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6.2 排列与组合

一、排列
1、排列数
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有___排列_____的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数
用符号表示为：A
2、排列相同的条件
两个排列相同，当且仅当两个排列的元素__完全相同______，且元素的___排列顺序_____也相同．
3、排列数的公式：，其中且
4、把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，即：
也就是说，将n个不同的元素全部取出的排列数，等于正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用表示，即。规定：
5、排列数公式也可以写成：，其中且
二、组合
1、组合：从n个不同元素中取出个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合
2、组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的__所有组合______的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示为：
3、组合数公式：，其中且
规定：
4、组合数的性质：（1）；（2）
题型一 排列概念
例1　　判断下列问题是否为排列问题．
(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；
(2)选2个小组分别去植树和种菜；
(3)选2个小组去种菜；
(4)选10人组成一个学习小组；
(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；
(6)某班40名学生在假期相互通信．
【精彩点拨】　判断是否为排列问题关键是选出的元素在被安排时，是否与顺序有关．若与顺序有关，就是排列问题，否则就不是排列问题．
【自主解答】　(1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．
(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．
(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题．
(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．
(6)A给B写信与B给A写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．所以在上述各题中(2)(5)(6)属于排列问题．
写出下列问题的所有排列．
(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？
(2)写出从4个元素a，b，c，d中任取3个元素的所有排列．
【精彩点拨】　(1)直接列举数字．
(2)先画树形图，再结合树形图写出．
【自主解答】　(1)所有两位数是12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43，共有12个不同的两位数．
(2)由题意作树形图，如图．
故所有的排列为：abc，abd，acb，acd，adb，adc，bac，bad，bca，bcd，bda，bdc，cab，cad，cba，cbd，cda，cdb，dab，dac，dba，dbc，dca，dcb，共有24个
题型二 排列公式计算
例 2　(1)计算：；(2)证明：A－A＝mA.
【精彩点拨】　第(1)题可直接运用排列数公式，也可采用阶乘式；第(2)题首先分析各项的关系，利用A＝进行变形推导．
【自主解答】　(1)法一：＝＝＝.
法二：＝＝＝＝.
(2)∵A－A＝－
＝·
＝·
＝m·
＝mA，
　 ∴A－A ＝mA.
给出下列四个关系式：
① ② ③ ④
其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】
①根据阶乘公式判断.②根据排列数公式判断③根据排列数公式判断.④根据排列数公式判断.
【详解】
①因为，故正确.
②，故正确.
③，正确.
④因为，所以，故不正确.
故选：C
题型三　组合
例 3　判断下列各事件是排列问题还是组合问题．
(1)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？
(2)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？
(3)从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？
(4)从10个人里选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？
【精彩点拨】　要确定是组合还是排列问题，只需确定取出的元素是否与顺序有关．
【自主解答】　(1)是组合问题，因为每两个队比赛一次并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别．
(2)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序的区别．
(3)是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别．
(4)是排列问题，因为3个人中，担任哪一科的课代表是有顺序的区别
甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛
（1）列出所有各场比赛的双方
（2）列出所有冠、亚军的可能情况
解答?解：（1）甲、乙、丙、丁4个足球队举行单循环赛，分别为（甲乙），（甲丙），（甲丁），（乙丙），（乙丁），（丙丁），
（2）所有冠亚军的可能有12种，
分别为（甲乙丙丁），（甲丙乙丁），（甲丁乙丙），
（乙甲丙丁），（乙丙甲丁），（乙丁甲丙），
（丙甲乙丁），（丙乙甲丁），（丙丁甲乙），
（丁甲乙丙），（丁乙甲丙），（丁丙甲乙）
题型四　组合公式计算
例 4 (1)式子可表示为(　　)
A．A　 B．C
C．101C D．101C
(2)求值：C＋C.
【精彩点拨】　根据题目的特点，选择适当的组合数公式进行求值或证明．
【自主解答】　(1)分式的分母是100！，分子是101个连续自然数的乘积，最大的为n＋100，最小的为n，
故
＝101·
＝101C.
【答案】　D
(2)由组合数定义知：
所以4≤n≤5，又因为n∈N＋，
所以n＝4或5.
当n＝4时，C＋C＝C＋C＝5；
当n＝5时，C＋C＝C＋C＝16.
（多选）下列等式中，成立的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【分析】
根据排列数公式和组合数性质判断．
【详解】
，A错；
根据组合数性质知正确；
，D正确．
故选：BCD．
题型五　排列式应用
例 5　5名同学合影，其中3位男生，2位女生，站成了一排，要求3位男生不相邻的排法有（ ）
A．12种 B．10种 C．15种 D．9种
【答案】A
【分析】
首先排女生，再排男生，然后再根据插空法以及排列式即可求解.
【详解】
首先排女生，再排男生，然后再根据插空法可得：
.
故选：A
把1?2?3?4?5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排成一个数列.
（1）45312是这个数列的第几项？
（2）这个数列的第71项是多少？
（3）求这个数列的各项和.
【答案】（1）第95项；（2）第71项是3开头的五位数中第二大的数；（3）.
【分析】
（1）先考虑大于45312的数，分为两类：第一类5开头的五位数，第二类4开头的五位数，求出对应的个数，即可得出不大于45312的数的个数，进而可到结果；
（2）分别求出1开头的五位数，2开头的五位数，3开头的五位数，对应的个数总和为，进而可得出结果；
（3）根据个位，十位，百位，千位，万位上的数字的取值情况，分组求和，即可得出结果.
【详解】
（1）先考虑大于45312的数，分为以下两类：
第一类5开头的五位数有：
第二类4开头的五位数有：45321一个
∴不大于45312的数有：(个)
即45312是该数列中第95项.
（2）1开头的五位数有：
2开头的五位数有：
3开头的五位数有：
共有(个).
所以第71项是3开头的五位数中第二大的数，即35412.
（3）因为1，2，3，4，5各在万位上时都有个五位数，
所以万位数上的数字之和为
同理，它们在千位，百位，十位，个位上也都有个五位数，
所以这个数列的各项和为.
题型六　组合式应用
例 6 从3名男医生和5名女医生中，选派3人组成医疗小分队，要求男?女医生都有，则不同的选取方法种数为__________(用数字作答).
【答案】
【分析】
根据题意分为两类：2男1女和1男2女，结合分类计数原理和组合数的计算公式，即可求解.
【详解】
由题意，从3名男医生和5名女医生中，选派3人组成医疗小分队，要求男?女医生都有，
可分为两类：
第一类，若2男1女，共有种不同的选取方法；
第二类，若1男2女，共有种不同的选取方法，
由分类计数原理，可得不同的选取方法种数为种.
故答案为：.
从进入决赛的9名选手中决出2名一等奖，3名二等奖，4名三等奖，则可能的决赛结果共有________种.（用数字作答）
【答案】
【分析】
根据分步计数原理计算可得答案.
【详解】
第一步，决出三等奖，有种；
第二步，决出二等奖，有种；
第三步，决出一等奖，有种，
根据分步计数原理可得，共有种.
故答案为：
1、若，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【分析】
根据排列数与组合数公式列方程计算即可.
【详解】
解：由得：，解得：或（舍去）.
故选：B.
2、下列等式不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据排列组合数公式依次对选项，整理变形，分析可得答案．
【详解】
A，根据组合数公式，，A不正确；
B，，
故 B正确；
C，故 C正确；
D，故 D正确；
故选：．
3、若，则的值为（ ）
A．60 B．70 C．120 D．140
【答案】D
【分析】
先由可求出n，再代入式子即可求出.
【详解】
，解得或（舍去），
.
故选：D.
4、某校从5名同学中选择3人分别参加数学、物理、化学竞赛，则不同选法种数是（ ）
A．10 B．30 C．60 D．125
【答案】C
【分析】
先从5名同学中选择3人分别参加数学、物理、化学竞赛，再根据学科的不同排列求解.
【详解】
根据题意，某校从5名同学中选择3人分别参加数学、物理、化学竞赛，选出的3人有顺序的区别，
则有种选法；
故选：C.
5、某小组共有5名男同学，4名女同学现从该小组中选出3名同学分别到A，B，C三地进行社会调查，每地1名，若选出的同学中男女均有，则不同的安排方法有（ ）
A．70种 B．140种 C．840种 D．420种
【答案】D
【分析】
先按“男女”或“男女”选出名同学，再排到三个地方，由此计算出不同的方法数.
【详解】
如果按“男女”选出名同学，则方法数有种，
如果按“男女”选出名同学，则方法数有种，
再将选出的名同学安排到个地方，则总的方法数有种.
故选：D
6、三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女生相邻，则不同的站法共有( )
A．72种 B．108种 C．36种 D．144种
【答案】D
【分析】
根据题意，利用捆绑法和插空法，再利用分布乘法原理，即可求出结果．
【详解】
解：先将男生甲与男生乙“捆绑”，有种方法，
再与另一个男生排列，则有种方法，
三名女生任选两名“捆绑”，有种方法，
再将两组女生插空，插入男生3个空位中，则有种方法，
利用分步乘法原理，共有种.
故选：D．
7、以长方体的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出2个三角形，则这2个三角形不共面的情兄有（ ）种
A．1480 B．1468 C．1516 D．1492
【答案】B
【分析】
根据平行六面体的几何特征，可以求出以平行六面体的任意三个顶点为顶点作三角形的总个数，及从中随机取出2个三角形的情况总数，再求出这两个三角形共面的情况数，即可得到这两个三角形不共面的情况数，即可得到答案．
【详解】
因为平行六面体的8个顶点任意三个均不共线，
故从8个顶点中任取三个均可构成一个三角形共有个三角形，
从中任选两个，共有种情况，
因为平行六面体有六个面,六个对角面，
从8个顶点中4点共面共有12种情况，
每个面的四个顶点共确定6个不同的三角形，
故任取出2个三角形，则这2个三角形不共面共有1540-12×6=1468种，
故选：B.
8、5个男同学和4个女同学站成一排
（1）4个女同学必须站在一起，有多少种不同的排法？
（2）任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？
（3）其中甲、乙两同学之间必须有3人，有多少种不同的排法？
（4）男生和女生相间排列方法有多少种？
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.
【分析】
（1）捆绑法求解即可；
（2）插空法求解即可；
（3）特殊位置法求解即可；
（4）插空法求解即可.
【详解】
（1）4个女同学必须站在一起，则视4位女生为以整体，
可得排法为；
（2）先排5个男同学，再插入女同学即可，所以排法为：
；
（3）根据题意可得排法为：；
（4）5个男生中间有4个空，插入女生即可，
故有排法.
9、现有本书和位同学，将书全部分给这三位同学.
（1）若本书完全相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？
（2）若本书都不相同，共有多少种分法？
（3）若本书都不相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？
【答案】（1）种；（2）种；（3）150种.
【分析】
（1）用挡板法求解；
（2）每本书都有三种分配方法，求幂便可得到答案；
（3）用分组分配问题的求解方法求解，①将本书分成组，②将分好的三组全排列，对应3名学生，由分步计数原理计算可得答案.
【详解】
解：（1）根据题意，若本书完全相同，将本书排成一排，中间有个空位可用，
在个空位中任选个，插入挡板，有种情况，
即有种不同的分法；
（2）根据题意，若本书都不相同，每本书可以分给人中任意1人，都有3种分法，
则5本不同的书有种；
（3）根据题意，分2步进行分析：
①将本书分成组，
若分成1、1、3的三组，有种分组方法，
若分成1、2、2的三组，有种分组方法，
则有种分组方法；
②将分好的三组全排列，对应名学生，有种情况，
则有种分法.
10、现有编号为，，，，，，的7个不同的小球．
（1）若将这些小球排成一排，且要求，，三个球相邻，则有多少种不同的排法？
（2）若将这些小球排成一排，要求球排在中间，且，，各不相邻，则有多少种不同的排法？
（3）若将这些小球排成一排，要求，，，四个球按从左到右排（可以相邻也可以不相邻），则有多少种不同的排法？
（4）若将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，至多3个球，则有多少种不同的放法？
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.
【分析】
（1）把，，三个球看成一个整体，利用捆绑法可求所有的排法总数；
（2）先排好，再就，，中哪些在的左侧，哪些在的右侧分类讨论后可求不同的排法总数；
（3）从7个位置中选出4个位置给，，，，再排余下元素，从而可得不同的排法总数；
（4）三个盒子所放的球数分别为或，就两类情形分别计数后可得不同的排法总数.
【详解】
（1）把，，三个球看成一个整体，则不同的排法总数为种.
（2）在正中间，所以的排法只有1种，
因为，，互不相邻，故，，三个球不可能在同在的左侧或右侧，
若，，有1个在的左侧，2个在的右侧，则不同的排法有，
同理可得若，，有2个在的左侧，2个在的右侧，不同的排法有，
故所求的不同排法总数为种.
（3）从7个位置中选出4个位置给，，，，且，，，四个球按从左到右排，共有排法种，再排余下元素，共有种，
故不同排法总数为种.
（4）三个盒子所放的球数分别为或，
若三个盒子所放的球数分别为，则不同排法共有，
若三个盒子所放的球数分别为，则不同排法共有，
故不同的排法总数为.

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