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1.1 反比例函数的概念教学设计
学科 数学 年级 九年级 课型 新授课 单元 第1章
课题 1.1 反比例函数的概念 课时 1
课标要求 《义务教育数学课程标准(2022年版)》第四学段“函数”主题要求:结合具体情境体会反比例函数的意义,能根据已知条件确定反比例函数的表达式.本课时是第1章起始课,教材从小明步行上学的行程问题出发,由“做一做”中“路程一定时,速度与时间的积为定值”引出“y与x成反比例关系”,再由此抽象出反比例函数的定义,明确比例系数k,并讨论自变量的取值范围.教学重点是让学生经历“具体情境—积为定值—函数表达式”的抽象过程,难点是分清“成反比例关系”与“反比例函数”.
教材分析 本节是第1章“反比例函数”的起始课.教材先给出章首情境:小明家离学校2km,所用时间t(h)与平均速度v(km/h)满足,由此说明t是v的函数.接着用“做一做”填空(;增大,减少;增加,减小),引导学生发现两个变量的积是一个定值,由此给出“y与x成反比例关系”的定义;再指出中t是v的函数,从而抽象出的形式,明确k叫比例系数.随后讨论自变量的取值范围:一般情形下x取所有非零实数,实际问题中还要受条件限制(如).例1由菱形面积公式得到,例2用待定系数法求表达式.本节是1.2研究图象与性质、1.3建立模型的前提.
学情分析 学生已学正比例函数、一次函数、二次函数,会用待定系数法求表达式;小学阶段接触过“两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,积一定”的反比例关系,但停留在算术描述层面.主要障碍有三:一是把“成反比例关系”直接等同于“反比例函数”,忽视“函数”这层对应关系;二是对、、等变形形式判断不准,比例系数找错;三是写实际问题表达式时漏写自变量的取值范围.
核心素养目标 1.从小明上学、矩形面积等具体情境中,找出乘积不变的两个量,说出反比例函数的定义,指出比例系数. 2.判断一个式子是不是反比例函数(含各种变形),说明判断依据,写出比例系数与自变量的取值范围. 3.已知一对对应值,按"设、代、解、写"四步求出反比例函数的表达式,注明每一步的依据. 4.通过填表、发现积不变、写表达式、辨析的活动,经历从成反比例关系到反比例函数的抽象过程,体会用函数刻画变量关系的方法,发展抽象能力与模型观念.
教学重点 反比例函数的概念、一般形式与比例系数的识别.
教学难点 分清“成反比例关系”与“反比例函数”;变形形式的判断与比例系数的确定.
教学准备 教师:多媒体课件(行程情境、菱形面积图、辨析题).学生:草稿纸,计算器.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一,温故 复习提问,温故孕新 问题1:我们已经学过哪些函数 它们的一般形式是什么 问题2:什么是函数 1.正比例函数;一次函数;二次函数. 2.在一个变化过程中有两个变量x,y,对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与之对应,那么称y是x的函数. 回答三种函数的一般形式,复述函数定义中“唯一确定”这四个字. 把“函数”这把尺子先摆出来,后面判断新关系是不是函数才有依据.
二,引新 创设情境,引入课题 小明家离学校2km,每天步行去学校,他所用时间t(h)与其平均速度v(km/h)之间的关系可表示成. 提问:当路程一定时,若平均速度v变化,所用时间t是否随之变化 t是v的函数吗 追问:这个式子与、、有什么不同 它的图象是什么样 有哪些性质 代入算出t,发现v越大t越小;对照函数定义,确认t是v的函数. 用教材章首情境开门见山:先落实“是函数”,再指出“形式不同”,为抽象概念垫两级台阶.
三,探究 合作探究,活动领悟 探究一 做一做:路程一定时,什么不变 小明家离学校2km,每天步行去学校.用v(km/h)表示他的平均速度,用t(h)表示所用的时间,则______. 如果他走得快,即增大,那么所用的时间就______(填“增加”或“减少”);如果他用的时间增加,那么平均速度就______(填“增大”或“减小”). 增大,减少;增加,减小. 设x和y是两个变量,如果,那么称y与x成反比例关系. 追问:积为什么必须是常数 为什么 积随速度、时间一起变,就说不上“反比例”;时,总有一个量为0,也谈不上两个变量相互制约. 探究二 从“成反比例关系”到“反比例函数” 在上述例子中,所用时间t与平均速度v的关系是.① ①式表明,对于v取的每一个值,t都有唯一确定的一个值与它对应,因此所用时间t是平均速度v的函数.由此可引出下述概念: 一般地,如果两个变量y与x的关系可以表示成的形式,那么称y是x的反比例函数,其中x是自变量,常数k()称为反比例函数的比例系数. 如在①式中,所用时间t是平均速度v的反比例函数,比例系数是2. 追问(教材边栏):还有哪些量成反比例关系 总价一定时的单价与数量、面积一定时的长与宽、工作总量一定时的工作效率与工作时间. ◆方法总结 1.先看积:,则y与x成反比例关系. 2.再看函数:一个变量确定,另一个变量唯一确定,y才是x的反比例函数. 3.最后看形式:,k叫比例系数;x是自变量,. 比较“成反比例关系”和“反比例函数”两句话的差别,指出后者多了“函数”这层要求. 教材是先说“成反比例关系”、再说“反比例函数”,两步不能并成一步,否则学生只记住形式,不懂为什么叫函数.
探究三 用面积模型写表达式 例1 如图1.1-1,已知菱形ABCD的面积为3,设它的两条对角线AC,BD的长分别为x,y.写出变量y与x之间的函数表达式,并指出它是什么函数. 解:因为菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半, 所以S菱形, 则(定值),即y与x成反比例关系, 所以. 因此,当菱形的面积一定时,它的一条对角线长y是另一条对角线长x的反比例函数. 追问:表达式后面为什么必须写 因为AC,BD是菱形的对角线长,都取正值;若只写,就把负值也算进来了. 完成三处填空,说出的理由;再比较“成反比例关系”与“反比例函数”的差别. 先摸出“积为定值”,再由“t是v的函数”过渡到定义,两步不能并成一步,否则学生只记住形式.
探究四 用待定系数法求表达式 例2 已知y是x的反比例函数,且当时,,求这个反比例函数的表达式. 解:设所求反比例函数的表达式为. 将,代入上式,得,解得. 因此,这个反比例函数的表达式为. 反比例函数自变量的取值范围是所有非零实数.但是在实际问题中,应该根据具体情况来确定自变量的取值范围.例如,若小明的最快速度是4km/h,则v的取值范围是. ◆方法总结 1.求表达式用待定系数法:设,代入一对对应值,解出k. 2.纯式子中x取所有非零实数;实际问题按实际意义定范围. 3.写表达式时把范围写在括号里,不能省. 跟做例2,复述待定系数法两步;讨论v为什么不能取负数和0. 例2给出求表达式的标准套路,再回到行程情境把取值范围定下来,与引新首尾呼应.
四,变式 变式训练,深化提高 1.下列函数是不是反比例函数 若是,请写出它的比例系数. (1);(2);(3);(4). 2.下列问题中,变量间的对应关系可以用怎样的函数表达式表示 (1)已知矩形的面积为120cm ,该矩形的长y(cm)与宽x(cm)之间的关系; (2)用100元购买某种水果,购买的质量y(kg)与水果的价格x(元/kg)之间的关系. 3.已知y与x成反比例,且当时,,求当时y的值. 能力提升 4.如图,反比例函数的图象经过点P(2,3). (1)求这个函数的表达式; (2)判断点A(-2,-3)、B(1,5)是否在这个函数的图象上. 参考答案 1.(1)是,比例系数是3;(2)不是,它是正比例函数;(3)是,比例系数是;(4)是,比例系数是. 2.(1);(2). 3.解:设,把,代入,得,∴;当时,. 4.解:(1)设,把P(2,3)代入,得,∴. (2)∵,∴点A在图象上;∵,∴点B不在图象上. 逐题判断并说依据,重点争论(2)(3)的比例系数. 教材练习1四个小题形似质异,专治“只看分母有没有x”的浅层判断;练习2把表达式写回实际问题,与引新情境呼应.
五,尝试 1.下列函数中,y是x的反比例函数的是( ) A.　B.　C.　D. 2.若函数是反比例函数,则的值是______. 3.如图,一块矩形菜地的面积是60m ,它的长y(m)与宽x(m)之间的函数表达式是______,自变量的取值范围是______;当宽为5m时,长是______m. 4.已知与成反比例,当时. (1)求y关于x的函数表达式;(2)当时,求y的值. 参考答案 1.选C.A是,B的分母是,D是正比例函数. 2.由定义得且,∴且,故. 3.;;12 当时,,即长为12m. 4.解:(1)设,把,代入,得,∴. (2)当时,. 1、3题口答,2、4题两名学生板演,其余独立完成;第3题必须把取值范围写上. 第1题四个选项专治“只看分母有没有x”;第3题把表达式写回实际情境还要补范围;第4题考“整体成反比例”,为后面求复合函数垫一步.
六,提升 课堂小结,反思建构 问题1:什么是反比例函数 它的比例系数和自变量有什么限制 1.叫反比例函数,k叫比例系数;,. 问题2:“y与x成反比例关系”和“y是x的反比例函数”有什么区别 2.成反比例关系只要求;反比例函数还要求y是x的函数,并且能写成的形式. 问题3:求反比例函数的表达式用什么方法 步骤是什么 3.待定系数法:设,代入一对对应值求出k. 问题4:写实际问题中的反比例函数,最容易漏掉什么 4.最容易漏写自变量的取值范围,如、. 对着四个问题口述答案,把第2问的两句话各写一遍. 四个问题分别对应概念、辨析、方法、易错,答得全不全,就是本课过不过关.
板书设计 1.1 反比例函数的概念 一、定义 · 叫反比例函数 · k叫比例系数;, 二、两个层次 · :y与x成反比例关系 · t是v的函数,且:t是v的反比例函数 三、求表达式:待定系数法 · 设,代一对对应值求k 四、取值范围 · 纯式子:x取所有非零实数;实际问题:, 从“定义—两个层次—求法—范围”四支立起板书,让学生一眼看到概念的位置和边界.
作业设计 基础达标 1.下列函数中,y是x的反比例函数的是( ) A.　B.　C.　D. 2.反比例函数的比例系数是______. 3.已知y与x成反比例,当时,则y关于x的函数表达式是______. 能力提升 4.已知,与x成正比例,与x成反比例,当时,当时,求y关于x的函数表达式. 5.如图,反比例函数的图象经过点A(-3,2). (1)求这个函数的表达式;(2)判断点B(3,-2)、C(1,6)是否在这个函数的图象上. 拓展素养 6.某车间要加工1200个零件,每天加工的个数x与完成所需的天数y之间有怎样的函数关系 若要在20天内完成,每天至少加工多少个 7.一段导体两端的电压U保持不变,通过它的电流I(A)与它的电阻R(Ω)成反比例.当Ω时,A. (1)求I关于R的函数表达式;(2)当Ω时,求I的值;(3)若电流不超过1A,求R的取值范围. 参考答案 1.选C.即,是反比例函数. 2. 该函数可写成,比例系数是. 3. 设,代入得. 4.解:设,,则. 把两组对应值分别代入,得,,解得,. ∴. 5.解:(1)设,把A(-3,2)代入,得,∴. (2)∵,∴点B在图象上;∵,∴点C不在图象上. 6.解:由题意得,∴(x为正整数). 由得,即每天至少加工60个. 7.解:(1)由得,∴. (2)当时,,即1.25A. (3)由得,∴电阻应不小于10Ω.
教学反思 本课按教材“做一做—成反比例关系—反比例函数”的顺序走,学生对“积一定”很熟,概念接得顺.课堂暴露的问题集中在两处:一是把“成反比例关系”和“反比例函数”当成一回事,问“是反比例函数吗”时有一半人点头;二是的比例系数说成5.讲评时把“先看积、再看函数、最后看形式”三步写在黑板上,让学生用这三步重判一遍,情况好转.不足是例1后没舍得停下来追问“x为什么不能取0”,取值范围只讲成了“要写括号”.下一课在复习环节补一组“给表达式写范围”的口答题,把道理补上.
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《反比例函数》单元教学设计
学科 数学 年级 九年级 设计者
教材版本 湘教版 册,章 九年级下册第1章
课标要求 依据《义务教育数学课程标准(2022年版)》第四学段“函数”主题的要求:结合具体情境体会反比例函数的意义,能根据已知条件确定反比例函数的表达式;能画出反比例函数的图象,根据图象和表达式探索并理解反比例函数的性质(当k>0和k<0时图象所在的象限,以及在每个象限内函数值随自变量变化的情况);能用反比例函数解决简单实际问题,体会函数是刻画现实世界变量关系的重要模型.教学中应引导学生经历“从实际问题抽象出函数模型—研究图象与性质—回到实际应用”的过程,发展抽象能力、运算能力、几何直观、推理能力、模型观念与应用意识,体会类比、数形结合、分类讨论与转化等数学思想.
内容分析 本章是湘教版九年级下册的开篇,也是初中阶段最后学习的初等函数.学生此前已系统学习正比例函数、一次函数与二次函数,初步形成“表达式—图象—性质—应用”的研究路径,本章既是对函数研究方法的迁移与巩固,也是对“比例关系”认识的补全——正比例刻画“商一定”,反比例刻画“积一定”.教材按“概念—图象—性质—应用”展开:1.1从行程、购物、矩形面积等情境抽象出y=(k≠0)的形式,建立反比例函数的概念,明确比例系数与自变量取值范围(x≠0);1.2用“列表、描点、连线”画出图象,认识双曲线,分k>0与k<0两种情况归纳图象所在象限与“在每个象限内”的增减性,并通过关于原点中心对称、关于直线y=x与y=-x轴对称的研究完善对图象的认识,进而用待定系数法确定表达式;1.3从压强、电流、工程、行程等实际问题出发,经历完整建模过程.本章内容为后续学习锐角三角函数、二次函数的应用提供方法支撑,也为高中阶段研究更一般的函数打下基础.
学情分析 九年级学生已学习正比例函数、一次函数与二次函数,知道函数研究的基本套路,会用待定系数法求表达式,能借助图象讨论增减性;小学阶段也接触过“两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,积一定”的反比例关系.但本章学习仍存在三方面障碍:一是概念上,学生易把“成反比例”与“反比例函数”混同,忽视y=中k≠0与x≠0的限制,对y=、y=等形式的辨析容易出错;二是图象上,反比例函数图象是两支互不相连的曲线,学生画图时常把两支连成一条、或让曲线与坐标轴相交,对“为什么不能相交”缺乏理解;三是性质上,“在每个象限内”这一前提最易被忽略,跨象限比较函数值大小时机械套用增减性导致错误.此外,实际问题中自变量的取值范围受实际意义制约,学生常漏写.教学应强化画图操作与图象观察,多用列表对比正、反比例函数,用反例辨析突破“每个象限内”的限制,并借助真实情境体会模型的价值.
单元目标 (一)教学目标 1.结合具体情境理解反比例函数的概念,能判断一个函数是否为反比例函数,能说出比例系数,会把y=化为xy=k的形式,明确自变量x≠0. 2.会用描点法画出反比例函数的图象,认识双曲线,能说出k>0与k<0时图象所在象限及在每个象限内函数值随自变量变化的规律,知道图象关于原点中心对称、关于直线y=x与y=-x轴对称. 3.会用待定系数法确定反比例函数的表达式,能判断点是否在图象上,会比较图象上点的函数值大小,会求反比例函数与正比例函数图象的交点. 4.能用反比例函数解决压强、电流、工程、行程等实际问题,能结合图象说明变化规律,会根据实际意义确定自变量的取值范围. 5.经历“情境—抽象—建模—应用”的完整过程,体会类比、数形结合、分类讨论与转化思想,发展抽象能力、运算能力、几何直观、模型观念与应用意识. 教学重点、难点 1.教学重点:反比例函数的概念;反比例函数图象的画法与性质;用待定系数法确定表达式;用反比例函数解决实际问题. 2.教学难点:对“在每个象限内”增减性的理解与函数值大小的比较;反比例函数图象为两支不相交曲线(不与坐标轴相交)的认识;从实际问题中抽象出反比例函数模型并确定自变量的取值范围.
单元知识结构框架及课时安排 (一)单元知识结构框架 (二)课时安排(共5课时) 课时编号单元主要内容课时数1.1反比例函数的概念11.2反比例函数的图象与性质(第1课时)11.2反比例函数的图象与性质(第2课时)11.2反比例函数的图象与性质(第3课时)11.3反比例函数的应用1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务1.1 反比例函数的概念1.理解反比例函数的概念,能判断给定函数是否为反比例函数,会指出比例系数; 2.能把y=化为xy=k的形式,明确自变量取值范围,能求函数值与自变量的值.合格:能说出反比例函数的一般形式,能判断给定的函数是否为反比例函数并指出k; 良好:能由y=求函数值、由函数值求x,能处理“积一定”的实际情境; 优秀:能辨析y=、y=等变形,说明它们不是反比例函数.任务1:口答:举出生活中“积一定”的两个量,写出关系式; 任务2:辨析:判断一组函数是否为反比例函数并说明理由; 任务3:当堂练习:由y=求函数值与自变量.1.2 反比例函数的图象与性质(第1课时)1.会用描点法画出y=、y=的图象,能说出画图三步; 2.能结合图象归纳k>0时图象的特征(两支、一三象限、不与坐标轴相交、每个象限内y随x增大而减小); 3.知道k>0时图象关于原点中心对称、关于直线y=x与y=-x轴对称.合格:能按三步画出图象,说出k>0时图象所在象限; 良好:能说明图象为什么与坐标轴不相交,能描述每个象限内的增减性; 优秀:能自主发现对称性并用点的坐标说明理由.任务1:操作:列表、描点、连线画y=的图象; 任务2:对比:把y=与y=的图象放在同一坐标系中比较; 任务3:观察:旋转、折纸探究图象的对称性.1.2 反比例函数的图象与性质(第2课时)1.能由k>0的图象通过关于x轴对称得到k<0的图象,归纳k<0时的图象特征; 2.会画y=、y=的图象,认识双曲线; 3.能在同一坐标系中比较k>0与k<0图象的差异.合格:能画出k<0的图象并说出所在象限; 良好:能说明“关于x轴对称”的依据,能描述每个象限内的增减性; 优秀:能由图象位置反推k的符号.任务1:作图:画y=的图象并观察特征; 任务2:说理:说明y=与y=的图象关于x轴对称; 任务3:归纳:填写k>0与k<0的图象性质对比表.1.2 反比例函数的图象与性质(第3课时)1.会用待定系数法由图象上一点的坐标求表达式; 2.能由图象判断k的符号并比较同一象限内点的函数值大小; 3.会求反比例函数与正比例函数图象的交点,并画出两个函数的图象.合格:能把点坐标代入求出k; 良好:能说明比较大小时必须先判断点所在象限; 优秀:能综合运用表达式与图象解决交点、面积等问题.任务1:例题跟做:由P(-2,4)求表达式并判断点是否在图象上; 任务2:读图:由图判断k的范围并比较y ,y ; 任务3:综合:求正比例函数与反比例函数的交点并作图.1.3 反比例函数的应用1.能把“压强与受力面积”“电流与电阻”等实际问题转化为反比例函数模型; 2.能写出函数表达式并确定自变量的取值范围; 3.能结合图象说明“受力面积增大,压强减小”等变化规律.合格:能写出p=、I=型的表达式; 良好:能由已知数据求比例系数并解释其实际意义; 优秀:能结合图象完整说明铺垫木板的道理.任务1:情境分析:湿地铺垫木板问题,填表并画图; 任务2:建模:电路问题中写出I关于R的表达式并求值; 任务3:解释:用图象说明为什么增大受力面积能减小压强.
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