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“一线三等角”模型新说

一线三等角是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角 可以是直角，也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼，义乌通常称为“K 形图”，哈尔滨通常称为 “M 形图”，以下统称为“一线三等角”。
(





)一、一线三等角的起源



上面这个图是一线三等角的老祖宗了，旋转一下又会有所变化，如下图。

旋转到更特殊的位置，如下图。（其实这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。）


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二、一线三等角的两种基本类型
1．三等角都在直线的同侧


2．三等角分居直线的两侧

(
l
)

三、一线三等角的性质
1．一般情况下，由∠1＝∠2＝∠3，易得△AEC∽△BDE.
2．当等角所对的边相等时，两个三角形全等。 如图，当 CE＝ED 时，易得△AEC≌△BDE.


3．“中点型一线三等角”的特殊性质
如图，当∠1＝∠2＝∠3 且 D 是 BC 的中点时，△BDE∽△CFD∽△DFE.


如图，加．画．两．条．垂．线．，“一线三等角”就与“四边形中的半角模型”联系在一起了。


半角模型：EF＝EM＋FN.

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) (
3
)

4．“中点型一线三等角”的变式
1
如图，当∠1＝∠2 且∠AOC＝90°＋
2



∠BAC 时，点 O 是△ABC 的内心.




易证∠4＝∠5＝∠6，以下就省略了。

四、一线三等角的常用构图
下面以等腰三角形为例说明一线三等角的常见构图。




由于角顶点位置的改变，或角绕顶点旋转会产生各种各样的变式，但万变不离其宗：构造相似三角形列 比例式解决问题。当然，特殊情况下也可能是全等。
五、一线三等角的应用
1．一线三等角应用的三个层次

⑴初级阶段：图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题；

⑵中级阶段：图形中存在“一线二等角”，补上“一等角”构造此模型；

⑶高级阶段：图形中只有直线上的一个角，补上“二等角”构造此模型。 2．在张角问题中，构造“一线三等角”是基本手段之一。对坐标系中的张角问题，在 x 轴或 y 轴（也
可以是平行于 x 轴或 y 轴的直线）上构造“一线三等角”是解决问题的关键。
3．构造一线三等角的步骤：找角、定线、构相似。
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) (

) (
5
)

下面结合具体例子来说明，先从最简单的开始。

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)

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)此题不难，直接使用一线三等角就可以了，对学生来说，可能会漏解。

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)










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8
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)



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)

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)




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) (








)把 45°改为 60°，方法也一样。

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y
A
C
x
M
B

E
N
)






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)
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)




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) (













)

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解法四
解法二
解法三
)
(
解法一
) (
9
)



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) (
解法五
)解法七





解法六

(
解法八
解法十
)
(








)解法九














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12
)

解法十一


解法十二




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)


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)
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此题是义乌

2014

年全市考前调研考试的压轴题：



)



























常州于新华
我来将规律大致一下：

⑴查找图形中有已知大小的角；

⑵过这个角的顶点寻找或者构造模型中的“一线”；

⑶在此基础上，再构造与前面已知角相等的另外两个角；

⑷后面构造的两个角的顶点必须在前面所说的“一线”上。 一点提醒：前面所说的“一线”可能在整个角的外部，也可能“穿破”这个角，后者情况相对来说，要
陌生一些。



























































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16
)

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