找到对应顶点坐标的变化规律吗 关于 x 轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数，(x，y)→(x，- y) 在图中，画出△AOB关于y轴的轴对称图形是△A''OB''，它们对应顶点的坐标有什么变化 A (2，4)， A'' (-2，4)， B (4，0)， B'' (-4，0)， 关于 y 轴对称：纵坐标不变，横坐标互为相反数，(x，y)→(-x，y) 【思考】如图，将△AOB缩小后得到△COD，你能求出它们的相似比吗 因为OB=4，OD=2，所以相似比为2. △AOB的顶点坐标发生了什么变化 A (2，4)→ C (1，2)， B (4，0)→ D (2，0)， 【探索】如图，已知矩形ABCD四个顶点的坐标分别为A(0，0)、B(3，0)、C(3，2)、D(0，2)，将这四个顶点的坐标同时扩大到原来的2倍后得到一组新坐标，画出新坐标对应的点所确定的图形，看看新的图形和原图形之间有什么关系. 总结归纳 一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点 (x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky)或 (－kx，－ky). 我们看到，当一个几何图形经过某种变换改变位置或大小后，图形上各点的坐标也发生了相应的变化. 本节所运用的那些变换引起的点的坐标的变化可以归纳成下表: 反过来，按上表的方式之一同时改变一个几何图形上各点的坐标，就使该几何图形产生相应的变换，从而改变它的位置或大小. 独立写出平移前后坐标，对比观察； 小组合作，分步计算两次平移后的坐标； 尝试用自己的语言总结平移坐标变化规律。 动手画图，写出对称点坐标； 独立完成试一试，小组交流发现； 对比记忆两种轴对称的坐标变化，辨析区别。 学生计算新坐标，画图观察，发现图形形状不变、大小成比例，属于位似；完成表格整理。 依托教材例题，从单次平移到连续两次平移，由浅入深，让学生自主发现平移只改变横坐标或纵坐标，落实重点。 动手操作，自主探究，区分两种轴对称的坐标规律，避免混淆，落实几何直观。 结合相似、位似旧知，把缩放和坐标联系起来，完善变换体系，打通相似与坐标的联系。
三、尝试 【知识技能类作业】必做题： 1. 如果一个图案沿x轴负方向平移3个单位长度，那么这个图案上的点的坐标变化为(　B　)。 A.横坐标不变，纵坐标减少3个单位长度 B.纵坐标不变，横坐标减少3个单位长度 C.横纵坐标都没有变化 D.横纵坐标都减少3个单位长度 2.在平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点坐标分别是A(4，5)，B(1，2)，C(4，2)，将三角形ABC向左平移5个单位长度后，A点的对应点A'的坐标是(　B　)。 A. (0，5) B. (-1，5) C. (9，5) D. (-1，0) 3.点M(-2，5)是由点N向上平移3个单位长度得到的，则点N的坐标为(　A　)。 A.(-2，2)　　　　　B.(-5，5) C.(-2，8) D.(1，5) 4.如图，在直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABO的顶点坐标分别为A(－2，－1)，B(－2，－3)，O(0，0)，△A1B1O1的顶点坐标分别为A1(1，－1)，B1(1，－5)，O1(5，1)，△ABO与△A1B1O1是以点P为位似中心的位似图形，则P点的坐标为 (-5，-1)． 5.在平面直角坐标系中，△OAB各顶点的坐标分别为O(0，0)，A(1，2)，B(0，3)，以O为位似中心，△OA′B′与△OAB位似，若B点的对应点B′的坐标为(0，－6)，则A点的对应点A′的坐标为(　A　). A．(－2，－4) B．(－4，－2) C．(－1，－4) D．(1，－4) 6.如图，线段AB经过平移得到线段A′B′，其中点A，B的对应点分别为点A′，B′，这四个点都在格点上．若线段AB上有一个点P(a，b)，则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为(　A　). A．(a－2，b＋3) B．(a－2，b－3) C．(a＋2，b＋3) D．(a＋2，b－3) 【综合拓展类作业】7.在如图所示的平面直角坐标系中，每个小方格的边长均为1个单位长度，把△ABC向上平移3个单位长度，得到△A′B′C′.(1)请在图中画出△A′B′C′，并写出点A′，B′，C′的坐标； 解：A′(-2，4)，B′(-3，1)，C′(1，1)． (2)求△ABC的面积； 解：（2）S△ABC=×4×3=6 (3)点P在y轴上，且△BCP与△ABC的面积相等，求点P的坐标． （3）设点P的坐标为(0，y)． ∵BC＝4，点P到BC的距离为|y＋2|，由题意得×4×|y＋2|＝6， 解得y＝1或y＝-5， ∴点P的坐标为(0，1)或(0，-5)． 独立完成基础练习，在练习本上写出详细的解题过程。 基础练习旨在巩固本节课的核心知识点，帮助学生夯实基础；拓展提升活动则将数学知识与生活实际相结合，让学生体会数学与生活的联系，提高学生的知识应用能力和创新思维能力。
四、提升 适时小结，兴趣延伸 本节课你学到了什么？ 1.平面直角坐标系中，左右平移时，纵坐标不变，横坐标右加，左减，上下平移时，横坐标不变，纵坐标上加，下减。 2.关于 x 轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数，(x，y)→(x，- y). 关于 y 轴对称：纵坐标不变，横坐标互为相反数，(x，y)→(-x，y) 3.一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点 (x，y)对应的位似图形上的点的坐标为(kx，ky)或 (－kx，－ky). 认真倾听教师的总结，回顾自己本节课的学习过程，反思自己的收获和不足。
帮助学生梳理知识体系，强化重点知识，让学生对本节课的内容有更清晰、系统的认识。
板书设计 22.5.2 图形的变换与坐标 ① 平面直角坐标系中单的平移. ② 对称图形的坐标 ③ 位似图形中的坐标 . 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计 【知识技能类作业】必做题： 1.在平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点坐标分别是A(4，5)，B(1，2)，C(4，2)，将三角形ABC向左平移5个单位长度后，A点的对应点A'的坐标是(　B　). A.(0，5) B.(-1，5)C.(9，5) D.(-1，0) 2. 在平面直角坐标系中，已知点O(0，0)，A(1，3)，将线段OA向右平移3个单位长度，得到线段O1A1，则点O1的坐标是(3，0)，A1的坐标是(4，3). 【知识技能类作业】选做题： 3.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，4)，过点A作AB⊥x轴于点B. 将△AOB以坐标原点O为位似中心缩小为原图形的，得到△COD，则CD的长度是(　A　). A．2 B．1 C．4 D．3 4.如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A(1，2)，B(1，1)，C(3，1)，以原点为位似中心，在原点的同侧画△DEF，使△DEF与△ABC成位似图形，且相似比为2∶1，则线段DF的长度为(　D　) A. B．2 C．4 D．2 【综合拓展类作业】 5.在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如图所示． (1)填写下列各点的坐标：A4__(2，0) __，A8___(4，0) ，A12(6，0) _，A4n(2n，0) ；(n是正整数) (2)指出蚂蚁从点A100到点A101的移动方向． 解：因为100正好是4的倍数，所以点A100和A101的坐标分别是A100(50，0)，A101(50，1)，所以蚂蚁从点A100到点A101的移动方向是从下向上．
教学反思 本节课依托教材例题，以探究活动为主线，让学生动手画图、计算对比，自主归纳坐标变化规律，较好落实数形结合思想。大部分学生能掌握基础的单次平移、轴对称的坐标变化，能完成基础练习。 存在不足： 1. 部分学生处理连续两次变换时，容易搞反变换顺序，坐标计算出错；还有学生混淆轴对称和位似的坐标变化，符号判断失误。 2. 课堂上更多是 “图形变换→求坐标”，反向训练（给出坐标变化，判断是什么变换）偏少，学生双向理解还不够。 改进方向： 3. 增加对比辨析题，专门设计容易混淆的坐标变换题目，强化区分平移、轴对称、位似； 4. 增加反向题型，给出坐标变化，让学生判断图形发生什么变换，强化双向对应； 5. 可以利用几何画板动态演示，直观展示坐标随图形变换同步变化，帮助学困生理解； 6. 分层作业，基础题巩固规律，拓展题加入原点位似的负号情况，兼顾不同层次学生。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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