资源简介

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第3讲 有理数的乘除
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知识定位
讲解用时：3分钟
A、适用范围：人教版初一，基础一般；
B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初一新课，本节课我们要学习有理数乘除法运算法则；核心部分是有理数乘除法运算法则的运用。

0137160
知识梳理
讲解用时：20分钟
4191055245有理数的乘法
有理数的乘法

3238514605有理数的乘法法则：
（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
（2）任何数同0相乘，都得0．
要点诠释： (1) 不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘．
（2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2与-3的乘积，应列为(-2)×(-3)，不应该写成-2×-3．
2. 有理数的乘法法则的推广：（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正；
（2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．
要点诠释：（1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数．
(2)几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘．
(3)几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0．

有理数的乘法法则：
（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
（2）任何数同0相乘，都得0．
要点诠释： (1) 不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘．
（2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2与-3的乘积，应列为(-2)×(-3)，不应该写成-2×-3．
2. 有理数的乘法法则的推广：（1）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正；
（2）几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．
要点诠释：（1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数．
(2)几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘．
(3)几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0．














32385927103. 有理数的乘法运算律：
（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba．
（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)．
（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a(b+c)＝ab+ac．
要点诠释：
（1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换．
（2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．如abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad．
（3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆用”．
3. 有理数的乘法运算律：
（1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba．
（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即：abc＝(ab)c＝a(bc)．
（3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即：a(b+c)＝ab+ac．
要点诠释：
（1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换．
（2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘．如abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这几个数相乘，再把积相加．如a(b+c+d)＝ab+ac+ad．
（3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆用”．











3810167640有理数的除法
有理数的除法

-152401092201.倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数．
要点诠释：
“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是，-2和是互相依存的；
(2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数；
(3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；
(4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)．
2. 有理数除法法则：
法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即.
法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0.
要点诠释：（1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些．
因为0没有倒数，所以0不能当除数．
（3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值．
　
1.倒数的意义： 乘积是1的两个数互为倒数．
要点诠释：
“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是，-2和是互相依存的；
(2)0和任何数相乘都不等于1，因此0没有倒数；
(3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；
(4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)．
2. 有理数除法法则：
法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即.
法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0.
要点诠释：（1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些．
因为0没有倒数，所以0不能当除数．
（3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值．
　










1333570485有理数的乘除混合运算
有理数的乘除混合运算
-7239041275由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果．
由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果．




0169545
课堂精讲精练

【例题1】
对于有理数a，b，定义运算：“※”，a※b=a·b-a-b-2.
(1)计算(-2)※3的值；
(2)填空：4※(-2) (-2)※4(填“＞”、“=”或“＜”)；
(3)我们知道：有理数的加法运算和乘法运算满足交换律.那么，由(2)计算的结果，你认为这种运算“※”是否满足交换律？请说明理由.
【答案】（1）-9；（2）=；
（3）满足，理由是：∵a※b=a·b-a-b-2，
又∵b※a=b·a-b-a-2=a·b-a-b-2，
∴a※b=b※a.
∴这种运算“※”满足交换律.
【解析】(1)(-2)※3=(-2)×3-(-2)-3-2=-9.
(2)4※(-2)=4×(-2)-4-(-2)-2=-12；
(-2)※4=(-2)×4-(-2)-4-2=-12.故填=.
(3)答：这种运算“※”满足交换律.
理由是：∵a※b=a·b-a-b-2，
又∵b※a=b·a-b-a-2=a·b-a-b-2，
∴a※b=b※a.
∴这种运算“※”满足交换律.

讲解用时：3分钟
解题思路：(1)将a=-2，b=3代入运算公式a※b=a·b-a-b-2，即可得到代数式(-2)※3的值；
(2)运用运算公式分别计算出4※(-2)和(-2)※4的值即可比较大小；
(3)是否满足交换律关键是利用公式分别计算出a※b和b※a的结果，再利用乘法交换律和加法交换律看看是否相等.
教学建议：第(3)题中说明该运算满足交换律时不能用特殊值法，这样证明不全面.
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【练习1.1】
算式（﹣1）×（﹣3）×的值为（　　）
　 A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解：原式=××= .故选D
讲解用时：2分钟
解题思路：根据有理数的乘法法则，先确定符号，然后把绝对值相乘即可.
教学建议：掌握乘法法则是解题的关键，计算时，先确定符号，然后把绝对值相乘．
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【例题2】
计算：(1)；
(2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20)；
(3)(-5)×(-8.1)×3.14×0．
【答案】（1）；（2）；（2）0.
【解析】解： (1)；
(2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20)；
(3)(-5)×(-8.1)×3.14×0＝0．

讲解用时：4分钟
解题思路：几个不等于零的数相乘，首先确定积的符号，然后把绝对值相乘．因数是小数的要化为分数，是带分数的通常化为假分数，以便能约分．几个数相乘，有一个因数为零，积就为零．
教学建议：强调几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数确定，与正因数的个数无关．当因数中有一个数为0时，积为0．
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无

【练习2.1】

【答案】
【解析】
解：

讲解用时：2分钟
解题思路：掌握有理数乘法法则，正确运用法则，一是要体会并掌握乘法的符号规律，二是细心、稳妥、层次清楚，即先确定积的符号，后计算绝对值的积.
教学建议：强调先确定结果的符号，再运算
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无

【例题3】
运用简便方法计算：
【答案】
【解析】解：
（分配律）


讲解用时：3分钟
解题思路：根据题目特点，可以把折成，再运用乘法分配律进行计算．
教学建议：引导学生观察几个因数之间的关系和特点．适当运用“凑整法”进行交换和结合．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【练习3.1】
运用简便方法计算：
【答案】
【解析】解：
（逆用乘法的分配律）


讲解用时：3分钟
解题思路：逆用乘法分配律：ab+ac＝a(b+c)．
教学建议：引导学生观察几个因数之间的关系和特点．适当运用运算律简化运算量
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无

【例题4】
﹣2的倒数是　 　，相反数是　 　，绝对值是　 　．
【答案】 ，2，2
【解析】解：﹣2的倒数是﹣，相反数是 2，绝对值是 2，

讲解用时：3分钟
解题思路：根据乘积为1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数，根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数，根据绝对值的意义，可得一个数的绝对值．
教学建议：强调倒数的概念，复习相反数和绝对值的概念．
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无

【练习4.1】
已知﹣的倒数是p，且m、n互为相反数，则p+m+n=　　．
【答案】﹣36．
【解析】解：依题意的：p=﹣，m+n=0，
所以p+m+n=﹣．
故答案是：﹣．

讲解用时：4分钟
解题思路：用相反数，倒数的定义求出m+n，p的值，代入计算即可得到结果．
教学建议：引导学生复习基础概念.
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无

【例题5】
已知a，b，c都不等于零，且，根据a，b，c的不同取值，x有　　个不同的值．
【答案】3
【解析】解：（1）四项都为正．（2）四项都为负．（3）二正二负．
可知x有3个不同取值．

讲解用时：3分钟
解题思路：根据题意，，，分别都可取±1，讨论这四项的取值情况可得出答案．
教学建议：运用有理数的除法，难点在于讨论各项的正负情况
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习5.1】
被除数是﹣5，除数是﹣，则商是　　．
【答案】6．
【解析】解：﹣5=﹣×（﹣）=6，
故答案为：6．

讲解用时：3分钟
解题思路：根据题意列出算式，根据有理数的除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数进行计算即可．
教学建议：此题主要考查了有理数的除法，关键是掌握有理数的除法法则．
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【例题6】
计算：×（﹣4）÷1
【答案】
【解析】解：原式=．

讲解用时：3分钟
解题思路：根据有理数的除法计算即可．
教学建议：此题考查有理数的除法问题，关键是根据有理数的除法法则计算．
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无


【练习6.1】
计算：÷（﹣1）×．
【答案】
【解析】解：原式=﹣××=﹣．

讲解用时：4分钟
解题思路：原式利用乘除法则计算即可求出值．
教学建议：引导学生复习有理数的乘除法运算法则.
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无
【例题7】
小华在课外书中看到这样一道题：
计算：（）+（）．
她发现，这个算式反映的是前后两部分的和，而这两部分之间存在着某种关系，利用这种关系，她顺利地解答了这道题
（1）前后两部分之间存在着什么关系？
（2）先计算哪部分比较简便？并请计算比较简便的那部分．
（3）利用（1）中的关系，直接写出另一部分的结果．
（4）根据以上分析，求出原式的结果．
【答案】﹣3．
【解析】解：（1）前后两部分互为倒数；
（2）先计算后一部分比较方便．
（）=（）×36=9+3﹣14﹣1=﹣3；
（3）因为前后两部分互为倒数，所以（）=﹣；
（4）根据以上分析，可知原式==﹣3．

讲解用时：3分钟
解题思路：（1）根据倒数的定义可知：（）与（）互为倒数；
（2）利用乘法的分配律可求得（）的值；
（3）根据倒数的定义求解即可；
（4）最后利用加法法则求解即可．
教学建议：本题主要考查的是有理数的乘除运算，引导学生发现前后两项互为倒数是解题的关键．
难度： 3 适应场景：当堂例题 例题来源：无
【练习7.1】
请阅读下列材料：
计算：.
解法一：原式=；
解法二：原式=；
解法三：原式的倒数为
故原式=-.
上述得出的结果不同，肯定有错误的解法，你认为解法 是错误的，
在正确的解法中，你认为解法 最简便.
然后请计算：.　
【答案】（1）解法一是错误的，解法二最简便；（2）﹣
【解析】解：解法一是错误的，解法二最简便.
原式=.

讲解用时：4分钟
解题思路：根据有理数除法的运算法则可以判断出上述解法的对错；解法二先把括号内化简再计算，可提高解题的效率.
教学建议：注意培养学生的巧算能力
难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无

0201930
课后作业
【作业1】
已知两个有理数a、b，如果ab＜0，且a＋b＜0，那么（ ）
A．a＞0，b＜0 B．a＜0，b＞0
C．a、b异号 D．a、b异号且负数的绝对值较大
【答案】D
【解析】
依有理数乘法法则，异号为负，故a、b异号，又依加法法则，异号相加取绝对值较大数的符号，可得出判断.
解：由ab＜0知a、b异号，又由a＋b＜0，可知异号两数之和为负，依加法法则得负数的绝对值较大，选D．

讲解用时：3分钟
难度： 2 适应场景：练习题 例题来源：无

【作业2】
计算：
(1)； (2)-2.5÷÷(-4).
【答案】 （1）；（2）.
【解析】
解：(1)原式=.
(2)原式=.

讲解用时：4分钟
难度： 4 适应场景：练习题 例题来源：无

【作业3】
已知a，b，c为有理数.
(1)如果ab＞0，a+b＞0，试确定a，b的正负；
(2)如果ab＞0，abc＞0，bc＜0，试确定a，b，c的正负.
【答案】 （1）a，b都为正数；（2）a，b为负数，c为正数.
【解析】解：(1)∵ab＞0，∴a，b同号.又∵a+b＞0，∴a，b都为正数.
(2)∵ab＞0，∴a，b同号.又∵abc＞0，∴c＞0.
又∵bc＜0，∴b，c异号，即b＜0，故a＜0.
∴a，b为负数，c为正数.

讲解用时：3分钟
难度： 3 适应场景：练习题 例题来源：无

【作业4】
计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
（1）．
（2）
=
=．

讲解用时：5分钟
难度： 3 适应场景：练习题 例题来源：无

【作业5】
用简便方法计算：
（1）； （2）；
【答案】（1）10000；（2）
【解析】
（1）；
；
讲解用时：5分钟
难度： 3 适应场景：练习题 例题来源：无

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