资源简介

21.2.4一元二次方程的根与系数关系
教学内容：一元二次方程的根与系数关系
教材分析：
本节课在教材中是初中数学九年级第一学期一元二次方程中的重要内容之一，他是在研究一元二次方程的求根公式之后对于一元二次方程根与系数关系的进一步的拓展与研究。他是今后研究一元二次方程的根与系数问题的重要依据，同时也为高中直线与圆锥曲线的位置关系打下了坚实的基础。
学情分析：
本课的教学对象是初中三年级学生，学生对事物的认识多是直观、形象的，他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征，在教学初始，出示一些学生所熟悉和感兴趣的东西，结合一元二次方程求根公式使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。
教学目标：
（一）知识与技能
熟练掌握一元二次方程的根与系数关系.
提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力.
（二）过程与方法
灵活运用一元二次方程的根与系数关系解决实际问题.
（三）情感态度价值观
学生经历探索，尝试发现韦达定理，感受不完全归纳验证以及演绎证明
教学重难点：
教学重点：一元二次方程的根与系数关系
教学难点：对根与系数关系的理解和推导
教学方法和手段：
讲授法、观察归纳法
学法指导：
讲授指导
教学过程
一、复习引入
一元二次方程的根与系数有着密切的关系，早在16世纪法国的杰出数学家韦达发现了这一关系，你能发现吗？
二、探究新知
1.课本思考
分析：将（x- x1）（x-x2）=0化为一般形式x2-( x1 +x2)x+ x1 x2=0与x2+px+ q=0对比,易知p=-( x1 +x2)， q= x1 x2. 即二次项系数是1的一元二次方程如果有实数根，则一次项系数等于两根和的相反数，常数项等于两根之积.
2.跟踪练习
求下列方程的两根x1 、x2. 的和与积.
x2+3x+2=0； x2+2x-3=0; x2-6x+5=0; x2-6x-15=0
3. 方程2x2-3x+1=0的两根的和、积与系数之间有类似的关系吗？
分析：这个方程的二次项系数等于2，与上面情形有所不同，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，检验上面的结论是否成立，若不成立，新的结论是什么？
4.一般的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中的a不一定是1，它的两根的和、积与系数之间有第3题中的关系吗？
分析：利用求根公式，求出方程两根，再通过计算两根的和、积，得到方程的两个根x1 、x2和系数a，b，c的关系，即韦达定理，也就是任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比. 求根公式是在一般形式下推导得到，根与系数的关系由求根公式得到，因此，任何一个一元二次方程化为一般形式后根与系数之间都有这一关系.
5.跟踪练习
求下列方程的两根x1 、x2. 的和与积.
①3x2+7x+2=0；3x2+7x-2=0; 3x2-7x+2=0；3x2-7x-2=0；
②5x-1=4x2；5x2-1=4x2+x
6.拓展练习
①已知一元二次方程2x2+bx+c=0的两个根是-1，3，则b= ,c= .
②已知关于x的方程x2+kx-2=0的一个根是1，则另一个根是 ,k的值是 .
③若关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两个根互为相反数，则p= ; 若两个根互为倒数，则q= .
分析：方程中含有一个字母系数时利用方程一根的值可求得另一根和这个字母系数；方程中含有两个字母系数时利用方程的两根的值可求得这两个字母系数.二次项系数是1时，若方程的两根互为相反数或互为倒数，利用根与系数的关系可求得方程的一次项系数和常数项.
④两个根均为负数的一元二次方程是( )
A.4x2+21x+5=0 B.6x2-13x-5=0 C.7x2-12x+5=0 D.2x2+15x-8=0
⑤.两根异号，且正根的绝对值较大的方程是（ ）
A.4x2-3=0 B.-3x2+5x-4=0 C.0.5x2-4x-3=0 D.2x2+x-=0
⑥.若关于x的一元二次方程2x2-3x+m=0,当m 时方程有两个正根；当m 时方程有两个负根；当m 时方程有一个正根一个负根，且正根的绝对值较大.
三、课堂训练
1.完成课本练习
2.补充练习：
x1 ，x2是方程3x2-2x-4=0的两根，利用根与系数的关系求下列各式的值：①； ② ③； ④；⑤
课堂小结
本节课应掌握：
1. 韦达定理二次项系数不是1的方程根与系数的关系
2. 运用韦达定理时，注意隐含条件：二次项系数不为0，△≥0；
3.韦达定理的应用常见题型：
①不解方程，判断两个数是否是某一个一元二次方程的两根；
②已知方程和方程的一根，求另一个根和字母系数的值；
③由给出的两根满足的条件，确定字母系数的值；
④判断两个根的符号；不解方程求含有方程的两根的式子的值.
作业设计
P16练习1
板书设计
21.2.4一元二次方程的根与系数关系
1. 韦达定理二次项系数不是1的方程根与系数的关系
2. 运用韦达定理时，注意隐含条件：二次项系数不为0，△≥0；
教学反思

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