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4.1点的位置与坐标表示（知识梳理+同步练习）
一、平面直角坐标系定义
在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。
水平数轴叫做x轴（横轴），向右为正方向；竖直数轴叫做y轴（纵轴），向上为正方向；两轴交点为原点O。
二、象限划分
x轴、y轴把平面分成四个象限，坐标轴上的点不属于任何象限。
第一象限：(+,+)；第二象限：(-,+)；第三象限：(-,-)；第四象限：(+,-)。
三、点的坐标
平面内任意一点P，过P分别向x轴、y轴作垂线，垂足对应的数组成有序实数对，叫做点P的坐标。
x：横坐标；y：纵坐标；顺序不能颠倒。
平面内的点与有序实数对一一对应。
四、坐标轴上点的坐标特征
x轴上的点：纵坐标为0，形式；
y轴上的点：横坐标为0，形式；
原点：坐标，既在x轴上，也在y轴上。
五、平行于坐标轴的直线上点的特征
平行于x轴的直线：所有点纵坐标相等，横坐标不同；
平行于y轴的直线：所有点横坐标相等，纵坐标不同。
六、点到坐标轴的距离
点到x轴距离：；
点到y轴距离：；
距离一定是非负数，距离是绝对值，不要直接写x或y。
一、单选题
1．（26-27八年级上·全国·课后作业）下列平面直角坐标系的画法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）根据下列表述，能确定准确位置的是（ ）
A．西安市高新区 B．北偏东
C．科技路沿线 D．东经，北纬
3．（26-27八年级上·山东济南·期中）国庆期间小明、小强和小华去影院观看电影．并利用平面直角坐标系绘制了如图所示的影院内平面图，若小明在，小强在，则小华的位置是（ ）
A． B． C． D．
4．（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）若点在y轴上，则m的值为（ ）
A．2 B．0 C．1 D．
5．（26-27八年级上·广东佛山·阶段检测）如图，象棋棋盘上的“帅”位于点，“炮”位于点，则“相”位于点（ ）
A． B． C． D．
6．（26-27八年级上·山东济南·期中）已知过，两点的直线平行于轴，则的值是（ ）
A． B． C． D．
7．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）在平面直角坐标系中，点A的坐标为，若，则点A在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．（26-27八年级上·辽宁沈阳·阶段检测）关于平面直角坐标系，有以下说法：①在平面直角坐标系中，点的坐标是唯一确定的；②坐标与表示同一个点；③点在第三象限或第四象限，其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．（26-27八年级上·天津红桥·期中）如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，点，，点位于第一象限，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
10．（26-27八年级上·广东清远·期中）平面直角坐标系中，点，，，若轴，则线段的最小值及此时点的坐标分别为（ ）
A．， B．， C．， D．，
二、填空题
11．（26-27八年级上·山东济南·期中）在平面直角坐标系中，已知点在x轴上，求点的坐标_______．
12．（2026·江苏徐州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点所在的象限是________．
13．（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）在平面直角坐标系中，点关于y轴对称，则的值为___________．
14．（25-26七年级下·北京·期末）在平面直角坐标系中，已知，点在轴上且，则点的坐标是__________．
15．（26-27八年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，若点在第四象限，，，则的值为________．
16．（26-27八年级上·山东德州·开学考试）如图，在边长为的正方形网格中建立平面直角坐标系，为坐标原点，已知，，则三角形的面积为__________．
17．（26-27八年级上·安徽蚌埠·阶段检测）用八个大小形状完全一样的长方形在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知，则点的坐标为________．
18．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）如图，建立平面直角坐标系标注靖边特产红葱，若葱叶上点的坐标为，点的坐标为，则表示葱根部点的坐标为______________．
19．（26-27八年级上·江苏淮安·阶段检测）如图，A、B两点坐标分别为、，点C在线段上，将线段沿翻折，点O落在边上的点D处．点C的坐标为________．
20．（2026·江苏常州·中考真题）如图，小慧将2块相同的含角的直角三角尺摆放在平面直角坐标系中，其中三角尺的斜边落在轴上，三角尺的顶点的纵坐标为，则点的坐标为__________．
三、解答题
21．（26-27八年级上·甘肃白银·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知．
(1)在平面直角坐标系中画出，则的面积是_________；
(2)已知线段轴，且，则点的坐标为_________；
22．（26-27八年级上·广东茂名·期中）在平面直角坐标系中，点P的坐标为．
(1)若点P在x轴上时，求点P的坐标；
(2)若点P在过点且与y轴平行的直线上时，求点P的坐标．
23．（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）已知a，b都是实数，设点，且满足，我们称点P为“梦之点”．
(1)判断点是否为“梦之点”；
(2)若点是“梦之点”，请判断点M在第几象限，并说明理由．
24．（26-27八年级上·山东济南·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，长方形的边在轴上，边在轴上，，，将长方形沿折痕折叠，使点落在上的点处，点在边上．
(1)直接写出点的坐标；
(2)求的长；
(3)求点的坐标．
25．（26-27八年级上·天津滨海新区·期中）根据题意解答下列问题
(1)【探究发现】如图，图，在中，，，直线经过点，，，、为垂足，则有结论．请就图给予证明．
(2)【知识迁移】如图，已知：，，，，，连接、、，则点的坐标为____________，点的坐标为____________．
(3)【拓展应用】如图，已知：点的坐标为，分别以、为直角边在第一、第二象限作等腰与等腰，且，连接交轴于点，求的长．
试卷第6页（共6页）
答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C A C A A B D D
1．D
【详解】解：A、两条数轴不互相垂直，故选项A不符合题意；
B、横轴的正方向向右，即原点左侧为负，右侧为正，故选项B不符合题意；
C、两条数轴都没有正方向，故选项C不符合题意；
D、符合平面直角坐标系的定义，故选项D符合题意．
2．D
【详解】解：A、西安市高新区是区域范围，无法确定准确位置，该选项不符合题意；
B、仅给出方向，缺少距离，无法确定准确位置，该选项不符合题意；
C、科技路沿线为直线，包含无数个点，无法确定准确位置，该选项不符合题意；
D、东经与北纬可确定唯一准确位置，该选项符合题意．
3．C
【详解】解：根据题意建立如图平面直角坐标系，则小华的位置是．
4．A
【详解】解：∵点在轴上，
∴，解得．
5．C
【详解】解：由题意，建立平面直角坐标系如下：
则“相”位于点．
6．A
【详解】解：∵过，两点的直线平行于轴，
∴，
∴．
7．A
【详解】解：∵ ，．
∴ ．
∴ 点在第一象限．
8．B
【详解】解：∵平面直角坐标系中每个点对应唯一的有序实数对，
∴点的坐标是唯一确定的，①正确；
∵坐标与的横、纵坐标均不相同，
∴二者表示不同的点，②错误；
∵点的横坐标为0，在轴上，坐标轴上的点不属于任何象限，
∴点不在第三或第四象限，③错误；
综上，正确的说法共1个．
9．D
【详解】解：作轴于点E，作轴于点F，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点，，
∴，
∴，
∴点的坐标为．
10．D
【详解】解：∵轴，，，
∴，
根据垂线段最短，当时，线段的长度最小，
∵轴，，
∴轴，
∴点的横坐标与点相同，即，
∴点的坐标为，的最小值为．
11．
【详解】解：∵点在轴上，
∴点的纵坐标为0，即，
解得，
∴横坐标的值为，
∴点的坐标为．
12．第一象限
【详解】解：∵对任意实数，都有，
∴，
∵点的横坐标，纵坐标，
∵第一象限内点的横纵坐标都为正数，
∴点所在的象限是第一象限．
13．
【详解】解：因为点与点关于y轴对称，
所以点与点横坐标互为相反数，纵坐标相同，
所以，
则．
14．或
【详解】解：∵点在轴上，
∴设点的坐标为，
∵，，
∴，即，
∴或，
解得或，
∴点的坐标为或．
15．
【详解】解：∵，，
∴，．
∵点在第四象限，
∴，，
∴．
16．
【详解】解：如图，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，两垂线交于点，
，，
点的坐标为，
，，
，
点到的距离为，点到的距离为，
，，
∴．
17．
【详解】解：设小长方形的长为m，宽为n，
依题意，得，
解得，
∴，，
∴点的坐标为．
18．
【详解】解：由已知可得，平面直角坐标系如图所示，
则图中点C的坐标是．
19．
【详解】解：∵A、B两点坐标分别为、，
，．
在中，，
由折叠的性质可知，，，
，．
设，则，，
在Rt中，即，
解得，
点的坐标为．
20．
【详解】解：如图，过点作轴于点，
和是含角的等腰直角三角形，
,
,
为等腰直角三角形，
点纵坐标为，即
．
由勾股定理，，
，
由勾股定理，．
，
，
点坐标为．
21．(1)如图所示，即为所求
，4
(2)或
【详解】（1）解：画图见答案，
；
（2）解：∵线段轴，
∴点D的横坐标与点C的相同，
∵，
∴点D的横坐标为4，
∵，
∴点D的纵坐标为或，
∴点D的坐标为或．
22．(1)
(2)
【详解】（1）解：∵点在x轴上，
∴，
解得，
∴，
∴点P的坐标为；
（2）解：∵点P在过点且与y轴平行的直线上，
∴点P与点A的横坐标相等，即，
解得，
∴，
∴点P的坐标为．
23．(1)
点是“梦之点”
(2)
解：点在第二象限．
理由如下：
∵点是“梦之点”，
∴，
解得，
∴，即点的坐标为，
∵，，
∴点在第二象限．
【详解】（1）解：点是“梦之点”．
∵当，时，，，
∴，满足“梦之点”的定义．
（2）略
24．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）解：，，
，，
点的坐标为；
（2）解：将长方形沿折痕折叠，使点落在上的点处，
，
在中，，则由勾股定理可得；
（3）解：由（2）知，则，
设，则，
将长方形沿折痕折叠，使点落在上的点处，点在边上，
，
在中，，则由勾股定理可得，
，
解得，
点的坐标为．
25．
【详解】（1）(1)证明：∵，，
，
．
∵，
，
．
在和中，
，
．
（2）解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，延长交轴于点，
∵，，
，．
∵，轴轴，
．
∵轴，
．
∵，
．
∵，
．
在和中，
，
，
，，
，
．
同理可证，
，，
，
．
（3）如图，过点作轴于，
由（1）知，
，．
∵，轴，
．
在和中，，
，
．

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