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第2课时　函数的最大(小)值
[目标] 1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义；2.会求一些简单函数的最大值或最小值．
[重点] 理解函数的最大(小)值的概念并会求一些简单函数的最大值或最小值．
[难点] 求函数的最大值或最小值.
知识点　　　　函数的最大值和最小值
[填一填]
1．最大值
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；
(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.
那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值，记作f(x)max＝M.
2．最小值
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数N满足：对于任意的x∈I，都有f(x)≥N；存在x0∈I，使得f(x0)＝N，就称N是函数y＝f(x)的最小值，记作f(x)min＝N.
[答一答]
1．函数f(x)＝－x2≤1总成立吗？f(x)的最大值是1吗？
提示：f(x)＝－x2≤1总成立，但是不存在x0使f(x0)＝1，所以f(x)的最大值不是1，而是0.
2．函数的最值与函数的值域有什么关系？
提示：函数值域是指函数值的集合，函数最大(小)值一定是值域的元素．如果值域是一个闭区间，那么函数的最大(小)值就是闭区间两端点的值．
3.函数f(x)在[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是(　C　)
A．f(－2)，0　　　 B．0,2
C．f(－2)，2 D．f(2)，2
类型一　　　　利用函数的图象求最值
[例1]　已知f(x)＝2|x－1|－3|x|.
(1)作出函数f(x)的图象；
(2)根据函数图象求其最值．
[解]　(1)当x≥1时，y＝2(x－1)－3x＝－x－2；
当0≤x<1时，y＝－2(x－1)－3x＝－5x＋2；
当x<0时，y＝－2(x－1)＋3x＝x＋2.
所以y＝
结合上述解析式作出图象，如图所示．
(2)由图象可以看出，当x＝0时，y取得最大值ymax＝2.函数没有最小值．
利用图象求函数最值的方法：
①画出函数y＝f(x(的图象；
②观察图象，找出图象的最高点和最低点；
③写出最值，最高点的纵坐标是函数的最大值，最低点的纵坐标是函数的最小值.
[变式训练1]　已知函数f(x)＝
求f(x)的最大值、最小值．
解：如图所示，当－≤x≤1时，
由f(x)＝x2得f(x)最大值为f(1)＝1，最小值为f(0)＝0；
当1类型二　　利用函数的单调性求最值
[例2]　已知函数f(x)＝x＋.
(1)判断f(x)在区间[1,2]上的单调性；
(2)根据f(x)的单调性求出f(x)在区间[1,2]上的最值．
[解]　(1)设x1，x2是区间[1,2]上的任意两个实数，且x1＝(x1－x2)＝.
∵x10,1∴f(x1)>f(x2)，即f(x)在区间[1,2]上是减函数．
(2)由(1)知f(x)的最小值为f(2)，f(2)＝2＋＝4；f(x)的最大值为f(1)，f(1)＝1＋4＝5，∴f(x)的最小值为4，最大值为5.
(1(运用函数单调性求最值是求函数最值的常用方法，特别是当函数图象不易作出时，单调性几乎成为首选方法.首先判断函数的单调性，再利用单调性求出最值.
(2(①注意对问题中求最值的区间与函数的单调区间之间的关系进行辨析，②注意对问题中求最值的区间的端点值的取舍.
[变式训练2]　求f(x)＝在区间[2,5]上的最值．
解：任取2≤x1则f(x1)＝，f(x2)＝，
f(x2)－f(x1)＝－＝，
∵2≤x1∴x1－x2<0，x2－1>0，x1－1>0，
∴f(x2)－f(x1)<0.∴f(x2)∴f(x)＝在区间[2,5]上是减函数．
∴f(x)max＝f(2)＝＝2，
f(x)min＝f(5)＝＝.
类型三　　　二次函数的最值
[例3]　求函数f(x)＝x2－2ax－1在区间[0,2]上的最大值和最小值．
[解]　f(x)＝(x－a)2－1－a2，对称轴为x＝a.
(1)当a<0时，由图(1)可知，
f(x)min＝f(0)＝－1，
f(x)max＝f(2)＝3－4a.
(2)当0≤a<1时，由图(2)可知，
f(x)min＝f(a)＝－1－a2.
f(x)max＝f(2)＝3－4a.
(3)当1≤a≤2时，由图(3)可知，
f(x)min＝f(a)＝－1－a2，f(x)max＝f(0)＝－1.
(4)当a>2时，由图(4)可知，
f(x)min＝f(2)＝3－4a，f(x)max＝f(0)＝－1.
二次函数的最值问题，解题策略一般都是讨论函数的定义域与对称轴的位置关系，往往分三种情况：(1)定义域在对称轴左侧；(2)对称轴在定义域内；(3)定义域在对称轴右侧．在讨论时可结合函数图象，便于分析、理解．
[变式训练3]　已知f(x)＝3x2－12x＋5，当f(x)的定义域为下列区间时，求函数的最大值和最小值．
(1)[0,3]；(2)[－1,1]；(3)[3，＋∞)．
解：
作出f(x)＝3x2－12x＋5的图象如图所示，
(1)由图可知，函数f(x)在[0,2]上单调递减，在[2,3]上单调递增．
且f(0)＝5，f(2)＝－7，f(3)＝－4.
故在区间[0,3]上，当x＝2时，f(x)min＝－7；
当x＝0时，f(x)max＝5.
(2)由图可知，f(x)在[－1,1]上单调递减，
所以f(x)min＝f(1)＝－4，
f(x)max＝f(－1)＝20.
(3)由图可知，f(x)在[3，＋∞)上单调递增，
所以f(x)min＝f(3)＝－4.无最大值．
1．函数f(x)＝－x2－4x＋1，x∈[－3,3]的值域是(　C　)
A．(－∞，5]　　　　　　　 B．[5，＋∞)
C．[－20,5] D．[4,5]
解析：∵f(x)＝－(x＋2)2＋5，∴当x＝－2时，函数有最大值5；当x＝3时，函数有最小值－20，故选C.
2．函数f(x)＝在[－1,2]上的值域为(　C　)
A. B.
C. D.
解析：∵f(x)＝在[－1,2]上是减函数，
∴f(2)≤f(x)≤f(－1)，又f(2)＝，f(－1)＝3，
∴≤f(x)≤3，故选C.
3．若函数y＝ax＋1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2，则实数a的值是(　C　)
A．2　　　　　　　　　　 B．－2
C．2或－2 D．0
解析：当a>0时，y＝f(x)的最大值为f(2)＝2a＋1，
最小值为f(1)＝a＋1，
∴(2a＋1)－(a＋1)＝2，解得a＝2.
当a<0时，y＝f(x)的最大值为f(1)＝a＋1，最小值为f(2)＝2a＋1，
∴(a＋1)－(2a＋1)＝2.解得a＝－2，
综述，a＝2或a＝－2，选C.
4．若函数f(x)＝则f(x)的最大值为11.
解析：当x∈[1,2]时，f(x)为增函数，其最大值为f(2)＝10；当x∈[－4,1]时，f(x)为减函数，其最大值为f(－4)＝11.故函数f(x)的最大值为11.
5．求函数f(x)＝x2－2ax＋a＋1(a>0)在[－4,4]上的最大值．
解：f(x)＝(x－a)2＋a－a2＋1，
当0在[a,4]上是增函数．又f(－4)＝9a＋17，f(4)＝17－7a，f(－4)>f(4)．
所以f(x)的最大值为f(－4)＝9a＋17.
当a≥4时，f(x)在[－4，4]上是减函数，
所以，f(x)的最大值为f(－4)＝9a＋17.
综上，在[－4,4]上函数的最大值为9a＋17.
——本课须掌握的三大问题
1．函数最值定义中两个条件缺一不可，若只有(1)，M不是最大(小)值，如f(x)＝－x2(x∈R)，对任意x∈R，都有f(x)≤1成立，但1不是最大值，否则大于0的任意实数都是最大值了．最大(小)值的核心就是不等式f(x)≤M(或f(x)≥M)，故也不能只有(2)．
2．函数的最值与值域、单调性之间的联系
(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y＝.如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素．
(2)若函数f(x)在闭区间[a，b]上单调，则f(x)的最值必在区间端点处取得．即最大值是f(a)或f(b)，最小值是f(b)或f(a)．
3．二次函数在闭区间上的最值
探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y＝f(x)的草图，然后根据图象的增减性进行研究．特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得．
学习至此，请完成课时作业11
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复合函数单调性的判断
开讲啦复合函数f(g(x))的单调性可简记为“同增异减”，即函数g(x)与函数f(x)的单调性相同时，y＝f(g(x))是增加的；单调性相反时，y＝f(g(x))是减少的．
[典例]　判断函数f(x)＝在定义域上的单调性．
[分析]　本题考查复合函数的单调性，首先分解成函数y＝，u＝x2－1，只需判断y＝与u＝x2－1在定义域上的单调性即可．
[解]　函数的定义域为x2－1≥0，即{x|x≤－1或x≥1}．
将f(x)＝分解成两个简单函数y＝，u＝x2－1的形式．
当x∈[1，＋∞)时，u＝x2－1为增函数，y＝为增函数，所以f(x)＝在[1，＋∞)上为增函数．
当x∈(－∞，－1]时，u＝x2－1为减函数，
y＝为增函数，
所以f(x)＝在(－∞，－1]上为减函数．
综上所述，f(x)＝在(－∞，－1]上为减函数，在[1，＋∞)上为增函数．
[名师点评]　复合函数单调性的判断方法
(1)利用“同增异减”判断；
(2)复合函数y＝f(g(x))的单调区间必须在定义域内，并且要确定函数g(x)的值域，否则就无法确定f(g(x))的单调性[特别是当f(g(x))的单调区间是由几个区间组成时]．
[对应训练]　已知函数f(x)在定义域[0，＋∞)上单调递减，求f()的递减区间．
解：∵f(x)的定义域为[0，＋∞)．
对于f()，≥0，
∴1－x2≥0，即x2≤1，故－1≤x≤1.
令u＝，则f()＝f(u)．
当x∈[0,1]时，u＝是减函数，
则f()是增函数；
当x∈[－1,0)时，u＝是增函数，
则f()是减函数．
故f()的递减区间为[－1,0)．

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