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22.3　实际问题与二次函数
第1课时　二次函数与图形面积问题
课题
第1课时　二次函数与图形面积问题
授课人
教
学
目
标
知识技能
1.通过图形的面积关系列出函数解析式；
2.用二次函数的知识分析解决有关面积的实际问题.
数学思考
对实际问题的探究，体会数学知识的现实意义，进一步认识利用二次函数的有关知识解决实际问题.
问题解决
通过实际问题与二次函数的关系的探究，让学生掌握利用顶点坐标解决最大值（或最小值）的方法.
情感态度
体会数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.
教学重点
用二次函数的知识分析解决有关面积的实际问题.
教学难点
通过图形的面积关系列出函数解析式.
授课类型
新授课
课时
教具
多媒体
教学活动
教学步骤
师生活动
设计意图
回顾
1.请写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标：
（1）y＝6x2＋12x；（2）y＝－4x2＋8x－10.
2.以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数有最小值？并说出两个函数的最大值或最小值分别是多少.
师生活动：学生自主进行解答，教师做好指导和点评.
提示：求解二次函数的最值一般有两种方法：
一是把一般式化为顶点式；二是利用顶点坐标公式求解.
（1）y＝6（x＋1）2－6，所以抛物线开口向上，对称轴为直线x＝－1，顶点坐标为（－1，－6），当x＝－1时，y有最小值－6.
（2）y＝－4（x－1）2－6，所以抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，－6），当x＝1时，y有最大值－6.
通过回顾二次函数的最值问题，为讲解新课做铺垫，两种求解方法为学生深刻理解知识提供理论支持.
活动
一：
创设
情境
导入
新课
【课堂引入】
问题：用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形场地的面积S随一边长l的变化而变化，当l是多少米时，矩形场地的面积S最大？
师生活动：
1.教师引导学生分析与矩形面积相关的量；
2.教师设问，如何用含l的代数式表示与其相邻的边的长度；
3.学生自主列函数解析式，并进行整理，讨论问题解答的正确性；
4.针对问题要求进行求解，并回答问题.
教师关注：
1.学生能否根据矩形的面积公式列函数解析式；
2.学生能否根据以前所学知识准确求出函数的最大值.
通过典型的实际问题，激发学生解答的欲望，让学生在合作中学习，共同解答问题，培养学生的探究能力和合作意识.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
1.探究新知
活动一：针对[课堂引入]的问题进行探究，教师总结解题过程.
师生活动：
（1）确定解题的步骤：先表示矩形的长和宽，再利用面积公式列解析式，最后求最值.
（2）解答过程：矩形场地的一边长为l m，则另一边长为（30－l）m，
所以矩形场地的面积S＝l（30－l）＝－l2＋30l（0当l＝－＝15时，S有最大值＝225.
也就是说，当l是15 m时，矩形场地的面积S最大.
2.师生总结
教师指导学生总结解答问题的方法和步骤，学生代表进行说明，全班互相交流，师生共同确定解题思路：
（1）表示与面积相关的量；（2）利用面积公式列函数解析式，并进行整理；（3）确定自变量的取值范围；（4）利用公式求出最值.
通过典型问题的设计和解答，让学生体会函数模型在解决实际问题中的作用.
活动
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
如图22－3－10，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园ABCD.设AB边的长为x米，则菜园的面积y（米2）与x（米）之间的函数解析式为　y＝－x2＋15x　（不要求写出自变量x的取值范围）.
图22－3－10
师生活动：学生自主进行解答，教师巡视、指导、点评.
教师引导学生阐述解答过程：
（1）用含x的代数式表示出AD的长度；
（2）利用矩形的面积公式列出函数解析式.
应用举例是对于课题学习的针对性练习.
【拓展提升】
如图22－3－11，点E，F，G，H分别位于正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形，当点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小？
图22－3－11
师生活动：学生小组内讨论、交流，教师参与小组合作，并引导学生理清解题思路.
教师做好总结和展示：
设AE＝x，AB＝1，正方形EFGH的面积为y.
根据题意，得y＝1－2x（1－x）.
整理，得y＝2x2－2x＋1，
所以当x＝0.5时，正方形EFGH的面积最小，最小值为0.5，
即当点E在AB的中点处时，正方形EFGH的面积最小.
拓展提升是对于基础知识的提高和应用，培养学生的实际应用能力，提升思维能力.
活动
四：
课堂
总结
反思
【达标测评】
1.给你一根长为8 m的铁丝，用它围成一个矩形方框，当这个矩形的长为　2 m　时，矩形的面积最大.
2.某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15米）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40 m的栅栏围成.若设花园的宽为x m，花园的面积为y m2.
（1）求y与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（2）根据（1）中求得的函数解析式，描述其图象的变化趋势，并结合题意判断，当x取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？
3.如图22－3－12所示，要建一个矩形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，计划用50 m长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设养鸡场的长为x m.
（1）要使养鸡场的面积最大，养鸡场的长应为多少米？
（2）如果中间有n道篱笆隔墙，要使养鸡场的面积最大，养鸡场的长应为多少米？
图22－3－12
比较（1）（2）的结果，你能得到什么结论？
学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.
针对本课时的主要问题，从多个角度、分层次进行检测，达到学有所成、了解课堂学习效果的目的.
1.课堂总结：
你在本节课中有哪些收获？有哪些进步？还有哪些困惑？请谈一谈.
教师强调：利用面积公式列函数解析式是解答问题的主要方法.
2.布置作业：
教材第52页习题22.3第4，6题.
小结环节的设置能够让学生养成自主归纳课堂重点的习惯，提高学生的学习能力.
【知识网络】
提纲挈领，重点突出.
【教学反思】
①[授课流程反思]
在创设情境和探究新知环节中，利用实际问题激发学生的求知欲，渗透转化思想，把知识回归生活，又从生活中走出来，使学生乐学、好学；通过层层设疑、由易到难，符合学生的认知水平和认知规律，引导学生不断思考、积极探索.
②[讲授效果反思]
教师提醒学生注意：（1）一般地，面积问题中常把面积作为函数，边长作为自变量；（2）确定自变量的取值范围是解答此类问题的注意点；（3）求最值问题可选用公式法或将函数解析式由一般式化为顶点式.
③[师生互动反思]
从课堂发言和检测来看，学生能够积极发言、小组讨论富有实效，能够把知识进行化归，建立函数模型.
④[习题反思]
好题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
错题题号　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
反思教学过程和教师表现，进一步优化操作流程和提升自身素质.
典案二 导学设计
学习目标：
1．能够分析和表示实际问题中变量之间的关系，并运用二次函数的知识求出实际中面积的最大(小)值，提高解决问题的能力.
2.经历利用二次函数解决实际问题的过程，感受数学的应用价值，增进对数学的理解和学好数学的信心．
学习过程：
（一）情境创设
木工师傅需要一块面积足够大的矩形木料，但是手边只有一块三角形的木料，怎么样才能锯出一块面积最大的矩形木料呢？小明和小玲给出了自己的建议。谁的建议更合理？请你通过本节课的学习给出答案。
35306026035
（小明） (小玲)
（二）自主探究
38836605715在我市开展的创卫活动中，某居民小区要在一块一边靠墙（墙长为15m）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成（如图所示）。怎样围才能使矩形花园面积最大？。
（1）若设花园的BC边长为x（m），AB怎么表示？
AB= m
（2）设花园的面积为y(m2)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x?的取值范围。
（3）当x取何值时，花园的面积最大 ？最大面积为多少？
（三）合作交流
1.自主探究问题
2.回顾本节“最大面积”解决问题的过程，你能总结一下解决此类问题的基本思路吗？与同伴交流.
388366043180（四）运用规律，巩固新知
完成情境创设的问题。
（五）当堂检测
1.如图，等腰梯形ABCD的周长为4cm，下底角为60?，当梯形的腰长为多少时，梯形的面积最大？最大面积是多少？
303085584455
2.如图，点E、F分别是边长为4的正方形ABCD的边ＢＣ，ＣＤ上的点，ＣＥ＝１，ＣＦ＝false，HM⊥AG，HN⊥AD，设HM=x，矩形AMHN的面积为y
（1）求y与x之间的函数关系式
（2）当x为何值时，矩形AMHN的面积最大？最大面积是多少？
360426084455
3.能力提升：如图，直角梯形ABCD中，∠A=90°，∠B=45°，底边AB=5，高AD=3，点E由点B沿折线BCD向点D移动，EM⊥AB，EN⊥AD，设BM=x，矩形AMEN的面积为y，那么当x是多少的时候，y值最大，是几？
（六）课外自评
必做：1.某建筑物的窗户如图，它的上半部是半圆，下半部是矩形，窗框材料总长是15m，当x等于多少时，窗户透过的光线最多？此时，面积是多少？
3246120-113665
2.在边长为2m的正方形铁板内，沿着一条边恰好截取两块相邻的正方形板料，要使截取的板料面积最小，应该怎样截取？

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