资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
学 科 数学 年 级 九 设计者
教材版本 沪科版 册、章 下册第二十四章
课标要求 1.探索旋转的基本性质，认识圆的旋转不变性；理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角等概念，了解等圆、等弧的概念；探索并证明垂径定理。 2.探索圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系；探索并证明圆周角定理及其推论，掌握圆内接四边形对角互补的性质。 3.探索点与圆、直线与圆的位置关系；掌握切线的概念，探索切线与过切点半径的关系，能判定切线，会过圆上一点画切线。 4.了解三角形的外接圆、外心、内切圆、内心；了解正多边形与圆的关系；会计算弧长、扇形面积、圆锥侧面积与全面积。 5.在探究活动中发展几何直观、推理能力，体会转化、分类讨论、模型思想，落实核心素养。
内容分析 本章属于 “图形与几何” 板块，以旋转开篇，利用圆的旋转对称性展开研究，是初中平面几何收官章节。圆是曲线型几何图形，和之前直线型几何（三角形、四边形）联系紧密，综合度高；垂径定理、圆周角定理、切线性质是本章核心定理，是中考几何综合题高频载体，既是对全等、相似知识的巩固，也为高中解析几何铺垫。本章兼具几何证明、计算、实际应用，注重动手操作、合情推理到演绎推理的过渡。
学情分析 九年级学生已经掌握三角形、四边形、全等、相似、轴对称、旋转等直线图形知识，具备基础的几何推理能力，能进行简单的证明。但圆是曲线图形，学生容易受直线图形思维定式影响：对圆中多结论定理（垂径定理、圆周角定理）的条件辨析容易疏漏；圆综合题常结合相似、勾股定理，图形复杂，学生识图、构造辅助线能力薄弱；分类讨论意识不足（如弦、圆周角、无图多解问题）；学生已经面临中考压力，对综合性大题容易畏难，需要借助动手画图、几何演示降低理解难度。
单元目标 （一）教学目标 1.理解旋转性质、圆相关概念； 2.掌握垂径定理、圆心角弧弦关系、圆周角定理； 3.掌握切线判定与性质；会区分外接圆、内切圆； 4.会计算弧长、扇形、圆锥面积。 5. 经历观察、画图、猜想、验证、证明的探究过程，学会在圆中构造直角三角形、相似三角形解决问题，提升识图、几何推理能力，体会分类讨论、转化思想 （二）教学重点、难点 重点： 垂径定理及推论；圆周角定理及其推论；切线的判定与性质；弧长、扇形面积、圆锥侧面积计算。 难点： 圆中辅助线的构造；圆的多解分类讨论；圆与全等、相似、勾股定理结合的综合证明与计算；切线证明思路的选择。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数24.1 旋转224.2 圆的基本性质624.3圆周角224.4直线与圆的位置关系324.5三角形的内切圆124.6正多边形与圆224.7弧长与扇形面积2
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务24.1旋转 (第一课时)1.通过钟表转动、风车旋转等实例，感知旋转现象，认识旋转； 2.理解旋转的概念，识别旋转中心、旋转方向、旋转角三要素； 3.探究旋转的基本性质，能根据性质完成简单的旋转作图，发展几何直观。1.学生能准确说出旋转的定义，找准图形旋转的三要素； 2.能完整叙述旋转的三条基本性质； 3.能利用旋转性质找到对应点、对应线段、对应角，完成简单旋转作图。任务一：观察生活旋转实例，识别旋转现象，说出旋转三要素； 任务二：动手操作图形旋转，猜想并归纳旋转的性质； 任务三：给出简单图形、旋转中心与旋转角，画出旋转后的图形。24.1旋转 (第二课时)1.通过图形旋转 180° 的操作，认识中心对称、中心对称图形； 2.理解中心对称的性质，区分中心对称和中心对称图形； 3.会作一个图形关于某点的中心对称图形，会判断中心对称图形。1. 学生能辨析中心对称、中心对称图形两个概念； 2. 能说出中心对称的性质，知道对称点连线经过对称中心且被平分； 3. 可以独立画出一个图形关于定点的中心对称图形。任务一：将图形绕一点旋转 180°，观察重合特点，归纳中心对称定义； 任务二：找出成中心对称图形的对称点，总结中心对称性质； 任务三：按要求作出已知图形关于某一点的中心对称图形。24.2圆的基本性质 1.通过生活圆形实物，抽象出圆的定义，理解圆的两种定义； 2.认识弦、直径、弧、优弧、劣弧、等圆、等弧等概念； 3.掌握点与圆的三种位置关系，会用点到圆心距离与半径比较判断。1.学生能准确描述圆的定义，分清弦、弧、直径等概念； 2.能判断点和圆的位置关系，建立距离和半径的数量关系； 3.能在圆中正确标注弦、弧，区分优弧与劣弧。任务一：动手画圆，说出圆的形成过程，理解圆的定义； 任务二：在圆上识别弦、直径、优弧、劣弧，辨析等弧概念； 任务三：给定圆心、半径和点，判断点与圆的位置关系并说理。24.2.1垂径分弦(第一课时)1.通过动手折叠圆形纸片，探究圆的轴对称性； 2.经历猜想、验证、证明过程，掌握垂径定理，分清定理的条件与结论； 3.能利用垂径定理结合勾股定理进行弦长、半径、弦心距的计算，学会构造直角三角形，体会转化思想。1.学生能说出圆是轴对称图形，知道对称轴是过圆心的直线； 2.能完整叙述垂径定理，规范写出几何推理格式； 3.能识别垂径定理的基本图形，利用半径、弦心距、半弦长的直角三角形模型完成计算。任务一：折叠圆形纸片，观察重合现象，归纳圆的轴对称性； 任务二：猜想直径垂直弦产生的等量关系，证明垂径定理； 任务三：运用垂径定理 + 勾股定理，求解弦长、半径、弦心距。24.2.1垂径分弦(第二课时)1.经历猜想、证明，掌握垂径定理的推论，理解推论中 “弦不是直径” 这个限制条件； 2.能区分垂径定理及其推论，会利用 “知二推三” 分析图形条件； 3.能运用垂径定理和推论解决实际问题，建立分类讨论意识，处理圆中无图多解题型。1.学生能准确说出垂径定理推论，说出为什么要限制 “弦不是直径”； 2.能根据已知条件选择垂径定理或者推论进行推理； 3.遇到弦的相关问题，能想到分类讨论，正确完成计算与实际应用题。任务一：复习垂径定理，反向猜想命题，辨析平分直径的情况； 任务二：证明垂径定理推论，理解 “知二推三”； 任务三：解决拱桥、水管截面等实际问题，练习无图多解分类题型。24.2.2圆心角，弧，弦，弦心距之间的关系1.通过旋转操作感受圆的旋转不变性； 2.探索并掌握圆心角、弧、弦、弦心距之间的相等关系定理； 3.能运用定理进行简单的证明与计算。1.学生能说出圆具有旋转不变性； 2.能完整表述圆心角、弧、弦、弦心距关系定理； 3.能在同圆或等圆中，利用定理证明弧相等、弦相等、圆心角相等。任务一：旋转两张重合的圆形纸片，观察重合现象，感知旋转不变性； 任务二：猜想、归纳同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的等量关系； 任务三：利用定理完成简单证明，推导弧、弦、圆心角相等。24.2.3圆的确定(第一课时)1.经历过一点、两点、三点画圆的探究过程； 2.掌握 “不在同一直线上的三个点确定一个圆”； 3.理解三角形外接圆、外心的概念，知道外心是三边垂直平分线交点。1.学生能说出过一点、两点可以画无数个圆； 2.能准确表述不在同一直线上三点确定一个圆； 3.能找到三角形外心，说出外心的性质。任务一：分别尝试过一点、两点作圆，观察圆心分布特点； 任务二：探究过不在同一直线上三点作圆，归纳结论； 任务三：画出三角形外接圆，标出外心，口述外心性质。24.2.3圆的确定(第二课时)1.了解反证法的基本思路与步骤； 2.能用反证法证明简单命题； 3.对比感受直接证法与反证法的区别。1.学生能说出反证法的三步流程：反设、归谬、结论； 2.能对简单命题写出反设； 3.读懂反证法证明过程，初步使用反证法说理。任务一：结合实例认识反证法，梳理反证法证明步骤； 任务二：针对命题写出反面假设； 任务三：模仿范例，用反证法完成简单命题证明。24.3圆周角(第一课时) 1.认识圆周角，能辨析圆周角； 2.经历分类探究圆周角定理的过程，掌握圆周角定理； 3.会利用圆周角定理进行简单计算。1.学生能判断一个角是不是圆周角； 2.能说出圆周角定理内容； 3.可以借助圆周角定理求圆中角的度数。任务一：对比圆心角，归纳圆周角特征，识别圆周角； 任务二：分三类探究圆周角与圆心角位置关系，证明圆周角定理； 任务三：已知弧或者圆心角度数，求对应圆周角度数。24.3圆周角(第二课时) 1.探索圆周角定理的推论（直径所对圆周角是直角等）； 2.掌握圆内接四边形对角互补的性质； 3.综合运用推论、圆内接四边形性质计算和证明。1.学生能说出圆周角定理两条重要推论； 2.能说出圆内接四边形对角互补； 3.能结合性质求角度，识别直径构造直角模型。任务一：探究直径所对圆周角，归纳推论； 任务二：探究圆内接四边形内角关系，总结性质； 任务三：利用推论、圆内接四边形性质进行角度计算。24.4直线与圆的位置关系(第一课时)1.通过日出情境，认识直线与圆三种位置关系； 2.理解直线和圆位置关系与圆心到直线距离 d、半径 r 的数量关系； 3.实现位置关系和数量关系之间的转化。1.学生能区分相交、相切、相离三种位置； 2.能说出 d 与 r 大小关系对应的位置关系； 3.已知条件判断直线与圆位置关系。任务一：观察日出画面，归纳直线与圆的三种位置； 任务二：探究 d 和 r 的数量关系与位置关系对应规律； 任务三：给出半径、圆心到直线距离，判断位置关系。24.4直线与圆的位置关系(第二课时)1.探索切线判定定理、切线性质定理； 2.分清切线证明两种辅助线思路：连半径证垂直、作垂直证半径； 3.运用切线性质与判定完成证明计算。1.学生能准确说出切线判定定理、性质定理； 2.能根据题目条件选择合适方法证明切线； 3.遇到切线条件，会连接切点半径得到垂直关系。任务一：画图探究切线判定条件，归纳切线判定定理； 任务二：逆向思考得到切线性质定理； 任务三：选择合适方法，完成切线证明题。24.4直线与圆的位置关系(第三课时)1.理解切线长的概念，分清切线与切线长的区别； 2.经历动手操作、猜想证明，掌握切线长定理，会用定理进行线段、角度计算与证明； 3.了解圆外切四边形的性质，在解题中积累 “连圆心与切点” 的辅助线经验，发展推理能力。1.学生能准确说出切线长定义，区分切线和切线长； 2.能完整叙述切线长定理，规范书写定理几何语言； 3.能利用切线长定理进行计算、证明，能识别圆外切四边形，运用对边和相等解题。任务一：动手过圆外一点画两条切线，观察、测量，猜想切线长关系； 任务二：结合切线性质，全等证明切线长定理，归纳定理结论； 任务三：利用切线长定理解决线段周长、角度计算和证明题，探究外切四边形性质。24.5三角形的内切圆1.对比外接圆，认识三角形内切圆、内心； 2.理解内心是三条角平分线交点，掌握内心性质； 3.会画三角形内切圆，进行简单计算。1.学生能区分外心和内心； 2.能说出内心定义和性质； 3.能利用内心性质求角、求内切圆半径。任务一：类比外接圆，思考在三角形内部作圆与三边相切； 任务二：探究内心位置、性质； 任务三：画三角形内切圆，利用内心性质计算角度。24.6.1正多边形与圆1.了解正多边形和圆的关系，知道正多边形的外接圆； 2.认识正多边形的中心、半径、边心距、中心角； 3.会进行正多边形相关计算，把问题转化为直角三角形求解1.学生能说出正多边形可以内接于圆； 2.能识别中心、半径、边心距、中心角； 3.能构造直角三角形计算边长、边心距。任务一：把圆等分，依次连接分点，观察得到正多边形； 任务二：认识正多边形相关概念，拆解出直角三角形模型； 任务三：已知半径求正多边形边长、边心距。24.6.2正多边形的性质1.通过等分圆周认识正多边形，理解正多边形外接圆、内切圆是同心圆； 2.掌握正多边形的对称性、边角、中心角等性质，认识中心、半径、边心距、中心角； 3.能利用半径、边心距、半边长构成的直角三角形，完成正多边形相关计算。1.学生能说出正多边形的轴对称性，区分偶数边正多边形的中心对称性； 2.能说出正多边形中心角公式、内角公式，分清半径与边心距； 3.会构造直角三角形，求解正多边形边长、边心距、面积。任务一：观察正多边形图案，归纳正多边形边角、对称性质； 任务二：认识正多边形的中心、半径、边心距、中心角，推导中心角计算公式； 任务三：利用半径、边心距、半边长的直角三角形模型进行计算。24.7弧长与扇形面积(第一课时)1.推导弧长公式、扇形面积公式； 2.掌握两个公式，灵活选用公式计算1.学生能独立写出弧长、扇形面积公式； 2.能根据条件求弧长、扇形面积；任务一：由圆周长推导 n° 圆心角对应的弧长公式； 任务二：由圆面积推导扇形面积公式；24.7弧长与扇形面积(第二课时)1.认识圆锥的母线、高、底面半径，掌握三者之间的勾股关系； 2.理解圆锥侧面展开图是扇形，理清扇形与圆锥各量的对应关系； 3.推导并掌握圆锥侧面积、全面积公式，能解决相关计算与实际问题，体会曲面转平面的转化思想。1.学生能说出母线、高、底面半径的概念，利用勾股定理求母线长； 2.能准确说出展开扇形和圆锥的对应关系：扇形半径 = 母线，扇形弧长 = 底面周长； 3.能熟练选用公式计算圆锥侧面积、全面积，能由展开扇形条件反求圆锥底面半径。任务一：观察圆锥模型，识别母线、高、底面半径，推导三者勾股关系式； 任务二：动手展开圆锥侧面，探究扇形与圆锥各元素的对应关系； 任务三：利用侧面积、全面积公式完成计算，解决圆锥形工件、蒙古包等实际问题。
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
24.1.2旋转教学设计
学科 数学 年级 九 课型 新授课 单元 24
课题 24.1.2旋转 课时 1
教材分析 本节课在旋转知识基础上展开，是旋转的特殊形式。教材先认识中心对称，再过渡到中心对称图形，区分两个概念，衔接轴对称、旋转对称。既是对图形变换体系的完善，也为后续平行四边形性质学习铺垫，注重从实例抽象概念，引导学生观察、操作，发展空间观念。
学情 分析 学生已经掌握旋转、轴对称的相关知识，具备图形旋转操作的基础，但容易混淆 “中心对称” 和 “中心对称图形” 两个概念。初中生以直观形象思维为主，抽象辨析能力偏弱，对 “两个图形” 与 “一个图形” 的区别理解困难，需要借助动手旋转、对比观察突破难点。
核心素养目标 1.掌握中心对称的概念，知道旋转180°与原图重合 2.掌握中心对称图形的性质 3.根据中心对称的性质，会作出已知图形关于某一点成中心对称的图形
教学重点 掌握中心对称的概念，知道旋转180°与原图重合
教学难点 掌握中心对称图形的性质
教学 准备 多媒体课件
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 复习提问，温故孕新 如图所示，△ABC是由△DEF绕点O旋转得到的，且∠AOD=120°. （1）△ABC和△DEF的关系是_全等______； （2）OC=_OF___，OE=__OB____； （3）∠COF=_120_____°; （4）指出旋转过程 △ABC绕O点顺时针旋转120°. 学生回顾旧知，回答问题 通过复习重新巩固旋转的概念。
二、引新 创设情境，引入课题 从A旋转到B，旋转中心是什么？旋转角是多少？ 从A旋转到C呢 从A旋转到D呢 学生看图片，思考问题 通过问题，自然引入课题
二、探究 合作探究，活动领悟 观察 观察图 分别找出它们的旋转中心，说说你是如何找到的； 图 (1)：旋转中心是中间曲线的中心位置； 图形上每一部分绕这个点旋转后可以和另一部分重合，两组相同的图案对应点连线的交点就是旋转中心。 图 (2)：旋转中心是圆的圆心（正六边形的中心）； 所有相同的扇形、六边形顶点到这个点距离相等，对应点连线都交于圆心。 图 (3)：旋转中心是中间小正方形的中心（整个图形的中心）； 四个红色三角形对应顶点连线相交于这个中心点。 (2)分别指出它们至少旋转多大角度才能与原图形重合； 图 (1)：至少旋转180°重合； 图 (2)：至少旋转60°重合； 图 (3)：至少旋转90°重合。 (3)这样的一类对称图形有怎样的共同特征？ 这类图形是旋转对称图形： 把一个图形绕着一个定点旋转一个角度α（0°<α<360° ）后，能和原来的图形重合。 通过对上面图形的观察与分析，我们学到平面上有关另一类对称图形的知识. 平面上有两点A，A'，连接AA'，取AA'的中点O,那么就说点A与点A'关于 点O成中心对称，简称点A与点A’关于点O对称，其中一点叫作另一点关于点O的对应点，也叫作对称点，点O叫作点A与点A'的对称中心. 特别地，点O关于点O的对应点是点O本身. 如果一个图形上任意一点A关于某定点O的对应点A'仍在这个图形上，那么这个图形叫作中心对称图形，点O叫作这个图形的对称中心。 如：平行四边形是中心对称图形，它的对角线交点就是它的对称中心，矩形、菱形、正方形不仅是中心对称图形，同时也是轴对称图形，它们的对称轴通过对称中心。 如图为整个图形是中心对称图形。如果把其中的△ABC和△A'B'C' 看作两个图形，显然，△ABC上所有点关于点O的对应点都在△A'B'C'上，反过来， △A'B'C'上所有点关于点O的对应点都在△ABC上. 在平面上，如果图形F上所有点关于点O的对应点组成了图形F’，那么我们称图形F与图形F’关于点O成中心对称、点O叫作这两个图形的对称中心 总结 性质1：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。 性质2：成中心对称的两个图形全等。 归纳 同学们，我们学完中心对称与中心对称图形，它们有什么的区别呢？ 图形个数：两个 对称点：分别在两个图形上 对称中心：在两个图形间 图形个数：一个 对称点：一个图形 对称中心：图形内部 轴对称与中心对称的区别： 中心对称图形的形状匀称美观，因而常常被用在图案设计和建筑装饰中。 如中国民间传统剪纸[图24-9(1)]、2022年北京冬奥会主火炬台雪花图案[图24-9(2)]、中国古建筑中的薬井图案[图24-9(3)]等. 因为中心对称图形能够在所在平面内绕对称中心平稳地旋转，所以许多物体的旋转部分常被设计成中心对称图形，如飞机的螺旋桨[图24一10（1）]、切削金属用的铣刀[图24-10(2)]等. 交流 中心对称图形通过怎样的旋转可以与自身重合？成中心对称的两个图形，将其求一个图形通过怎样的旋转，可以与另一个图形重合 把一个中心对称图形绕它的对称中心旋转180°，能够和它本身重合。 如果两个图形成中心对称，把其中一个图形绕对称中心旋转 180°，可以和另一个图形重合。 教师引导学生自主思考，可以进行讨论交流 引导学生通过自主发现与协作交流，深入理解中心对称和中心对称图形
三、变式 师生互动，变式深化 例、如图，已知四边形 ABCD 和点O，试画出四边形ABCD 关于点 O 成中心对称的图形 A'B'C'D'. 分析：要画出四边形ABCD关于点O成中心对称的图形，只要画出A，B，C，D四点关于点O的对应点，再顺次连接各对应点即可. 作法： 1. 连接AO并延长到A'，使OA'=OA，得到点A的对应点A'； 2. 同理，可作出点B，C，D的对应点B'，C'，D'； 3. 顺次连接A'，B'，C'，D'. 则四边形A'B'C'D'即为所作. 同学们完成，有困难时可请小组同学帮助。 巩固本节课所学知识，激发学生学习热情。让学生感知数学来源于生活
四、尝试 尝试练习，巩固提高 1.如下所示的4组图形中，左边数字与右边数字成中心对称的有（ D ） A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 2.如图，已知△AOB与△DOC成中心对称，△AOB的面积是6，AB＝3，则△DOC中CD边上的高是（　B　） A.2　　　 B.4 C.6　　 D.8 3.如图， 是旋转对称图形，点_O__是旋转中心，至少旋转_180____ 后能与自身重合，它_是___（填“是”或“不是”）中心对称图形. 4.如图， 与 关于点 成中心对称， , , _55° ___. 5.如图，在 中， , , , 与 关于点 成中心对称.求 的长. 解： 与关于点成中心对称， , , .在 中, , , .在 中, . . 独立完成基础练习，小组讨论难题。 巩固知识，提升应用能力，兼顾不同学习需求
五、提升 适时小结，兴趣延伸 回顾这节课你学到了什么？ 中心对称和中心对称图形 各小组思考，代表总结本节课内容 学生回顾所学知识并内化，熟练掌握。
板书设计
作业设计 1.下列说法正确的是( C ) A.全等的两个图形成中心对称 B.能够完全重合的两个图形成中心对称 C.旋转180°后能够完全重合的两个图形成中心对称 D.旋转后能够重合的两个图形成中心对称 2.如图,已知图形是中心对称图形,则对称中心是( D ) A.点C B.点D C.线段BC的中点 D.线段FC的中点 3.如图，已知△ABC与△AB′C′关于点A成中心对称．若AB＝2 cm，则BB′的长为__4__cm. 4.如图，直线a，b垂直相交于点O，曲线C与曲线E关于点O成中心对称，点A的对称点是点A′，AB⊥a于点B，A′D⊥b于点D.若OB＝3，OD＝2，则阴影部分的面积之和为 6 . 5.如图，△ABO与△CDO关于O点成中心对称，点E，F在线段AC上，且AF＝CE. 求证：FD＝BE，FD∥BE. 证明：连接BF，DE， ∵△ABO与△CDO关于O点成中心对称， ∴OB＝OD，OA＝OC. ∵AF＝CE，∴OF＝OE. ∴四边形BEDF是平行四边形， ∴FD＝BE，FD∥BE.
教学反思 本节课借助图形旋转演示，学生能感知旋转 180° 重合的特点，但概念辨析仍有疏漏。部分学生分不清中心对称（两个图）和中心对称图形（一个图）。后续应增加对比练习，多让学生自主举例辨析，减少教师单向讲解，强化动手操作，帮助学生理清概念本质，提升识图能力。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑