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4．3　指数函数与对数函数的关系
考点
学习目标
核心素养
反函数
了解反函数的概念，知道指数函数和对数函数互为反函数，弄清它们图像之间的对称关系
数学抽象
指数、对数函数的图像与性质的应用
利用指数、对数函数的图像与性质解决一些简单问题
数学抽象、数学运算
问题导学
预习教材P30－P31的内容，思考以下问题：
1．反函数是如何定义的？
2．互为反函数的函数有哪些性质？
1．一般地，如果在函数 y＝f(x)中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y＝f(x)的反函数．
2．一般地，函数 y＝f(x)的反函数记作y＝f－1(x). y＝f(x)的定义域与y＝f－1(x)的值域相同， y＝f(x)的值域与y＝f－1(x)的定义域相同， y＝f(x)与y＝f－1(x)的图像关于直线y＝x对称．
3．如果y＝f(x)是单调函数，那么它的反函数一定存在．如果y＝f(x)是增函数，则y＝f－1(x)也是增函数；如果y＝f(x)是减函数，则y＝f－1(x)也是减函数．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝的反函数是y＝logx.(　　)
(2)函数y＝log3x的反函数的值域为R.(　　)
(3)函数y＝ex的图像与y＝lg x的图像关于直线y＝x对称．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×
函数f(x)＝的反函数为g(x)，那么g(x)的图像一定过点________．
解析：f(x)＝的反函数为g(x)＝logx，所以g(x)的图像一定过点(1，0)．
答案：(1，0)
函数y＝x＋3的反函数为________．
解析：由y＝x＋3得x＝y－3，
x，y互换得y＝x－3，所以原函数的反函数为y＝x－3.(x∈R)．
答案：y＝x－3(x∈R)
求反函数
　写出下列函数的反函数：
(1)y＝lg x；(2)y＝5x＋1；(3)y＝()x；(4)y＝x2(x≤0)．
【解】　(1)y＝lg x的底数为10，
它的反函数为指数函数y＝10x.
(2)由y＝5x＋1，得x＝，
所以反函数为y＝(x∈R)．
(3)y＝()x的底数为，它的反函数为对数函数y＝logx(x＞0)．
(4)由y＝x2得x＝±.
因为x≤0，
所以x＝－.
所以反函数为y＝－(x≥0)．

求反函数的一般步骤
(1)求值域：由函数y＝f(x)求y的范围．
(2)解出x：由y＝f(x)解出x＝f－1(y)．若求出的x不唯一，要根据条件中x的范围决定取舍，只取一个．
(3)得反函数：将x，y互换得y＝f－1(x)，注意定义域．　
　函数y＝＋1(x≥1)的反函数是(　　)
A．y＝x2－2x＋2(x<1)
B．y＝x2－2x＋2(x≥1)
C．y＝x2－2x(x<1)
D．y＝x2－2x(x≥1)
解析：选B.由y＝＋1，得x＝(y－1)2＋1，
即x＝y2－2y＋2，
因为x≥1，所以y＝＋1≥1，
所以反函数为y＝x2－2x＋2(x≥1)．
互为反函数的性质应用
　已知函数y＝ax＋b(a＞0且a≠1)的图像过点(1，4)，其反函数的图像过点(2，0)，求a，b的值．
【解】　因为y＝ax＋b的图像过点(1，4)，
所以a＋b＝4.①
又因为y＝ax＋b的反函数图像过点(2，0)，
所以点(0，2)在原函数y＝ax＋b的图像上．
所以a0＋b＝2.②
联立①②得a＝3，b＝1.

互为反函数的函数图像关于直线y＝x对称是反函数的重要性质，由此可得互为反函数的函数图像上任一成对的相应点也关于直线y＝x对称，所以若点(a，b)在函数y＝f(x)的图像上，则点(b，a)必在其反函数y＝f－1(x)的图像上．　
　已知f(x)＝log3x，则f－1(4)＝________．
解析：由log3x＝4，得x＝34＝81.即f－1(4)＝34＝81.
答案：81
指数、对数函数图像与性质的应用
　设方程2x＋x－3＝0的根为a，方程log2x＋x－3＝0的根为b，求a＋b的值．
【解】　将方程整理得2x＝－x＋3，log2x＝－x＋3.
如图可知，
a是指数函数y＝2x的图像与直线y＝－x＋3交点A的横坐标，b是对数函数y＝log2x的图像与直线y＝－x＋3交点B的横坐标．
由于函数y＝2x与y＝log2x互为反函数，
所以它们的图像关于直线y＝x对称，
由题意可得出A、B两点也关于直线y＝x对称，
于是A、B两点的坐标为A(a，b)，B(b，a)．
而A、B都在直线y＝－x＋3上，
所以b＝－a＋3(A点坐标代入)，
或a＝－b＋3(B点坐标代入)，故a＋b＝3.

形如ax＋kx＝b(a＞0且a≠0)或logax＋kx＝b(a＞0且a≠1)的方程的求解常借助于函数图像，把求方程的根转化为求两函数图像的交点的横坐标问题．　
　函数f(x)＝lg x＋x－3的零点所在区间为(　　)
A．(0，1) B．(1，2)
C．(2，3) D．(3，＋∞)
解析：选C.在同一平面直角坐标系中，画出函数y＝lg x与y＝－x＋3的图像．它们交点的横坐标x0显然在区间(1，3)内，由此可排除A，D.至于选B还是选C，由于手工画图精确性的限制，单凭直观想象很难做出判断．实际上这是要比较x0与2的大小．
当x＝2时，lg x＝lg 2，－x＋3＝1，
由于lg 2＜1，因此x0＞2，从而得到x0∈(2，3)，故选C.
1．函数y＝logx(x＞0)的反函数是(　　)
A．y＝x，x＞0 B．y＝，x∈R
C．y＝x2，x∈R D．y＝2x，x∈R
解析：选B.互为反函数的一组对数函数和指数函数的底数相同．
2．若函数f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)等于(　　)
A．log2x B.
C．logx D．2x－2
解析：选A.y＝ax的反函数f(x)＝logax，
则1＝loga2，
所以a＝2.所以f(x)＝log2x.
3．已知函数y＝ax与y＝logax(a＞0且a≠1)，下列说法不正确的是(　　)
A．两者的图像关于直线y＝x对称
B．前者的定义域、值域分别是后者的值域、定义域
C．两函数在各自的定义域内的增减性相同
D．y＝ax的图像经过平移可得到y＝logax的图像
解析：选D.由反函数的定义及互为反函数的函数图像间的对称关系可知A、B、C选项均正确．
4．已知y＝的反函数为y＝f(x)，若f(x0)＝－，则x0等于(　　)
A．－2 B．－1
C．2 D．
解析：选C.y＝的反函数是f(x)＝logx，
所以f(x0)＝logx0＝－.
所以x0＝＝－＝2.
[A　基础达标]
1．函数y＝3x(0＜x≤2)的反函数的定义域为(　　)
A．(0，＋∞) B．(1，9]
C．(0，1) D．[9，＋∞)
解析：选B.由于反函数的定义域为原函数的值域，
因为0＜x≤2，所以y＝3x∈(1，9]，故y＝3x(0＜x≤2)的反函数的定义域为(1，9]．
2．函数y＝－(x≤1)的反函数是(　　)
A．y＝x2－1(－1≤x≤0) B．y＝x2－1(0≤x≤1)
C．y＝1－x2(x≤0) D．y＝1－x2(0≤x≤1)
解析：选C.因为x≤1，所以－x≥－1，1－x≥0，所以≥0，所以－≤0，所以y≤0.
原函数的值域应与反函数的定义域相同，所以选项中只有C的定义域满足小于等于0.
3．设函数f(x)＝loga(x＋b)(a＞0，且a≠1)的图像过点(2，1)，其反函数图像过点(2，8)，则a＋b等于(　　)
A．6 B．5
C．4 D．3
解析：选C.由题意，知f(x)＝loga(x＋b)的图像过点(2，1)和(8，2)，所以
所以
解得所以a＋b＝4.
4．函数y＝f(x)的图像经过第三、四象限，则y＝f－1(x)的图像经过(　　)
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
解析：选B.因为第三、四象限关于y＝x对称的象限为第三、二象限，故y＝f－1(x)的图像经过第二、三象限．
5．设函数f(x)＝log2x＋3，x∈[1，＋∞)，则f－1(x)的定义域是________．
解析：f－1(x)的定义域为f(x)的值域，
因为x≥1，所以log2x≥0，
所以log2x＋3≥3，
所以f－1(x)的定义域为[3，＋∞)．
答案：[3，＋∞)
6．若函数f(x)＝y＝2x＋1的反函数为f－1(x)，则f－1(－2)＝________．
解析：法一：函数f(x)的值域为R，由y＝2x＋1，得x＝，
故f－1(x)＝，
故f－1(－2)＝＝－.
法二：由互为反函数的两函数定义域、值域的关系，令2x＋1＝－2，得x＝－.
故f－1(－2)＝－.
答案：－
7．对任意不等于1的正数a，函数f(x)＝loga(x＋3)的反函数的图像都过点P，则点P的坐标是________．
解析：当x＝－2时，
f(x)＝loga(－2＋3)＝0，
所以f(x)恒过(－2，0)点，即反函数的图像恒过点P(0，－2)．
答案：(0，－2)
8．求下列函数的反函数．
(1)f(x)＝；
(2)f(x)＝1－(－1≤x＜0)．
解：(1)设y＝f(x)＝，则y≠0.
由y＝，解得x＝.
所以f－1(x)＝(x≠0)．
(2)设y＝f(x)＝1－.
因为－1≤x＜0，所以0＜y≤1.
由y＝1－，解得x＝－.
所以f－1(x)＝－(0＜x≤1)．
9．已知函数f(x)＝loga(2－x)(a>1)．
(1)求函数f(x)的定义域、值域；
(2)求函数f(x)的反函数f－1(x)；
(3)判断f－1(x)的单调性．
解：(1)要使函数f(x)有意义，需满足2－x>0，即x<2，
故原函数f(x)的定义域为(－∞，2)，值域为R.
(2)由f(x)＝y＝loga(2－x)，得2－x＝ay，
即x＝2－ay.
所以f－1(x)＝2－ax(x∈R)．
(3)f－1(x)在R上是减函数．
证明如下：
任取x1，x2∈R且x1因为f－1(x2)－f－1(x1)＝2－ax2－2＋ax1＝ax1－ax2，
因为a>1，x1所以ax1所以f－1(x2)所以y＝f－1(x)在R上是减函数．
[B　能力提升]
10．函数y＝ln 2x(x＞0)的反函数是(　　)
A．y＝ex(x∈R) B．y＝e2x(x∈R)
C．y＝2ex(x∈R) D．y＝e(x∈R)
解析：选A.由y＝ln 2x(x＞0)，得x＝ey，
所以所求的反函数是y＝ex(x∈R)．
11．已知a>0，且a≠1，函数y＝ax与y＝loga(－x)的图像只能是图中的(　　)
解析：选B.y＝ax与y＝logax互为反函数，图像关于直线y＝x对称．而y＝loga(－x)与y＝logax关于y轴对称．
因为在y＝loga(－x)中，－x>0，即x<0，
所以排除A、C.当012．已知f(x)＝(a＞0)，若f－1(x)的定义域是，则f(x)的定义域是________．
解析：f－1(x)的定义域即为f(x)的值域，所以≤≤.又a＞0，所以4≤x≤7.所以f(x)的定义域为[4，7]．
答案：[4，7]
13．已知函数f(x)＝x2－2ax－3在区间[1，2]上存在反函数，求a的取值范围．
解：若函数f(x)在区间[1，2]上存在反函数，则f(x)在[1，2]上为单调函数，
f(x)＝x2－2ax－3的对称轴是直线x＝a，
要使f(x)＝x2－2ax－3在区间[1，2]上为单调函数，
则[1，2]?(－∞，a]或[1，2]?[a，＋∞)，
即a≥2或a≤1.
所以a的取值范围是(－∞，1]∪[2，＋∞)．
[C　拓展探究]
14．已知函数f(x)＝3x，且f－1(18)＝a＋2，g(x)＝3ax－4x的定义域为[0，1]．
(1)求g(x)的解析式；
(2)求g(x)的值域．
解：(1)因为f(x)＝3x，且f－1(18)＝a＋2，
所以f(a＋2)＝3a＋2＝18.
所以3a＝2.
因为g(x)＝3ax－4x＝(3a)x－4x，
所以g(x)＝2x－4x(0≤x≤1)．
(2)令t＝2x(0≤x≤1)，
所以t∈[1，2]．
则g(x)＝y＝－t2＋t＝－＋.
所以当t＝1，即x＝0时，g(x)max＝0；
当t＝2，即x＝1时，g(x)min＝－2.
故g(x)的值域为[－2，0]．

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