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1.2 反比例函数的图象与性质(第1课时)教学设计
学科 数学 年级 九年级 课型 新授课 单元 第1章
课题 1.2 反比例函数的图象与性质(第1课时) 课时 2
课标要求 《义务教育数学课程标准(2022年版)》第四学段“函数”主题要求:能画出反比例函数的图象,根据图象和表达式探索并理解和时图象的变化情况.本课时只研究的情形,重点是让学生亲手画出图象,再从图象上读出“两支、第一三象限、不与坐标轴相交、每个象限内递减”四条特征.
教材分析 本节是1.2的第一课时.教材由“一次函数的图象是直线、二次函数的图象是抛物线”引出问题:反比例函数的图象是什么形状 接着以为例,按“列表—描点—连线”三步作图:列表时x取;描点后设问“y轴右边各点横坐标增大时纵坐标如何变化,y轴左边是否也有相同规律”(图1.2-1);连线时说明因为且,两支曲线与x轴、y轴都不相交(图1.2-2).“做一做”要求在图1.2-3的空白坐标系中画的图象,“说一说”比较两个图象,归纳出时图象的性质,“议一议”讨论中心对称与轴对称.
学情分析 学生已会用描点法画一次函数、二次函数的图象,知道“列表—描点—连线”,但对画曲线缺少经验.三个典型错误:一是列表只取正数,只画出第一象限一支;二是连线用折线把各点硬连,曲线画成折线;三是把两支曲线连成一条穿过y轴的线.另外“在每个象限内,y随x的增大而减小”中的限定语容易被丢掉,学生常拿分居两支的两点直接比大小.
核心素养目标 1.按列表、描点、连线三步画出k>0的反比例函数图象,说出每一步容易错在哪. 2.看图象说出k>0时的性质:两支曲线分居第一、三象限,与坐标轴不相交,每一支上y随x增大而减小. 3.找出图象的对称中心和对称轴,说明它既是中心对称图形又是轴对称图形. 4.给出一个点的坐标,判断它在不在图象上.
教学重点 描点法画反比例函数的图象;时图象的性质.
教学难点 两支曲线的正确画法(不与坐标轴相交、不能用折线连);“在每个象限内”这一限定语的理解.
教学准备 教师:多媒体课件(描点作图演示、两支曲线放大图、对称性演示).学生:方格纸、直尺、铅笔.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一,温故 复习提问,温故孕新 问题1:画一次函数的图象要经过哪几个步骤 问题2:二次函数的图象是什么形状 是怎样画出来的 1.列表、描点、连线三步. 2.是一条抛物线,也是用描点法画出来的;连线时用的是光滑曲线,不是折线. 回答作图三步,回忆抛物线是“点连成的光滑曲线”. 先把描点法这套工具摆出来,后面换函数时方法可以整套搬过去,学生不慌.
二,引新 创设情境,引入课题 一次函数的图象是一条直线,二次函数的图象是一条抛物线,那么反比例函数的图象是什么形状 提问:能不能用画一次函数图象的办法,把它画出来 追问:图象会不会也是一条“整”的曲线 猜想:可能是曲线;有人猜是折线,有人猜“断成两段”. 把“式”变成“形”,带着猜想进探究,画完再回头验证猜想,比直接告知结论更有味道.
三,探究 合作探究,活动领悟 探究一 描点法画反比例函数图象 列表: 由于自变量x的取值范围是所有非零实数,因此,让x分别取一些负数值和一些正数值,并且计算出相应的函数值,列成下表. 描点:以x的取值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,在平面直角坐标系中描出各点,如图1.2-1. 观察:y轴右边各点,当横坐标逐渐增大时,纵坐标如何变化 y轴左边的各点是否也有相同的规律 都是横坐标逐渐增大时,纵坐标逐渐减小. 连线:把y轴右边各点、左边各点分别用一条光滑曲线顺次连接起来. 从可以看出,x取任意非零实数都有,因此两支曲线与x轴都不相交;由于x不能取0,两支曲线与y轴也都不相交.如图1.2-2. ◆方法总结 1.列表:x≠0,正、负数都要取,取值要对称,点才描得匀. 2.描点:先看清点的位置,再落笔;点在象限内,不在坐标轴上. 3.连线:用光滑曲线,不能用折线;左右两支分开连,不能穿过y轴连成一条. 算y值,同桌互查;描完点先看右支再看左支,说出“x增大、y减小”;连线时为“要不要穿过y轴”争论. 教材是先描点、再设问观察、最后连线,这个顺序不能颠倒:先看见点在一起下降,才明白为什么连线要画成弯曲下降的曲线.
探究二 反比例函数的图象与性质 做一做:在图1.2-3所示的平面直角坐标系中,画出反比例函数的图象. 说一说:观察画出的和的图象,回答下列问题: (1)每个函数的图象由几支曲线组成 分别位于哪些象限 与x轴、y轴相交吗 (2)在每一象限内,函数值随自变量x的增大如何变化 (1)都由两支曲线组成,分别位于第一,三象限,与x轴,y轴都不相交. (2)在轴右侧,当自变量的取值逐渐增大时,函数值反而减小;在轴左侧也有这一性质. 归纳:一般地,当时,反比例函数的图象由分别在第一、三象限内的两支曲线组成,它们与x轴、y轴都不相交.在每个象限内,函数值随自变量x取值的增大而减小. ◆方法总结 的图象:两支、第一三象限、不与坐标轴相交、每个象限内递减. “在每个象限内”是硬条件:分居两支的两点,不能直接套用“x大则y小”. 在空白坐标系中独立画,同桌互查“两支、不碰轴、曲线”;再逐条回答两问. 教材用“再画一个、比一比”归纳性质,比教师直接给结论更服人;两份图象画在一起,还有“k大的曲线离轴远”的直观印象.
探究三 反比例函数图象的对称性 议一议:当时,反比例函数的图象是中心对称图形吗 如果是,请找出对称中心.它是轴对称图形吗 如果是,请指出它的对称轴. 是中心对称图形,对称中心是原点O. 也是轴对称图形,对称轴是直线和直线. 说明:由,把x换成、y换成,等式仍然成立,所以图象关于原点成中心对称;把x与y互换,等式仍成立,所以图象关于直线对称,同理关于直线对称. 追问:两支曲线有没有交点 没有.它们在原点两侧无限接近坐标轴,但永远不相交,也就不可能相交. ◆多知道一点(教材第14页):k>0时性质的证明 命题:对于反比例函数,如果,那么当时,函数值随x取值的增大而减小;当时也一样. 证明(1):任取,则,, . 因为,所以,;又,所以,即. (2)当时同理可证. 说明:课上只要求看懂“作差—通分—定号”这三步,不要求人人会写. 动手把第一象限一支沿原点旋转180°,看是否与第三象限一支重合;再沿翻折验证.读“多知道一点”,跟着算一遍的符号. 对称性不只用来“好看”:后面画的图象,就是靠“关于x轴对称”翻折出来的,这里先埋下伏笔.教材把“在每个象限内y随x增大而减小”的证明放在章末“多知道一点”,课上点一句“为什么敢这么说”,比硬记结论有底气;证明不要求人人会写.
四,变式 变式训练,深化提高 1.不画图,说出反比例函数的图象所在的象限,以及在每个象限内y随x增大的变化情况. 2.画出反比例函数和的图象,并分别说出图象的性质. 3.判断点A(2,3),B(-2,-3),C(1,6),D(-1,6)是否在的图象上. 能力提升 4.点A(-2,)、B(-1,)都在反比例函数的图象上,比较与的大小. 参考答案 1.位于第一、三象限;在每个象限内,y随x的增大而减小. 2.如图, 两个图象都是第一、三象限内的两支曲线,与坐标轴不相交;在每个象限内y随x增大而减小.的图象离坐标轴更近. 3.A、B、C在图象上,D不在.因为,即点D的坐标不满足. 4.解:∵,∴在每个象限内y随x的增大而减小;又,∴. 第1题口头说,第2题动笔画,第3题用代入判断,不描点. 第2题就是教材练习,两问合在一起练“画”和“说”;第3题把“点在图象上”转化为“坐标满足表达式”,为下一课求表达式铺路.
五,尝试 1.反比例函数的图象在( ) A.第一、二象限　B.第一、三象限　C.第二、三象限　D.第二、四象限 2.若反比例函数的图象经过点(2,5),则______,图象在第______象限. 3.已知点,都在的图象上,则______. 4.如图,A(2,3)、B(3,2)是反比例函数的图象上的两点,AC⊥x轴于点C,BD⊥x轴于点D. (1)求△AOC与△BOD的面积; (2)由此你能得到什么结论 参考答案 1.选B.因为,图象在第一、三象限. 2.10;一 解:由,知图象在第一、三象限. 3. 解法1:把代入得,把代入得,故. 解法2:解法2:由图象可知,当时,; 当时,, 故. 4.解:(1),. (2)两个三角形的面积相等.过双曲线上任意一点作x轴的垂线,与坐标轴围成的三角形面积总等于,本题中为3. 限时8分钟独立完成;第3题要求先算出,再比,不许凭象限猜;第4题画图后用量出的数说话. 第3题是“跨象限比较”的坑:不代值凭感觉,十有八九答成“>”;第4题把的面积不变性从图上摸出来,为下一课时作准备.
六,提升 课堂小结,反思建构 问题1:画反比例函数的图象要经过哪几步 每一步要注意什么 1.列表(x≠0,正负都取)、描点、连线(两支分别用光滑曲线连);不能画折线,不能与坐标轴相交. 问题2:当时,反比例函数的图象有哪些特征 2.由第一、三象限内的两支曲线组成,与x轴、y轴都不相交;在每个象限内y随x的增大而减小. 问题3:“在每个象限内,y随x的增大而减小”中的“在每个象限内”能不能去掉 3.不能.如与分居第三、第一象限,x增大,y反而增大. 问题4:反比例函数的图象是中心对称图形吗 是轴对称图形吗 4.是中心对称图形,对称中心是原点;是轴对称图形,对称轴是和. 四个问题依次口述,第3题举反例说明,第4题在图上指给同桌看. 四问正好对应本课的四条主线:画法、性质、限定语、对称性.第3问答不出,说明“象限”这层还没过关.
板书设计 1.2 反比例函数的图象与性质(第1课时) 一、画法:列表—描点—连线 · x≠0,正负都要取;连线用光滑曲线 · 两支分别连,不能穿过y轴 二、k>0时的性质 · 两支曲线,位于第一、三象限 · 与x轴、y轴都不相交 · 在每个象限内,y随x的增大而减小 三、对称性 · 中心对称:对称中心为原点O · 轴对称:对称轴为、 左侧板书作图三步与两个“不许”(不许折线、不许碰轴),右侧写的四条性质,对称性另立一支,与课堂上“式—形—性”的推进顺序一一对应.
作业设计 基础达标 1.反比例函数的图象位于( ) A.第一、二象限　B.第一、三象限　C.第二、四象限　D.第三、四象限 2.画出反比例函数的图象. 3.已知点(2,3)在反比例函数的图象上,则______. 4.若点,都在的图象上,则______. 能力提升 5.如图,点A(2,3)在反比例函数的图象上,过点A作AB⊥x轴于点B,AC⊥y轴于点C,求矩形ABOC的面积. 6.已知反比例函数的图象经过点,判断点、点是否在这个函数的图象上. 拓展素养 7.在同一平面直角坐标系中画出、、的图象,观察并回答:k越大,图象离坐标轴越______(填“近”或“远”),请说明理由. 参考答案 1.选B.因为,图象在第一、三象限. 2.列表取x=±1,±2,±3,±5,描点后用光滑曲线连成第一、三象限内的两支. 3.把点(2,3)代入得. 4. 把代入得,把代入得,故. 5.解:B(2,0),C(0,3),∴OB=2,OC=3,,恰等于k. 6.解:由,得,∴点在图象上; 又,∴点也在图象上. 7.解:如右图, 当取同一个正数时,越大,对应的值越大,图像上的点距离轴越远;同理,当取同一个正数时,越大,对应的值越大,图像上的点距离轴越远。所以越大,图象离坐标轴越远。
教学反思 本课让学生自己动手画,效果比讲一遍强:两个班都有学生把两点连成直线,当场把折线图和曲线图并排放在投影上对比,班里笑声一片,后面再没人画折线.最大的问题是“在每个象限内”这句限定,当堂练习第3题有近三成学生答成“>”,原因是跨象限的两点直接套了“x大y小”.讲评时补了代值算的办法,并强调“比大小,先看是不是同一个象限”.另一个遗憾是“做一做”画时,方格纸上的点描得太稀,曲线转角处不圆滑,下次要提前统一用同一种方格纸,并在投影上示范一段.
1.2 反比例函数的图象与性质(第1课时)教学设计
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《反比例函数》单元教学设计
学科 数学 年级 九年级 设计者
教材版本 湘教版 册,章 九年级下册第1章
课标要求 依据《义务教育数学课程标准(2022年版)》第四学段“函数”主题的要求:结合具体情境体会反比例函数的意义,能根据已知条件确定反比例函数的表达式;能画出反比例函数的图象,根据图象和表达式探索并理解反比例函数的性质(当k>0和k<0时图象所在的象限,以及在每个象限内函数值随自变量变化的情况);能用反比例函数解决简单实际问题,体会函数是刻画现实世界变量关系的重要模型.教学中应引导学生经历“从实际问题抽象出函数模型—研究图象与性质—回到实际应用”的过程,发展抽象能力、运算能力、几何直观、推理能力、模型观念与应用意识,体会类比、数形结合、分类讨论与转化等数学思想.
内容分析 本章是湘教版九年级下册的开篇,也是初中阶段最后学习的初等函数.学生此前已系统学习正比例函数、一次函数与二次函数,初步形成“表达式—图象—性质—应用”的研究路径,本章既是对函数研究方法的迁移与巩固,也是对“比例关系”认识的补全——正比例刻画“商一定”,反比例刻画“积一定”.教材按“概念—图象—性质—应用”展开:1.1从行程、购物、矩形面积等情境抽象出y=(k≠0)的形式,建立反比例函数的概念,明确比例系数与自变量取值范围(x≠0);1.2用“列表、描点、连线”画出图象,认识双曲线,分k>0与k<0两种情况归纳图象所在象限与“在每个象限内”的增减性,并通过关于原点中心对称、关于直线y=x与y=-x轴对称的研究完善对图象的认识,进而用待定系数法确定表达式;1.3从压强、电流、工程、行程等实际问题出发,经历完整建模过程.本章内容为后续学习锐角三角函数、二次函数的应用提供方法支撑,也为高中阶段研究更一般的函数打下基础.
学情分析 九年级学生已学习正比例函数、一次函数与二次函数,知道函数研究的基本套路,会用待定系数法求表达式,能借助图象讨论增减性;小学阶段也接触过“两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,积一定”的反比例关系.但本章学习仍存在三方面障碍:一是概念上,学生易把“成反比例”与“反比例函数”混同,忽视y=中k≠0与x≠0的限制,对y=、y=等形式的辨析容易出错;二是图象上,反比例函数图象是两支互不相连的曲线,学生画图时常把两支连成一条、或让曲线与坐标轴相交,对“为什么不能相交”缺乏理解;三是性质上,“在每个象限内”这一前提最易被忽略,跨象限比较函数值大小时机械套用增减性导致错误.此外,实际问题中自变量的取值范围受实际意义制约,学生常漏写.教学应强化画图操作与图象观察,多用列表对比正、反比例函数,用反例辨析突破“每个象限内”的限制,并借助真实情境体会模型的价值.
单元目标 (一)教学目标 1.结合具体情境理解反比例函数的概念,能判断一个函数是否为反比例函数,能说出比例系数,会把y=化为xy=k的形式,明确自变量x≠0. 2.会用描点法画出反比例函数的图象,认识双曲线,能说出k>0与k<0时图象所在象限及在每个象限内函数值随自变量变化的规律,知道图象关于原点中心对称、关于直线y=x与y=-x轴对称. 3.会用待定系数法确定反比例函数的表达式,能判断点是否在图象上,会比较图象上点的函数值大小,会求反比例函数与正比例函数图象的交点. 4.能用反比例函数解决压强、电流、工程、行程等实际问题,能结合图象说明变化规律,会根据实际意义确定自变量的取值范围. 5.经历“情境—抽象—建模—应用”的完整过程,体会类比、数形结合、分类讨论与转化思想,发展抽象能力、运算能力、几何直观、模型观念与应用意识. 教学重点、难点 1.教学重点:反比例函数的概念;反比例函数图象的画法与性质;用待定系数法确定表达式;用反比例函数解决实际问题. 2.教学难点:对“在每个象限内”增减性的理解与函数值大小的比较;反比例函数图象为两支不相交曲线(不与坐标轴相交)的认识;从实际问题中抽象出反比例函数模型并确定自变量的取值范围.
单元知识结构框架及课时安排 (一)单元知识结构框架 (二)课时安排(共5课时) 课时编号单元主要内容课时数1.1反比例函数的概念11.2反比例函数的图象与性质(第1课时)11.2反比例函数的图象与性质(第2课时)11.2反比例函数的图象与性质(第3课时)11.3反比例函数的应用1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务1.1 反比例函数的概念1.理解反比例函数的概念,能判断给定函数是否为反比例函数,会指出比例系数; 2.能把y=化为xy=k的形式,明确自变量取值范围,能求函数值与自变量的值.合格:能说出反比例函数的一般形式,能判断给定的函数是否为反比例函数并指出k; 良好:能由y=求函数值、由函数值求x,能处理“积一定”的实际情境; 优秀:能辨析y=、y=等变形,说明它们不是反比例函数.任务1:口答:举出生活中“积一定”的两个量,写出关系式; 任务2:辨析:判断一组函数是否为反比例函数并说明理由; 任务3:当堂练习:由y=求函数值与自变量.1.2 反比例函数的图象与性质(第1课时)1.会用描点法画出y=、y=的图象,能说出画图三步; 2.能结合图象归纳k>0时图象的特征(两支、一三象限、不与坐标轴相交、每个象限内y随x增大而减小); 3.知道k>0时图象关于原点中心对称、关于直线y=x与y=-x轴对称.合格:能按三步画出图象,说出k>0时图象所在象限; 良好:能说明图象为什么与坐标轴不相交,能描述每个象限内的增减性; 优秀:能自主发现对称性并用点的坐标说明理由.任务1:操作:列表、描点、连线画y=的图象; 任务2:对比:把y=与y=的图象放在同一坐标系中比较; 任务3:观察:旋转、折纸探究图象的对称性.1.2 反比例函数的图象与性质(第2课时)1.能由k>0的图象通过关于x轴对称得到k<0的图象,归纳k<0时的图象特征; 2.会画y=、y=的图象,认识双曲线; 3.能在同一坐标系中比较k>0与k<0图象的差异.合格:能画出k<0的图象并说出所在象限; 良好:能说明“关于x轴对称”的依据,能描述每个象限内的增减性; 优秀:能由图象位置反推k的符号.任务1:作图:画y=的图象并观察特征; 任务2:说理:说明y=与y=的图象关于x轴对称; 任务3:归纳:填写k>0与k<0的图象性质对比表.1.2 反比例函数的图象与性质(第3课时)1.会用待定系数法由图象上一点的坐标求表达式; 2.能由图象判断k的符号并比较同一象限内点的函数值大小; 3.会求反比例函数与正比例函数图象的交点,并画出两个函数的图象.合格:能把点坐标代入求出k; 良好:能说明比较大小时必须先判断点所在象限; 优秀:能综合运用表达式与图象解决交点、面积等问题.任务1:例题跟做:由P(-2,4)求表达式并判断点是否在图象上; 任务2:读图:由图判断k的范围并比较y ,y ; 任务3:综合:求正比例函数与反比例函数的交点并作图.1.3 反比例函数的应用1.能把“压强与受力面积”“电流与电阻”等实际问题转化为反比例函数模型; 2.能写出函数表达式并确定自变量的取值范围; 3.能结合图象说明“受力面积增大,压强减小”等变化规律.合格:能写出p=、I=型的表达式; 良好:能由已知数据求比例系数并解释其实际意义; 优秀:能结合图象完整说明铺垫木板的道理.任务1:情境分析:湿地铺垫木板问题,填表并画图; 任务2:建模:电路问题中写出I关于R的表达式并求值; 任务3:解释:用图象说明为什么增大受力面积能减小压强.
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