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沪教课标版 数学八年级上册 第17章一元二次方程
17.3一元二次方程的根的判别式
教学目标
1．了解根的判别式的概念。
2．能用判别式判别根的情况。
3．进一步渗透转化和分类的思想方法．
4、培养学生从具体到抽象的观察、分析、归纳的能力。
教学重点：会用判别式判定根的情况．
教学难点：正确理解“当b2-4ac＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）无实数根．”
教学设计
一、复习引入
1、解下列方程：
①（x-2）2＝9；②（x-1）2＝0；③x2＝-3
2、平方根的性质是什么？
一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。
二、探究新知
1、一元二次方程ax2=c(a≠0)变形为后，你能判断它根的情况吗？
①当a、c为同号两数时，原方程有两个不相等的实数根；
②当a、c为异号两数时，原方程没有实数根；
③当c为0时，原方程有两个相等的实数根。
将下列方程化为（x+h）2=k的形式，并判断它的实数根的个数：
①x2+2mx=7 ②2x2-4mx=-2m2 ③x2-4mx=-5m2-1
3、把一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）写成（x+h）2=k的形式。
由学生完成，变形得
4、引导学生观察方程的右边，因为a≠0,所以4a2＞0。因此只需研究b2-4ac的值就可以了，从而由学生得出：（向学生渗透转化和分类的思想方法）
（1）当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根．
（2）当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根．
（3）当b2-4ac＜0时，方程没有实数根．
4、引出一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 （a≠0）的根的判别式的概念：
①定义：把b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式，通常用符号“△”表示．
②一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．
当△＞0时，有两个不相等的实数根；
当△＝0时，有两个相等的实数根；
当△＜0时，没有实数根．
5、然后，引导学生写出上述命题的逆命题：
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 （a≠0）
当方程有两个不相等的实数根时，△＞0；
当方程有两个相等的实数根时，△＝0；
当方程没有实数根时，△＜0．
教师说明此命题成立。
三、例题讲解
例1：? 不解方程，判别下列方程的根的情况：
（1）2x2＋3x-4＝0；（2）16y2＋9＝24y；
（3）5（x2＋1）-7x＝0
解：
（1）∵? △＝32-4×2×（-4）＝9＋32＞0，
∴? 原方程有两个不相等的实数根．
（2）原方程可变形为
16y2-24y＋9＝0．
∵? △＝（-24）2-4×16×9＝576-576＝0，
∴? 原方程有两个相等的实数根．
（3）原方程可变形为
5x2-7x+5=0．
∵? △＝（-7）2-4×5×5＝49-100＜0，
∴? 原方程没有实数根．
总结步骤：
（1）化方程为一般形式，以便于确定a、b、c的值；
（2）计算b2-4ac的值；
（3）判别根的情况．
强调两点：
（1）只要能判别△值的符号就行，具体数值不必计算出．
（2）判别根的情况时，不必求出方程的根．
四、课堂练习
1、不解方程，判别下列方程根的情况：
（1）3x2+4x-2=0；（2）2y2+5=6y；
（3）4p（p-1）-3＝0；（4）x2+5=
学生板演、笔答、评价。教师渗透、点拨．
2、不解方程，判别下列方程根的情况．
（2m2＋1）x2－2mx＋1=0．
五、课堂小结：
（1）判别式的意义及一元二次方程根的情况．
①定义：把b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式．用“△”表示
②一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．
当△＞0时，有两个不相等的实数根；
当△＝0时，有两个相等的实数根；
当△＜0时，没有实数根．反之亦然．
（2）通过根的情况的研究过程，深刻体会转化的思想方法及分类的思想方法．
六、作业布置
习题17.3第1，2，3，4，5题

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